江苏高二文科复习学案+练习14_对数与对数函数

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对数_对数函数复习教案

一．知识归纳一）对数1、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a即有：⇔=N a b )1,0(log ≠>=a a N b a题型一、指数与对数的互化练习1 把下列指数式写成对数形式：4611(1)5625;(2)2;(3) 5.73643m-⎛⎫=== ⎪⎝⎭练习2 把下列对数形式写成指数形式：12(1)log 164;(2)lg 0.012;(3)ln 10 2.303=-=-=2、性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a；3、恒等式：NaNa=log；b aba=log)1,0(≠>a a4、运算法则：NM MN aaalogloglog)1(+=NM NMaaalogloglog)2(-=Mn M analog log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>05、换底公式：)10,10,0(loglog log≠>≠>>=m m a a N aN N mm a且且二、题型讲解题型一．对数式的化简和运算例1 计算：练习求下列各式的值：练习、计算下列各式（1）12lg )2(lg5lg 2lg)2(lg222+-+⋅+（2）06.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++（4）用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：二）对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)的图象与性质：注意：研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制5. 函数y =的定义域是_____________6.方程0)2lg(lg 2=+-x x 的解集是___________________.7 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A42 B22 C41 D21例2、已知x,y ,z 为正数，满足zyx643==①求使2x=py 的p 的值， ②求与①中所求的p 的差最小的整数③求证：x zy1121-=④比较3x 、4y 、6z 的大小变式：已知a 、b 、c 均是不等于1的正数，且0111=++==zyxcbazyx，求abc 的值题型三、对数函数图像与性质的运用例3已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（）练习：比较下列各组中两个值的大小：（1）6log,7log 76；（2）8.0log,log23π例4．判断下列函数的奇偶性：（1）xxx f +-=11lg)(；（2）)1ln()(2x xx f -+=例4、已知不等式0)3(log )12(log 2<<+x x x x 成立，则实数x 的取值范围为（）A )31,0( B)21,0( C)1,31( D)21,31(题型四、指数、对数函数的综合问题例5.设a>0，xeax f +=)(是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数例6.设函数)(log )(2xx b a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f（1）求a,b 的值；（2）当[]2,1∈x 时，求)(x f 最大值备用(2011陕西卷理)已知函数()()0011>≥+++=a ，，x xax ln x f 其中()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()x f 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

江苏高二数学复习学案+练习14 对数与对数函数文试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校学案14 对数与对数函数一、课前准备：【自主梳理】 1．对数：〔1〕一般地，如果)1,0(≠>=a a N ax，那么实数x 叫做________________，记为________，其中a叫做对数的_______，N 叫做________．〔2〕以10为底的对数记为________，以e 为底的对数记为_______．〔3〕_____1log =a ，_____log =a a ．2．对数的运算性质：〔1〕如果0,0,1,0>>≠>N M a a，那么______log =MN a ，_______log ______,log ==n a aM NM．〔2〕对数的换底公式：)0,1,0_________(log >≠>=N a a N a ．3．对数函数：一般地，我们把函数____________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是______． 4．对数函数的图像与性质：【自我检测】 1．)12(log 2+=x y 的定义域为_________．2．化简：_________)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++．3．不等式1)1lg(<-x 的解集为________________．4．利用对数的换底公式计算：_______91log 81log 251log 532=⨯⨯． 5．函数xxx f +-=11lg)(的奇偶性是____________． 6．对于任意的),0(,21+∞∈x x ，假设函数x x f lg )(=，那么2)()(21x f x f +与)2(21x x f +的大小关系是___________________________．二、课堂活动：【例1】填空题：〔1〕_______5lg 38lg =+．〔2〕比较5log 2与8log 5的大小为___________．〔3〕如果函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=23,1,1)23(lg )(x x x x f ，那么)(x f 的最大值是_____________．〔4〕函数)1lg()(2x x x f -+=的奇偶性是___________．【例2】求函数)1,0)((log 2≠>-=a a x x y a 的定义域和值域．【例3】函数)(x f 满足)1,0(6log )3(222≠>-=-a a xx x f a ．〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕判断)(x f 的奇偶性；〔3〕解不等式)2(log )(x x f a ≥．课堂小结三、课后作业1．_______)2(lg 50lg 2lg 25lg 2=+•+．2．函数)3(log )1(x y x -=-的定义域为_______________．3．函数)176(log 221+-=x x y 的值域是_____________．4．假设153log <a ，那么a 的取值范围是_____________． 5．设,1.1,8.0log ,8.0log 7.01.17.0===c b a那么c b a ,,的大小关系是_____________．6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0),1lg(0,)(x x x x x f ，假设1)(>x f ，那么x 的取值范围为_________________． 7．当(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，那么a 的取值范围为______________．8．函数xx f 3log )(=在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，那么a b -的最小值为____________．9．)1,0(11log )(≠>-+=a a xxx f a．〔1〕求)(x f 的定义域；〔2〕判断)(x f 的奇偶性并予以证明；〔3〕求使0)(>x f 的x 的取值范围．10．对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，答复以下问题：〔1〕假设)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；〔2〕假设)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围；〔3〕假设函数)(x f 在[)+∞-,1内有意义，求实数a 的取值范围．四、纠错分析学案14 对数与对数函数一、课前准备：【自主梳理】 1．对数〔1〕以a 为底的N 的对数，Nx a log =，底数，真数．〔2〕N lg，N ln ．〔3〕0，1． 2．对数的运算性质〔1〕N M a alog log +，N M a a log log -,Mn a log ．〔2〕)1,0(log log ≠>b b aNb b ．3．对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a ，()+∞,0．4．对数函数的图像与性质【自我检测】 1．),21(+∞-2．45 3．)11,1(4．12- 5．奇函数 6．)2(2)()(2121x x f x f x f +≤+．二、课堂活动：【例1】填空题：〔1〕3．〔2〕8log 5log 52>．〔3〕0．〔4〕奇函数．【例2】解：由02>-x x 得10<<x ．所以函数)(log 2x x y a -=的定义域是〔0，1〕．因为4141)21(022≤+--=-<x x x ，所以，当10<<a 时，41log )(log 2a a x x ≥-，函数)(log 2x x y a -=的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41log a ；当1>a 时，41log )(log 2aa x x ≤-，函数)(log 2x x y a -=的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41log ,a．【例3】解：〔1〕)3(333log )3(222--+-=-x x x f a ，所以)33(33log )(<<--+=x x x x f a．〔2〕定义域〔-3，3〕关于原点对称，所以)(33log )33(log 33log )(1x f xxx x x x x f a a a-=-+-=-+=+-=--，所以)(x f 为奇函数．〔3〕x x x a a 2log 33log ≥-+，所以当1>a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+>>-+x x xx x x23302033解得(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃3,231,0当10<<a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+>>-+x xxx x x23302033解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1．三、课后作业 1．2． 2．())3,2(2,1 ． 3．(]3,-∞-．4．()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛,153,0． 5．b a c >>．6．()+∞,9． 7．(]2,1．8．32．9．解：〔1〕由011>-+xx得11<<-x ，函数的定义域为〔-1，1〕；〔2〕因为定义域关于原点对称，所以)(11log )11(log 11log )(1x f x xx x x x x f a a a-=-+-=-+=+-=--,所以函数是奇函数．〔3〕1log 11log a a x x>-+当1>a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>-+111011x x x x 解得()1,0；当10<<a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011xx xx解得)0,1(-．10．解：〔1〕由题可知0322>+-ax x 的解集是R ，所以012)2(2<--a ，解得()3,3-∈a〔2〕由题可知322+-ax x 取得大于0的一切实数，所以12)2(2≥--a ，解得(][)+∞⋃-∞-∈,33,a〔3〕由题可知0322>+-ax x在[)+∞-,1上恒成立，令32)(2+-=ax x x g⎩⎨⎧>--≤0)1(1g a 解得(]1,2--∈a 或012)2(2<--a 解得()3,3-∈a ，综上()3,2-∈a ．。

