曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学-双向细目表
曲靖一中高考复习质量监测卷六理数-答案
VM OCN
1 3
1 2
CO
CN sin OCN
OM
1 3
t(2
2 t) ，当 t
2
时， VM OCN
2 3
最大.
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）∵
m
n
2a
cos
A
，
∴ b cos C c cos B 2a cos A ，
M3 ．
如图 5，在网格坐标中分别作出三段圆弧 M1，M2，M3 ，三段圆弧拼接而成的曲线就是所 要求作的曲线 M （形如一朵云彩）.
又
c2 a2
1 4
， a2
b2
c2 ，∴ a2
8，
∴椭圆的方程为
x2 8
y2 6
1.
……………………………………………………（6 分）
（2）假设存在 P(0，t) ，使得 PN 平分 APB ，
当
l
不垂直于
x
轴时，设
l
的方程为
y
kx
1 2
，
理科数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
由
y kx
………………………………………………（10 分）
∵ AD
20 9 |
AB AB |
|
AC AC
|
，
2 AD
20 2 9
(1
2
1
cos 60
1)
20 2 9
3，
∴|
AD
|
20 9
3.
……………………………………………………………（12 分）
云南省曲靖市第一中学2017-2018学年高三高考复习质量监测考试(六)理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合2102x xx ⎧+⎫A =≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x x B =<，则()RA B =ð（ ）A ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x << 【答案】B考点：不等式的解法与集合运算. 2.复数321iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 为（ ） A ．1522i -+ B ．1522i -- C ．1522i + D ．1522i -【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()32132151112i i i iz i i i ++++===--+，所以z 的共轭复数为1522z i =-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A B CD图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=根据三视图的规则可知5,SA AB AC y ===,所以222S C A C S A+=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积1132V =⨯=A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（ ） A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α C ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】D考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（ ）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知1955,2a a ab +==，又11a b =，99a b =，所以192a a +≥=55ab >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出的逆否是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质. 9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ） A ．()()0,23,4 B ．()()0,24,5 C ．()()2,34,5D ．()()2,33,4【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．12⎡⎢⎣⎦D ．35⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =，()1,1b =-，且()a b b λ+⊥，则2a b λ-的值为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===，因为()a b b λ+⊥，所以()a b b λ+220a b b λλ=+==，0λ∴=， 2242a b a λ-==.考点：向量的数量积运算.14.若4m x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6展开式中含x 项的系数是 ． 【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ．【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 不等式组表示的平面区域内的点都在q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n nS a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+．（I ）求角A 的大小；（II ）若sin sin C 1B +=，2b =，试求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）23πA =；（II试题解析：（I ）()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-． 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）sin sin C 1B +=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分）又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 2S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=，若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90，得到C D ''AB （如图3）． （I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A -N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）5-.试题解析：（I ）证明：1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =，∴C 90∠BA =，即C A ⊥AB ．平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分）（II ）解：C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ．如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B，()C，(C '，12⎛⎫N ⎪⎪⎝⎭，则(C 1,0,'B =-，(CC 0,'=．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩⇒()3,1,1n =．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩()3,1,0m ⇒=-， 设二面角C C 'A -N -的平面角为θ，∴5cos 5n m n m θ⋅==-∴二面角C C 'A -N -的余弦值为12分） 考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221xy a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝⎭，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O ，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II （III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点⎛M ⎝⎭，则2213124a b+=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分） （II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+，所以AB =． 又点O 到直线l 的距离为h =，∴∆OAB的面积1122S h ∆OAB=⋅AB ⋅==令t =0t >），得2223k t =+，则2S t t∆O A B=+ 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>，所以S ∆OAB的最大值为2．…………………（6分） 考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值； （II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成 立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =． 又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分） 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立．令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n⎛⎫+>-⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分） 考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ．GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA +∠BA =∠E A +∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =，D 90∠B A =，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ， 从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ． AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-．（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259.试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数），将上式代入24y x =，得29110250T -T +=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-，当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。
曲靖一中高考复习质量监测卷六理数-答案
