2020东城区高三一模试卷及答案(数学理)

北京市东城区2020-2020学年度第二学期高

三综合练习（一）

数学

（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项。

（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪

-≤⎨⎪≥⎩

则y x z 2-=的最小值为

（A ）2

7- （B ） 2- （C ）1 （D ） 25

（4）右图给出的是计算

100

1

...81614121+

++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是

（A ）50i （C ）25i

（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩

余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为

8 4 4 6 4 7

m 9 3

5 4 5 5 10 7 9

乙

甲

（A ）16 （B ）18 （C ）24 （D ）32

（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3-

（B ）3±

（C

）-（D ）±

（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的

中点，则PA PB ⋅的值为

（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5

（8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩

若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实

数根，则实数a 的取值范围是

（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）命题“000(0,),tan sin 2

x x x π

∃∈>”的否定是 .

（10）在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；

若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数

后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．

（12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，

且与AB 延长线交于点C ，

若CD =，1CB =，则ADE ∠= ．

（13）抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点

D

C 1

Q 0

N 1

C

B 1

A B M Q

(1,1)M ，且

与准线相切的圆共有 个．

（14）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为

轴逆时针旋转θ角)3

π

(0≤≤θ到11AB C D 的位置 ，同时点M 沿着AD 从点A

运动到点D ，11MN DC =，点Q 在1MN 上，在运动过程中点Q 始终满足

QM 1

cos =

θ

，记点Q 在面ABCD 上的射影为0Q ，则在运动过程中向量0BQ 与BM 夹角α的正切的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移

8

π

个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4

π

]时，求()y g x =的最大值和最小值.

F

E

B

F

A 1

B

E

（16）（本小题共13分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.

（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列；

（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率. （17）（本小题共13分）

如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角

1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2）

（Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；

（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小. 图1 图2

(18)（本小题共14分）

已知函数2

21()2e 3e ln 2

f x x x x b =

+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．