2020东城区高三一模试卷及答案(数学理)
2020年高三一模数学(理)北京东城区试题Word版带解析
2020年高三一模数学（理）北京东城区试题Word版带解析数学〔理科〕2019．4第一部分〔选择题 共40分〕【一】选择题共8小题，每题3分，共40分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 集合()(){|120}A x x x =+-≥，那么R A =ð〔 〕．A 、{}|12x x x <->，或B 、{|1x x -≤或}2x ≥C 、{}|12x x -<<D 、{}|12x x -≤≤解析：()(){|120}A x x x =+-≥={2A x x =≥≤或x -1}，所以R A =ð{}|12x x -<<2． 复数i1i=-〔 〕． A 、11i 22+B 、11i 22-C 、11i 22-+D 、11i 22--解析：(1)11(1)(1)2ii i i i i i +-+==--+，答案C. 3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象〔 〕．A 、向左平移π3个单位长度B 、向右平移π3个单位长度C 、向左平移π6个单位长度D 、向右平移π6个单位长度解析：函数平移满足左加右减，但是要在x 的基础上变换，所以答案为D 。
4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设39S =，530S =，那么789a a a ++=〔 〕．A 、27B 、36C 、42D 、63解析：因为数列是等差数列，利用等差中项的性质3229,393S a a ==∴=，53330,5306S a a ==∴=，d=3，789a a a ++=83a ，83521a a d =+=，789a a a ++=83a =63.5．在极坐标系中，点π4⎫⎪⎭，到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于〔 〕．ABCD 、2解析：把极坐标方程转化为标准方程cos ,sin x y ρθρθ==，所以点π4⎫⎪⎭，对应平面直角坐标系的点为〔1,1〕，c o s s i n 10ρθρθ--=，直线方程为x-y-1=0，利用点到直线的距离答案为A 。
2020年北京东城区高三一模数学试卷
2020年北京东城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 （其中是虚数单位），则（ ）．A. B. C. D.3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）．A. B. C. D.4.设函数，则（ ）．A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数5.已知曲线的方程为，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与直线及的相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）．A.B.C.D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则（ ）．A.B.C.D.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）．A.天B.天C.天D.天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是，，，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数 .12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 ．13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．正主视图侧左视图俯视图14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（）、图（）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ．（填写所有正确说法的编号）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）（2）求证：．求直线和平面所成角的正弦值．17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，， ，，，求的面积．（1）（2）（3）18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取天的数据，制表如下：甲公司某员工乙公司某员工每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天件以内（含件）的部分每件元，超出件的部分每件元．根据表中数据写出甲公司员工在这天投递的快递件数的平均数和众数．为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这天中随机抽取天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望．根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．【答案】解析:∵，，∴．故选项正确．解析:∵，∴．故选．解析:抛物线的准线方程为：，与轴的交点的坐标为，故选B．解析:（1）（2）20.已知椭圆的右焦点为．求点的坐标和椭圆的离心率；直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．（1）（2）（3）21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．当时，写出数列的前五项．若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值．求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．C1.A2.B3.A4.∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴．故选．解析:要使曲线为焦点在轴上的椭圆，则，∴，即且，∴“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：．解析:根据题意，分步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法，个三口之家共有种排法；②将个整体元素进行排列，共有种排法；由分步乘法计数原理可得，不同的坐法种数为．故选．解析:因为与即平行，且与的距离为，所以圆的半径．B 5.C 6.A 7.又因为圆心在直线上，且与，均垂直，所以由，解得交点坐标为，联立，解得交点坐标为，所以圆心坐标为的做点，所以圆方程为．故选．解析:设正项等比数列的公比为，由可得：，∵，∴，又与的等差中项为，∴，，，，∵，∴．∴．综上所述，答案选择．解析:荷叶覆盖水面面积与生长时间的函数关系式为．当时，长满水面，所以生长天时，布满水面一半．故选．解析:设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，，，D 8.C 9.C 10.集合，，中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选．11.解析:∵向量，不平行，向量与平行，∴，∴，解得实数．故答案为：．12.解析:根据题意，角的终边按逆时针旋转后经过点，则，，即①，②，联立①②，解得．（1）解析:由主视图可知，四棱锥的高为，底面是长为，宽为的长方形．故四棱锥的体积为．故答案为：．解析:①若抛物线方程为，则，四个点，，，，故抛物线过和抛物线方程为．②若抛物线方程为，则，∵，，，，∴抛物线过和抛物线方程为．综上所述，抛物线方程为或．解析:∵观影人数时，∴时，为成本，即，∴②中减低成本（表现为利润亏损减少），③中成本不变，∴②③正确．解析:∵，，分别为，的中点，∴，∵是的中点，∴，∴，13.或14.②③15.（1）证明见解析（2）16.（2）又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴．设为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，故直线和平面所成角的正弦值是．解析:若选①．∴．又在中，∴，而，．∴，．见解析，面积为17.．而，．∴．若选②．∴．又．∴．又．∴．∴，．而．∴．若选③．∴，．又．∴．而，．∴，．，（1）（2）（3）而．∴．面积为．解析:甲公司员工在这天投递快件数的平均数为：，由表可知，众数为．设为乙公司每天投递件数，所得劳务费记为，则当时，元，当时，，∴的可能取值为，，，，，，，，，，∴的分布列为：元．由上表数据，甲公司每位员工在该月所得劳务费为元，（1）平均数：，众数：．（2）．（3）甲：元，乙：元．18.甲甲（1）（2）（3）乙公司每位员工在该月所得劳务费为元．解析:由得．由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为．由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：极小所以当时，在上存在极小值．（1）（2）当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为．（3）证明见解析．19.（1）（2）（1）（2）解析:因为椭圆所以焦点，离心率直线过点，所以，所以．由，得（依题意）．设 ，，则，．因为点关于轴的对称点为，则．所以，直线的方程可以设为，令，．所以直线过轴上定点．解析:，，，，．因为，所以，，又数列的前项互不相等，①当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；②当时，（1）焦点，离心率（2）定点坐标20.（1），，，，．（2）的值为，，．（3）证明见解析．21.（3）若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为，，．对于，令，则．又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，所以，故常数．从而常数．故存在正整数，使得时，为常数．。
东城区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)