理科数学参考答案·第6页（共7页）曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDCDBADACCBD【解析】 1．∵2tan θ=，∴1sin 3θ=±，∴27cos212sin 9θθ=-=，故选B ． 3．66216C 2r r r r r T x x --+=，∴366r -=，4r =，∴426C 260=，故选C ． 5．23262A 2322A 655P ⨯⨯===⨯，故选B ． 7．此几何体是圆锥，其侧面积为8π，设底面半径为m ，则18π2π22m m =⨯⨯，∴24m =，∴2m =，所以边长为4，故选D ． 8．5ππ3π4884T =+=，得3πT =，∴23ω=，∵π38f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πcos 112ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴π12ϕ-+ 2πk =，k ∈Z ，∵||πϕ<，∴π12ϕ=，故选A ． 9．根据程序框图，S ，i 值依次为：1S =，1i =，循环后，3S =，2i =，7S =，3i =，15S =，4i =，31S =，5i =，63S =，6i =，127S =，7i =，则127S =应该是输出的结果，故判断框可以是6i >，故选C ．10．以AB ，AD 为基向量，则11()()()(1)22AE AF AB AD AD AB λμμλλμ=++=+-+=①，CE CF =11(1)(1)(1)(1)23BC DC λμλμ--=---=②，由①②得C 答案正确，建立平面理科数学参考答案·第6页（共7页）直角坐标系也可，故选C ． 11．设直线AB 的方程为12y kx =+，联立直线AB 和曲线E ，得2210x kx --=，设11()A x y ，，22()B x y ，，则222212121212()242||222x x x x x x k AB y y p p p p ++-+=++=+=+=+，同理可得||CD =21422k p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+，221||||222628AB CD k p k ⎛⎫+=++++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当1k =±时取等号，故选B ． 12．()f x 有零点，则21122211(22)24x x m x x x --+⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为21(22)4t t m t -+=-+，即214()22t tt m h t --+==+，()h t 为偶函数，()f x 有唯一的零点，函数()h t 的图象与y m =有唯一的交点，此交点的横坐标为0，故18m =，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 1314 15 16答案 52263434333⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【解析】14．设i z a b =+，a ，b ∈R ，∴222a b -=且223ab =23a =，21b =，∴||2z =．15．原已知式子可化为22113243(3)2222N n n n n n --=+=+，，224244(4)22N n n n n --==+，，22315245(5)2222N n n n n n --=-=+，，226246(6)222N n n n n n --=-=+，，由归纳推理得224()22k k N n k n n --=+，，故2222422(322)336322N --=⨯+⨯=，． 16．00π2π()cos 0x f x m m '==，∴02m x mk =+，k ∈Z ，由2200()11x f x m m -⎛⎫⎡⎤+< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22m mk ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 22π2sin π2k m ⎡⎤⎛⎫+< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即222142m k m ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，∴222142m k m -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，k ∈Z ，据题意，理科数学参考答案·第6页（共7页）∴222min142m k m ⎡⎤-⎛⎫+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，∴222412m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴4343m ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（1）∵tan()3B C +=，∴tan 3A = ∵0πA <<，∴2π3A =， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217616242b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即24600b b +-=，解得10b =-(舍去)或6b =， 故6b =．…………………………………………………………………（6分）（2）∵2222cos c b a ba C =+-，∴16367621926cos C =+-⨯⨯， ∴cos 19C =，∴3cos 6129419AC CD C ===41BD BC =，∴113sin 466322ABC S AB AC BAC =∠=⨯⨯=△∴13324ABD ABC S S ==△△．…………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：（1）根据相关公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22000(800400400400)50055.56 6.635120080012008009⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”． …………………………（5分）（2）由题意可得，一名男公民要生二胎的概率为800212003=，X ~233B ⎛⎫⎪⎝⎭，， ∴X 的可能取值为0，1，2，3，33211(0)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1213216(1)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，理科数学参考答案·第6页（共7页）21232112(2)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)C 327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X 0 1 2 3P127 29 49 827∴()2E X np ==． ……………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图，连接1A C 交1AC 于点E ， 因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，所以11A ACC 为正方形，所以11AC AC ⊥． 因为CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ， 所以1CD AC ⊥， 所以1AC ⊥平面11A B CD ．……………………………………………………（5分）（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA AC λ=， 则(100)D ，，，(030)A ，，，1(003)C λ，，，1(033)A λ，，， 对平面1AC D ，因为(130)AD =-，，，1(033)AC λ=，，， 所以法向量1131n λ⎛⎫= ⎪⎭，，，平面1C CD 的法向量为2(010)n =，，， 由122125cos ||||31n n n n θλ-===++，得1λ=， 所以1AA AC =，此时，1CD =，13AA AC == 所以111111331322A A C D D AA C V V --⎛==⨯⨯= ⎝．…………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）∵121||||3PF PF =，则223(2)2(2)2c c -+=++化简得2560c c -+=，理科数学参考答案·第6页（共7页）又3c a <≤，∴2c =，∴22a =，24b =，∴椭圆E 的方程为22184x y +=．……………………………………………（5分）（2）由题意知，直线l 不过原点，设11()A x y ，，22()B x y ，．①当直线l x ⊥轴时，设直线l 的方程为(0)x m m =≠且2222m <<- 由OA OB ⊥，得26m =，则26x =，∴26d =；②当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx n =+， 联立直线和椭圆的方程，得222(12)4280k x knx n +++-=，122412knx x k -+=+，21222812n x x k -=+， 22121228()()12n k y y kx n kx n k -=++=+， ∵OA OB ⊥，∴12120x x y y +=， ∴22388n k =+，原点O 到l 的距离21d k=+，∴222223813(1)3n n d k k ===++，∴26d =， 综上得，点O 到直线l 26． …………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=，0x >． 若0a ≤，则()0f x '>，从而()f x 在(0)+∞，上单调递增； 若0a >，由()0f x '>，得10x a <<；由()0f x '<，得1x a>， 从而()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．…………………（3分）（2）证明：设函数11()ln(1)ln(1)2g x f x f x ax ax ax a a ⎛⎫⎛⎫=+--=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，理科数学参考答案·第6页（共7页）则32222()2111a a a x g x a ax ax a x '=+-=+--． ∵10x a<<，∴221a x <，即()0g x '>， ∴()g x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，∴()(0)0g x g >=，故当10x a <<时，11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………………（7分）（3）解：由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0)+∞，上单调递增， 故()f x 不可能有两个零点，∴0a >，从而()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，此时，()f x 的两个零点1x ，2x 分别属于10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，不妨设110x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，21x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，．设1110t x a a ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，则11x t a =-，又设31x t a =+， 则由（2）知31211()()()0f x f t f t f x f x a a ⎛⎫⎛⎫=+>-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而3x ，21x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，由（1）知，32x x <，∴12132x x x x a+>+=， ∴12012x x x a +=>，即01x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 从而由（1）知，0()0f x '<．……………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）消去参数t ，得到1C 的普通方程为22212x y b -+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，理科数学参考答案·第6页（共7页）所以1C 是以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，b 为半径的圆，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 的普通方程中， 得到1C 的极坐标方程为221cos 04b ρρθ-+-=．……………………………（5分）（2）曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组221cos 042sin b ρρθρθ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩，，由方程组得2214sin 2sin cos 04b θθθ-+-=，由已知1tan 2θ=，可得24sin 2sin cos 0θθθ-=，从而2104b -=，得12b =-（舍去），12b =，当12b =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上， 所以12b =． ………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）原不等式等价于2217x x >⎧⎨->⎩，或1237x ⎧⎨>⎩≤≤，或1127x x <-⎧⎨->⎩，，解得3x <-或4x >，综上所述，不等式()7g x >的解集为(3)(4)-∞-+∞，，．……………………………………………………………………（5分）（2）依题意，可知3a b +=，222222222()22()a b a b ab a b a b a b +=+++++=+≤，故2292a b +≥，当且仅当32a b ==时等号成立．…………………………（10分）。
2019-2020学年云南省曲靖一中高三(下)质检数学试卷(理科)(六)(含答案解析)
