固体物理基础第三章晶格振动
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固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
固体物理第三章总结
时以比T3更快的速度趋于零。 温度越低，与实验吻合的越好。
kBE
局限性
E
kB
D
D
kB
晶体的非简谐效应
1.非简谐效应：
U(
R0
)
U(
R0
)
1 2!
2U R2
R0
2
1 3!
3U R3
R0
3
c 2 g 3
im jm
b1
b2
1010 i 1010 j
m 1 m 1
3.14 1010 i m 1 3.14 1010 j m1
a3 21010 km b3 1010 k m1 3.141010 k m1
S
TO 0,
3.极化声子和电磁声子
0
因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观
的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学
横波声子为电磁声子。
1.已知模式密度 ( ) 求:
(1)~+d间隔内的振动模式数;
(2) ~+d间隔内的声子数及晶体中总的声子数;
2
2
2
中的 振~ 动模d式数目：2Lc
2 d ,
v
Sc
2
v2
d ,
Vc
2 2
2
v3
d
一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波，三维有
一支纵波两支横波，纵波与横波速度相等
:
Lc 2 d , 2 v
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理05-晶格振动
周期性边界条件（Born-Karman边界条件）
包含N个原子的环状链。当系统移动N个原子后，振动情况完全复原。
i t naq u ( q ) Ae 格波解： n
周期性边界条件要求： e
iNaq
1
或
2 qn Na
n 为整数
周期性边界条件（Born-Karman边界条件）
b1 b 2 b 3 * N1 N 2 N 3 N
每个q 点有3n支模式，总共有3nN支模，正好是nN个 原子的全部自由度，即已包含所以得振动模式。
Pb的格波谱
无光学模 Why?
Cu的格波谱
光学支 金刚石的振动谱
声学支
作
业
1.分别画出 M=m, 1.5m, 2m 的一维双原子链的色散关系图。
上述方程有 解的条件是：
m 2 2 2 cos aq
2 cos aq M 2
2
0
最后解得方程：
2
( M m) Mm
( M m ) 2 4 Mm sin 2 aq
β(M m) 4 Mm 2 sin aq 1 1 2 Mm ( M m)
u ( x, q ) Ae i t qx
连续介质波中的x表示为空间中的任意一点，而晶格中的格波只 能取na格点的位置。在格波中将aq改变2π的整数倍，原子的实 际振动没有任何不同。可以将q的取值范围限制在：
a
q
a
第一布里渊区
q 取第一布里渊区外的值，不能提供新的波解。
对于格波白色和黑色的这两种波动解是等价的（只在离散 的晶格上有振动），但对连续介质波来说，这两个波是不 一样的。
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
固体物理 第三章 晶格振动
1 2 T = ∑q 2 i =1 i
3N •
3.1晶体中原子的微振动 3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能U (qi ) 按 qi 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 ∂U 1 ∂ 2U U = U0 + ∑ ( ) 0 qi + ∑ ( ) 0 qi q j + 高阶项 ∂q i 2 ij ∂qi ∂q j i 其中 U 0 = 0 平衡位置处的势能为零势能点
xn = x N + n
又 : xn = Ae
i ( kna − ωt )
又 − π < k ≤ π s = − N + 1,− N + 2⋯⋯ N 共有N个取值 ： a a 2 2 2
=1 e ⇒ 2π ⋅ s， = N+ 2π ,− π + 2 2π ,..., π 有N种均匀分布的分立取值 种均匀分布的分立取值 a L a L a 2π L 间隔∆k = ，密度 ，第一布里渊区倒格点数N。 L 2π
, ( l =1, 2, ⋯ 3N )
Ql = Ql0 sin(ωl t + α 1 )
1 ε l = (Q l + ωl2Ql2 ) 2
• 2
能量量子化
1 εl = (nl + )hυl 2
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一、简谐近似
du 1 d 2u u( x) ≈ u( x0 ) + ∆x + (∆x)2 2 dx r0 2 dx x
3.1晶体中原子的微振动 声子 3.1晶体中原子的微振动 晶格振动模式
质量加权坐标下： 质量加权坐标下：
•• 3N
↔
独立的谐振子
↔
声子
固体物理第三章
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qa qa sin m sin 或者： 2 m 2 2
m 2
m
2 a
——色散关系
为截止频率
2 i a
由上可见，ω与q的关系具有明显的周期性， ω是q的周
期函数，周期为 ，q与 q q （i为整数）对应于 ，q与 q 相应 同样的角频率ω，而且由
相邻原子的位相差：
格波2（绿色标示）的波矢： 相邻原子的位相差：
—— 两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同。
所以，为了保证 un 的单值性，只须将q限制在 , a a （a为晶格常数），这恰好是一维布拉菲格子的第一布里渊区。
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m
2
2
q
弹q
在长波极限下，一维单原子晶 格格波的色散关系和连续介质中 弹性波的色散关系一致。
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下面再比较一下长波近似下，格波与弹性波的相速度
弹性波的相速度： 弹 C
C——弹性模量 ρ——连续介质密度
晶格振动与格波的传播是不可分割的物理现象。
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模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，
原子质量为m.