北京市东城区2020学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数(1+)i ai ⋅为纯虚数，那么实数a 的值为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D ）2（2）集合2{},{50}A x x a B x x x =≤=-< | | ，若A B B =I ，则a 的取值范围是（A ）5a ≥ （B ） 4a ≥ （C ） 5a < （D ）4a < （3）某单位共有职工150名，其中高级职称45人， 中级职称90人，初级职称15人．现采用分层 抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称 人数分别为（A ）9,18,3 （B ） 10,15,5 （C ）10,17,3 （D ）9,16,5 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）21（B ）1 （C ） 2 （D ）4（5）在极坐标系中，直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为（A ）21 （B ）1 （C ）22 （D（6）一个几何体的三视图如图所示，那么该几 何体的最长棱长为 （A ）2（B）（C ）3（D（7）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、 2F （6，0）那么以1F 、2F 为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为 （A ）3（B ）6（C ）9（D ）12（8）已知12e ,e 为平面上的单位向量，1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，1e 与2e 夹角为3π. 平面区域D 由所有满足OP λμ=+12e e uu u v 的点P 组成，其中1,0,0λμλμ+≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，那么平面区域D的面积为 （A ）12（B（C）2 （D）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2020学年度高三数学综合练习(一)
北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若将复数i i +2表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab的值为 ( ) A ．-2 B ．21- C ．2 D ．212.命题甲“sin sin αβ>”,命题乙“αβ>”,那么甲是乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.设B A ,为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且PB PA =,若直线PA 的方程为01=+-y x ,则直线PB 的方程为 ( )A.072=-+y xB.012=--y xC.042=+-y xD.05=-+y x 4.若非零向量a,b 满足=a +b b ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A .22>+a a b B .22<+a a bC .22>+b a bD .22<+b a b5.已知函数bx x x f +=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线与直线320x y -+=平行,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为( )A ．20082007 B ．20092008 C ．20102009 D ．201120106.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )A ．24个B ．60个C ．72个D ．120个7.已知命题:“y y x ,⊥若∥z ,则z x ⊥”成立,那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形不能( ) A.都是直线 B.都是平面 C.y x ,是直线,z 是平面 D.z x ,是平面,y 是直线8.函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为( )A.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-122022x x x 或 B. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-122221x x x 或 C. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<≤-220221x x x 或 D. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-02222x x x 且北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科） 第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份) (含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤2x}，B={x|1<x≤4}，则A∪B=()A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2.已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+2i1+i，若|z|=√2，则a=()A. 0B. 2C. −2D. 13.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)4.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)−3x]=4，则f(x)+f(−x)的最小值等于()A. 2B. 4C. 8D. 125.已知曲线C：x2k−5+y23−k=−1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要6.一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为()A. A33(A44)3B. A44(A33)4C. A1212A33D. A1212A447.以点(2,−1)为圆心且与直线3x−4y+5=0相切的圆的方程为()A. (x−2)2+(y+1)2=3B. (x+2)2+(y−1)2=3C. (x−2)2+(y+1)2=9D. (x+2)2+(y−1)2=98.若{a n}是等比数列，其公比是q，且−a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A. 1或2B. 1或−2C. −1或2D. −1或−29.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 21小时10.若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x(4−x)<0}，则图中阴影部分表示()A. {1 ,2 ,3 ,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，向量m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则实数λ的值为．12.角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，则sinα为______ ．13.四棱锥S−ABCD的三视图如图所示，它的正视图，侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形及其一条对角线，则该四棱锥的体积为_____ ．14.顶点在原点，且过点(−2,4)的抛物线的标准方程是______ ．15.将函数f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图像向右平移m(m>0)个单位长度，此时函数图像关于y轴对称，则m的最小值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE//BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2=a2+c2+ac．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=√3，S为△ABC的面积，求S+√3cosAcosC的最大值，并求出A角．18.某班数学老师对班上50名同学一次考试的数学成绩进行统计，得到如下统计表：分数段[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]人数2a121610c频率0.040.160.240.32b d(1)求表中a ，b ，c 的值，并估计该班的平均分x ；(2)若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况，记X 为所选3人中分数在[30,50)的同学的人数，求X 的概率分布列和均值EX ．19. 已知函数，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x 的不等式f(x)⩾2x +mx 恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(1,0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60∘． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知数列{a n+1+a n}的前n项和S n=2n+1−2，a1=0．(1)求数列{a n+1+a n}的通项公式；(2)求a2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵复数z=a+2i1+i，且|z|=√2，∴|a+2i1+i |=√2，即√a2+4√2=√2，则a=0．故选：A．3.答案：B解析：解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：先求出f(x)+f(−x)，再利用基本不等式求最值即可．解：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)=4，即f(x)=3x+K，令x=K，得f(K)=3K+K=4．