2019-2020学年云南省曲靖一中高三（下）质检数学试卷（理科）（六）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则下列选项中不正确的是A. B. C. D.2.已知复数z满足，则A. B. C. D.3.已知的半径为3，圆心为O，点A和点B在上，且，则A. 4B.C. 5D.4.我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了他的一种算法，后人为了纪念他，就叫秦九韶算法．算法的程序框图如图，已知，用秦九韶算法求得A. B. C. D.5.已知角的终边落在直线上，则A. B. C. D.6.已知数列为等差数列，为其前n项和，，且，，成等比数列，则A. 4B. 25C. 4或25D. 4或277.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A.B.C.D.8.设，若在上为增函数，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数，，的最大值为M，最小值为m，则A. 4B.C.D.10.如图，在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD中随机取一点M，则点M与A，B的距离都不小于2的概率为A. B. C. D.11.若函数有2个零点，，且，则a的取值范围是A. B. C. D.12.双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则______．14.已知数列满足，，则通项______．15.已知点在抛物线上，则过Q点与抛物线相切的切线方程是______．16.如图，三棱锥的四个顶点在同一球面上，AB过球心O，且是边长为4的等边三角形，M，N分别为PO，BC上的动点且，则三棱锥体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设，且．求角A的大小；若，，D在BC上，AD是的角平分线，求．18.已知某校高一、高二、高三三个年级的数学教师人数分别为24，16，16，采用分层抽样的方法从中抽取了14人，调查他们对课件的使用情况，若抽出的这14人中，有8人常使用课件，6人不常使用，现从这14人随机抽取3人，进一步进行询问．设事件A为“抽取的3人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件的老师”，求事件A发生的概率；用Z表示抽取的3人中不常使用课件的人数，求随机变量Z的分布列及数学期望．19.如图，在多面体ABCDE中，为正三角形，为直角三角形且，且．求证：；若，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．20.已知点M为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆的方程；过点任意作一条直线l，与椭圆交于A，B两点，问y轴上是否存在定点P，使得PN平分？若存在，求出P点，若不存在，请说明理由．21.已知，．求函数的极值；设，，求证：．22.如图的网格中的小正方边长等于一个单位长度，在网格中建立了如图的极坐标系与直角坐标系极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合曲线M的分段极坐标方程是．请在网格图中作出曲线可以不写说明，直接作出图形；倾斜角是锐角的直线l与曲线M相切并恰好有两个切点，求切线l的极坐标方程．23.已知函数．解不等式；若使，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，由，得，对集合B，由，得，A正确，，B正确，，C正确，，D错误，故选：D．求出集合A，B，逐一验证即可．考查集合的交并补运算，还考查了不等式的运算，基础题．2.答案：C解析：解：，，化为：．．则．故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：如图：的半径为3，圆心为O，点A和点B在上，且，所以：为等边三角形；故；．故选：B．先根据已知条件求得；再代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用以及三角形的有关问题，考查计算能力．4.答案：A解析：解：，，所以，，，，．故选：A．直接利用秦九韶算法的应用求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的应用，秦九韶算法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：角终边在直线上，所以，在直线上取一个点，则，所以，．故选：D．由直线的斜率公式直接求出，设出直线上点的坐标，可求，进而利用二倍角公式可求的值．本题考查终边相同的角，任意角的三角函数的定义及二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：数列为公差为d的等差数列，，可得，即，，，成等比数列，可得，即，化为，由可得或，则或25，故选：C．设等差数列的公差为d，应用等差数列的求和公式和通项公式、等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：如图，根据三视图可得该几何体为三棱锥，的面积为，的面积为．D 、是全等的直角三角形，面积为．所以该几何体的表面积为：．故选：C．根据三视图可得该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，根据三角形面积公式求解．本题考查了三视图还原几何体，并求表面积，属于中档题．8.答案：D解析：解：设，在上，，由于为增函数，，即，求得，故选：D．由题意利用正弦函数的单调增区间，可得，故有，由此求得的取值范围．本题主要考查正弦函数的单调增区间，属于基础题．9.答案：A解析：解：函数，，所以，令，，，或，或，或，，和，，单调递增，和，，单调递减，所以，的最大值为M，最小值为m，，，，，，中最大值及最小值，所以，，所以，故选：A．对函数求导，令导函数为0求出函数的极值点，进而判断原函数的单调性，求出函数在上的最大值最小值，即M，m的值，求出两者之和．本题考查用导数研究函数的单调性，及最值，属于中档题．10.答案：A解析：解：根据题意．所以．故选：A．首先求出阴影部分的面积，进一步求出概率值．本题考查的知识要点：几何概型的应用，阴影部分的面积的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．11.答案：B解析：解：由题意得，是方程两个不相等正实数根．令，，设是的切线，切点为，则，则过切点的切线方程为，切线过，，得．．，综上可得a的取值范围是故选：B．函数有2个零点，可得方程有两个不相等正实数根．令，求出该函数过原点的切线的斜率，数形结合可得a的取值范围．本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：B解析：解：双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，，则，，故选：B．求出双曲线的离心率，结合双曲线的渐近线方程，然后求解结果即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，中档题．13.答案：1023解析：解：，令得：；令得：；由可得：；故答案为：1023．令求出；再令即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：解析：解：数列满足，，则：常数，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列．所以，整理得首项符合通项，故答案为：直接利用关系式的恒等变换的应用求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：由题意，设过抛物线上的点的切线的斜率为k，则由点斜式可得切线方程为联立，消去y，整理得．直线与抛物线相切，，即．整理，得．解得．点在抛物线上，，，即．将代入切线方程，可得整理，得，，代入上式可得过Q点与抛物线相切的切线方程是故答案为：本题先设过抛物线上的点的切线的斜率为k，然后由点斜式写出切线方程，联立切线方程与抛物线方程，根据相切的关系可得，代入计算后可解出斜率k的值，然后根据点在抛物线上，有，代入进一步化简得到k的值，然后代入已设的切线方程并化简整理可得过Q点与抛物线相切的切线方程．本题主要考查抛物线的切线方程的推导方法，直接对抛物线方程求导是不行的，可从解析几何直线与曲线相切的角度去推导．考查了转化思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：解析：解：过球心O，，，又是边长为4的等边三角形，，，则，．平面ABC，且也是等腰直角三角形，设，则．当且仅当，即时，上式取“”．三棱锥体积的最大值为．故答案为：．由已知证明平面ABC，也是等腰直角三角形，设，然后利用体积公式及基本不等式求解．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.答案：解：由题意可得，由正弦定理可得；，即，在三角形中可得，所以，在三角形ABC中，由得由余弦定理可得，，由角平分线性质可得，所以，，所以，在三角形ADC中，由余弦定理可得，解得．解析：由数量积及三角形的内角和可得A的值，由及余弦定理可得a边，cos C的值，再由角平分线的性质可得CD的值，再由余弦定理可得AD的值．本题考查数量积的运算，角平分线的性质定理及余弦定理的应用，属于中档题．18.答案：解：设事件A为“抽取的3人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件的老师”，；表示抽取的3人中不常使用课件的人数，，1，2，3，根据题意6，，，，1，2，3，所以随机变量的分布列为：X01 23P随机变量X的数学期望解析：设事件A为“抽取的3人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件的老师”，求出即可；表示抽取的3人中不常使用课件的人数，，1，2，3，根据题意6，，，，1，2，3，求出分布列和数学期望即可．本题考查求事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定Z的可能取值，求出相应的概率是关键，中档题．19.答案：解：证明：取AC的中点O，连接OD，OB，，，又为正三角形，，而，且都在平面OBD内，平面OBD，又BD在平面OBD内，；在中，，则，，，而，故可知平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面ABE的一个法向量为，则，故可取，设直线AD与平面ABE所成角为，则．解析：取AC的中点O，可证，，进而可得平面OBD，再由线面垂直的性质可得；建立空间直角坐标系，求出直线AD的方向向量以及平面ABE的一个法向量，利用向量公式即可求得正弦值．本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理的运用，考查利用空间向量求解线面角的正弦值，培养学生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.答案：解：设，，，，可得，，即，又，即，即，可得，由，即，又，解得，，则椭圆的方程为；假设y轴上存在定点，使得PN平分，可得，设，，则，由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，由P在椭圆内，可得恒成立，可得，，又，可得，即，即，化为，即，可得，则存在定点，使得PN平分．解析：设，，，，运用椭圆的定义和三角形的面积公式和余弦定理，化简可得b，再由离心率公式和a，b，c的关系解得a，c，可得椭圆方程；假设y轴上存在定点，使得PN平分，可得，由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，可得所求定点．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：由，得，若，则，在R上单调递增，无极值；若，由，得．当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值为，无极大值；证明：．要证，即证，也就是证．令，，由单调递增，单调递增，可知单调递增，当时，，当时，．存在零点，当时，，当时，．有最小值为．又，即，．．综上，．解析：，可得时，，在R上单调递增，无极值；时，求解导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，可得函数单调性，从而求得有极小值，无极大值；要证，即证令，，由单调性可得存在零点，当时，，当时，，有最小值为结合，即，，替换后利用基本不等式证明．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值与最值，考查数学转化思想方法，考查推理运算能力，属难题．22.答案：解：作出曲线M的图形如图一个半圆与两个四分之一圆；直线l的倾斜角为锐角且与曲线M相切并恰好有两个切点，图象如图，则直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为．直线l的直角坐标方程为，即．则直线l的极坐标方程为．解析：直接由曲线的极坐标方程画出图形；由题意结合图象求得切线的直角坐标方程，再由直角坐标与极坐标的互化公式可得切线l的极坐标方程．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．23.答案：解：，时，不成立，舍去．时，由，解得：．时，成立，．综上可得：不等式的解集为：由可得：．若使，则．，即．解得：．解析：，分类讨论即可得出不等式的解集．由可得：若使，则即可得出．本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学-答案
