2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章第五节数列的综合应用Word版含解析.doc

课时规范练 A 组基础对点练

3 * 1. （2018嘉兴调研）已知a n =亦二而（n

€ N ），数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则使 各>0的n 的 最小值为（ ）

A . 99

B . 100

C . 101

D . 102

、

、

3

解析： 由通项公式得 a 1 + a 100= a 2 + a ?9= a 3+ a 98 =••• = a 50 + a 51 = 0, a 1°1 = 101>0，故选 C. 答案：C

2. （2018昆明七校调研）在等比数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，若q = 2，且a ?与2a 4的等 差中项为18,则S 5=（ ）

A . 62

B . - 62 D . - 32

62,选 A.

答案：A

5

3. 已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1，且a 3, a °+ ?, an 成等比数列•若p -q = 10, 则 a

p

— a

q =

（ ）

A . 14

B . 15

C . 16

D . 17 5

解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意分析知d>0，因为a 3, a °+ ?, an 成等比数列， 所以 a 4 + 5 2 = a 3an ，即 §+ 3d 2= (1 + 2d) (1 + 10d)，即 44d — 36d — 45 = 0,所以 d =号 15谷土 I 才「、『 3n — 1 3

d =— 22舍去，所以 a n = — •所以 a p — a

q = ^(p — q)= 15. 答案：B 4.

已知数列｛a n ｝满足 a n + 2— a n +1= a n +1 — a n , n €

N *，且 a 5 =寸，若函数 f(x)= sin 2x + 2cos^, 记y n = f(a

n )，则数列｛y n ｝的前

9项和为( )

A . 0

B . — 9

C . 9

D . 1

C . 32

解析: 依题意得

a 2 + 2a 4= 36, q = 2，则 2a 1 + 16a 1 = 36,解得 a 1 = 2, 因此S 5 = 5

2X( 1 — 25

)_ 1-2 =

解析：由已知可得，数列｛a n｝为等差数列，f(x) = sin 2x+ cos x+ 1 ,「. f 2 = 1.

■/ f( —x) = sin(2 —2x) + cos(—x) + 1 = —sin 2x—cos x+ 1 ,「. f( —x) + f(x)= 2.

•' a i + a g = a 2 + a &=…=2a 5= n 二 f(a” + •••+ f(a 9)= 2 x 4 + 1 = 9,即数列｛y n ｝的前 9 项和为 9. 答案：C

a 2, a 4, a 8成等比数列，则｛a n ｝的前n 项和S n =( ) A . n(n + 1) C n

(n

J i

)

D .n (n

—

〔)

解析：因为a 2, a 4, a 8成等比数列，所以 a ：= a ? a 8,所以 佝+ 6)2=⑻+ 2)(印+ i4),解得 a i = 2.所

以 S n = na<| + “ i x 2 = n(n + i).故选 A. 答案：A

6.已知｛a n ｝是等差数列，a i = i ,公差d z 0, S n 为其前n 项和，若a i , a ?, 成等比数列,

贝U S ；3= ____ .

答案：64

7 •对于数列｛a n ｝，定义数列｛a n +1 — a n ｝为数列｛a n ｝的“差数列”，若a i = 2, ｛a n ｝的“差数列” 的通项公式为2n ，则数列｛ a n ｝的前n 项和S n = ______ .

解析：T a n +1 — a n = 2n , .•. a n = (a n — a n -1) + (a n -1 — a n -

2) + …+ (a 2— a i )+ a i = 2n 1+ 2n 2+…+ n n + 1

2 2— 2 n n 2— 2 n +1 22 + 2+ 2 = ---- + 2= 2n — 2 + 2 = 2n /. S n = --------- = 2n 1 — 2.

1 —

2 1 — 2

答案：2n +

1 — 2

&设S n 为等比数列｛ a n ｝的前n 项和.若a i = 1,且3S ,2S 2, S 3成等差数列，则a * = _______________ . 解析：由 3S i,2S 2, S 3 成等差数列，得 4S 2= 3S i + S 3,即 3S 2 — 3S i = S 3 — S 2,贝U 3a 2= a ?,得公

比 q = 3，所以 a n = a i q n 1 = 3n 1. 答案：3n

—1

9. 已知数列｛a n ｝的首项为1, S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n +i = qS n + 1,其中q>0 , n € N . (1)若a 2, a 3, a 2 + a 3成等差数列，求数列｛a *｝的通项公式；

2

⑵设双曲线X 2— y

2= 1的离心率为e n ,且e 2= 2,求e i + e 2+-+金

a n

解析：(1)由已知，S n +1 = qS n + 1 , S n + 2= qS n +1 + 1,两式相减得到 a n +2= qa n + i , n 》1. 又由 S 2= qS-i + 1 得到 a 2= qa 1,故 a n +

1 = qa n 对所有n > 1都成立.

所以数列｛a n ｝是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而 a n = q n 1.

由 a 2, a 3, a 2+ a 3 成等差数列，可得 2a 3= a ? + a ?+ a 3,

5.等差数列｛a n ｝的公差为2,若 B . n(n — 1)

解析：因为｛a n ｝为等差数列，且

a i , a 2, a 5成等比数列，所以 a i (a i + 4d) = (a i + d)2，解得d