u n 代表第n个原子离开平衡位置的位移。
第n个原子和第n+1个原子间的相对位移是
un 1 un
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《固体物理基础教学课件》第3章
原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
固体物理晶格振动
3. 量子描述
1 3N 2 H = pi i2Qi2 2 i =1
根据经典力学写出的哈密顿量, 可以直接用来作为量子力学分 析的出发点, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力学中的正则共轭算符
3N 1 2 2 2 2 i Qi (Q1 , Q2 ,, Q3 N ) 2 Qi i =1 2 = E (Q1 , Q2 ,, Q3 N )
方程的一般解： un = Aj e
j
i j t naq j
=
1 Nm
Q q, t einaq
q
Q(q, t ) = Nm A j e
i j t
线性变换系数正交条件：
1 N
e
n
ina q q
= q , q
系统的总机械能化为(详细推导过程见后面附录部分)
处理小振动问题时往往选用 位移矢量u (t) 的 3N 个分量 n 与平衡位置的偏离为宗量 写成ui (i=1,2,…,3N)
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级 数
V 1 3 N 2V V = V0 ui 2 i , j =1 ui u j i =1 ui 0
q=
2π s Na
晶格振动波矢只能取分立的值, 即是量子化的. 为了保证un的单值性, 限制q在一个周期内取值
< q
N N , 0, 1, 2, , 1), ( 2), ( 3), 1, 2 2
N N <s 2 2
2π q= s Na 波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
1 2 晶体链的动能： T = mun 2 n 1 2 晶体链的势能： U = un un 1 2 n 1 1 2 2 系统的总机械能： H = mun un un1 2 n 2 n
固体物理第三章
晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中每一个可能的在波矢空间中每一个可能的qq所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为单位长度波矢代表点数目单位长度波矢代表点数目二一维复式格子二一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和mm的两种不同原子构成的一维复式格子晶的两种不同原子构成的一维复式格子晶格常数格常数2a2a相邻同种原子间的距离
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
《固体物理-徐智谋》第三章 晶格振动与晶体热力学性质.ppt
2
2
2
2
(共N个值)
所以波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分离的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限: q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
因为 V p q
所以 v p a
m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
2 sin aq
m2
2.色散关系
当
q
a
,
max
2
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
原子都以同一频率，同一振幅A振动，相邻原子间的位相
差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相
关系，即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2 sin aq
m2
色散关系 (晶格振动谱) 如何推
导呢？
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解: xn Aei t naq
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r)为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
固体物理--第三章 晶格振动ppt课件
5
2a
2
q2 q1 a
5
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
6
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
子数不守恒。
11
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
试 解：
it naq
Ae n
{ Bei
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
18
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
7
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
3 晶格振动【固体物理】
第三章 晶格振动和晶体的热 学性质
在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动.
实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动
0 K下仍在振动－－ 零点能.
由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,
而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波
yAcos(t0)
yAcos[(tux)0]
晶体可视为一个相互耦合的振 动系统，这种运动就称为晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献
比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. --- 简谐近似
先考虑一维情况，再推广到三维情况
3.1 一维单原子链
模型假设
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间 距(晶格常量)为a，原子质量为m.
22 2
2
波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
N个独立的格波，
也即 N个不同频率
或者
N个独立的振动模式 (简振模) q
波矢的数目=晶体原胞的数目
3.2 一维双原子链
大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子, 这就是复 式格子.最简单的复式格子为一维双原子链.
（1）运动方程
考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子
2 qa
(与机械波不同)
2
由于原子的不连续性.
m
2
aq
sin
m2
2π/a π/ a
0
π/a
2π / a q
长波近似
q2π0, a
2sinaq2aq aq
m 2 m2 m
频率与波矢为线性关系.
在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动.
实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动
0 K下仍在振动－－ 零点能.
由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,
而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波
yAcos(t0)
yAcos[(tux)0]
晶体可视为一个相互耦合的振 动系统，这种运动就称为晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献
比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. --- 简谐近似
先考虑一维情况，再推广到三维情况
3.1 一维单原子链
模型假设
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间 距(晶格常量)为a，原子质量为m.