图1
9．框图表示输出 y 2 x ，y 3 | x | 中的较小者，如图 3，随 x 在 R 上 变化时，在 A 处取最大值，最大值为 2，故选 A． 10．易求上底面圆心至球最低点距离为 1 1 ，则 r 1 r 2 ，得 2 2
1 3 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 ，① S△AMN |AF | |y1 y2 | 2 2
y k ( x 1)， (3 4k 2 ) y 2 6ky 9k 2 0 ， 2 2 3x 4 y 12 0 y1 y2 6k 9k 2 y y ， ． …………………………………………………… （6 分） 1 2 3 4k 2 3 4k 2 3 6k 36k 2 k2 k4 18 ，………………………（8 分） 2 3 4k 2 3 4k 2 (3 4k 2 ) 2 t 3 ， 4
理科数学参考答案·第 2 页（共 6 页）
所以 A
（Ⅱ） 在三角形 ABC 中， △ACD 解的个数即为三角形 ABC 解的个数， 作 AB 边上的高 CE ，
则 | CE |
当 3
3 | AC | 或 3≥ | AC | ，即 | AC | 2 或 | AC | ≤ 3 时，三角形 ABC 有一解； 2
理科数学参考答案·第 1 页（共 6 页）
12．如图 4，由题知 M (0， r ) ， F 为 AM 的中点，则 A( p，r ) ，代入 抛物线，得 r 2 p，直线 l 过焦点， x A xB |AB| xA xB p l 的距离 d
p2 p ， 则 xB ， 4 4
-高考数学双向细目表
函数概念与基本初等函数丨
函数
简单定义域值域，了解映射
V
图像法、列表法、解析法表示函数
V
分段函数
V
函数单调性、最值及几何意义
V
函数奇偶性
V
函数图像研究函数性质
V
指数函数
指数函数模型背景
V
有理、实数指数幕、幕的运算
V
指数函数概念、单调性
V
指数函数图像过定点
V
对数函数
对数的概念及其运算
V
换底公式、自然对数、常用对数
用坐标表示平面向量共线的条件
V
平面向量的数量积
平面向量的数量积含义与物理意义
V
平面向量的数量积与向量投影关系
V
数量积坐标表达式与运算
V
用数量积表示夹角
V
用数量积判断两个向量的垂直关系
V
向量的应用
解决平面几何问题
V
解决实际问题
V
三角恒等变换
和与差的三角函数
公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
V
二倍角公式
V
几何概型的意义
V
基本初等
函数II
任意角的概念、弧度制
任意角的概念
V
弧度制的概念、弧度与角度的互化
V
三角函数
理解正弦、余弦、正切的定义
V
单位圆的三角函数线
V
诱导公式
V
会画三角函数图像
V
三角函数周期性
V
正余弦单调性、最值与X轴交点等性质
V
正切函数性质
V
冋角三角函数的基本关系式
V
正弦型函数参数对图像变化的影响
茎叶图
云南省曲靖市第一中学2020届高三高考复习质量检测卷(六)数学(理)试题答案
曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBADCCDAABB【解析】1． (13)A =-，，[1)B =-+∞，，故选D ．2．71i 2525z =-，71i 2525z =+，22712||2525z ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ． 3．如图1，取AB 的中点C ，12AO AC CO AB CO =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴AO AB =u u u r u u u r g21922AB =u u ur ，故选B ． 4．145222v =⨯+=；2225 3.5113.5v =⨯+=；3113.55 2.6564.9v =⨯-=；4564.95 1.7v =⨯+2826.2=，故选A.5．tan 2α=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++，故选D. 6．12113312(5)()a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，，11a =∴，3d =或14a =，0d =，91825a d =+=∴或94a =，故选C. 7．几何体（如图2）为三棱锥S ABC -，2ABC S =△，22SAB SBC S S ==△△23SAC S =△24223+，故选C.8．由题设知πππ3122πππ6122ωω⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥，≤，504ω<∴≤，故选D.9．()()4f x f x -+=∵，()f x ∴的图象关于点(02)，对称，224M m +=⨯=∴，故选A. 10．图3中阴影部分的面积为π34π432π23333⎛-+= ⎝⎭，故概率图1图2图34π34P==-，故选A.11．由()0f x=，得ln x ax=，ln xax=，设ln)xxxϕ(=，当(0)x∈+∞，，21ln()xxxϕ-'=，当0ex<<时，()0xϕ'>；当ex>时，()0xϕ'<，∴()xϕ在(0e)，上为增函数，在(e)+∞，上为减函数且()0xϕ>，∴1(e)eϕ=，∴1ea<<，故选B.12．设双曲线的渐近线与x轴的夹角为θ，则它与y轴的夹角为π2θ-，∴11coseθ=，211πsincos2eθθ==⎛⎫-⎪⎝⎭，∴1211πsin cos4e eθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴11e+21(1e∈，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．令0x=，得1a=，令1x=，得1001210(2)1024a a a a++++=-=L，∴12310a a a a++++L 10(2)1023=-=.14．由113n n n na a a a++=-，知1113n na a+-=，又111a=-，∴134nna=-，∴134nan=-.15．设切线方程为202yy y k xp⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由2222yy y k xpy px⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，，得2200220ky py py ky-+-=，22200044(2)4()p k py ky p ky∆=--=-，由0∆=，求得pky=，∴切线方程为22ypy y xy p⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即00y y px px=+.16．∵OB OC OP===4PB PC==，∴222OB OP PB+=，222OC OP PC+=，∴OP OB⊥，OP OC⊥，∴OP⊥平面ABC，设(0PM t t=<<，则CN t=，111sin)323M OCNV CO CN OCN OM t t-=∠=g g g g，当t=23M OCNV-=最大.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）∵2cos m n a A =r rg ，∴cos cos 2cos b C c B a A +=， ………………………………………………（2分）sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，sin()2sin cos B C A A +=，sin 2sin cos A A A =， ……………………………………………………………（4分）又sin 0A >，∴1cos 2A =，∴60A =︒. ……………………………………………………………（6分） （2）设||||AB AC AD AB AC λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ， 即||||AD AB AC AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ……………………………………………………（8分） ∵D 在BC 边上，∴1||||AB AC λλ+=u u ur u u u r ， 即1c b λλ+=，209bc b c λ==+. ………………………………………………（10分） ∵209||||AB AC AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2222020(121cos601)399AD ⎛⎫⎛⎫=+︒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r g g g ，||AD ∴ ……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）3386331414C C ()1C C P A =-- ………………………………………………………（2分）197219191=-=. ………………………………………………………（5分） （2）Z 的取值为0，1，2，3，38314C 14(0)C 91P Z ===，2186314C C 42(1)C 91P Z ===g ，1286314C C 30(2)C 91P Z ===g ， 36314C 5(3)C 91P Z ===， ……………………………………………………………（8分）∴Z 的分布列为Z 0 1 2 3P1491 4291 3091 591……………………………………………………………（10分）1442305117()01239191919191E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，取AC 的中点O ，连接OD ，OB ， ∵DA DC =，∴AC OD ⊥， 又ABC △为正三角形，∴AC OB ⊥， 而OB OD O =I ，∴AC ⊥平面OBD ，又BD ⊂平面OBD ，∴AC BD ⊥. ……………………………………………………………………（5分） （2）解：在OBD △中，∵2AB BD ==，∴1OD =，3OB =， ∴222OD OB BD +=，∴DO OB ⊥，而DO AC ⊥，∴DO ⊥平面ABC . ………………………………………………（7分） 如图建立坐标系，(000)O ，，，(100)A ，，，(100)C -，，，(030)B ，，，(001)D ，，， (101)AD =-u u u r，，，设平面ABE 的一个法向量为()n x y z =r，，，由00n AB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，，得(313)n =-r ，，， ………………………………………………（9分） 记直线AD 与平面ABE 所成角为θ，图4则||sin ||||AD n AD n θ==u u u r r g u u u r r . ……………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）12||||2MF MF a +=，2221212||||2||||cos604MF MF MF MF c +-︒=，∴222123||||444MF MF a c b =-=，2124||||3MF MF b =，∴214sin 6023b ︒=g 26b =. …………………………………………………………（2分）又2214c a =，222a b c =+，∴28a =， ∴椭圆的方程为22186x y +=. ……………………………………………………（6分） （2）假设存在(0)P t ，，使得PN 平分APB ∠， 当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为12y kx =+， 由2212186y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22(34)4230k x kx ++-=， 设11()A x y ，，22()B x y ，， 则122434k x x k -+=+，1222334x x k -=+， ∵PN 平分APB ∠，0PA PB k k +=， ……………………………………………（8分） ∴12120y t y t x x --+=， 2112()()0x y t x y t -+-=，211211022x kx t x kx t ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121212()02kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，22231(4)2034234k k t k k -⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭gg， 2123t -=，12t =，∴存在点(012)P ，，使PN 平分APB ∠， 当l 垂直于x 轴时，l 过点P ，∴存在点(012)P ，，使得PN 平分APB ∠. ………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （1）解：2()e x f x ax =-，2()2e x f x a '=-. ……………………………………………………………（1分）i ．