又f(K)单调递增，所以K=1，从而f(x)=3x+1，即f(x)+f(−x)=3x+13x +2≥2√3x⋅13x+2=4，当且仅当x=0时取等号．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查椭圆的概念和方程，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据椭圆的概念和方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，即x25−k +y2k−3=1，则{k−3>05−k>0k−3>5−k，解得4<k<5，所以“4≤k<5”是“方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选B．6.答案：B解析：本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析．根据题意，分2步进行分析：①将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列②每个小组的成员之间全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，将4个小组进行全排列，有A44种排法，②每个小组的成员之间有A33种排法，有4个小组，故共有(A33)4种排法，则不同的坐法有A44(A33)4种排法；故选：B．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的位置关系，由直线与圆相切可以求出圆的半径，然后写出圆的方程，属于基础题．解：圆心到直线的距离d=22=3，由直线与圆相切，则r=d=3，所以圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=9．故选C．8.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质．解：∵−a5,a4,a6成等差数列，∴−a5+a6=2a4,∴−a4q+a4q2=2a4,∴q2−q−2=0,∴(q+1)(q−2)=0∴q=−1或q=2．故答案选：C．9.答案：C解析：本题考查指数函数的性质及函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．属于中档题．由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解：y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．当x=0时，e b=192，当x=22时，e22k+b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，e b=192，当x=33时，e33k+b=(e11k)3⋅(e b)=(12)3×192=24.故选C.10.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn图表示集合的关系及运算的应用，属于基础题．化简B={x|x(4−x)<0}={x|x<0或x>4}，而图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，从而得出答案．解：图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，∵B={x|x(4−x)<0}，即B={x|x<0或x>4}，∴A∩B={5}，∵集合A={1,2,3，4，5}，∴C A(A∩B)={1,2,3，4}．故选A．11.答案：−4解析：本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．由题意可知m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，然后由共线向量基本定理列式求解λ的值．解：若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，m⃗⃗⃗ //n⃗，∵m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，∴2λ=λ8，解得λ=±4，∵当λ=4时，m⃗⃗⃗ 与n⃗同向，故舍去，∴λ=−4，故答案为−4．12.答案：−2√55解析：解：∵角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，∴x=−1，y=−2，r=√5，则sinα=yr =√5=−2√55，故答案为：−25√5．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：2√23解析：本题考查几何体的三视图、棱锥的体积公式，属于基础题．根据题意得出该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，利用棱锥的体积公式，即可求出结果．解：由三视图知，该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，高为√2，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，所以此四棱锥的体积为：V=13×√2×√2×√2=2√23．故答案为2√23．14.答案：x2=y或y2=−8x解析：解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=−2p′x(p>0,p′>0)∵抛物线过点(−2,4)∴22=2p×4或42=−2p′×(−2)∴2p=1或2p′=8∴x2=y或y2=−8x故答案为：x2=y或y2=−8x．由题意设抛物线方程，代入点(−2,4)，即可求得抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：解析：本题主要考查了函数图象的应用，属于一般题．将图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值将f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数g(x)=f(2x)=2sin(2x+π3)的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数ℎ(x)的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值．16.答案：证明：(1)∵AC⊥BC，DE//BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC，∴DE⊥平面A1DC．∵A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A 1C ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面BCDE ． ∴A 1C ⊥平面BCDE ．解：(2)因AD =6，CD =3，A 1C ⊥CD ，则A 1C =3√3，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，C(0,0，0)，A 1(0,0，3√3)，D(0,3，0)，M(0,32,3√32)，B(6,0，0)，E(4,3，0)，则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,0，3√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3，0)， 设平面A 1BE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3√3z =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +3y =0，取x =1，n ⃗ =(1,23,2√33)，设CM 与平面A 1BE 所成角为θ， sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43×53=45．∴CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值为45．解析：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，属于中档题．(1)推导出DE ⊥AC ，DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥A 1C .再由A 1C ⊥CD ，能证明A 1C ⊥平面BCDE ． (2)以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值．17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−ac 2ac=−12．又∵0<B <π，∴B =23π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，∴S +√3cosAcosC =√3(cosAcosC +sinAsinC)=√3cos(A −C)． 当A =C ，即A =π−B 2=π6时，S +√3cosAcosC 取最大值√3．解析：(I)利用余弦定理即可得出；(II)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，利用和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由统计表，得：20.04=a 0.16=10b ，解得a =8，b =0，2，∴c =50−2−8−12−16−10=2．x =40×0.04+60×0.16+80×0.24+100×0.32+120×0.2+140×0.04=92． (2)由题意知X 可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 83C 103=715， P(X =1)=C 21C 82C 103=715，P(X =2)=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布列为：EX =0×115+1×715+2×115=35．解析：(1)由统计表，能求出表中a ，b ，c 的值，并能估计出该班的平均分x ．(2)由题意知X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和均值EX ． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=a x −1x 2+2，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行所以f′(1)=a −1+2=2，即a =1∴f(x)=lnx +1x +2x ，f′(x)=(x+1)(2x−1)x 2(x >0)由f′(x)<0且x >0，得0<x <12，即f(x)的单调递减区间是(0,12)由f′(x)>0得x >12，即f(x)的单调递增区间是(12,+∞)．(2)由(1)知不等式f(x)≥2x +mx 恒成立可化为lnx +1x +2x ≥2x +mx 恒成立， 即m ≤x ·lnx +1恒成立令g(x)=x ·lnx +1，g′(x)=lnx +1当x ∈(0,1e )时，g′(x)<0，g(x)在(0,1e )上单调递减． 当x ∈(1e ,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1e ,+∞)上单调递增． 所以x =1e 时，函数g(x)有最小值 由m ≤x ·lnx +1恒成立得m ≤1−1e ，即实数m 的取值范围是(−∞,1−1e ]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，结合切线方程求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为m ≤x ·lnx +1恒成立，令g(x)=x ·lnx +1，根据函数的单调性求出m 的范围即可．20.答案：解：(Ⅰ)根据题意，得c =1；又bc =tan60°=√3，所以b 2=3， 且a 2=b 2+c 2=4， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线PQ 的方程为：y =k(x −1)，(k ≠0)， 代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0；设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为R(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2，由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2TR ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以直线TR 为线段PQ 的垂直平分线； 直线TR 的方程为：y +3k 3+4k 2=−1k (x −4k 23+4k 2)，令y =0得：T 点的横坐标t =k 23+4k 2=13k 2+4，因为k 2∈(0,+∞)，所以3k 2+4∈(4,+∞)， 所以t ∈(0,14)；所以线段OF 上存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t ∈(0,14)．解析：本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目． (Ⅰ)根据题意，知c =1，再求出b 2与a 2即可；(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，得出关于x 的一元二次方程；再设出P 、Q 的坐标，表示出线段PQ 的中点R ，根据QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出TR 是线段PQ 的垂直平分线；利用直线TR 的方程，求出T 点的横坐标t 的取值范围，即可得出结论．21.答案：解：(1)设a n+1+a n =b n ，则n ≥2时，b n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n ， 当n =1时，b 1=S 1=2，满足n ≥2时b n 的形式， ∴a n+1+a n =b n =2n ；(2)由(1)可知a n+1+a n =b n =2n ，a n+2+a n+1=2n+1， 两式相减，得a n+2−a n =2n ， 又∵a 1=0，a 1+a 2=2， ∴a 2=2，∴a 2n =a 2+(a 4−a 2)+(a 6−a 4)+⋯+(a 2n−2−a 2n−4)+(a 2n −a 2n−2) =2+22+24+⋯+22n−4+22n−2 =2+22−22n−2⋅221−22=22n 3+23．解析：本题考查求数列的通项、前n 项和，利用拆项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)当n ≥2时b n =S n −S n−1=2n ，当n =1时b 1=2满足n ≥2时b n 的形式，即得结论；(2)由a n+1+a n =b n =2n 可得a n+2+a n+1=2n+1，两式相减得a n+2−a n =2n ，利用拆项法将a 2n 写成a2+(a4−a2)+(a6−a4)+⋯+(a2n−2−a2n−4)+(a2n−a2n−2)，计算即可．。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2} 2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．√2C．√3D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞) 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（m，1），b→=（1，﹣2），c→=（2，3），若a→−b→与c→共线，则实数m ＝．12．在（x+2x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝，sin∠ABD＝．15．设函数f(x)={a(x+1)，x＜0，2x−a+2a−x，x≥0．给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数f(x)=√x−2x2+1，令x−2x2+1≥0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵21+ai=1−i，∴2＝（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a +（a ﹣1）i ，∴{1+a =2a −1=0，即a ＝1． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 4．若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则b 的值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线y ＝bx 与直线y ＝2x +1平行，可得b ＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可． 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1﹣BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC ＝4，BC ＝3，DD 1＝2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2＝4故选：A ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+1x＜−2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为(12，√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（−√32，12）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞)【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（y22，y），y＞0，所以PA的中点M（y2+24，y2），所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0＜1y+2y≤22=√24，所以k OM∈（0，√22]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，x （t ）∈（25，30），y （t ）∈（0，50）， 此时二者总和x （t ）+y （t ）∈（25，80），由图象可知存在点x （t ）＝10，y （t ）＝100， x （t ）+y （t ）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），若a →−b →与c →共线，则实数m＝ 3 ．【分析】先求出a →−b →=（m ﹣1，3），再由a →−b →与c →共线，列方程能求出实数m ．解：∵向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），∴a →−b →=（m ﹣1，3）， ∵a →−b →与c →共线，∴m−12=33，解得实数m ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x +2x）6的展开式中常数项为 160 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：在(x +2x)6的展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •2r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3， 可得常数项为C 63•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a＝1，r=√22，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．故答案为：（x﹣1）2+y2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝2，sin∠ABD＝√2114．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又BD=2√7，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即(2√7)2=（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√21 14．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．设函数f(x)={a(x +1)，x ＜0，2x−a +2a−x ，x ≥0．