苏教版版高考数学一轮复习第二章函数对数与对数函数教学案

１．对数的概念如果a x＝N（a＞0且a≠１），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．２．对数的性质、换底公式与运算性质（１）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（２）换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．（３）对数的运算性质：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．３．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫做对数函数图象a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数４．反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R，m≠0．２．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（）（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图象不在第二、三象限．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[（log２9）·（log３４）＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝４．故选Ｄ．]Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞bD[因为0＜a＜１，b＜0，c＝log错误!错误!＝log２３＞１．所以c＞a＞b.故选Ｄ．]３．函数y＝的定义域是________．[由（２x—１）≥0，,得0＜２x—１≤１．,∴错误!＜x≤１．,∴函数y＝的定义域是.]４．函数y＝log a（４—x）＋１（a＞0，且a≠１）的图象恒过点________．（３,１）[当４—x＝１即x＝３时，y＝log a１＋１＝１．,所以函数的图象恒过点（３,１）．]考点１对数式的化简与求值对数运算的一般思路（１）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（２）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１．设２a＝５b＝m，且错误!＋错误!＝２，则m等于（）Ａ．错误!Ｂ．１0Ｃ．２0 Ｄ．１00A[由已知，得a＝log２m，b＝log５m，,则错误!＋错误!＝错误!＋错误!,＝log m２＋log m５＝log m １0＝２．,解得m＝错误!.]２．计算：错误!÷１00错误!＝________.—２0 [原式＝（lg ２—２—lg ５２）×１00错误!＝lg错误!×１0＝lg １0—２×１0＝—２×１0＝—２0．]３．计算：错误!＝________.１[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点２对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法（１）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（２）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．（１）（２0１9·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y＝错误!，y＝log a（a ＞0，且a≠１）的图象可能是（）A BC D（２）当0＜x≤错误!时，４x＜log a x，则a的取值范围是（）Ａ．0，错误!Ｂ．错误!，１Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（错误!，２）（１）D（２）B[（１）对于函数y＝log a，当y＝0时，有x＋错误!＝１，得x＝错误!，即y＝log a的图象恒过定点错误!，0，排除选项A、C；函数y＝错误!与y＝log a在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选Ｄ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a＞１时不满足条件，当0＜a＜１时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即２＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为.][母题探究]１．（变条件）若本例（２）变为：若不等式x２—log a x＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．[解] 由x２—log a x＜0得x２＜log a x，设f１（x）＝x２，f２（x）＝log a x，要使x∈时，不等式x２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝x２在上的图象在f２（x）＝log a x图象的下方即可．当a ＞１时，显然不成立；当0＜a＜１时，如图所示．要使x２＜log a x在x∈上恒成立，需f１≤f２，所以有错误!≤log a错误!，解得a≥错误!，所以错误!≤a＜１．即实数a的取值范围是.２．（变条件）若本例（２）变为：当0＜x≤错误!时，错误!＜log a x，求实数a的取值范围．[解] 若错误!＜log a x在x∈成立，则0＜a＜１，且y＝错误!的图象在y＝log a x图象的下方，如图所示，由图象知错误!＜log a错误!，所以解得错误!＜a＜１．即实数a的取值范围是.１．（２0１9·合肥模拟）函数y＝ln（２—|x|）的大致图象为（）,A BC DA[令f（x）＝ln（２—|x|），易知函数f（x）的定义域为{x|—２＜x＜２}，且f（—x）＝ln（２—|—x|）＝ln（２—|x|）＝f（x），,所以函数f（x）为偶函数，排除选项C，Ｄ．,当x＝错误!时，f错误!＝ln 错误!＜0，排除选项B，故选Ａ．]２．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠１）的图象如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a＞１，c＞１Ｂ．a＞１,0＜c＜１Ｃ．0＜a＜１，c＞１Ｄ．0＜a＜１,0＜c＜１D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜１,0＜c＜１．]３．设方程１0x＝|lg（—x）|的两个根分别为x１，x２，则（）Ａ．x１x２＜0 Ｂ．x１x２＝0Ｃ．x１x２＞１Ｄ．0＜x１x２＜１D[作出y＝１0x与y＝|lg（—x）|的大致图象，如图．显然x１＜0，x２＜0．不妨令x１＜x２，则x１＜—１＜x２＜0，所以１0x１＝lg（—x１），１0x２＝—lg（—x２），此时１0x１＜１0x２，即lg（—x１）＜—lg（—x２），由此得lg（x１x２）＜0，所以0＜x１x２＜１，故选Ｄ．]考点３对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的３个关注点（１）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．（２）底数与１的大小关系．（３）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小（１）（２0１9·天津高考）已知a＝log５２，b＝log0．５0．２，c＝0．５0．２，则a，b，c 的大小关系为（）Ａ．a＜c＜bＢ．a＜b＜cＣ．b＜c＜aＤ．c＜a＜b（２）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（１）A（２）D[（１）因为a＝log５２＜log５错误!＝错误!，b＝log0．５0．２＞log0．５0．５＝１，c＝0．５0．２＝错误!错误!＞错误!，0．５0．２＜１，所以a＜c＜b，故选Ａ．（２）因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c ＞a＞b，故选Ｄ．]对数值大小比较的主要方法（１）化同底数后利用函数的单调性．（２）化同真数后利用图象比较．（３）借用中间量（0或１等）进行估值比较．解简单对数不等式（１）若log a错误!＜１（a＞0且a≠１），则实数a的取值范围是________．（２）若log a（a２＋１）＜log a２a＜0，则a的取值范围是________．（１）错误!∪（１，＋∞）（２）错误![（１）当0＜a＜１时，log a错误!＜log a a＝１，∴0＜a＜错误!；当a＞１时，log a错误!＜log a a＝１，∴a＞１．∴实数a的取值范围是错误!∪（１，＋∞）．（２）由题意得a＞0且a≠１，故必有a２＋１＞２a，又log a（a２＋１）＜log a２a＜0，所以0＜a＜１，同时２a＞１，所以a＞错误!.综上，a∈错误!.]对于形如log a f（x）＞b的不等式，一般转化为log a f（x）＞log a a b，再根据底数的范围转化为f（x）＞a b或0＜f（x）＜a b.而对于形如log a f（x）＞log b g（x）的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f（x）＝log a（３—ax）．（１）当x∈[0,２]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（２）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]（１）因为a＞0且a≠１，设t（x）＝３—ax，则t（x）＝３—ax为减函数，x∈[0,２]时，t（x）的最小值为３—２a，当x∈[0,２]时，f（x）恒有意义，即x∈[0,２]时，３—ax＞0恒成立．所以３—２a＞0．所以a＜错误!.又a＞0且a≠１，所以a∈（0,１）∪错误!.（２）t（x）＝３—ax，因为a＞0，所以函数t（x）为减函数．因为f（x）在区间[１,２]上为减函数，所以y＝log a t为增函数，所以a＞１，当x∈[１,２]时，t（x）最小值为３—２a，f（x）最大值为f（１）＝log a（３—a），所以错误!即错误!故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与１的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．１．已知函数f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，４] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．[—４,４] Ｄ．（—４,４]D[令g（x）＝x２—ax＋３a，因为f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，所以函数g（x）在区间[２，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以错误!a≤２且g（２）＞0，所以a≤４且４＋a＞0，所以—４＜a≤４．故选Ｄ．]２．函数y＝log a x（a＞0且a≠１）在[２,４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝________.２或错误![分两种情况讨论：１当a＞１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0＜a＜１时，有log a２—log a４＝１，解得a＝错误!.所以a＝２或错误!.]３．设函数f（x）＝若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是________．（—１,0）∪（１，＋∞）[由题意得错误!或解得a＞１或—１＜a＜0．]。

学案高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.2_3.2.1对数练习苏教版必修4

3.2 对数函数 3.2.1 对数A 级基础巩固1．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析：由log 2(log 3x )＝0，得log 3x ＝1，则x ＝3. 同理y ＝4，z ＝2.所以x ＋y ＋z ＝3＋4＋2＝9. 答案：A2．已知log 2x ＝3，则x －12等于( ) A.13 B.123 C.133D.24 解析：因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8. 则x －12＝8－12＝18＝24. 答案：D3．log 242＋log 243＋log 244等于( ) A ．1 B ．2 C ．24 D.12解析：log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 答案：A4．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38解析：log 916·log 881＝lg 24lg 32·lg 34lg 23＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83. 答案：C5．若lg x ＝a ，lg y ＝b ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( )A.12a －2b －2 B.12a －2b ＋1 C.12a －2b －1 D.12a －2b ＋2 解析：原式＝12lg x －2lg y 10＝12lg x －2(lg y －1)＝12a －2(b －1)＝12a －2b ＋2.答案：D6．对数式lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18的化简结果为( )A ．1B ．2C ．0D ．3解析：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.答案：C7．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________．解析：因为log 2(1－2x )＝1＝log 22，所以1－2x ＝2.所以x ＝－12.经检验满足1－2x ＞0. 答案：－128．若x ＞0，且x 2＝916，则x log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝________．解析：由x ＞0，且x 2＝916.所以x ＝34.从而xlog 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝34log 34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝43. 答案：439．已知m ＞0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：因为lg(10m )＋lg 1m＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10m ·1m ＝lg 10＝1，所以10x＝1，得x ＝0. 答案：010．若log a b ·log 3a ＝4，则b ＝________．解析：因为log a b ·log 3a ＝log 3blog 3a·log 3a ＝log 3b ，所以log 3b ＝4，b ＝34＝81. 答案：8111．设log a 3＝m ，log a 5＝n .求a 2m ＋n的值．解：由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5，所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.12．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 22； (2)lg 23－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1 000）lg 0.3·lg 1.2.解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋lg 22＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)原式＝lg 23－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝（1－lg 3）·32（lg 3＋2lg 2－1）（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝－32.B 级能力提升13．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：因为lg 10＝1，ln e ＝1, 所以①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错；由e ＝ln x 得x ＝e e，故④错．答案：C14．已知2x＝3，log 4 83＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 解析：由2x＝3，得x ＝log 23，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2×log 283log 24＝log 23＋log 283＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3×83＝log 28＝3.答案：A15．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍．解析：由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4. 设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝1032×9＋11.41032×8＋11.4＝1032＝1010. 即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍．答案：101016．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1，求x ·y 34的值．解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1. 所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.由于log 4(log 2y )＝1，知log 4y ＝4，所以y ＝24＝16.因此x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.17．一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)?解：设经过x 年，这台机器的价值为8万元，则8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4. 两边取以10为底的对数，得x ＝lg 0.4lg 0.912 5＝lg 4－1lg 9.125－1＝2lg 2－1lg 9.125－1≈10(年)．所以约经过10年这台机器的价值为8万元．18．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18；乙写错了常数c ，得两根12，64.求这个方程的真正根．解：原方程变形为(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.① 由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18.所以c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，所以b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故方程①为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0，解得log 2x ＝2或log 2x ＝3，所以x ＝22或x ＝23.所以，这个方程的真正根为x ＝4或x ＝8.。