当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上为增函数，没有极大值，也没有极小值；…………………………………………………………………………（3分）ii ．当0a >时，由()0f x '=，得1ln 22a x =，当1ln 22ax <时， ()0f x '<，当1ln 22ax >时，()0f x '>，-∴()f x 的极小值为1ln ln 22222a a a af ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值. ………………………………（5分）（2）证明：0a >，2()e ln ln x F x a x a a =-+，(0)x ∈+∞，，2()2e x aF x x'=-为增函数， ∵当0x →时，()F x '→-∞，x →+∞时，()F x '→+∞， ∴存在00x >，使0()0F x '=，即0202e x ax =，00ln ln ln 22x a x =--， ………………………………………………………………………………（8分） 当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>， ∴()F x 的最小值为0200()e ln ln x F x a x a a =-+ 00(ln ln 22)ln 2aa a x a a x =---+ 002ln 22aa x a x =++g (2ln 2)a +≥，当且仅当012x =时取“=”.()(2ln2)F x a+∴≥. ………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）将极坐标方程π4cos04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤化成直角坐标方程为222(2)2x y-+=(20)x y≥，≥，表示以点1(20)O，（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作1M，将极坐标方程π3π4sin44ρθθ⎛⎫=<⎪⎝⎭≤化成直角坐标方程为222(2)2(2)x y y+-=≥，表示以点2(02)O，（直角坐标）为圆心、半径等于2的半圆弧（在直线2y=上方，左端点在直线2y=上），记作2M，将极坐标方程3π4cosπ4ρθθ⎛⎫=-<⎪⎝⎭≤化成直角坐标方程为222(2)2(20)x y x y++=<-，≥，表示以点3(20)O-，（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作3M．如图5，在网格坐标中分别作出三段圆弧123M M M，，，三段圆弧拼接而成的曲线就是所要求作的曲线M（形如一朵云彩）.…………………………………………………………………………（5分）学生不写说明（解答过程），只要图形正确即可评给5分.（2）直线l与曲线M相切并恰好有两个切点，由于切线l的倾斜角是锐角，则l与圆弧23M M，恰好各切于一点．圆弧23M M，的圆心是23(02)(20)O O-，，，，由于两个圆弧半径相等，231O Ok=，则两段圆弧的公切线l的斜率1lk=，设切线l的方程为0x y b-+=，图5圆心3(20)O -，到切线l的距离为d =2b =±考虑圆弧的位置，只能取2b =+所以，所求切线的方程是20x y -++，化为极坐标方程就是ρ=…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）14213()4222342x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，由()1f x =，得34x =， ∴()1f x ≤的解集为34x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤. ……………………………………………………（5分）（2）()f x 的最小值为4-， 若0x ∃使20()3f x a a <-， 则234a a ->-， 2340a a -+>，∴a ∈R . ………………………………………………………………………（10分）。
云南省曲靖市罗平县第一中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷含解析
云南省曲靖市罗平县第一中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>3．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C 5D ．724．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)B ．2C ．23)D ．25．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC8．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 5B 3C ．2D 22k-1A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>10．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]11．函数2sin 1x xy x+=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
曲靖一中高考复习质量监测卷六文科数学-双向细目表
20
解答题
12
（Ⅰ）导数与切线（Ⅱ）函数导数与不等式
（Ⅰ）易（Ⅱ）难
21
解答题
12
（Ⅰ）椭圆的方程（Ⅱ）直线与椭圆位置关系，圆。
（Ⅰ）易（Ⅱ）难
22
解答题
10
（Ⅰ）极坐标方程与曲线（Ⅱ）极坐标方程转化应用
（Ⅰ）中（Ⅱ）中
23
解答题
10
（Ⅰ）代数式最值（柯西不等式）（Ⅱ）全称判断与范围
（Ⅰ）中（Ⅱ）中
达成
目标
优秀率
及格率
平均分
3％
50％
100 5
命题
思想
重点考查学生对基本概念、基本知识、基本方法的掌握情况，根据复习计划，参照高考要求，检测学生应试能力.
5
双曲线的几何性质
中
11
选择题
5
（三角）函数的性质
中
12
选择题
5
方程与曲线
难
13
填空题
5
数列
易
14
填空题
5
向量（数量积）
易
15
填空题
5
求曲线的方程
中
16
填空题
5
几何体，点线面位置关系，最值
中
17
解答题
12
统计
易
18
解答题
12
三角变换，解三角形
易
19
解答题
12
（Ⅰ）直观图作图（Ⅱ位置关系探索（ ）外接球
曲靖一中高考复习质量监测卷六·双向细目表
文科数学
题号
题型
分值
试题内容
难度
1
选择题
5
云南省曲靖市第一中学2016届高三高考复习质量监测卷(
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合2102x xx ⎧+⎫A =≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x x B =<，则()RA B =ð（ ）A ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x <<2.复数321iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 为（ ） A ．1522i -+ B ．1522i -- C ．1522i + D ．1522i -3.阅读如图1的程序框图，若输入6n =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6图14.某几何体的三视图如图2所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A ．6 B ．4 C ．2D ．6图25.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α C ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．19.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ）A ．()()0,23,4B ．()()0,24,5C ．()()2,34,5D ．()()2,33,410.已知函数()sin f x x x ωω=+（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎛⎝⎦ B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．12⎡⎢⎣⎦D ．⎣⎦12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25C ．15 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,2a =，()1,1b =-，且()a b b λ+⊥，则2a b λ-的值为 ．14.若4m x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6展开式中含x 项的系数是 ．15.设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ． 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n nnS a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+．（I ）求角A 的大小；（II ）若sin sin C 1B +=，2b =，试求C ∆AB 的面积．18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（III ）求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB 旋转90，得到C D ''AB （如图3）． （I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A -N -的余弦值．图320.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝⎭，，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O ，求实数λ的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++． （I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值； （II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．图423.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈． （I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案一、选择题二、填空题13.60 15.02k <≤ 16.12n n +-+ 三、解答题 17.解：（I ）()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++． ∴4cos 2bc bc -A =． ∴1cos 2A =-．0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）sin sin C 1B +=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +Bsin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分）又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB的面积C 1sin 2S bc ∆AB =A =12分）18.解：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=，若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）19.（I ）证明：1D C 2A =B ，N 是C B 的中点， ∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形， ∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =，∴D AB =BN =A ， ∴四边形CD AN 是菱形， ∴1C DC 302∠A B =∠B =，∴C 90∠BA =，即C A ⊥AB ．平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分） （II ）解：C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ．如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B，()C，(C '，12⎛⎫N ⎪ ⎪⎝⎭，则(C 'B =-，(CC 0,'=． 设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩⇒()3,1,1n =．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =，C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩()3,1,0m ⇒=-， 设二面角C C 'A -N -的平面角为θ，∴5cos n m n m θ⋅==-，∴二面角C C 'A -N -的余弦值为12分）20.