22 2
2
波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
N个独立的格波，
也即 N个不同频率
或者
N个独立的振动模式 (简振模) q
波矢的数目=晶体原胞的数目
3.2 一维双原子链
大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子, 这就是复 式格子.最简单的复式格子为一维双原子链.
（1）运动方程
考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子
2 qa
(与机械波不同)
2
由于原子的不连续性.
m
2
aq
sin
m2
2π/a π/ a
0
π/a
2π / a q
长波近似
q2π0, a
2sinaq2aq aq
m 2 m2 m
频率与波矢为线性关系.
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质.
方程了，方程解为： nq Aei( tnaq )
2. 格波—解的物理意义 连续介质波的解：
i (t 2
Ae
x)
Ae i(t qx )
格波：上述原子振动方程的解与一般连续介质的波有完全类似
的形式，所不同的是只在格点位置上有原子的振动。我们称原
子振动的波为“格波”。
格波与连续介质波的区别：
（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取
将包含N个原胞的有限原子链首位相连， 呈封闭环，使链上所有原（胞）子等价。
第n个原（胞）子与第n+N个原子情况完 全相同。B-K边界条件也
称周期性边界条件。nq Aei(tnaq)
边界条件要求：eiNaq 1 即：Nqa=2 π h， q 2 h (h为 整 数)
Na
q
a
a
N h N , h取N个整数值 2 / a N
(Qi
)
i (Qi
)
解出：
i
(ni
1 2
)hi
ni
i
h
exp(
22)Hni来自()其中
i
h
Qi
系统的本征能量：
，Hni(ξ)是厄米尔多项式。
E
3N i 1
(ni
1 2
)hi
3N
系统的本征函数：
(Q1 ,Q2 ...Q3N )
ni (Q1 )
i 1
只要找出系统的简正坐标，或说是振动模, 晶格振动问题就解决
4. 简正坐标代表所有原子的一种集体运动(而不是哪个原子的位移) 因为原子位移和简正坐标之间存在正交变换关系：
mi i
aij Q j
假设只存在某一个Qi，j 其它的都为0 (即只考察一个Qj振动)，那么，
第三章 晶格的振动
2 2 m M sin qa 2 1 (m M ){1 [1 ]} 2 mM ( M m) 2 sin 2 qa M m 2 1 sin qa M m
2）对于光频支 1 •当q=0时， 2 2 {( m M ) [m 2 M 2 2m M ] 2 } mM 2 M m 2 Mm
2 2
1 2
2 max
2 min
2
2
,q 0
光频支
2 2 ( ) m 1 2 2 ( ) M
1
2 ,q m 2a
1max
2 ,q M 2a
声频支
1min 0, q 0
2a
0
2a
q
一维复式晶格的色散关系
4. 结果讨论 1）对于声频支 1 •当q=0时， 12 {( m M ) [m 2 M 2 2m M] 2 } 0
2
1 2
分析：对于一维复式格子，可以存在两种不 同的 格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。 声频支：
2 1
mM
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
2 2
1 2
光频支：
2 2
Hale Waihona Puke mM{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
mM 其中 为约化质量 mM
•当 q
2a
2 2 时， 2 {( m M ) [ M m]}
mM m
5. 声频支和光频支的振动特点 1）声频支 2 ( 2 m 两种原子的振幅比： 1 ) A 2 cos qaB 0
2）对于光频支 1 •当q=0时， 2 2 {( m M ) [m 2 M 2 2m M ] 2 } mM 2 M m 2 Mm
2 2
1 2
2 max
2 min
2
2
,q 0
光频支
2 2 ( ) m 1 2 2 ( ) M
1
2 ,q m 2a
1max
2 ,q M 2a
声频支
1min 0, q 0
2a
0
2a
q
一维复式晶格的色散关系
4. 结果讨论 1）对于声频支 1 •当q=0时， 12 {( m M ) [m 2 M 2 2m M] 2 } 0
2
1 2
分析：对于一维复式格子，可以存在两种不 同的 格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。 声频支：
2 1
mM
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
2 2
1 2
光频支：
2 2
Hale Waihona Puke mM{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
mM 其中 为约化质量 mM
•当 q
2a
2 2 时， 2 {( m M ) [ M m]}
mM m
5. 声频支和光频支的振动特点 1）声频支 2 ( 2 m 两种原子的振幅比： 1 ) A 2 cos qaB 0
固体物理：第三章 晶格振动和晶体的热学性质
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
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Trapping-detrapping
X
D DAP A
Conduction band NRC Valence band
eA0
Excitation photon(PL) electron (CL) …
b-b
exciton
h
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
Why with LO?