2020江苏高考数学一轮复习学案：第14课__对数函数含解析

____第14课__对__数__函__数____1. 理解对数函数的定义、图象和性质．2. 能用对数函数的性质比较两个对数的大小．3. 能用对数函数的图象和性质;解决简单的综合性问题.1. 阅读必修1第81～87页，完成以下任务：(1) 对数函数的概念是什么？通过第83页例1，掌握求对数函数定义域的方法． (2) 对数函数的图象和性质是怎样的？通过第83页例2，掌握比较对数大小的方法． (3) 通过第84～85页例3、例4，掌握对数函数图象的变换．2. 由重点题目第87页习题第8、14题进一步观察和探究对数函数的图象和性质.基础诊断1. 函数y ＝log 2(－2)的定义域是__(0，1)__，值域是__(－∞，－2]__，单调增区间是__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2__．解析：由题意得，－2>0，解得0<<1，故函数y ＝log 2(－2)的定义域为(0，1)；因为y ＝log 2(－2)＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤log 214＝－2，所以函数的值域为(－∞，－2]；因为y ＝log 2t 是单调增函数，所以函数g()＝－2的增区间即为原函数的增区间．因为g()＝－2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，故原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2. 函数f()＝1－2log 6x 的定义域为．解析：由题意得⎩⎨⎧x>0，1－2log 6x ≥0，解得0<≤6，故函数f()的定义域为(0，6]．3. 若－1<log a 34<1，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞__．解析：由－1<log a 34<1得log a 1a <log a 34<log a a.若0<a<1，则函数y ＝log a 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >34>a ，解得0<a<34；若a>1，则函数y ＝log a 在(0，＋∞)上单调递增，所以1a <34<a ，解得a>43. 综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞.4. 已知a ∈R ，函数f ()＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ，若关于的方程f ()＋log 22＝0的解集中恰有一个元素，则a 的值为__－14或0__．解析：由题意得log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 22＝0，即log 2(a 2＋)＝0，即a 2＋－1＝0.当a ＝0时，解得＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，a 的值为0或－14.范例导航考向❶ 含对数式的大小比较例1 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4，log 28.5； (2) log 0.31.8，log 0.32.7；(3) log a 5.1，log a 5.9(a>0，且a ≠1)．解析：(1) 根据函数y ＝log 2单调递增可得log 23.4<log 28.5. (2) 根据函数y ＝log 0.3单调递减可得log 0.31.8>log 0.32.7. (3) 函数y ＝log a 的单调性需分两种情况讨论： ①当0<a<1时，函数y ＝log a 单调递减，所以log a 5.1>log a 5.9；②当a>1时，函数y ＝log a 单调递增，所以log a 5.1<log a 5.9.比较下列各组数的大小． (1) log 323与log 565；(2) log 1.10.7与log 1.20.7；(3) 已知log 12b<log 12a<log 12c ，比较2a ，2b ，2c 的大小．解析：(1) 因为log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0，所以log 323<log 565.(2) 方法一：因为0<0.7<1，1.1<1.2，所以0>log 0.71.1>log 0.71.2，所以1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二：作出y ＝log 1.1与y ＝log 1.2的图象，如图所示，由两图象与直线＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(3) 因为y ＝log 12为减函数，且log 12b<log 12a<log 12c ，所以b>a>c.考向❷ 对数函数的图象(变换)与性质例2 已知函数f()＝log a (a>0且a ≠1)，若对于任意的∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f()|≤1成立，试求a 的取值范围．解析：因为f()＝log a ，则y ＝|f()|的图象如图所示．由图可知，要使∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f()|≤1,只需|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，a －1≤13≤a ，解得a ≥3；当0<a<1时，a －1≥13≥a ，解得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．(1) 已知函数f()＝|lg |，若0<a1，所以lg a<0，lg b>0.又因为f(a)＝f(b)，所以－lg a ＝lg b ，即ab ＝1，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a在区间(0，1)上单调递减，所以μ>3，即a ＋2b>3.(2) 已知函数f()＝log a ||在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)__<__f(a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”) 解析：因为f()＝log a ||在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a ＋1>2.因为f()是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a ＋1).考向❸ 对数函数的图象与性质的综合运用例3 已知函数f()＝log a (＋1)－log a (1－)，a>0且a ≠1. (1) 求f()的定义域；(2) 判断f()的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f()>0的的解集．解析：(1) 由题意得⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<<1. 故所求函数f()的定义域为{|－1<<1}． (2) 由(1)知f()的定义域为{|－1<<1}，且f(－)＝log a (－＋1)－log a (1＋)＝－[log a (＋1)－log a (1－)]＝－f()，故f()为奇函数．(3) 因为当a>1时，f()在定义域{|－1<<1}上是增函数，所以由f()>0，得x ＋11－x >1，解得0<<1，所以使f()>0的的解集是{|0<<1}．自测反馈1. 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为__a>b>c__．解析：a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b<1，c ＝12log 32<12，所以a>b>c.2. 已知函数f()＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a ＝__－2__．解析：依题意有f(－)＋f()＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax 1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax1＋2x ＝1，故1－a 22＝1－42，所以a 2＝4.又a ≠2，故a ＝－2.3. 已知函数f()满足：当≥4时，f()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当<4时，f()＝f(＋1)，则f(2＋log 23)的值为__124__．解析：因为1<log 23<2，所以3<2＋log 23<4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)，因为4<3＋log 23<5，所以f(3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×2log 23－1＝18×13＝124.4. 定义在R 上的偶函数f ()在[0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f ⎝⎛⎭⎫log 18x >0的的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)__．解析：由题意得，f (log 18)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，因为f ()为R 上的偶函数且在[0，＋∞)上单调递增可得，log 18>13或log 18<－13，解得0<<12或>2，故的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．1. 对数函数的底数与真数应满足的条件必须重视，对于含参数问题，一般都需分类讨论．2. 比较对数大小时，先与0比较分正负；正数与1比较，分大于1还是小于1.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用．3. 你还有哪些体悟，写下;：。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解14---对数与对数函数

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________．解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c 1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c 0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1，所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________．解析：由于a >0，且a ≠1，所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数，所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正，所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 30.7＝a >1，所以c <a 32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1，根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1，当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去，当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根．设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18，解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。

第04讲对数与对数函数(含对数型糖水不等式的应用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第04讲对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.熟练掌握对数函数x y a log =0(>a 且)1≠a 与指数函数x a y =0(>a 且)1≠a 的图象关系【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习1.对数的运算（1）对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作N x a log =，其中叫做对数的底数，叫做真数（2）对数的分类一般对数：底数为，，记为N a log 常用对数：底数为10，记为，即：xx lg log 10=自然对数：底数为e （e ≈2.71828…），记为，即：x x e ln log =（3）对数的性质与运算法则①两个基本对数：①01log =a ，②1log =a a ②对数恒等式：①N a N a =log ，②N a Na =log 。

③换底公式：aba b a b b c c a ln ln lg lg log log log ===；推广1：对数的倒数式ab b a log 1log =1log log =⋅⇒a b b a 推广2：d d c b a c b a c b a c b a log log log log 1log log log =⇒=。

