循环小数计算(一)

年 级 四年级 学 科 奥数

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通用版

课程标题 循环小数计算（一）

编稿老师 李明艳 一校

张琦锋

二校

黄楠

审核

高旭东

同学们都知道，循环小数是对商的进一步研究，这部分的概念比较多，包括：循环小数、循环节、纯循环小数、混循环小数、有限小数、无限小数等。同时还要学习循环小数的简便记法以及取循环小数的近似值的方法。在进行循环小数的计算之前，我们必须先搞清楚这些概念。

一、循环小数与循环节

1. 若一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，则这个数叫做循环小数。如：3.5777…… 0.285714285714…… 5.6565……

2. 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

二、纯循环小数与混循环小数

我们根据循环节从小数部分开始位数的不同，把循环小数分成两大类： 第一类：0.285714285714…… 5.6565…… 第二类：3.5777…… 0.222666666……

像第一类循环节从小数部分第一位开始的小数，叫做纯循环小数。 像第二类循环节不是从小数部分第一位开始的小数，叫做混循环小数。

三、无限小数和有限小数

有限小数：小数部分的位数有限的小数。如：0.53333 ；2.671671。

无限小数：小数部分的位数无限的小数。包括无限不循环小数和无限循环小数。

四、循环小数的书写格式

一般记法：写出两个循环节，其后加上省略号。 简便记法：小数的循环部分只写出一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面，各记一个圆点。如：3.5777……记做：3.57∙

；0.285714285714……记做： 0.285714∙

∙

。

例1 在小数1.80524102007加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______。 分析与解：因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一

位上的数字，有05、02、00、07，其中00最小，所以，要想使它最小，它的循环节应该为007，得到的最小的循环小数的∙

∙

70080524102.1。

例2 给下列不等式中的循环小数添加循环点，使不等式成立： 0.1998>0.1998>0.1998>0.1998

分析与解：从循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是0.1998∙∙

，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998∙

。其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998∙

∙

，而次大数为0.1998∙∙

，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998∙

∙

∙∙

∙

∙

∙

>>>。

例3 真分数

7

a

化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?

分析与解：我们知道1=0.1428577∙∙，27∙∙=485712.0，37∙∙=128574.0，4

7∙∙=851425.0，

57∙

∙=514287.0，67245718.0∙∙=。因此，真分数7a

化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27，又因为1992÷27＝73……21， 而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4、2时才符合要求，

显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为6

7

，所以6a =。

例4 在混循环小数∙

171828.2的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。

分析与解：小数点后第7位应尽可能大，因此应将圆点点在8上。如果循环点标注在第一个8上，展开循环节后小数为：2.7182818281……而如果标注在第二个8上，展开循环节后小数为：2.71828181……两个小数的前七位都是相同的，而前者第八位为2，后者第八位为1,2比1大，所以循环节要标注在第一个8上，即新的循环小数是∙

∙

128871.2。

例5 将

21化成小数等于0.5，是个有限小数；将11

1

化成小数等于0.0909……，简记为∙∙90.0，是纯循环小数；将6

1

化成小数等于0.1666……，简记为∙

61.0，是混循环小数。现在

将2004个分数21，31，41，…，2005

1

化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？

分析与解：凡是分母的质因数仅含2或5的，化成小数后为有限小数；凡是分母的质因

数不含2或5的，化成小数后为纯循环小数；分母的质因数既含2或5又含其他数的，化成小数后则为混循环小数。所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个。这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002（个），含质因数5的有2005÷5＝401（个），既含2又含5的有2000÷10＝200（个），所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801（个）。

（答题时间：35分钟）

1. 下面有四个算式： ①∙

∙

∙

∙

=+337.0331.06.0

②0.625＝5

8

；

③514＋32＝35142++＝816＝12； ④337×415

＝1425。 其中正确的算式是（ ）。

A. ①和②

B. ②和④

C. ②和③

D. ①和④ 2. 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立： 0.6＋0.06＋0.006＋……＝2002÷______。

3. 真分数7

a

化成循环小数之后，小数点后第2009位的数字为7，则a 是多少？

4. ∙

∙∙--300.030.03.0 5. ∙

∙

⨯82004200