解：（I ）由题意得：c a =，222a b c -=， ∴b c=．又椭圆经过点⎛M ⎝⎭，则2213124a b +=， 解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分）（II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，216240k ∆=->，得232k >， 122812k x x k +=+，122612x x k=+，所以AB == 又点O 到直线l 的距离为h =，∴∆OAB的面积1122S h ∆OAB=⋅AB ⋅==． 令t =0t >），得2223k t =+，则S t t∆OAB ==≤=+当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>， 所以S ∆OAB ．…………………（6分） （III ）由2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=，122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+， 可得()121222212m y y k x x m k+=++=+．…………………（7分） 由向量加法得OA +OB =OP ，Q λOP =O ，∴Q λOA+OB =O ．①当0m =时，点A ，B 关于原点对称，则0λ=，此时不构成平行四边形，∴舍去； ②当0m ≠时，点A ，B 不关于原点对称，设点()00Q ,x y ，则由Q λOA+OB =O 得()()01201211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（0λ≠）， 即()()020*******km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩．…………………（9分） 由点Q 在椭圆C 上，得220022x y +=，化简得()()2222241212m k k λ+=+．2120k +≠，∴()222412m k λ=+．①又()()()2222221641222812k m k m k m ∆=-+-=+-，0∆>得2212k m +>，②联立①、②得2224m m λ>，0m ≠，∴24λ<，即22λ-<<且0λ≠．综上：22λ-<<且0λ≠．…………………（12分）21.（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =． 又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减， 所以()()max 00f x f a ===．…………………（2分）（II ）解：因为()222211m x x m g x x x x ++'=+=++， 又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数， 则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立， 由此可得12m ≥．…………………（4分） 若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数， 则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立， 因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值， 所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分） 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++， 显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立． 令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>-⎪⎝⎭， 即311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分） 22.证明：（I ）D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ． D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ．GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA +∠BA =∠E A +∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =，D 90∠B A =，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ． AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ．AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）23.解：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数）， 将上式代入24y x =，得29110250T -T+=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 24.解：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-，当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）（II ）函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，故()()20f x g x ->，等价于213a x x <-++．设()31,32135,3131,1x x h x x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=--<≤⎨⎪+>⎩根据函数()h x 的单调减区间为(],1-∞、增区间为()1,+∞，可得当1x =时，()h x 取得最小值为4，∴当4a <时，函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方．…………………（10分）。
2023年2024届9月月考数学-双向细目表
12
导数
5
32
合计
22
150
2023年2024届9月月考·双向细目表
数 学
题号
内容
知识点组合
解题
步数
难度
预估难度
1
集合的运算
集合的交集
2
易
0.90
2
简易逻辑
充分必要条件、解不等式
2
易
0.90
3
排列组合
相邻问题和插空问题
2
易
0.85
4
三角函数
诱导公式、倍角公式
2
易
0.85
5
三角函数
三角函数平移，三角函数对称轴
3
中
0.80
6
概率
全概率和条件概率
7
中
0.60
ห้องสมุดไป่ตู้21
概率与统计
独立性检验、数列与概率结合，期望及实际应用
9
较难
0.50
22
导数
单调性、极值、同构、数形结合
12
难
0.30
平均分
估计
105
及格率
估计
85%
优秀率
估计
15%
知识板块
命题数目
分值
集合
1
5
简易逻辑
1
5
不等式
1
5
三角函数
7
35
解三角形
1
12
概率统计
3
22
数列
1
10
立体几何
1
12
解析几何
3
中
0.60
7
导数与三角
三角函数与导数
曲靖一中高考复习质量监测卷六理数-答案
__________________________________________________曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+， 又2222cos a b c bc A =+-，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++， ∴4cos 2bc A bc -=，∴1cos 2A =-．∵0πA，∴2π3A．………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵sin sin 1B C +=，∴πsin sin 13B B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．ππππsin sin cos cos sin sin cos cos sin 3333B B B B B +-=+__________________________________________________πsin 13B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………（8分） 又B 为三角形内角， ∴ππ32B +=，π6B =， ∴π6C =， ∴2b c ==，∴ABC △的面积1sin 2ABC S bc A ==△……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x ，y ，z ， 依题意得(1)(1)0.06(1)0.091(1)(1)(1)0.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，，，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，.所以学生小张选修甲的概率为0.25．……………………………………………………（4分） （Ⅱ）若函数2()f x x x ξ=+，为R 上的偶函数，则0ξ=， 当0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选， ∴()(0)(1)(1)(1)P A P xyz x y z ξ===+--- 0.250.60.4(10.25)(10.6)(10.4)0.24=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52E ξ=⨯+⨯=．……………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵12AD BC =，N 是BC 的中点， ∴AD NC =．__________________________________________________又AD BC ∥，∴四边形ANCD 是平行四边形， ∴AN DC =．又ABCD 为等腰梯形，60CBA =︒∠， ∴AB BN AD ==， ∴四边形ANCD 是菱形，∴1302ACB DCB ==︒∠∠，∴90BAC =︒∠，即AC AB ⊥． ∵平面ABC '⊥平面ABC ，平面ABC '平面ABC AB =，∴AC ⊥平面ABC '．又BC '⊂平面ABC '，∴AC BC '⊥．……………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：∵AC ⊥平面ABC '， 同理AC '⊥平面ABC ．如图1建立空间直角坐标系A xyz -， 设1AB =，则(100)B ，，，(030)C ，，， (003)C '，，，1302N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 则(103)BC '=-，，，(033)CC '=-，，． 设平面C NC '的法向量为111()n x y z =，，， 0(311)0BC n n CC n ⎧'=⎪⇒=⎨'=⎪⎩，，，． 设平面ANC '的法向量为222()m x y z =，，， 0(310)0AN m m AC m ⎧=⎪⇒=-⎨'=⎪⎩，，，， 设二面角A C N C '--的平面角为θ，图1__________________________________________________∴5cos ||||n m n m θ==-，∴二面角A C N C '--的余弦值为………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得：c a =222a b c -=， ∴b c =．又椭圆经过点M ⎛ ⎝⎭， 则2213124a b +=， 解得1c =， 所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………………………………（3分）（Ⅱ）当2m =-时，即直线2l y kx =-：，依题意知若l x ⊥轴时，不存在OAB △，所以不合题意． 设点A ，B 的坐标分别为11()A x y ，，22()B x y ，， 由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩，，得22(12)860k x kx +-+=， 216240k ∆=->，得232k >， 122812k x x k +=+，122612x x k =+，所以||AB =又点O 到直线l 的距离为h =∴OAB △的面积22222111624||12222(12)1OABk S AB h kk k -==+=++△令0)t t=>，得2223k t=+，则42OABStt===+△≤，当且仅当4tt=，即2t=时等号成立，此时272k=且满足0∆>，所以OABS△的最大值为2．……………………………………………………………（6分）（Ⅲ）由2222y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m+++-=，122412kmx xk+=-+，21222212mx xk-=+，可得121222()212my y k x x mk+=++=+．