④积的对数：()N M MN a a a log log log +=；(01)xa N a a =>≠且x a N a N a 0,1a a >≠且lg N ln N⑤商的对数：N M NMa a alog log log -=；⑥幂的对数：❶b m b a ma log log =，❷b nb a a n log 1log =，❸b n mb a ma n log log =，❹mna ab b nm log log =2.对数函数（1）对数函数的定义及一般形式形如：()0,10log >≠>=x a a x y a 且的函数叫做对数函数（2）对数函数的图象和性质图象定义域：()∞+,0值域：R当1=x 时，0=y 即过定点()0,1当时，；当时，当时，；当时，性质在()∞+,0上为增函数（5）在()∞+,0上为减函数3.对数型糖水不等式(1) 设 n N +Î, 且 1n >, 则有 12log log (1)n n n n ++<+ (2) 设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()a a m b b m +<+(3) 上式的倒数形式：设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()b b ma a m +>+1．（2024·重庆·三模）已知2log 5,85ba ==，则ab =．1a >01a <<01x <<(,0)y Î-∞1x >(0,)y Î+∞1x >(,0)y Î-∞01x <<(0,)y Î+∞2．（2024·青海·模拟预测）若3log 5a =，56b =，则3log 2ab -=（）A ．1B ．－1C ．2D ．－23．（2024·四川·模拟预测）若实数m ，n ，t 满足57m n t ==且112m n+=，则t =（）A．B ．12CD1．（2024·河南郑州·三模）已知log 4log 4a b b a +=，则22a b 的值为．2．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．3．（2024·辽宁丹东·一模）若23a=，35b =，54c =，则4log abc =（）A ．2-B ．12CD ．11．（2024·河南·三模）函数()f x = ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数()lg(21)f x x =-的定义域是（）A ．1,2æö-∞ç÷èøB ．1,2æö+∞ç÷èøC ．1,2æù-∞çúèûD ．1,2éö+∞÷êëø2．（2024·青海海南·二模）函数()2lg 10()x f x x-=的定义域为（）A．(B．(,)-∞+∞U C．[D．(È1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y ＝log ax ；② y ＝log bx ；③ y ＝log cx ；④ y ＝log dx 的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A ．a ＋c ＜b ＋aB ．a ＋d ＜b ＋cC ．b ＋c ＜a ＋dD ．b ＋d ＜a ＋c2．（2024·广东深圳·二模）已知0a >，且1a ≠，则函数1log a y x a æö=+ç÷èø的图象一定经过（）A ．一、二象限B ．一、三象限C ．二、四象限D ．三、四象限3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线240mx ny +-=（0m >，0n >）过函数()log 12a y x =-+（0a >，且1a ≠）的定点T ，则26m n+的最小值为 .1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝1x a，y ＝log a （x ＋12）（a ＞0，且a ≠1）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024·全国·模拟预测）若函数()log 21(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象所过定点恰好在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则m n +的最小值为 .1．（辽宁·高考真题）函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为（）A ．52，æö+∞ç÷èøB ．(3)+∞，C ．52æö-∞ç÷èø，D ．()2-∞，2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数()ln(2)f x ax =+在区间(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．a<0B ．10a -£<C ．10a -<<D ．1a ³-3．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ì---<=í++³î在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞4．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数()()2lg 1f x x ax =++在区间(),2-∞-上单调递减，则a 的取值范围为．2．（2022高三·全国·专题练习）函数()()215log 232f x x x =-++的单调递减区间为．3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知()()312,1log ,1a a x a x f x x x ì-+£=í>î是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为．1．（山东·高考真题）函数2()log 31()xf x =+的值域为（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数()()2lg 65f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是 .3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数()[]212log 2,2,6y x x x =+-Î的最大值为 .1．（2024高三·全国·专题练习）函数()[]ln ,1,e f x x x x =+Î的值域为．2．（2023高一·全国·课后作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2log 14f x x x =££，则函数()()()221g x f x f x éù=++ëû的值域为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数)2()log f x x =-是奇函数，则=a.2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数()()(e e ln 1x x m n f x x -=-++（m ，n 为常数）在[]1,3上有最大值7，则函数()f x 在[]3,1--上（）A ．有最小值5-B ．有最大值5C ．有最大值6D ．有最小值7-3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数()21log 1f x a b x æö=-+ç÷+èø，若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则log a b =（）A ．-3B ．-2C ．12-D ．13-1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数())3ln3f x x x =--+，[2023,2023]x Î-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .2．（2024·宁夏银川·二模）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则b = ．1．（2024·天津·高考真题）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b æö=ç÷èø，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>3．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<4．（2021·全国·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b1．（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设3log 4a =，0.8log 0.7b =，511.02c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．c<a<b5．（2024·山西·二模）设202310121011a æö=ç÷èø，202510131012b æö=ç÷èø，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>1. 比较大小: 7log 4 与 9log 6？2．（2024·重庆·模拟预测）设2024log 2023a =，2023log 2022b =，0.2024log 0.2023c =，则（）A ．c<a<b B ．b<c<a C ．b a c<<D ．a b c<<一、单选题1．（2024·河北衡水·三模）已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x ìü==-£-£íýîþ，，则A B =I （）A ．11510x x ìü££íýîþB ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310x x ìü££íýîþ2．（2024·贵州贵阳·三模）已知()()40.34444,log ,log log a b a c a ===，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c a b>>3．（2024·天津滨海新·三模）已知2log 0.42a =，0.4log 2b =，031log 0.4c =.，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．a c b>>4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，22()log 13f x x =-，则(f =（）A ．59B ．59-C ．49D ．49-5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线4x =与函数()()12log (1),log a f x x a g x x =>=分别交于,A B 两点，且3AB =，则函数()()()h x f x g x =+的解析式为（）A ．()2log h x x =-B ．()4log h x x =-C ．()2log h x x=D ．()4log h x x=6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．67．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且当(2,0)x Î-时，2()log (3)f x x =+，则(2021)(2024)f f -=（）A ．1B ．1-C ．21log 3-D ．21log 3--二、填空题8．（2024·湖北·模拟预测）若函数()()()2ln e R x f x a x x =--Î为偶函数，则=a.9．（2024·吉林·模拟预测）若函数()ln(1)f x ax =+在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为．10．（2024·四川成都·三模）函数()ln 2m x f x x -=+的图象过原点，且()()e e 2x x g x f x m l l --=++，若()6g a =，则()g a -=.一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数()ln ||f x x a =-在区间(2,3)上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[3,)+∞2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数()()()2e 1ln 2013mx f x m x+=->-是定义在区间(),a b 上的奇函数，则实数b 的取值范围是（）A ．(]0,9B ．(]0,3C ．20,3æùçúèûD ．10,3æùçúèû3．（2024·河北·三模）已知(),,1,a b c Î+∞，8ln ln10a a =，7ln ln11b b =，6ln ln12cc =，则下列大小关系正确的是（）A ．c b a>>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．c a b>>4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数41()log (41)2xf x x =+-，若(1)(21)-£+f a f a 成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2]-∞-B ．(,2][0,)-∞-È+∞C ．4[2,]3-D ．4(,2][,)3-∞-+∞U 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知7ln 5a =，2cos 5b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()13,4443log (4)1,4a x x f x x x ì-£ïï-=íï->ïî是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B．(C．(D ．()1,37．（2024·河北衡水·模拟预测）设0,1a a >≠，若函数())23log 1a x a f x a x a æö-=+ç÷-èø是偶函数，则=a （）A ．12B ．32C ．2D ．38．（2024·湖北黄冈·二模）已知a b c d ,,,分别满足下列关系：1715161731615,log 16,log ,tan 162a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．a b c d<<>，且1³ab ，则下列关系式一定成立的为（）A ．()()b f a bf a =B ．()()()f ab f a f b =+C ．()()a f f a f b b æö³-ç÷èøD ．()()()ln2f a b f a f b +<++三、填空题10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0m >，0n >，则91m n +的最小值为．1．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．2．（2024·全国·高考真题）设函数()()ln()f x x a xb =++，若()0f x ³，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．13．（2023·北京·高考真题）已知函数2()4log x f x x =+，则12f æö=ç÷èø．4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp p L p =´，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060:电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ³B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p £5．（2022·天津·高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．66．（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3a b ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．537．（2022·全国·高考真题）若()1ln 1f x a b x ++-=是奇函数，则=a ，b = ．8．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 109．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 满足5lg LV =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） 1.259»）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.610．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b。

基本初等函数之对数与对数函数,附练习题

对数与对数函数（讲义）知识点睛一、对数与对数的运算1.对数（1）如果x a N =(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =⇔log a x N =．（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．2.对数的运算性质（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么①log ()log log a a a M N M N ⋅=+；②log log log aa a MM N N=-；③log log ()n a a M n M n =∈R ．（2）换底公式：log log log c a c bb a=(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．（3）log (010)a b a b a a b =>≠>，；．二、对数函数及其性质1.定义：一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．2.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质：0<a <1a >1图象定义域(0，+∞)值域R性质①过定点(1，0)，即x =1时，y =0②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数3.对数函数底数变化与图象分布规律1log a y x =；②log b y x =；③log c y x =；④log d y x =，则有0>>．4.反函数对数函数与指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．精讲精练1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）32=8_______________；（2）415625-=_______________；（3）13127=3-_______________；（4）lg 0.0013=-_____________；（5）0.3log 2=a _____________；（6）ln x =_____________．2.求下列各式的值．（1）43log (927)⨯（2）1lg lg 4lg 52++（3）661log 12log 2-（4）22333399(log 2)(log )log log 422++⋅（5）2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅（6）48525(log 5log 5)(log 2log 2)++3.已知234log [log (log )]0x =，则x 的值为_________．4.已知3485log 4log 8log log 25m ⋅⋅=，那么m 的值为（）A ．9B ．18C ．12D ．275.已知4823log 3x y ==，，则x +2y 的值为（）A ．3B ．8C ．4D ．log 486.已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =（）A ．17B ．72C ．108D ．317.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy的值为_________．8.设lg a ，lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个实根，则2(lg )ab的值等于（）A ．2B ．12C ．4D ．149.已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b +=_____．10.下列函数表达式中是对数函数的是（）A ．0.01log (0)y x x =>B ．22log y x =C ．2log (2)(2)y x x =+>-D ．2ln(1)y x =+11.若点(a ，b )在lg y x =图象上，且a ≠1，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ，B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )12.若函数log ()a y x b =+(a >0，a ≠1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2，b =2B ．2a b ==C ．a =2，b =1D ．a b ==13.直接写出下列函数的定义域：311log (2)_______________2345log (3)_______________16_______________ln(1)x y x y y y y x y x -=-====-=+=+（）；（）；（）；（）；（）；（）．14.已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12[log (3)]y f x =-的定义域是_____________．15.函数212log (613)y x x =++的值域为（）A ．RB ．[8，+∞)C ．(-∞，-2]D ．[-3，+∞)16.函数log a y x =在区间[2，π]上最大值比最小值大1，则a =__________．17.下列判断不正确的是（）A ．22log 3.4log 4.3D ．30.3log log 4π<18.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度19.函数21log (01)1a x y a a x +=>≠-，的图象过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．(1，0)B ．(-2，0)C ．(2，0)D ．(-1，0)20.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-(a >0，且a ≠1)．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．21.设a ，b ∈R 且a ≠2，定义在区间(-b ，b )上的函数1()lg12axf x x+=+满足：()()0f x f x +-=．（1）求实数a 的值；（2）求b 的取值范围．22.已知关于x 的方程212log 210x a x ⋅--=有实数根，求a 的取值范围．23.已知函数2log [(21)]a y x a x a =--+的定义域为R ，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．（1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33=-；（4）3100.001-=；（5）0.32a =；（6）e x =2．（1）11；（2）1；（3）12；（4）4；（5）1；（6）543．644．A 5．A 6．B 7．48．A 9．210．A 11．D 12．A13．（1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(0；（5）(12)(23)⋃，，；（6）(10)(02]-⋃，，14．5[22，15．C16．2π或2π17．D18．C 19．B20．（1）(-1，1)；（2）偶函数，证明()()()()f x g x f x g x -+-=+21．（1）2a =-；（2）102b ≤<22．02a ≤<23．33(11)(1122，-⋃+对数与对数函数（随堂测试）1.函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0，+∞)，则正实数a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．42.求函数2log (4)(01)a y x x a a =->≠，且的单调递减区间．【参考答案】1.B2.当01a <<时，f (x )的单调递减区间为(0，2]；当1a >时，f (x )的单调递减区间为[2，4)对数与对数函数（作业）1.求下列各式的值．（1）lg +（2）553log 10log 0.125+（3）22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅（4）22lg 5lg83+（5）20321log log ()52-+-（6）231lg 25lg 2lg log 9log 22+-⨯2.下列对数运算中，一定正确的是（）A ．lg()lg lg M N M N +=⋅B ．ln ln n M n M =C ．lg()lg lg M N M N⋅=+D ．lg log lg a b b a=3.已知3log 2a =，那么33log 22log 6-用a 表示是（）A ．5a -2B ．-a -2C ．3a -(1+a )2D ．3-a 2-14.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c+=+5.已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y⋅=+D ．lg()lg lg 222x y x y⋅=⋅6.设方程22(lg )lg 30x x --=的两实根是a ，b ，则log log a b b a +等于（）A ．1B ．-2C ．-4D ．103-7.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．5a >或2a <B ．23a <<或35a <<C ．25a <<D ．34a <<8.函数()ln1xf x x =+-的定义域为（）A ．(0，+∞)B ．(1，+∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)9.已知函数12()2log f x x =的值域为[-1，1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．22B ．[11]-，C ．1[2]2，D ．2(])2-∞⋃∞，+10.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>11.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>12.函数12log 2y x =+的单调增区间为（）A ．()-∞∞，+B ．(2)-∞-，C ．(2)-∞+，D ．(2)(2)-∞-⋃∞，，+13.若函数log (01)a y x a =<<在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A ．22B ．24C ．12D ．1414.函数log (2)5a y x =-+过定点（）A ．(1，0)B ．(3，1)C ．(3，5)D ．(1，5)15.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．16.设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠，在()-∞+∞，上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．17.已知函数e 1(1)()ln (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则(ln 2)f 的值为_________．18.函数12log (1)()2(1)x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域是_________________．19.已知13log 2a =，0.62b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为_____________．20.给出下列命题：12log 2log a a x x =；2函数2log (1)y x =+是对数函数；3函数1ln1xy x+=-与ln(1)ln(1)y x x =+--的定义域相同；4若log log a a m n <，则m n <．其中正确的命题是_________．21.已知函数()f x 在[0)+∞，上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，求x 的取值范围．22.设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，求实数a 的取值范围．23.已知函数3()2log f x x =+(1≤x ≤9)，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值．【参考答案】24．（1）1；（2）3；（3）1；（4）2；（5）4；（6）12-25．D26．B27．B28．D29．D30．B31．B32．A33．D34．C35．B36．B37．C38．A39．C40．141．(2)-∞，42．a <c <b43．③44．11010x <<45．1a >或10a -<<46．22阅读材料反函数趣谈在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，同学们思考一下，x 是不是y 的函数？在指数函数2x y =中，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =．这样，对于任意一个(0)y ∈+∞，，通过式子2log x y =，在R 中都有唯一确定的x 和它对应．此时，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =((0))y ∈+∞，是函数2x y =()x ∈R 的反函数．注意到，在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是函数，但是习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们对调函数2log x y =中的字母，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是指数函数2x y =()x ∈R 的反函数．由前面的讨论可知，指数函数2x y =()x ∈R 与对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数log (01)a y x a a =>≠，且和指数函数x y a =(01)a a >≠，且互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个(0)y ∈+∞，，都有唯一确定的2log x y =和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y 只有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素y ，通过对应法则y=f (x )存在着一一对应关系．清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．通过画出指数函数2x y =与对数函数2log y x =的图象后，我们发现它们是关于直线y=x 对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x 对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f (x )=C （C 为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数10110x xy =+，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由10110x x y =+得到(110)10x x y +=，解得101x y y =-，反函数即为lg 1y x y =-，反函数的定义域为原函数的值域，也就是01y y >-，原函数的值域即为(01)，．练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A ．22y x x=+B ．||y x =C ．2lg y x =D ．11y x =-2.函数21x y =-的反函数为_____________．3.已知函数1212x x y -=+，求它的值域．【参考答案】1.D2.2log (1)y x =+3.(-1，1)。