给出下列四个结论：①对∀a ＞0，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 无解； ②对∀t ＞0，∃a ∈R ，使得f （x ）＝t 有两解； ③当a ＜0时，∀t ＞0，使得f （x ）＝t 有解； ④当a ＞2时，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 有三解． 其中，所有正确结论的序号是 ③④ ．【分析】可取a ＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f （x ）的值域，即可判断①；取a ＝0，判断f （x ）的单调性，即可判断②；考虑a ＜0时，求得f （x ）的值域，即可判断③；当a ＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f （x ）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a ＝3，则f （x ）={3(x +1)，x ＜02x−3+23−x，x ≥0，当x ＜0时，f （x ）＝3（x +1）∈（﹣∞，3）；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3+23﹣x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x ＝3时，取得等号， 故a ＝3时，f （x ）的值域为R ，∀t ∈R ，f （x ）＝t 都有解，故①错误； 对于②可取a ＝0时，f （x ）={0，x ＜02x +2−x ，x ≥0，可得f （x ）在R 上单调递增，对∀t ＞0，f （x ）＝t 至多一解，故②错误；对于③，当a ＜0时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递减，可得f （x ）＞a ；又x ≥0时，x ﹣a ＞0，即有2x ﹣a ＞1，可得2x ﹣a +2a ﹣x ＞2，则f （x ）的值域为（a ，+∞）， ∀t ＞0，f （x ）＝t 都有解，故③正确；对于④，当a ＞2时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递增，可得f （x ）＜a ；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣a +2a ﹣x ≥2，当且仅当x ＝a 时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， ∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，2，0）， CB →=（1，1，0），CP →=（0，﹣1，1）， 设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅CB →=x +y =0n →⋅CP →=−y +z =0，取y ＝1，得n →=(−1，1，1)； 取平面PCD 的一个法向量m →=(1，0，0)． 则cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=3×1=−√33． 由图可知，二面角D ﹣PC ﹣B 为钝角，∴二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值为−√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数f(x)=asin(2x −π6)−2cos 2(x +π6)(a ＞0)，且满足_______． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围． 从①f （x ）的最大值为1，②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f （x ）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f （x ），若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f （x ）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f （x ）＝1求得方程的解，根据方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m 的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同． 若满足③，利用f （x ）的图象过点(π6，0)，代入求出a 的值，以下解法均相同． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝a sin （2x −π6）﹣2cos 2（x +π6） ＝a sin （2x −π6）﹣cos （2x +π3）﹣1 ＝a sin （2x −π6）﹣sin （﹣2x +π6）﹣1 ＝（a +1）sin （2x −π6）﹣1，若满足①f （x ）的最大值为1，则a +1＝2，解得a ＝1， 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）﹣1； f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）令f （x ）＝1，得sin （2x −π6）＝1， 解得2x −π6=π2+2k π，k ∈Z ； 即x =π3+k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x =π3或4π3；所以实数m 的取值范围是[4π3，7π3）．若满足②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π， 且f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以﹣（a +1）﹣1＝﹣3，解得a ＝1； 以下解法均相同．若满足③f （x ）的图象过点(π6，0)， 则f （π6）＝（a +1）sin π6−1＝0，解得a ＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P （X ＝0）=C 20C 42=16， P （X ＝1）=C 21C 21C 42=23， P （X ＝2）=C 22C 42=16， 所以X 的分布列为 X1 2 P162316所以X 的期望为E （X ）＝0×16+1×23+2×16=1； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l 1，l 2，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝c ，bc ＝2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD |，|MN |，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值． 解：（Ⅰ）因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2， 所以b ＝c ，且12•2c •2b ＝2，解得b ＝c ＝1，a 2＝2，所以椭圆的标准方程：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2＝0， 由△＞0可得16k 2m 12﹣4（1+2k 2）（2m 12﹣2）＞0，化简可得2k 2+1﹣m 12＞0，① x 1+x 2=−4km 11+2k2，x 1x 2=2m 12−21+2k2，|CD |=√1+k 2•|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k2，同理可得|MN |=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD |＝|MN |，所以m 12＝m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1＝﹣m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC →=（2x 1，2y 1），ND →=（2x 2，2y 2），因为四边形CDMN 为菱形，可得MC →•ND →=0， 即x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（kx 1+m 1）（kx 2+m 1）＝0，即（1+k 2）x 1x 2+km 1（x 1+x 2）+m 12＝0， 可得（1+k 2）•2m 12−21+2k 2+km 1•=−4km 11+2k2+m 12＝0，化简可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0， 设菱形CDMN 的周长为l ， 则l＝4|CD |=8√2√1+2k 2⋅√2k 2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k2≤8√33•12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k =4√3，当且仅当2+2k 2＝1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12＝1，满足①， 所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a=1+lnxx两个不等的正根．令g（x）=1+lnxx，x＞0，g′（x）=−lnxx2，令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，12）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）=1x−2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x=12a，当x∈（0，12a）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（12a，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（12a）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：x n=n2，T（2）为满足不等式x n−x t≥t∗（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，t3≥x3−x1 2，∴t3=max{x3−x2，x3−x12}，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2=∑m i=3(x i−x i−1)≥∑m i=3t i−1＞（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020年北京东城高三一模数学试卷及答案