…………………………………………………（7分）由向量加法得OA OB OP+=，∵OP OQλ=，∴OA OB OQλ+=．①当0m=时，点A B，关于原点对称，则0λ=，此时不构成平行四边形，∴舍去；②当0m≠时，点A B，不关于原点对称，设点00()Q x y，，则由OA OB OQλ+=得0120121()(0)1()x x xy y yλλλ⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩，，，即02024(12)2(12)kmxkmykλλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，，………………………………………………………………………（9分）由点Q在椭圆C上，得220022x y+=，化简得222224(12)(12)m k kλ+=+．____________________________________________________________________________________________________∵2120k +≠， ∴2224(12)m k λ=+．①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-， ∵0∆>得2212k m +>，② 联立①、②得2224m m λ>，∵0m ≠，∴24λ<，即22λ-<<且0λ≠．综上：22λ-<<且0λ≠．……………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为32()2f x x x a =-+， 所以2()34f x x x '=-． 令()0f x '=，得0x =或43x =． 又()f x 在102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上递增，在(01]，上递减，所以max ()(0)0f x f a ===．……………………………………………………………（2分）（Ⅱ）解：因为222()211m x x m g x x x x ++'=+=++， 又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在(1)-+∞，上恒成立． 若()0g x '≥在(1)-+∞，上恒成立， 即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭≥在(1)-+∞，上恒成立，由此可得12m ≥．…………………………………………………………………………（4分）若()0g x '≤在(1)-+∞，上恒成立， 即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭≤在(1)-+∞，上恒成立，__________________________________________________因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在(1)-+∞，上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在(1)-+∞，上恒成立．………………………………（6分） 综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………（7分）（Ⅲ）证明：在（Ⅰ）的条件下，当1m =时， 32()()()ln(1)F x f x g x x x x =+=-++，则32213(1)()3211x x F x x x x x +-'=-+=++，显然当(0)x ∈+∞，时，()0F x '>， 所以()F x 在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0F x F >=，即23ln(1)x x x +>-在(0)+∞，上恒成立．令*1(0)()x n n=∈+∞∈N ，，……………………………………………………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，即311lnn n n n+->*()n ∈N 恒成立．……………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）∵PD PG =，∴∠PDG =∠PGD ． ∵PD 为切线，∴∠PDA =∠DBA ． ∵∠PGD =∠EGA ，∴∠DBA =∠EGA ， ∴∠DBA ＋∠BAD =∠EGA ＋∠BAD ， 由三角形内角和，得∠BDA =∠PF A ． ∵AF ⊥EP ，∴∠PF A =90°，∠BDA =90°，∴AB 为圆的直径．………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图2，连接BC ，DC ． ∵AB 是直径，∴∠BDA =∠ACB =90°．在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ，AC =BD ，__________________________________________________从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA ． ∵∠DCB =∠DAB ，∴∠DCB =∠CBA ，∴DC //AB ．∵AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，∠DCE 为直角， ∴ED 为直径．由（Ⅰ）知AB 为圆的直径，∴ED =AB ．……………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩，，（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=． 又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos2θρθ=-，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．………………………………………………（4分） （Ⅱ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点(01)P -，．由（Ⅰ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x T y T ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（T 为参数），将上式代入24y x =，得29110250T T -+=， 所以1225||||||9PA PB TT ==．…………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）关于x 的不等式即|3|6x a -++>，即|3|6x a +<-， 当6a ≤时无解；当6a >时，由(6)36a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为(39)(6)a a a -->，．………………………………………………（4分） （Ⅱ）函数2()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方， 故2()()0f x g x ->，等价于2|1||3|a x x <-++．图2__________________________________________________设313()2|1||3|531311x x h x x x x x x x ---⎧⎪=-++=--<⎨⎪+>⎩，≤，，≤，，，根据函数()h x 的单调减区间为(1]-∞，、增区间为(1)+∞，， 可得当1x =时，()h x 取得最小值为4，∴当4a <时，函数2()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方．……………（10分）。
2023年数学学科高考双向细目表
2023年数学学科高考双向细目表第一部分：知识与技能
1.1 数与代数
- 数的性质和运算
- 同类项与合并
- 一元一次方程与不等式
- 二元一次方程组与不等式组
- 函数与图像
- 幂指对数
- 平面向量
1.2 几何与形状
- 二维平面几何
- 三维空间几何
- 点、直线与面的位置关系
- 图形的性质与计算
- 圆的性质与计算
- 空间中的平面与直线
1.3 数据、统计与概率
- 数据的收集与整理
- 数据的分析与解释
- 概率的基本概念
- 概率计算与应用
- 统计与统计图表
第二部分：解决问题与实践应用
2.1 数学问题解决
- 解决实际问题的数学建模
- 利用数学工具解决问题
- 数学推理与论证方法
2.2 数学实践应用
- 应用数学知识解决实际问题
- 利用数学工具进行实际操作
- 数学思维与计算能力的培养
第三部分：学科素养与拓展
- 数学史和数学文化
- 数学与其他学科的关系
- 数学研究方法和论文写作
以上为2023年数学学科高考双向细目表，包含了数学学科的知识与技能、解决问题与实践应用以及学科素养与拓展三个部分。
详细列出了各个部分的具体内容，旨在指导学生备考高考并培养数学思维与计算能力。
云南曲靖市第一中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷含解析
云南曲靖市第一中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ） A ．0 B ．1C ．-1D ．2log 34．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%6．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32 7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =9．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A ．22B ．32C ．42D ．32210．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π11．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 12．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024—2024学年数学双向细目表
推理实力
运算实力
√
4
15
分式化简求值
（3）
运算实力
√
6
16
三角形全等的判定、等腰三角形的性质
（1）
（3）
（3）
推理实力
√
6
17
分式方程的实际应用
（3）
（2）
运算实力解决实际问题实力
√
7
18
一次函数在实际问题中应用
（3）
（1）
运算实力解决实际问题实力
√
7
19
统计表、频数分布直方图、扇形统计图
（1）
（3）
（2）
（3）
数据处理实力、运算实力
√
8
20
概率（列表法、画树形图）
（1）
（3）
（1）
（3）
随机意识运算实力
√
8
21
特别角的三角函数值、运用三角函数解决简洁实际问题
（3）
（4）
（2）
解决问题实力运算实力
√
√
7
22
菱形的判定和性质、角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理、解一元一次方程
（3）
（4）
（2）（3）
2024～2024学年学业水平模拟考试数学
双向细目表
项目
题号
学问内容
考试要求
实力考查
难易程度
分值
学问技能要求
过程性求
易
中
难
1
肯定值
（2）
合理推断
√
3
2
提公因式法和运用公式法分解因式
（3）
运算实力
√
3
3
二次根式有意义的条件
曲靖一中高考复习质量监测卷六理数-答案教学内容