2023届新高考一轮复习苏教版第2章第4节对数与对数函数学案

对数与对数函数[考试要求]1.理解对数的概念及运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)．(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nm log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b . ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 二、教材习题衍生1．log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6D [原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6.] 2．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [由log 23(2x －1)≥0，得0＜2x －1≤1. ∴12＜x ≤1. ∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.]3．比较下列各组中两个值的大小，用“>、<、≤、≥”连接． (1)ln 0.3________ln 2； (2) log 30.2________log 40.2； (3)log 3π________log π3.(1)< (2)< (3)> [(1)因为函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2.(2)因为0>log 0.23>log 0.24，所以1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2.(3)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π>3，所以log 3π>log 33＝1.同理，1＝log ππ>log π3，所以log 3π>log π3.] 4．若log a 23<1，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [当a >1时，满足条件；当0<a <1时，由⎩⎨⎧0 < a < 1，log a 23 <log a a ，得0<a <23，综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]考点一对数的运算1．若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝ ( ) A ．－1 B ．lg 7 C ．1D ． log 710C [∵2a ＝5b ＝10， ∴log 210＝a ，log 510＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110C [由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H ＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg 1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg 13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ．]3．计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________. 4 [原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.]4．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 4 2 [设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2或12(舍)，即log b a ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4.]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.提醒：a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．考点二对数函数的图象及应用[典例1] (1)(多选)若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0，且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )A BC D(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(1)AD (2)B [(1)易知g (x )＝log a |x |为偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递减，此时A 选项符合题意．当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意．故选AD ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时，不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.] [母题变迁]将本例(2)中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，a 的取值范围是________． ⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 的图象和函数y＝log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22.]利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]1．(1)(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1B ．0＜c ＜1C ．0＜a ＜1D ．c ＞1(2)设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝ln x 1，e －x 2＝ln(x 2＋1)，e －x3＝lg x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3(1)BC (2)D [(1)由图象可知函数为减函数，所以0＜a ＜1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0＜1－c ＜1，∴0＜c ＜1.(2)画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示，由图象直观性，知x 2<x 1<x 3.] 考点三对数函数的性质及应用比较大小[典例2－1] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b(1)C (2)C [(1)∵a ＝log 52＜log 42＝12＝c ，b ＝log 83＞log 93＝12＝c ，故a ＜c ＜b ，故选C ．(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C ．]解与对数有关的不等式[典例2－2] (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若正实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2](2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(1)C (2)C [(1)因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)内单调递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ． (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.故选C ．]对数函数性质的综合应用[典例2－3] (1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )＝lg(x 2－4x －5)在(a ，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则()A．f(x)在(2,6)上单调递增B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2C．f(x)在(2,6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称(1)D(2)BD[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D．(2)[解]f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x －2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x ＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD．]解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤[跟进训练]2．(1)若log2x＝log3y＝log5z<－1，则()A．2x<3y<5z B．5z<3y<2xC．3y<2x<5z D．5z<2x<3y(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) (3)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋2，则f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝________. (1)B (2)B (3)4 [(1)设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t <－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1,3y ＝3t ＋1,5z ＝5t ＋1.又t <－1，∴t ＋1<0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z <3y <2x .(2)因为f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增．f (log 2x )>2＝f (1)，所以f (|log 2x |)>f (1)，得|log 2x |>1，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12.故选B ．(3)设g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋2，显然有g (－x )＝－g (x )，即g (x )为奇函数，则g (－x )＋g (x )＝0，所以f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g (lg 3)＋2＋g (－lg 3)＋2＝4.]1.构造函数破解不等式(方程)问题初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的．考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象．[典例3] (2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2B [令f (x )＝2x ＋log 2x ，因为y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增．又2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 22b ，所以f (a )<f (2b )，所以a <2b .故选B ．] 本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识，考查逻辑推理的数学素养，破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小．[跟进训练]3．(2020·全国Ⅱ卷)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)＞0B ．ln(y －x ＋1)＜0C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0 A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x <2y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13y .设f (x )＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]。

江苏高二文科复习学案+练习25_含对数的函数

学案25 对数函数的导数及应用一、课前准备【自主梳理】1．(log )x a '= ，(ln )x '= ．2．(ln )x x '= ，ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭． 3．已知2()ln f x x x =+，则()f x '= ．4．已知1()2ln f x x x =-，则()f x '= ．【自我检测】1．函数x x y ln 2-=的单调减区间为．2．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝． 3．曲线2ln y x =上的点到直线032=+-y x 的最短距离是．4．已知函数21()ln 2f x x x =+，则()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值分别为和． 5．已知函数2()8ln f x x x =-，2()14g x x x =-+．若函数()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数，则实数a 的取值范围为．二、课堂活动【例1】填空题：(1)函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是．(2)点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是．(3)若函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是．(4)已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【例2】已知函数()ln ()a x f x a x+=∈R ． (1)若4=a ，求曲线)(x f 在点()()e ,e f 处的切线方程；(2)求()f x 的极值；(3)若函数)(x f 的图像与函数1)(=x g 的图像在区间(20,e ⎤ ⎦上有公共点，求实数a 的取值范围．【例3】已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． (1)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；(3)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．课堂小结三、课后作业1．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数)(x f 的单调增区间为．2．已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3．则实数a 的值为．3．已知函数2()ln 1f x x x x=++-，则曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为． 4．已知函数2()ln f x x x a x =－＋，当1x ≥时，2()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为．5．已知函数21()()ln 2f x x a m x a x =-++且01='）（f ，其中a ，m ∈R ，则m 的值为． 6．若()21ln(2)2f x x b x =-++在()- +∞1,上是减函数，则b 的取值范围是． 7．设函数21()()2ln ,().f x p x x g x x x =--=，若直线l 与函数)(),(x g x f 的图像都相切，且与函数)(x f 的图像相切于点(1,0)，则实数p 的值．8．已知函数21()22f x x ax =+，2()3lng x a x b =+，其中0a >．设曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同，则用b 可用a 表示为_________．。