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………………………………14 分
(17)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) asin(2x π) cos2(x π) 1
6
6
asin(2x π) cos(2x π) 1
6
3
asin(2x π) cos[(2x π) + π] 1
6
62
(a 1)sin(2x π) 1 6
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2020年北京市东城区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，0，1，，那么A. B. C. 0，1， D.2.函数的定义域为A. B.C. ，D. ，3.已知，则A. 1B. 0C.D.4.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则b的值为A. 1B.C.D. 25.如图所示，某三棱锥的正主视图、俯视图、侧左视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为A. 4B. 6C. 8D. 126.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是A. B. C. D.8.已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.设O为坐标原点，点，动点P在抛物线上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为A. B. C. D.10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：A. 若在，时刻满足：，则B. 如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量，，，若与共线，则实数______．12.在的展开式中常数项为______．13.圆心在x轴上，且与直线：和：都相切的圆的方程为______．14.是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且，，则______，______．15.设函数给出下列四个结论：对，，使得无解；对，，使得有两解；当时，，使得有解；当时，，使得有三解．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，．Ⅰ求证：平面PBC；Ⅱ求二面角的余弦值的大小．17.已知函数，且满足_______．Ⅰ求函数的解析式及最小正周期；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个不同解，求实数m的取值范围．从的最大值为1，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“”表示北斗二代定位模块的误差的值，“”表示北斗三代定位模块的误差的值．单位：米Ⅰ从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；Ⅱ从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数，求X的分布列和数学期望；Ⅲ试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．结论不要求证明19.已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为2．Ⅰ求椭圆E的标准方程；Ⅱ设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20.已知函数．Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；Ⅱ若有两个极值点，求实数a的取值范围；Ⅲ若，求在区间上的最小值．21.数列A：，，，，，，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为．Ⅰ若数列A：，写出集合；Ⅱ如果均为相同的单元素集合，求证：数列，，，，为等差数列；Ⅲ如果为单元素集合，那么数列，，，，还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，0，1，，．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：函数，令，得，解得，所以的定义域为．故选：B．根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3.答案：A解析：解：，，，即．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4.答案：D解析：解：双曲线的一条渐近线与直线平行，可得．故选：D．利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：A解析：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是，，三棱锥的体积是故选：A．几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6.答案：D解析：解：，，，又，，，．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．根据，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是故选：C．根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8.答案：B解析：解：三角形ABC，那么“”，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形为锐角．三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．三角形ABC，那么“”，可得A为锐角．进而判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：设，，所以PA的中点，所以，因为，所以，所以，故选：C．设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10.答案：C解析：解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，，，此时二者总和，由图象可知存在点，，，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．根据图象数形结合，逐一进行分析即可本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．11.答案：3解析：解：向量，，，，与共线，，解得实数．故答案为：3．先求出，再由与共线，列方程能求出实数m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：160解析：解：在的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为：160．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.答案：解析：解：设所求圆的方程为，因为圆与直线：和：都相切，则，解得，，所以圆的方程为．故答案为：．设所求圆的方程为，利用圆与直线：和：都相切，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：2解析：解：如图所示，等边中，，所以；又，所以，即，解得，所以；由，即，解得．故答案为：2，．根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：对于，可取，则，当时，；当时，，当且仅当时，取得等号，故时，的值域为R，，都有解，故错误；对于可取时，，可得在R上单调递增，对，至多一解，故错误；对于，当时，时，递减，可得；又时，，即有，可得，则的值域为，，都有解，故正确；对于，当时，时，递增，可得；当时，，当且仅当时，取得等号，由图象可得，当时，有三解，故正确．故答案为：．可取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得的值域，即可判断；取，判断的单调性，即可判断；考虑时，求得的值域，即可判断；当时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及的图象，即可判断．本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．16.答案：Ⅰ证明：底面ABCD为平行四边形，，平面PBC，平面PBC，平面PBC；Ⅱ解：过D作平行于AC的直线Dx，，，又面ABCD，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则1，，0，，2，，1，，，设平面PCB的一个法向量为，由，取，得；取平面PCD的一个法向量．则．由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为．解析：Ⅰ由底面ABCD为平行四边形，得，再由直线与平面平行的判定可得平面PBC；Ⅱ过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：Ⅰ函数，若满足的最大值为1，则，解得，所以；的最小正周期为；Ⅱ令，得，解得，；即，；若关于x的方程在区间上有两个不同解，则或；所以实数m的取值范围是若满足的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，且的最小正周期为，所以，解得；以下解法均相同．若满足的图象过点，则，解得；以下解法均相同．解析：Ⅰ利用二倍角公式和诱导公式化简函数，若满足，利用最大值求出a的值，写出的解析式，求出最小正周期；Ⅱ令求得方程的解，根据方程在区间上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足，利用的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为；Ⅱ由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为X 0 1 2P所以X的期望为；Ⅲ北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．