两直线夹角
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两直线的位置关系(3)
-------------到角与夹角
07.10.22
创设情境
问题1:两直线垂直的充要条件 是什么? 问题2:两直线垂直时,一共构成 几个角?它们有何关系?如果两直 线斜交,结果又如何?
探索研究
直线l1到l2的角 两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两 对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到 与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.
1 o
图一 2 1
x
2 o
1
x
L1到L2的角的公式
k 2 k1 tan tan( 2 1 ) 1 k1k 2 1.适用条件:
（ ）k1和k2均存在 （2）k1 k2 1 1
2.公式的特征 整体同于两角差的正切公式 分子是终线斜率－始线斜率 3.tanθ到θ的转化 (设 tan x) 若x 0, 则＝ arctan x 若x 0, 则＝ arctan x 或 + arctan x
k1 1 , k 2 1 2
L3
L1 θ1 X
O
1 1 3 k 2 k1 2 tan1 1 k1k 2 1 1 1 2
tan 2 k3 k 2 k3 1 1 k3 k 2 1 k3
小结反思
回顾归纳 两定义 关系 关系
问题4
L1与L2的夹角公式
k 2 k1 tan 1 k1k 2
1.适用条件:
（ ）k1和k2均存在 （2）k1 k2 1 1
2.tanθ到θ的转化
(设 tan x)
arctan x
探究3
和L2：A2x+B2y+C2=0,（B1≠0，B2≠0， A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2 的角 是θ，求证:
L1到L2的角的公式另一形 式 A x+B y+C =0 问题5：已知直线L1 ： 1 1 1
tan
A1B2 A2B1 A1A2 B1B2
案例探究
3 1.求直线l1 : y 2 x 3与l2 : y x 2 的夹角.
变1.求直线l1 : y 2 x 3到l2 : x 1 0的角.
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
探究1
L1L1到L2的角 到L2的角
⑴L1到L2的角的取值范围 0, ⑵L1到L2的角θ 1 与L2到L1的角θ 2 的关系 1 2 θ2
L2
θ1
逆时针!!
L1
直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹 角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是
应用
两公式
选择
作业：P59
8.9.
变2.求过点P(2,1)且与直线l1 : y 2 x 3 的夹角是 的直线方程 4 变3.求过点P(2,1)且与直线l1 : y x 3 的夹角是 的直线方程 4 反 ①按某个方向旋转一定角度所得直线 唯一 ； 思 ②与定直线夹角是定值的直线一般有 两条
（垂直时唯一）
方法
求夹角或到角的步骤：
（给出两不重合直线方程）
k1 k 2 1
垂直
看斜率
选公式 且k1 k2 1 （相交或平行） 图示 k1和k2仅存在一个 （相交或平行）
k1和k2均存在
2：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0，底 边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图） 解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1 Y L2 k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2 到L3的角是θ2 ，则 θ2
图一
x
2 o
1
图二
x
① 能用1与 2的关系表示吗？
② 能由k1和k 2 表示?
③ 求正切
问题3
y
L2
L1到L2的角的公式
L1
y
L1
L2
百度文库
2
图二 (1 2 ) ( 2 1 ) tan tan( 2 1 ) tan tan[ ( 2 2 )] tan( 2 1 )
2
探究2
L1与L2的夹角
⑴L1与L2的夹角的取值范围
0, 2
⑵到角以 方向 定义，夹角以 大小 定义。 y L2 L1
o 图一
x
考考你
L1
L2
时针所在直线L1
到分针所在直线L2的角是多少度？ 它们的夹角呢?
问题3
y
L2
L1到L2的角的公式
L1
y
L1
L2
2
1 o
-------------到角与夹角
07.10.22
创设情境
问题1:两直线垂直的充要条件 是什么? 问题2:两直线垂直时,一共构成 几个角?它们有何关系?如果两直 线斜交,结果又如何?
探索研究
直线l1到l2的角 两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两 对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到 与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.
1 o
图一 2 1
x
2 o
1
x
L1到L2的角的公式
k 2 k1 tan tan( 2 1 ) 1 k1k 2 1.适用条件:
（ ）k1和k2均存在 （2）k1 k2 1 1
2.公式的特征 整体同于两角差的正切公式 分子是终线斜率－始线斜率 3.tanθ到θ的转化 (设 tan x) 若x 0, 则＝ arctan x 若x 0, 则＝ arctan x 或 + arctan x
k1 1 , k 2 1 2
L3
L1 θ1 X
O
1 1 3 k 2 k1 2 tan1 1 k1k 2 1 1 1 2
tan 2 k3 k 2 k3 1 1 k3 k 2 1 k3
小结反思
回顾归纳 两定义 关系 关系
问题4
L1与L2的夹角公式
k 2 k1 tan 1 k1k 2
1.适用条件:
（ ）k1和k2均存在 （2）k1 k2 1 1
2.tanθ到θ的转化
(设 tan x)
arctan x
探究3
和L2：A2x+B2y+C2=0,（B1≠0，B2≠0， A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2 的角 是θ，求证:
L1到L2的角的公式另一形 式 A x+B y+C =0 问题5：已知直线L1 ： 1 1 1
tan
A1B2 A2B1 A1A2 B1B2
案例探究
3 1.求直线l1 : y 2 x 3与l2 : y x 2 的夹角.
变1.求直线l1 : y 2 x 3到l2 : x 1 0的角.
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
探究1
L1L1到L2的角 到L2的角
⑴L1到L2的角的取值范围 0, ⑵L1到L2的角θ 1 与L2到L1的角θ 2 的关系 1 2 θ2
L2
θ1
逆时针!!
L1
直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹 角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是
应用
两公式
选择
作业：P59
8.9.
变2.求过点P(2,1)且与直线l1 : y 2 x 3 的夹角是 的直线方程 4 变3.求过点P(2,1)且与直线l1 : y x 3 的夹角是 的直线方程 4 反 ①按某个方向旋转一定角度所得直线 唯一 ； 思 ②与定直线夹角是定值的直线一般有 两条
（垂直时唯一）
方法
求夹角或到角的步骤：
（给出两不重合直线方程）
k1 k 2 1
垂直
看斜率
选公式 且k1 k2 1 （相交或平行） 图示 k1和k2仅存在一个 （相交或平行）
k1和k2均存在
2：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0，底 边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图） 解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1 Y L2 k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2 到L3的角是θ2 ，则 θ2
图一
x
2 o
1
图二
x
① 能用1与 2的关系表示吗？
② 能由k1和k 2 表示?
③ 求正切
问题3
y
L2
L1到L2的角的公式
L1
y
L1
L2
百度文库
2
图二 (1 2 ) ( 2 1 ) tan tan( 2 1 ) tan tan[ ( 2 2 )] tan( 2 1 )
2
探究2
L1与L2的夹角
⑴L1与L2的夹角的取值范围
0, 2
⑵到角以 方向 定义，夹角以 大小 定义。 y L2 L1
o 图一
x
考考你
L1
L2
时针所在直线L1
到分针所在直线L2的角是多少度？ 它们的夹角呢?
问题3
y
L2
L1到L2的角的公式
L1
y
L1
L2
2
1 o