高中数学《对数与对数函数》练习题

高中数学《对数与对数函数》练习题A 组——基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设x ＝30.5，y ＝log 32，z ＝cos 2，则( ) A ．z ＜x ＜y B ．y ＜z ＜x C ．z ＜y ＜xD ．x ＜z ＜y解析：由指数函数y ＝3x 的图象和性质可知30.5＞1，由对数函数y ＝log 3x 的单调性可知log 32＜log 33＝1，又cos 2＜0，所以30.5＞1＞log 32＞0＞cos 2，故选C. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合．答案：D4．函数y ＝⎩⎨⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( ) A ．(0,3) B ．[0,3] C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．答案：D5．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B. 答案：B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D. 答案：D9．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f (lg 13)＝( ) A.13 B ．－13 C ．5D ．8解析：∵f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4， ∴f (x )＋f (－x )＝8， ∵lg 13＝－lg 3，f (lg 3)＝3， ∴f (lg 3)＋f (lg 13)＝8， ∴f (lg 13)＝5. 答案：C10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．0B ．－3C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D.答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3216．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B 组——能力提升练1．(2018·甘肃诊断考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log25C.12D ．120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log25＝14×15＝120，故选D.答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数， ∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0，由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x ln x ，则下列大小关系正确的是( ) A ．[f (x )]2＜f (x 2)＜2f (x ) B ．f (x 2)＜[f (x )]2＜2f (x ) C ．2f (x )＜f (x 2)＜[f (x )]2 D ．f (x 2)＜2f (x )＜[f (x )]2解析：当0＜x ＜1时，f (x )＝x ln x ＜0,2f (x )＝2x ln x ＜0，f (x 2)＝x 2ln x 2＜0，[f (x )]2＝(x ln x )2＞0.又2f (x )－f (x 2)＝2x ln x －x 2ln x 2＝2x ln x －2x 2ln x ＝2x (1－x )ln x ＜0，所以2f (x )＜f (x 2)＜[f (x )]2.故选C. 答案：C5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A.答案：A6．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[2，＋∞)解析：因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1，又2－a ＞0，所以1＜a ＜2. 答案：C7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为{lg x ≥0lg x ＜2或{lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1. ∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C 8．已知函数f (x )＝若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n <1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( ) A ．10 B ．34 C.710D ．32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C. 答案：C11．设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝12⎣⎢⎡f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． ∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝{ log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，114．(2017·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知lna 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1415．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故这样的a 不存在．∴1<a <83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83高中数学《函数的图像》练习题A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图象是选项D 中的图象．答案：D2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()解析：直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x 的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f(x)＝(x－1x)cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()解析：函数f(x)＝(x－1x)cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝(π－1π)·cos π＝1π－π＜0，排除选项C，故选D.答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y＝ln|x|－x2的图象大致为()解析：令f(x)＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln |x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x＞0时，y＝ln x－x2，则y′＝1x －2x，当x∈(0，22)时，y′＝1x－2x＞0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝2－x2 2xB．f(x)＝cos x x2C．f(x)＝－cos2x xD．f(x)＝cos x x解析：A中，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与题图不符，故不成立；B为偶函数，与题图不符，故不成立；C中，当x→0＋时，f(x)<0，与题图不符，故不成立．选D.答案：D6．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.答案：D7．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为() A．3 B．2C．1 D．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.故选B.答案：B8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.答案：C9．已知函数f(x)＝|2x－m|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，若函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是()A．[12，2]B．[2,4]C．(－∞，12]∪[4，＋∞)D．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图象如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图象如图3所示，由图象知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点，故m 的取值范围为(－1,0)．答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f(x)≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B组——能力提升练1．函数y＝x＋2x＋1的图象与函数y＝2sin πx＋1(－4≤x≤2)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．－6 B．－4C．－2 D．－1解析：依题意，注意到函数y＝1x与函数y＝－2sin πx(－3≤x≤3)均是奇函数，因此其图象均关于原点成中心对称，结合图象不难得知，它们的图象共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y＝1x与函数y＝－2sin πx(－3≤x≤3)的图象同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y＝1＋1x＋1＝x＋2x＋1、y＝－2sin π(x＋1)＋1＝2sin πx＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y＝x＋2x＋1的图象与函数y＝2sinπx＋1(－4≤x≤2)的图象所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B.答案：B2．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b 3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( ) A ．3c ＞3a B ．3c ＞3b C ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图象，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x 的图象可得0＜3c ＜1＜3a . ∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图所示，观察函数的图象，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0， ∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D.答案：D7．设函数若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图象与G (x )的图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m 2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m 2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧ 1x －1，x ≥01－x －1，x ＜0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。

【高考复习方案】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第9讲对数与对数函数

例 3 比较下列各组数的大小： 1 1 (1)a＝log23，b＝log32，c＝log 2，d＝log2 ； 3 3 (2)a＝0.91.1，b＝1.10.9，c＝log20.9.
[思考流程] 第一步，若所给对数底数有相同的，可先比较同底的，再比较其他的；第二步，若底数各不相同，可以借用中间量来比较．
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第9讲
双向固基础
对数与对数函数
2．对数函数性质中的易错点 x－2 (1)函数 f(x)＝lg 与 g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)是同一 x＋2 个函数．( ) 2－x (2)函数 y＝ lg x 的定义域是{x|1<x≤2}．( )
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双向固基础
对数与对数函数
解：(1) 原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－ lg 2＝0. (2) 原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
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对数与对数函数
点面讲考向
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对数与对数函数
点面 [归纳总结] 本题的解答过程体现了化归与转化的数讲考学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简．本题便于进一步计向就是把不易处理的指数由“高”降“低”，算，这是指、对数运算经常使用的方法．
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探究点二
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对数与对数函数

苏教版(文科)高中数学高考总复习巩固练习对数与对数函数

【巩固练习】一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有( ) A.b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.ba c 212+= 2.（2015 宝安区校级二模）设3log a π=，2log b =，3log c =，则（）.A a b c >> .B a c b >> .C b a c >> .D b c a>> 3．图中曲线是对数函数y=log a x 的图象，已知a 值取101,53,34,3，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.10153343，，， B.53101343，，， C.10153334，，， D.53101334，，，4.(2015 枣庄校级模拟)已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像交点共有（）.10A 个 .9B 个 C.8个 .1D 个5．设偶函数f(x)=log a |x-b|在(-∞，0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( )A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)>f(b+2)C.f(a+1)<f(b+2)D.不能确定6．设方程2x +x-3=0的根为α，方程log 2x+x-3=0的根为β，则αβ+的值是( )A.1B.2C.3D.6二、填空题7．已知函数y=log a (kx 2+4kx+3)，若函数的定义域为R ，则k 的取值范围是__________；若函数的值域为R ，则k 的取值范围是________.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x x则满足f (x )≤2的x 的取值范围是A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞).9．已知a=0.33，b=30.3， c=log 30.3， d=log 0.33，则a ，b ，c ，d 的大小关系是______.三、解答题10．设log a c ， log b c 是方程x 2-3x+1=0的两根，求c ba log 的值.11.已知函数222(3)lg 6x f x x -=-，(1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性.12.已知函数2328()log 1mx x nf x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值.13．设xx x x f +-++=11lg 21)( 1)判断f(x)的单调性，并给出证明； 2)若f(x)的反函数为f -1(x)，证明f -1(x)=0有唯一解； 3)解关于x 的不等式21)]21([<-x x f . 14.(2015 天津校级模拟) 对于函数()()212log 3f x x ax =-+，解答下列问题：（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围.（2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围.（3）若()f x 在[)1,-+∞上有意义，求a 的取值范围.（4）若()f x 的值域是(],1-∞，求a 的取值范围.（5）若()f x 在(],1-∞-内为增函数，求a 的取值范围.【参考答案与解析】一、选择题1．设3a =4b =6c =k ，则a=log 3k ， b=log 4k ， c=log 6k ， ∴3log log 113k k a ==，同理4log 1k b =，6log 1k c=，而2log 3log 1,2log 21k k k cb +==， ∴b ac 2111+=，即b a c 122+=. 2.A【解析】332223log log 3log 2log log log π>=>>>a b c ∴>>故选A .3. 在第一象限内，1a >，从顺时针方向看图象，a 43>；在第四象限内，01a <<，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大，31510>；所以相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 4313510，，，.选A. 4.A 【解析】函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x = 所以可以做出函数()y f x =的图像，可知函数()y f x =的值域为[]1,1- 再作出lg y x =的图像，发现lg y x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增且当1,0x y ==；10,1x y ==结合图像可知两函数图像的交点共有10个.5．由f(x)是偶函数，得b=0；又因为f(x)在(-∞，0)上是增函数，得0<a<1.所以0<a+1<2=b+2，由f(x)在(0，+∞)上是减函数，得f(a+1)>f(b+2)6．将方程整理得2x =-x+3，log 2x=-x+3，如图所示，可知α是指数函数y=2x 的图象与直线y=-x+3的交点A 的横坐标；β是对数函数y=log 2x 的图象与直线y=-x+3的交点B 的横坐标.由于函数y=2x 与函数y=log 2x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，所以A ，B 两点也关于直线y=x 对称，所以()A αβ，，()B βα，. 注意到()A αβ，在直线y=-x+3上，所以有3βα=-+，即3αβ+=.二、填空题7．），）；，∞+43[430[.要使函数的定义域为R ，只需对一切实数x ， kx 2+4kx+3>0恒成立，其充要条件是k=0或⎩⎨⎧<-=∆>,01216,02k k k 解得k=0或430<<k ，故k 的取值范围是)43,0[. 要使函数的值域为R ，只需kx 2+4kx+3能取遍一切正数，则⎩⎨⎧≥-=∆>,01216,02k k k ，解得43≥k . 故k 的取值范围是),43[+∞. 8．241. ∵1<log 23<2， 3+log 23>4， ∴12221log 243log 3log 2421111(3log 3)()()()22224f ++====. 又∵当x<4时，f(x+1)=f(x)，∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=241. 9．b>a>d>c ， ∵0.3>0，3>0， ∴a=0.33>0， b=30.3>0.∵3>1， 0<0.3<1， ∴c=log 30.3<0， d=log 0.33<0又∵b=30.3>1， a=0.33<1， ∴ b>a 而131log 3.0log 33-=<=c ，1310log 3log 3.03.0-=>=d ， ∴d>c. 三、解答题 10．依题意得：⎩⎨⎧=⋅=+,1log log ,3log log c c c c b a b a 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+1log log 13log 1log 1ba b a c c c c ，即 ⎩⎨⎧=⋅=+.1log log ,3log log b a b a c c c c∴543log log 4)log (log )log (log 222=-=⋅-+=-b a b a b a c c c c c c . ∴5log log ±=-b a c c . 故5551log log 1log 1log ±=±=-==b a b ac c c c b a . 11.(1)∵()()2222233(3)lg lg 633x x f x x x -+-==---， ∴3()lg 3x f x x +=-，又由0622>-x x 得233x ->， ∴ ()f x 的定义域为()3,+∞.(2)∵()f x 的定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数.12.由2328()log 1mx x n f x x ++=+，得22831ymx x n x ++=+，即()23830y y m x x n --+-=∵,644(3)(3)0y y x R m n ∈∴∆=---≥，即23()3160 y y m n mn -++-≤由02y ≤≤，得139y ≤≤，由根与系数的关系得191619m n mn +=+⎧⎨-=⎩，解得5m n ==.13．1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02,011x x x 得-1<x<1. 所以f(x)的定义域为(-1，1). 设-1<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=)11lg 21(11lg 21222111x x x x x x +-++-+-++ )1)(1()1)(1(lg )2)(2(21212112x x x x x x x x -++-+++-=，又因为(1-x 1)(1+x 2)-(1-x 2)(1+x 1)=(1-x 1+x 2-x 1x 2)-(1+x 1-x 2-x 1x 2)=2(x 2-x 1)>0， (1-x 1)(1+x 2)>0， (1+x 1)(1-x 2)>0，所以1)1)(1()1)(1(2121>-++-x x x x 所以0)1)(1()1)(1(lg2121>-++-x x x x ，又易知0)2)(2(2112>++-x x x x ， ∴ f(x 1)-f(x 2)>0 ，即f(x 1)>f(x 2).故f(x)在(-1，1)上是减函数.2)因为211lg 21)0(=+=f ，所以0)21(1=-f ，即f -1(x)=0有一个根21x =. 假设f -1(x)=0还有一个根210≠x ，则f -1(x 0)=0，即21)0(0≠=x f ，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾. 故21=x 是方程f -1(x)=0的唯一解. 3)因为21)0(=f ，所以)0()]21([f x x f <-. 又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以1)21(0<-<x x . 解得)4171,21()0,4171(+-∈ x . 14.【解析】对于函数()()212log 3f x x ax =-+ （1）()f x 的定义域为R230x ax ∴-+>在R 上恒成立即2120a ∆=-<得：(a ∈-（2）()f x 的值域为R23y x ax ∴=-+的图像不能在x 轴上方即2120a ∆=->解得：(()23,a ∈-∞+∞（3）()f x 在[)1,-+∞上有意义230x ax ∴-+>在[)1,-+∞上恒成立即0∆<或1240a a ⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩解得：(()4,2---（4）()f x 的值域为(],1-∞-23y x ax ∴=-+的值域为[)2,+∞ 最小值241324a ⨯⨯-=，解得2a =± （5）()f x 在(],1-∞-上为增函数23y x ax ∴=-+在(],1-∞-内为减函数，且230x ax -+>在(],1-∞-上恒成立. 1240a a ⎧≥-⎪∴⎨⎪+>⎩解得2a ≥-.。