解析：Ⅰ通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；Ⅱ通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；Ⅲ通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ因为四边形为正方形，且面积为2，所以，且，解得，，所以椭圆的标准方程：；Ⅱ设的方程为，，，设的方程为，，，联立可得，由可得，化简可得，，，，同理可得，因为四边形CDMN为菱形，所以，所以，又因为，所以，所以，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，，，因为四边形CDMN为菱形，可得，即，即，即，可得，化简可得，设菱形CDMN的周长为l，则，当且仅当，即时等号成立，此时，满足，所以菱形CDMN的周长的最大值为．解析：Ⅰ由题意可得，，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ设的方程为，，，设的方程为，，，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，，运用菱形和椭圆的对称性可得，关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得，设菱形CDMN的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20.答案：解：，．Ⅰ当时，，，曲线在点处的切线方程为，即；Ⅱ若有两个极值点，有两个不等的正根，即两个不等的正根．令，，，令，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；且，故，解得：Ⅲ，，，，，令，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，故，在上单调递减，故在上的最小值为解析：Ⅰ先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；Ⅱ先把有两个极值点转化为方程有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；Ⅲ先利用导函数的符号判断在区间上的单调性，进而解决其最小值．本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21.答案：解：Ⅰ由于A：，为满足不等式的构成的集合，，当时，上式可化为，，当时，上式可化为，为．Ⅱ证明：对于数列A：，，，，，，若中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当时，有，，当时，有，两式对任意大于1的整数均成立，成立，数列，，，，为等差数列．Ⅲ对于数列A：，，，，，不妨设，，，，由，知，由，知：，即，，．设，则，这说明，则，对于数列A：，，，，，中均只有一个元素，首先考察时的情况，不妨设，，又为单元素集，，再证，证明如下：由，证明如下：由的定义可知：，，，由的定义可知，，，，，则存在正整数，使得，，这与矛盾，，同理可证，数列，，，，还是等差数列．解析：Ⅰ推导出，当时，上式可化为，，当时，上式可化为，由此能求出为．Ⅱ，中均只有同一个元素，不妨设为当时，有，，当时，有，由此能证明数列，，，，为等差数列．Ⅲ设，，，，由，知，由，知：，即，从而，设，则，，则，推导出，由此能证明数列，，，，还是等差数列．本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (word版含解析)
2020年北京市东城区高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1 D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12 B．36 C．72 D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729 B．332 C．181 D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b ＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y ＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q 是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M 时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1 D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12 B．36 C．72 D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729 B．332 C．181 D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n （B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136 147 154 189 203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a在x ＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
东城区2020届高三一模数学试卷(含答案)
北京市东城区2019-2020高三一模线上统练数学二一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}220A x x x =∈-=R ，则满足{}0,1,2A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.52.在复平面内，已知复数z 对应的点Z 与复数2i -对应的点关于虚轴对称，则点Z 的坐标为（ ）. A.()2,1B.()2,1-C.()2,1--D.()1,2--3.已知点()2,A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）. A.3B. C.24.下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）. A.22y x x =+，0x >B.C.10xy -=D.5.已知两个向量a r ，b r，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知α和β是两个不同平面，l αβ=I ，1l ，2l 是与不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（ ）. A.l 与1l ，2l 都不相交B.l 与1l ，2l 都相交C.l 恰与1l ，2l 中的一条相交D.l 至少与1l ，2l 中的一条相交7.两条平行直线230x y -+=和340ax y +-=间的距离为d ，则a ，d 的值分别为（ ）. A.6a =，3d =B.6a =-，3d =C.6a =，3d =D.6a =-，3d =8.数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ）. A.2635a a b b +>+ B.2635a a b b +=+C.2635a a b b +<+D.26a a +与35b b +大小不确定9.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）. A.512π B.2π C.712π D.23π 10.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）.A.91010aB.91010a-C.4510aD.4510a -第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京市东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷(含答案及解析)
限购令”，根据表格数据，判断这名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结 果．
20. 已知函数． （ 1 ）当时，求的单调区间．
/
（ 2 ）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程． （ 3 ）已知分别在，（）处取得极值，求证：．
得
，∴
．
故答案为：
．
的值 ，可
14. 平面向量
，
，
则
．
【答案】
，且 与 的夹角等于 与 的夹角，
/
【解析】 由已知可得
，且
，
所以
，即
，
即
，解得
．
15. 以
，
为圆心的两圆均过
，与 轴正半轴分别交于
，
，且满足
，则点
的轨迹方程为
．
【答案】
【解析】 ∵
，
∴
，
和
的中点坐标为
，
∵
在线段 的垂直平分线上，
∴
，
∴
（ 2 ）求函数
的值域．
【答案】（ 1 ）
；
，
/
（2）
【解析】（ 1 ）由
，得
，
，
，
在锐角
中，
，
，故有
；
（ 2 ）在锐角
中，
，故
．
．
，
，
，
，
函数
的值域为
．
19. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了 名市民，他们月收入频
