集合论与图论复习题

集合论图论复习题
1、填空题
⑴ 设A={2，a ，{3}，4}，B={Φ，4，{a}，3}，则A ⊕B= ；
⑵ 设A={2，3，4}，则P （A ）= ； ⑶ 设A={{2}，{2，4}}，则
A — A=
；
⑷ 设<x ，y+5>=<y+1，2x>，则x ，y= ；
⑸ 设A={0，1}，B={1，2}则A ⨯B= ； ⑹ 设A={a ，b ，c ，d}，则A 上所有 个二元关系； ⑺ 设A={a ，b ，c ，d}，则I A = ； ⑻ 设R={<x ，y>∣x ，y ∈N ∧x+3y=12}，则domR=
；
ranR= ；R R= ；R ↾{2，3，4，6}= ；R[{3}]= ；
⑼
112R R -⋃（）＝ 112R R -⋂（）＝ ； ⑽ A 上的等价关系是同时具有 性质的关系； ⑾ A 上的偏序关系是同时具有 性质的关系；
⑿ A 上的关系R 自反，反自反，对称，反对称、传递的充要条件是 ； ⒀ 设A={x ∣x 是单词“mathematics ”中的字母}，则cardP （A ）= ； ⒁ 已知A 、B 都是可数集，则card （A B ）= ；card （A ⨯B ）= ⒂ Z 、Q 、R 分别是整数集、有理数集、实数集，用 或者≈
将
A 是英文字母
的集合，B={x ∣x ∈Z 且2∣x}，C=Q ，D={<x ，y>∣x ，y ∈R ，x+y=1}，E=P （R ）则A B C D E .
⒃ 根据自然数的集合定义，3 6= ，2 5= ；3-6= ，2-5= ； ⒄ 握手定理的内容是 ； ⒅ 设21,R R 是集合{}4,3,2,1=A 上的二元关系，其中{
}4
,2,2,11,11=R ，{
}2
,3,4,2,3,24,12=
R ，则21
R R
∙= ；
⒆ 设{}d c b a ,,,=A ，21,R R 是A 上的二元关系，=1R {d
d c b b b a
a ,,,,,,，
=
2R {
},,,,,,,,,a a b b b c c c d d
，则2R 是1R 的 闭包；
⒇设A={1，2，3，4}，R 是A 上的二元关系，其关系矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=00
1100000011001
R
M
试求（1）R 的关系表达式；（2）Dom （R ）和Ran （R ）.
(21) 无向简单图是指 ；
(22) 度数列为（2，2，2，2，3，3，4，4）的一个简单图为 ；
(23) G 是n （n ≥1，n 奇数）阶无向简单图，G 与G 奇度顶点的个数 ； (24) 6阶3-正则图有 种不同构情况；
(25) G 是无向简单不连通图，则G 一定 ； (26) G 是二部图⇔G 中不含 ；
(27) G 是欧拉图⇔ ；
(28) 无向连通图含有欧拉回路的充分必要条件是_____________________.
（29）设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和__________，则G 一定是哈密顿图. 2、单项选择题
⑴ 在图E V G ,=中，结点总度数与边数的关系是（ ）
（A ）()E i 2deg =υ； （B ）()E i =υdeg ； （C ）()E v
2deg =∑∈υυ； （D ）()E v
=∑∈υυdeg
⑵ 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数为（ ）； （A ）()1-n n ； （B ）()1+n n ； （C ）
()2
1-n n ； （D ）
()2
1+n n
⑶ 设E V G ,=为无向简单图，()G n V ∆=,为图G 中结点的最大度数，则有 （A ）()n G <∆； （B ）()n G ≤∆； （C ）()n G >∆； （D ）()n G ≥∆ ⑷ 图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系是G ≌G '（同构）的（ ）. （A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分也非必要条件. ⑸ 无向图G 是欧拉图，当且仅当（ ）
（A ）G 的所有结点的度数为偶数 （B ） G 的所有结点的度数为奇数 (C) G 连通且所有结点的度数为偶数 （D ） G 连通且所有结点的度数为奇数 3、 解答题
⑴ 一个班50的学生，在第一次考试中有26人得5分，在第二次考试中有21人得5分，两次都没得5分的有17人，那么两次考试都得5分的有多少人？
⑵ 写出集合A={1，3}到B={a}的所有二元关系. ⑶ A={0，1，2，3}，R 是A 上的关系， R={<0，0>，<0，3>，<2，0>，<2，1>，<2，3>，<3，2>}
给出R 的关系矩阵和关系图，求出关系闭包r （R ），s （R ），t （R ）. ⑷ 设R 为N ⨯N 上二元关系，∀<a ，b>，<c ，d>∈N ⨯N ，<a ，b> R <c ，d>⇔b=d
ⅰ）证明R 是等价关系；ⅱ）求商集N ⨯N/R. ⑸ 设A={1，2，3，4}，R 为A ⨯A 上二元关系，∀<a ，b>，<c ，d>∈A ⨯A ，<a ，b> R <c ，d>⇔a+b=c+d ⅰ）证明R 是等价关系；ⅱ）求R 导出的划分.
⑹ A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，≤为整除关系，画出哈斯图，
在偏序集<A , ≤>中求最大元、最小元、极大元、极小元，对于集合B ＝{3，4，5，6，7}求出B 的上界、下界、上确界、下确界.
⑺ 设<A , R >和<B ，S>是偏序集，在A ⨯B 上定义关系T 如下：
∀<a ，b>，<c ，d>∈A ⨯B ， <a ，b> T <c ，d>aRc ∧bSd
证明T 是A ⨯B 的偏序关系. ⑻ 证明（0，1）≈[0，1]
⑼ 设集合A ，B ，C ，D 满足A ≈C ，B ≈D ，证明A ⨯B ≈C ⨯D ⑽ 设n 阶图G 中有m 条边，证明：δ（G ）≤
2m n
∆（G ）
⑾ 9阶无向图G 中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点. 证明 设5度顶点有m 个，则6度顶点有9-m 个，设m<6，且9-m<5。