《学案与测评》高考数学总复习第三单元第三节对数与对数函数精品课件苏教版

1. ③底的对数等于1,即 logaa 1 a 0且a .
loga N a N a 0且a 1, N 0. . (3)对数恒等式:
(4)常用对数:通常将以 10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10 N简记为 lg N .
(5)自然对数:
以无理数e=2.718 28…为底的对数
3. 换底公式及常见结论
log a N (1)换底公式:
log c N (a>0,a≠1,N>0,c＞0,c≠1). logc a
(2)常见结论(其中a,b,c>0且a,b,c≠1):
1 n n log b 1 log a -1 . loga b log b a. logam b = m . a a
第三节
基础梳理
1. 对数概念
对数与对数函数
b a N a 0,a 1 ,那么b叫做以 (1)定义:一般地,如果
以a为底N的对数 ,记作 b log a N ,其中a叫做对数的底数 ,N 叫做真数 .
(2)对数性质 ① 零和负数没有对数,即 N>0 ;
②1的对数为0,即 loga1 0 a 0且a ; 1 ;
loga b logbc logca
1 .
4. 对数函数的定义:一般地,函数 y loga x a 0,a 1 叫做
对数函数,它的定义域为 (0,+∞) ,值域为R.
5. 对数函数的图象与性质
y loga x
图象
a>1
0<a<1
性质
定义域: (0,+∞) .
值域: R 。
题型一对数的运算
【例1】求下列各式的值.

§2.5 对数与对数函数(试题部分) 高考数学(课标版,文科)复习教学案

§2.5 对数与对数函数探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点对数的概念及运算理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用2018课标全国Ⅰ,13,5分对数运算函数的解析式★☆☆对数函数的图象与性质理解对数函数的图象及性质,运用图象解决函数单调性问题2016课标全国Ⅰ,8,5分对数式比较大小指数式的运算★★☆对数函数的综合应用 2018课标全国Ⅲ,7,5分对数函数的图象—分析解读1.对数函数在高考中的考查重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中为5分左右,属于中档题.破考点练考向【考点集训】考点一对数的概念及运算1.(2018广东深圳高级中学月考,6)设a=log 54-log 52,b=ln 23+ln 3,c=1012lg5,则a,b,c 的大小关系为( ) A.b<c<a B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b 答案 B2.(2019河北省级示范性高中联合体3月联考,6)若函数f(x)=1+|x|+x 3,则f(lg 2)+f (lg 12)+f(lg 5)+f (lg 15)=( )A.2B.4C.6D.8答案 C3.(2018湖北荆州中学月考,13)化简:lg √27+lg8-3lg √10lg1.2=.答案324.计算:(278)- 13+log 2(log 216)=.答案83考点二对数函数的图象与性质1.(2018湖南张家界三模,6)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a (x+2)(a>0,且a ≠1)的图象大致为( )答案 A2.(2020届湖北沙市中学月考,9)已知函数f(x)=|lg x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是( ) A.(2√2,+∞) B.[2√2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案 C考点三对数函数的综合应用1.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),5)已知a=2-13,b=log 213,c=lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案 D2.(2019湘赣十四校(湖南长郡中学、江西南昌第二中学等)第一次联考,5)已知实数a=2ln 2,b=2+2ln 2,c=(ln 2)2,则a,b,c 的大小关系是( )A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b答案 D3.(2018广东模拟,12)已知函数h(x)的图象与函数g(x)=e x的图象关于直线y=x 对称,点A 在函数f(x)=ax-x 2(1e≤x ≤e,e 为自然对数的底数)的图象上,点A 关于x 轴对称的点A'在函数h(x)的图象上,则实数a 的取值范围是( ) A.[1,e +1e] B.[1,e -1e ] C.[e -1e ,e +1e]D.[e -1e,e]答案 A4.(2019湖北黄冈元月调研,10)函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a 2,b 2],那么就称y=f(x)为“半保值函数”,若函数f(x)=log a (a x+t 2)(a>0且a ≠1)是“半保值函数”,则t 的取值范围为( )A.(0,14) B.(-12,0)∪(0,12) C.(0,12) D.(-12,12)答案 B炼技法提能力【方法集训】方法1 对数函数的图象及其应用(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=x+1|x+1|log a |x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )答案 C方法2 对数函数的性质及其应用1.(2019河北五个一名校联盟第一次诊断,5)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x<0时, f(x)=log 2(-x)+m, f (12)=√2,则实数m=( ) A.√22B.-√22C.√2+1D.-√2+1答案 D2.(2020届皖江名校联盟第一次联考,4)已知m=log 40.4,n=40.4,p=0.40.5,则( ) A.m<n0且a ≠1), ∵f(x)的图象过点(4,1),∴f(4)=1⇒log a 4=1⇒a=4, ∴f(x)=log 4x.(2)∵函数f(x)=log 4x 在定义域内单调递增,∴不等式f(2m-1)<f(5-m)即{2m -1>0,5-m >0,2m -1<5-m,∴{m >12,m <5,m <2⇒12<m<2,∴m 的取值范围是(12,2).【五年高考】A 组统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x 的图象关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)答案 B2.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a cc b答案 B3.(2018课标全国Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=log 2(x 2+a).若f(3)=1,则a= . 答案 -7B 组自主命题·省(区、市)卷题组考点一对数的概念及运算1.(2019北京,7,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1答案 A2.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D考点二对数函数的图象与性质1.(2019天津,5,5分)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案 A2.(2018天津,5,5分)已知a=log 372,b=(14)13,c=lo g 1315,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D3.(2016浙江,5,5分)已知a,b>0且a ≠1,b ≠1.若log a b>1,则( ) A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0 C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0答案 D4.(2015四川,4,5分)设a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log 2a>log 2b>0”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A考点三对数函数的综合应用(2015陕西,10,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab ),q=f (a+b 2),r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案 CC 组教师专用题组考点一对数的概念及运算1.(2014四川,7,5分)已知b>0,log 5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( ) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c答案 B2.(2013陕西,3,5分)设a,b,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.log a b ·log c b=log c a B.log a b ·log c a=log c b C.log a (bc)=log a b ·log a c D.log a (b+c)=log a b+log a c 答案 B3.(2015浙江,9,6分)计算:log 2√22= ,2log 23+log 43= .答案 -12;3√34.(2015四川,12,5分)lg 0.01+log 216的值是 . 答案 25.(2015安徽,11,5分)lg 52+2lg 2-(12)-1= . 答案 -16.(2014陕西,12,5分)已知4a=2,lg x=a,则x= . 答案 √107.(2013四川,11,5分)lg √5+lg √20的值是 . 答案 1考点二对数函数的图象与性质1.(2014山东,6,5分)已知函数y=log a (x+c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案 D2.(2014安徽,5,5分)设a=log 37,b=21.1,c=0.83.1,则( ) A.b<a<c B.c<ab>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b答案 D4.(2013湖南,6,5分)函数f(x)=ln x 的图象与函数g(x)=x 2-4x+4的图象的交点个数为( ) A.0B.1C.2D.3答案 C5.(2013课标Ⅱ,8,5分)设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b答案 D6.(2014天津,4,5分)设a=log 2π,b=lo g 12π,c=π-2,则( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a 答案 C考点三对数函数的综合应用1.(2014福建,8,5分)若函数y=log a x(a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )答案 B2.(2013天津,7,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f(log 2a)+f(lo g 12a)≤2f(1),则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(0,12] C.[12,2] D.(0,2]答案 C【三年模拟】时间:30分钟分值:40分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020届广东广宁中学调研,7)log 2(cos7π4)的值为( )A.-1B.-12C.12D.√22答案 B2.(2019江西南昌第一次模拟,10)函数f(x)=ln(√x 2+1+x)-3xx 2+1的图象大致为()答案 A3.(2019河南新乡二模,9)已知函数f(x)=log 3(9x+1)+mx 是偶函数,则不等式f(x)+4x<log 32的解集为( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1)答案 C4.(2020届河南商丘模拟,6)已知f(x)=log a (8-3ax)在[-1,2]上为减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,43) C.[43,4) D.(1,+∞)答案 B5.(2020届湖北沙市中学联考,8)若偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log 23),b=f(log 45),c=f(232),则a,b,c 满足( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019广东肇庆第二次统一检测,15)已知23log 4x =27,则x 的值为 . 答案 97.(2019安徽宣城八校联考,12)2723+(14)log 2√3-log 814=.答案 108.(2020届河北衡水模拟,15)如图,已知过原点O 的直线与函数y=log 8x 的图象交于A,B 两点,分别过A,B 作y 轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C,D 两点,若BC ∥x 轴,则四边形ABDC 的面积为 .答案4√33log 23。