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北京市东城区2020-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（A ）27- （B ） 2- （C ）1 （D ） 25（4）右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（A ）50<i （B ）50>i （C ）25<i （D ） 25>i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲（A ）16 （B ）18 （C ）24 （D ）32（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3-（B ）3±（C）-（D ）±（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5（8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）命题“000(0,),tan sin 2x x x π∃∈>”的否定是 .（10）在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．（12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =，1CB =，则ADE ∠= ．（13）抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点DC 1Q 0N 1CB 1A B M Q(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个．（14）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角)3π(0≤≤θ到11AB C D 的位置 ，同时点M 沿着AD 从点A运动到点D ，11MN DC =，点Q 在1MN 上，在运动过程中点Q 始终满足QM 1cos =θ，记点Q 在面ABCD 上的射影为0Q ，则在运动过程中向量0BQ 与BM 夹角α的正切的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值.FEBFA 1BE（16）（本小题共13分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率. （17）（本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小. 图1 图2(18)（本小题共14分）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立； (Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围.（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为23． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．（20）（本小题共14分）若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++．（Ⅰ）求(6)g ,(20)g 的值； （Ⅱ）求1S ，2S ，3S 的值； （Ⅲ）求数列{}n S 的通项公式．北京市东城区2020-2020学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）(0,),tan sin 2x x x π∀∈≤ （102 （11）84 乙（12） 60 （13） 14x =- 2 （14）612注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos 2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos4x x =+2)4x π=+ ,…………6分 所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分 （Ⅱ）依题意,()y g x ==2[4()8x π-4π+]1+2)14x π=-+. …………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分DPFEACB当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 取最大值21+； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0. …………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，3-. …………2分(10)P X =0.80.90.72=⨯=， (5)0.20.90.18P X ==⨯= ， (2)0.80.10.08P X ==⨯=，(3)0.20.10.02P X =-=⨯=. …………6分由此得X 的分布列为：X 10 5 2 3-P0.72 0.18 0.080.02…………8分 （Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥，又n *∈N 且4n ≤，得3n =，或4n =. …………10分所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=.（或写成512625）答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. …………13分（17）（共13分）（Ⅰ）证明：取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. …………2分 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥.…………3分 所以1A EB∠为二面角1A EF B--的平面角.图1又二面角1A EF B --为直二面角，所以1A E BE ⊥. (5)分又因为BE EF E =,所以1A E⊥平面BEF ,即1A E⊥平面BEP . …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，F 在图１中，连结DP .因为12CF CP FA PB ==，所以PF ∥BE ，且12PF BE DE ==. 所以四边形EFPD为平行四边形. 所以EF ∥DP ，且EF DP =. 故点P 的坐标为（10）. 图2所以1(2,0,1)A B =-， (BP =-，1(0,0,1)EA =. …………8分不妨设平面1A BP 的法向量(,,)x y z =n ，则10,0.A B BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩令y =，得(3,,6)=n . …………10分所以cos 〈1EA 〉n,112||||14EA EA ⋅===⨯n n . …………12分 故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3π. …………13分（18）（共14分）（Ⅰ）解：23e ()2e f x x x'=+-. …………2分由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）．…………4分得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>．故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． …………9分故当0x >时，有()0f x ≥恒成立． …………10分(Ⅲ)解： 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则223e ()2e 23e 2e a F x x a x-=++≥-，当且仅当23e x a =-故()F x 的最小值223e 2em a =-2e >，符合题意； …………13分当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a的取值范围是2(3e ,)+∞． …………14分（19）（共13分） （Ⅰ）解：由已知2221,223,.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分解得2a =，3b =． …………4分 故所求椭圆方程为22143x y +=． …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，()21,0F ．设()()000,2P x y x ≠±，则2203412x y +=． 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+； 所以(M 4,062y x +)，同理(N 4,022y x -)． …………7分 所以2F M =(3,0062y x +)，2F N =(3,0022y x -). 所以 22F M F N ⋅=(3,0062y x +)⋅(3,0022y x -) 000062922y y x x =+⨯+- ()220022003123129944x y x x -=+=+-- ()20209499904x x -=-=-=-． 所以 22F M F N⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． …………9分设MN的中点为E，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………10分 又2F E =(3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-所以22F E F P ⋅=(3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以22F E F P ⊥． …………12分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………13分（20）（共14分） 解：（Ⅰ）(6)3g =，(20)5g =． …………2分（Ⅱ）1(1)(2)112S g g =+=+=；2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=；3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=．…………6分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m *∈N ， 有(2)()g m g m =． …………8分所以当2n ≥时，(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S g g g g g g =+++++-+[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++⨯ 11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-⨯=++++114n n S --=+…………11分于是114n n n S S ---=，2,n n *≥∈N ． 所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+12244442n n --=+++++14(14)4221433n n --=+=+-，2,n n *≥∈N ．…………13分又12S =，满足上式，所以对n *∈N ，1(42)3n n S =+． (14)分。