理科数学参考答案·第1页（共9页）曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+， 又2222cos a b c bc A =+-，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++， ∴4cos 2bc A bc -=，∴1cos 2A =-．∵0πA <<，∴2π3A =．………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵sin sin 1B C +=，∴πsin sin 13B B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．ππππsin sin cos cos sin sin cos cos sin 3333B B B B B +-=+理科数学参考答案·第2页（共9页）πsin 13B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………（8分） 又B 为三角形内角， ∴ππ32B +=，π6B =， ∴π6C =， ∴2b c ==，∴ABC △的面积1sin 2ABC S bc A ==△……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x ，y ，z ， 依题意得(1)(1)0.06(1)0.091(1)(1)(1)0.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，，，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，.所以学生小张选修甲的概率为0.25．……………………………………………………（4分） （Ⅱ）若函数2()f x x x ξ=+，为R 上的偶函数，则0ξ=， 当0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选， ∴()(0)(1)(1)(1)P A P xyz x y z ξ===+--- 0.250.60.4(10.25)(10.6)(10.4)0.24=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52E ξ=⨯+⨯=．……………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵12AD BC =，N 是BC 的中点， ∴AD NC =．理科数学参考答案·第3页（共9页）又AD BC ∥，∴四边形ANCD 是平行四边形， ∴AN DC =．又ABCD 为等腰梯形，60CBA =︒∠， ∴AB BN AD ==， ∴四边形ANCD 是菱形，∴1302ACB DCB ==︒∠∠，∴90BAC =︒∠，即AC AB ⊥．∵平面ABC '⊥平面ABC ，平面ABC 'I 平面ABC AB =， ∴AC ⊥平面ABC '．又BC '⊂平面ABC '，∴AC BC '⊥．……………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：∵AC ⊥平面ABC '， 同理AC '⊥平面ABC ．如图1建立空间直角坐标系A xyz -， 设1AB =，则(100)B ，，，(030)C ，，， (003)C '，，，1302N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 则(103)BC '=-u u u u r，，，(033)CC '=-u u u u r ，，． 设平面C NC '的法向量为111()n x y z =r，，，0(311)0BC n n CC n ⎧'=⎪⇒=⎨'=⎪⎩u u u u r r rg u u u ur r g ，，，． 设平面ANC '的法向量为222()m x y z =u r，，，0(310)0AN m m AC m ⎧=⎪⇒=-⎨'=⎪⎩u u u r u ru r g u u u u r u r g ，，，， 设二面角A C N C '--的平面角为θ，图1理科数学参考答案·第4页（共9页）∴cos ||||n m n m θ==r u r g r u r ，∴二面角A C N C '--的余弦值为………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得：c a =222a b c -=， ∴b c =．又椭圆经过点M ⎛ ⎝⎭， 则2213124a b +=， 解得1c =， 所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………………………………（3分）（Ⅱ）当2m =-时，即直线2l y kx =-：，依题意知若l x ⊥轴时，不存在OAB △，所以不合题意． 设点A ，B 的坐标分别为11()A x y ，，22()B x y ，， 由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩，，得22(12)860k x kx +-+=， 216240k ∆=->，得232k >， 122812k x x k +=+，122612x x k =+，所以||AB = 又点O 到直线l的距离为h =∴OAB △的面积11||22OABS AB h ===g g △令0)t t=>，得2223k t=+，则42OABStt===+△≤，当且仅当4tt=，即2t=时等号成立，此时272k=且满足0∆>，所以OABS△的最大值为2．……………………………………………………………（6分）（Ⅲ）由2222y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m+++-=，122412kmx xk+=-+，21222212mx xk-=+，可得121222()212my y k x x mk+=++=+．…………………………………………………（7分）由向量加法得OA OB OP+=u u u r u u u r u u u r，∵OP OQλ=u u u r u u u r，∴OA OB OQλ+=u u u r u u u r u u u r．①当0m=时，点A B，关于原点对称，则0λ=，此时不构成平行四边形，∴舍去；②当0m≠时，点A B，不关于原点对称，设点00()Q x y，，则由OA OB OQλ+=u u u r u u u r u u u r得0120121()(0)1()x x xy y yλλλ⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩，，，即02024(12)2(12)kmxkmykλλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，，………………………………………………………………………（9分）由点Q在椭圆C上，得220022x y+=，化简得222224(12)(12)m k kλ+=+．理科数学参考答案·第5页（共9页）理科数学参考答案·第6页（共9页）∵2120k +≠， ∴2224(12)m k λ=+．①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-， ∵0∆>得2212k m +>，② 联立①、②得2224m m λ>，∵0m ≠，∴24λ<，即22λ-<<且0λ≠．综上：22λ-<<且0λ≠．……………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为32()2f x x x a =-+， 所以2()34f x x x '=-． 令()0f x '=，得0x =或43x =． 又()f x 在102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上递增，在(01]，上递减，所以max ()(0)0f x f a ===．……………………………………………………………（2分）（Ⅱ）解：因为222()211m x x m g x x x x ++'=+=++， 又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在(1)-+∞，上恒成立． 若()0g x '≥在(1)-+∞，上恒成立， 即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭≥在(1)-+∞，上恒成立，由此可得12m ≥．…………………………………………………………………………（4分）若()0g x '≤在(1)-+∞，上恒成立， 即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭≤在(1)-+∞，上恒成立，理科数学参考答案·第7页（共9页）因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在(1)-+∞，上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在(1)-+∞，上恒成立．………………………………（6分） 综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．…………………………………………（7分）（Ⅲ）证明：在（Ⅰ）的条件下，当1m =时， 32()()()ln(1)F x f x g x x x x =+=-++，则32213(1)()3211x x F x x x x x +-'=-+=++，显然当(0)x ∈+∞，时，()0F x '>， 所以()F x 在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0F x F >=，即23ln(1)x x x +>-在(0)+∞，上恒成立．令*1(0)()x n n=∈+∞∈N ，，……………………………………………………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，即311lnn n n n+->*()n ∈N 恒成立．……………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）∵PD PG =，∴∠PDG =∠PGD ． ∵PD 为切线，∴∠PDA =∠DBA ． ∵∠PGD =∠EGA ，∴∠DBA =∠EGA ， ∴∠DBA ＋∠BAD =∠EGA ＋∠BAD ， 由三角形内角和，得∠BDA =∠PF A ． ∵AF ⊥EP ，∴∠PF A =90°，∠BDA =90°，∴AB 为圆的直径．………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图2，连接BC ，DC ． ∵AB 是直径，∴∠BDA =∠ACB =90°．在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ，AC =BD ，理科数学参考答案·第8页（共9页）从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA ． ∵∠DCB =∠DAB ，∴∠DCB =∠CBA ，∴DC //AB ．∵AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，∠DCE 为直角， ∴ED 为直径．由（Ⅰ）知AB 为圆的直径，∴ED =AB ．……………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩，，（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=． 又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos2θρθ=-，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．………………………………………………（4分） （Ⅱ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点(01)P -，．由（Ⅰ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x T y T ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（T 为参数），将上式代入24y x =，得29110250T T -+=， 所以1225||||||9PA PB TT ==g ．…………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）关于x 的不等式即|3|6x a -++>，即|3|6x a +<-， 当6a ≤时无解；当6a >时，由(6)36a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为(39)(6)a a a -->，．………………………………………………（4分） （Ⅱ）函数2()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方， 故2()()0f x g x ->，等价于2|1||3|a x x <-++．图2理科数学参考答案·第9页（共9页）设313()2|1||3|531311x x h x x x x x x x ---⎧⎪=-++=--<⎨⎪+>⎩，≤，，≤，，，根据函数()h x 的单调减区间为(1]-∞，、增区间为(1)+∞，， 可得当1x =时，()h x 取得最小值为4，∴当4a <时，函数2()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方．……………（10分）。
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21
解答题
12
（Ⅰ）讨论函数的极值（Ⅱ）存在性问题求范围
（Ⅰ）中（Ⅱ）难
22
解答题
10
（Ⅰ）求方程（Ⅱ）求范围
（Ⅰ）易（Ⅱ）易
23
解答题
10
（Ⅰ）求绝对值不等式（Ⅱ）存在性问题
（Ⅰ）易（Ⅱ）易
达成
目标
优秀率
及格率
平均分
3％
65％
110 5
命题
思想
重点考查学生对基本概念、基本知识、基本方法的掌握情况，根据复习计划，参照高考要求，检测学生应试能力.
5
函数、导数
中
12
选择题
5
双曲线的离心率
中
13
填空题
5
二项式定理
易
14
填空题
5
数列的通项公式
易
15
填空题
5
曲线的切线方程
易
16
填空题
5
空间立体几何
中
17
解答题
12
解三角形
易
18
解答题
12
概率：超几何分布
易
19
解答题
12
（Ⅰ）线线垂直（Ⅱ）求线面角
（Ⅰ）易（Ⅱ）中
20
解答题
12
（Ⅰ）椭圆的方程（Ⅱ）存在性问题
曲靖一中高考复习质量监测卷六·双向细目表
理科数学
题号
题型
分值
试题内容
难度
1
选择题
5
集合的关系
易
2
选择题
5
复数的运算
易
3
选择题
5
向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的数量积
易
4
选择题
5
算法
易
5
选择题
5
三角恒等变换
易
6
选择题
5
等差数列
易
7
选择题
5
三视图
易
8
选择题
5
三角函数的图像及性质
易
9
选择题
5
函数的性质
中
10
选择题
5
几何概型
中
11
选择题