则4<m<6，所以m=5，所以度数总和5⨯5+6⨯（9-5）=49，与握手定理矛盾
⑿ 设G 是n 阶自补图，证明：n ＝4k 或n ＝4k+1.
⒀ 设G 是n 阶n+1条边的无向图，证明G 中存在顶点v ，使得d （v ）≥3.
⒁ 设G 是6阶无向简单图，证明G 或G 中存在3个顶点彼此相邻.（6个人中或者三人互相认识或者互相不认识）
证明 将6个人看作6个点，如果某两人互相认识，那么这两点相邻.
由此可以构成6阶无向简单图G 。

所以该问题证明变成G 中有3—圈或者G 有3—圈
()()i i d v d v =5G G + ， （ i=1，2， ，6）()()11d v d v =5G G ∴+，
()()11d v d v G G ，中至少有一个大于等于3，
不妨设()1d v G ≥3，设v 2v 3v 4与v 1 相邻. 若v 2v 3v 4 某两点相邻，则这两点与v 1 构成3—圈.
若v 2v 3v 4 任两点都不相邻，则v 2v 3v 4 是G 中的3—圈.
⒂ 判别下面三幅图是否可以一笔画出？是欧拉图吗？若是，试写出一个回路。

解 ()()()是欧拉图
；通路，如一笔画出，一条欧拉存在欧拉通路，可以
；不能一笔画出c F EDBEFCABCD b a
142431321υυυυυυυυυd g h c e f b a 一个欧拉回路为
⒃ 指出下面各图是否哈密顿图，有无哈密顿通路，回路？
解 （a ）是哈密顿图；
（b ）只有哈密顿通路，不是哈密顿图，图中,,υu 有{}()3,1=-υu G P >{}2,=υu ； （c ）不是哈密顿图，不存在哈密顿通路. 教材中的练习题：
P 14 15（3）， 19（1），（2） 22， 24 P 38 5（3）， 7（1）、（2）， 17（1） P 53 14（1） ，15（1），16（2）
P65 5（1），（3）， 6（1），（2） 11（1），（2），（3） P79 2（1），（4）， 8（1），12、（1）、（2）， 24，25 P131~135
14，20，22， 31，43（2）， 46（1），47，48
P164 30，34，37
P292~295 6， 8， 24，25，29，35，39，44，50。