高考数学(苏教版文)一轮配套学案：对数与对数函数

第6讲对数与对数函数知识梳理1．对数的概念如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M ，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①a log a N＝N；②log a a N＝N；③log b N＝log a Nlog a b；④log mab n＝nm log a b；⑤log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n log a M(n∈R)；④log a nM＝1n log a M.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0性质(4)当x＞1时，y＞0 (5)当x＞1时，y＜0辨析感悟1．对数运算的辨析(1)(2013·陕西卷改编)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则 ①log a b ·log c b ＝log c a .(×) ②log a b ·log c a ＝log c b .(√) ③log a (bc )＝log a b ·log a c .(×) ④log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c .(×)(2)(2013·中山调研改编)若log 4[log 3(log 2x )]＝0，则＝24.(√)2．对数函数的理解(3)(2013·吉林调研改编)函数y ＝log 3(2x －4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)(2014·长沙模拟改编)函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝2.(×) (6)log 2x 2＝2log 2x .(×) [感悟·提升]三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0＜a ＜1和a ＞1分类讨论，否则易出错．当0＜x ＜1时，y ＜0 当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数考点一对数的运算【例1】 (1)(2013·四川卷)lg 5＋lg 20的值是________．(2)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.解析 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1.(2)由于1＜log 23＜2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝233log 12+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝312⎛⎫ ⎪⎝⎭23log 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1823log 2-＝18·213log 2＝18·13＝124.答案 (1)1 (2)124规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．【训练1】 (1)(2012·安徽卷改编)(log 29)·()log 3 4＝________. (2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.解析 (1)(log 29)·()log 3 4＝(2log 2 3)·(2log 32)＝4.(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)4 (2)2考点二对数函数的图象及其应用【例2】 (2012·新课标全国卷改编)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是________．审题路线在同一坐标系下作出两个函数y ＝4x 与y ＝log a x 的图象⇒画函数y ＝log a x 的图象可考虑两种情况：a ＞1和0＜a ＜1⇒观察图象，当a ＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a ＜1的情形⇒观察图象的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2满足条件：log a 12＞2即可．解析由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1规律方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【训练2】 (2014·石家庄二模)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则两根满足的条件是________．①x 1x 2＜0；②x 1x 2＝1；③x 1x 2＞1；④0＜x 1x 2＜1.解析构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2＜－1，－1＜x 1＜0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1＜0，所以lg(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1. 答案 ④考点三对数函数的性质及应用【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则它们的大小关系为________．(2)设函数f (x )＝若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 5 2＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1，∴c ＞a ＞b . (2)由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或解得a ＞1或－1＜a ＜0.答案 (1)c ＞a ＞b (2)(－1,0)∪(1，＋∞)规律方法在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)(2014·郑州模拟)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是________．解析 (1)依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b ＞c＞a .(2)由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3. 答案 (1)b ＞c ＞a (2)(3，＋∞)(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．教你审题2——巧用对数函数图象解题【典例】 (2012·湖南卷改编)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象❶从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数＝|log 2x |的图象❶从左至右相交于点C ，D .❷记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .❸当m 变化时，ba 的最小值为❹________.[审题] 一审条件❶：转化函数y ＝|log 2x |为y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞1，－log 2x ，0＜x ＜1.得到图象，如图．二审条件❷：见上图．三审条件❸：转化为a 是A ，C 两点横坐标之差的绝对值，b 是B ，D 两点横坐标之差的绝对值．A ，B 的横坐标即是方程|log 2x |＝m 的解，C ，D 的横坐标即是方程|log 2x |＝82m ＋1的解，求出A ，B ，C ，D 点的横坐标．四审问题❹：把ba 转化为关于m 的函数，利用导数或不等式求解即可．解析数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)上，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)上，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝|x B －x D ||x C －x A |＝x B －x Dx C －x A .根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝，x B ＝2m ，x D ＝，所以b a＝.只要求出82m ＋1＋m 的最小值即可．法一构造函数g (m )＝82m ＋1＋m ，则g ′(m )＝－16(2m ＋1)2＋1＝(2m ＋5)(2m －3)(2m ＋1)2，由于m ＞0，显然可得g (m )在(0，＋∞)上有唯一的极小值点，也是最小值点m ＝32，故g (m )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝72，即b a 的最小值为722＝8 2.法二82m ＋1＋m ＝4m ＋12＋m ＝4m ＋12＋m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当4m ＋12＝m ＋12，即m ＝32时等号成立，故ba 的最小值为＝8 2.答案 8 2[反思感悟] (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC 和BD 在x 轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大．【自主体验】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3,1的大小关系是________．解析分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x 2＜x 3＜x 1＜1.答案 x 2＜x 3＜x 1＜1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题 1．如果＜0，那么x ，y,1的大小关系是________．解析 ∵，又y ＝是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1.答案 1＜y ＜x2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案－1 3．函数y ＝的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 24．已知f (x )＝⎩⎨⎧2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 185．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________．解析当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2)6．(2012·重庆卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c . 答案 a ＝b >c7．(2014·池州一模)函数y ＝log 2|x |的图象大致是______．解析函数y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 2(－x )，x ＜0，所以函数图象为①.答案 ①8．(2013·苏州二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．①a ＞b ＞c ；②c ＞a ＞b ；③c ＞b ＞a ；④b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除②，③；b ＝ln 2·ln 3＜⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除④. 答案 ① 二、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x －1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0，因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．10．已知函数f (x )＝ (a 为常数)．(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时，解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2a <x <1.故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1，或x >2a ；当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2a <x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧ a －2<0，u (2)＝2a －22－1≥0，得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·西安三模)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则是“同形”函数的是________．①f 2(x )与f 4(x )；②f 1(x )与f 3(x )；③f 1(x )与f 4(x )；④f 3(x )与f 4(x )．解析因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”函数的定义，f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数．f 3(x )＝log 2x 2＝2log 2|x |与f 1(x )＝2log 2(x ＋1)不“同形”．答案 ①2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(＋15)＝－1.答案－13．(2014·常州模拟)已知函数f (x )＝lnx 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 二、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。

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对数与对数函数
1．_______)2(lg 50lg 2lg 25lg 2
=+∙+．
2．函数)3(log )1(x y x -=-的定义域为_______________．
3．函数)176(log 221+-=x x y 的值域是_____________．
4．若15
3log <a ，则a 的取值范围是_____________． 5．设,1.1,8.0log ,8.0log 7.01.17.0===c b a 则c b a ,,的大小关系是_____________．
6．设函数⎩
⎨⎧>+≤=0),1lg(0,)(x x x x x f ，若1)(>x f ，则x 的取值范围为_________________． 7．当(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则a 的取值范围为______________．
8．函数x x f 3log )(=在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值为____________．
9．已知)1,0(11log )(≠>-+=a a x
x x f a ．（1）求)(x f 的定义域；
（2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明；
（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围．
10．对于函数)32(log )(2
21+-=ax x x f ，回答下列问题：
（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）若函数)(x f 在[)+∞-,1内有意义，求实数a 的取值范围．
1．2．
2．())3,2(2,1 ．
3．(]3,-∞-．
4．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,153,0．
5．b a c >>．
6．()+∞,9．
7．(]2,1．
8．3
2． 9．解：（1）由
011>-+x x 得11<<-x ，函数的定义域为（-1，1）；（2）因为定义域关于原点对称，所以
)(11log )11(log 11log )(1x f x
x x x x x x f a a a
-=-+-=-+=+-=--,所以函数是奇函数．（3）1log 11log a a x x >-+ 当1>a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>-+111011x x x x 解得()1,0；当10<<a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011x
x x x 解得)0,1(-．
10．解：（1）由题可知0322>+-ax x 的解集是R ，所以012)2(2<--a ，解得()3,3-∈a
（2）由题可知322+-ax x 取得大于0的一切实数，所以012)2(2≥--a ，解得
(][)+∞⋃-∞-∈,33,a
（3）由题可知0322>+-ax x 在[)+∞-,1上恒成立，令32)(2+-=ax x x g
⎩⎨⎧>--≤0)1(1g a 解得(]1,2--∈a 或012)2(2<--a 解得()3,3-∈a ，综上()
3,2-∈a ．。