• Polariton concept ZnO: ionic binding, charge carrier polarize the lattice lattice distortion Charge carrier accompanied by “phonon cloud”---polaron • Phonon cloud: preferentially LO phonon
频率为j的特解： nj Aje
方程的一般解： n
i jt naqj
j
Ae
j
i jt naqj
1 Nm
Q q, t einaq
q
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
声子
0.01
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原
子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的
坐标，称为简正坐标。
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
运动方程：
2 Qj q, t j q Qj q, t 0
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。 能量本征值： 声子的概念： • 声子是晶格振动的能量量子 j • 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。 • 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 j 为 单元交换能量。 浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为
2 Na
q的分布密度：
Na L q 2 2
L＝Na ——晶体链的长度
2 Na 2 简约区中波数q的取值总数 q a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N· =晶体链的自由度数 1
：极化率（电子极化率）
感应的偶极矩将向空间辐射电磁波，形成散射光 电子极化矩会被晶格振动所调制，从而导致频率改 变的非弹性散射 立方晶体: 电子极化率为标量 设： ＝ 0＋
0 cos t q r
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1930诺贝尔物理学奖
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
Quantum theory of phonon-assisted transition • K. Huang and A. Rhys, Proc. Roy. Soc., A204 (1950), 406 • Importance of phonon-assisted PL: affect line width of exciton emission affect decay of exciton affect near band edge emission …
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
第n个原子的运动方程：
mn n 1 n 1 2n
试解
n Ae
2
i t naq
—— 格波方程
m Ae
i t naq
Ae
i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
简约区 由6个{100}面 围成的立方体 由12个{110}面 围成的正12面体
2 a
bcc
a
fcc
4 a 4 a
fcc
a
bcc
由8个{111}面和6个 {100}面围成的14面体
浙江大学硅材料国家ห้องสมุดไป่ตู้点实验室 黄靖云
体心立方晶格的倒格子与简约区
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
面心立方晶格的倒格子与简约区
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
四、格波的简谐性、声子概念
1 2 晶体链的动能： T mn 2 n 2 1 晶体链的势能： U n n 1 2 n 2 1 1 2 n n n 1 系统的总机械能： H m 2 n 2 n
一、中子的非弹性散射（单声子过程） 中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法 E1和 p（E2和 p 2） ：入射（出射）中子的能量与动量； 1
{
2 p2 p12 E2 E1 q 2M n 2M n p 2 p1 q G
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 q 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q a 2 q1 1 4a 1 2a 2 例： q2 q1 4 2 5 a q2 2 a 2 2a 5
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3 2 Ⅱ 1 3 Ⅱ 2
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第 一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
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正格子 格常数 倒格子 格常数 sc a sc
1 E n j j 2 j=1
N
• 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子
与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。 浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 布里渊区的几何作图法： 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点； 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。 简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。
—— 色散关系
a
q
a
—— 简约区
- 2a - a
0
a
2 a
q
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格
波：
Ae
i t naq
连续介质弹性波： Ae
i t xq
对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波
{
k 1 和1：入射光的波矢与频率 k 2 和2：散射光的波矢与频率
2 1 q k 2 k 1 q G
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Raman散射：
入射光较弱时： p E
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理解
§3.2 确定晶格振动谱的实验方法
晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光
子受晶格的非弹性散射来测定。
中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子） 与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非
弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程。
只讨论单声子过程
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“＋”：吸收声子的散射过程， “－”：发射声子散射过程； Mn：中子质量； G ：倒格矢
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能量的转化与守恒
• • • • • • • 动能 势能 电能 光能 热能 核能 化学能 1/2mv2 mgh Pt(UIt) hc/λ kT mc2 反应能
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Pb
Cu
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Si
GaAs
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金刚石
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NaI
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二、可见光的非弹性散射
发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射
发射或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射 能量守恒和准动量守恒（单声子过程）：
q G q
有
2 2 p p p2 p1 1 2 2M n 2M n
慢中子的能量：0.020.04 eV，与声子的能量同数量级； 中子的de Broglie波长：2 3×10－10 m（2 3 Å），与晶 格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。 中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
2 Ae
i t n aq
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解得
1 2 sin aq m 2
—— 色散关系
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二、格波的简约性质、简约区
1 2 sin aq m 2
(q)
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三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
1 2
n
N N+2
N+n
Ae
N n