固体物理基础第三章晶格振动

0.1
1 100 10000
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1 N
e
n
ina q q
q , q
1 H Q* q, t Q q, t 2 q Q* q, t Q q, t 2 q
1 E j n j j 2
n j 0,1,2,
• 声子具有能量 j ，也具有准动量 q ，但它不能 脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 • 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1 n n+1 n+2 概念理解
a
n-2 n-1
a
n
：力常数
n+1 n+2


只考虑最近邻原子间的相互作用：
f n n n 1 n n 1 n 1 n 1 2n
q G q
有
2 2 p p p2 p1 1 2 2M n 2M n



慢中子的能量：0.020.04 eV，与声子的能量同数量级； 中子的de Broglie波长：2 3×10－10 m（2 3 Å），与晶 格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。 中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
2 Ae
i t n aq

m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解得
1 2 sin aq m 2

—— 色散关系
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二、格波的简约性质、简约区
1 2 sin aq m 2
(q)
பைடு நூலகம்

Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原
子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的
坐标，称为简正坐标。
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运动方程：
2 Qj q, t j q Qj q, t 0
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。 能量本征值： 声子的概念： • 声子是晶格振动的能量量子 j • 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。 • 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 j 为 单元交换能量。 浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
一、中子的非弹性散射（单声子过程） 中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法 E1和 p（E2和 p 2） ：入射（出射）中子的能量与动量； 1
{
2 p2 p12 E2 E1 q 2M n 2M n p 2 p1 q G
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Pb
Cu
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Si
GaAs
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金刚石
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NaI
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二、可见光的非弹性散射
发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射
发射或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射 能量守恒和准动量守恒（单声子过程）：
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第n个原子的运动方程：
mn n 1 n 1 2n
试解
n Ae
2
i t naq
—— 格波方程
m Ae
i t naq
Ae

i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
{
k 1 和1：入射光的波矢与频率 k 2 和2：散射光的波矢与频率
2 1 q k 2 k 1 q G

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Raman散射：
入射光较弱时： p E
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3 2 Ⅱ 1 3 Ⅱ 2
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第 一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。
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正格子 格常数 倒格子 格常数 sc a sc

“＋”：吸收声子的散射过程， “－”：发射声子散射过程； Mn：中子质量； G ：倒格矢
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能量的转化与守恒
• • • • • • • 动能 势能 电能 光能 热能 核能 化学能 1/2mv2 mgh Pt(UIt) hc/λ kT mc2 反应能
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在q轴上，每一个q的取值所占的空间为
2 Na
q的分布密度：
Na L q 2 2
L＝Na ——晶体链的长度
2 Na 2 简约区中波数q的取值总数 q a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N· =晶体链的自由度数 1
1 E n j j 2 j=1
N
• 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子
与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。 浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 布里渊区的几何作图法： 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点； 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。 简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。
简约区 由6个{100}面 围成的立方体 由12个{110}面 围成的正12面体
2 a
bcc
a
fcc
4 a 4 a
fcc
a
bcc
由8个{111}面和6个 {100}面围成的14面体
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体心立方晶格的倒格子与简约区
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面心立方晶格的倒格子与简约区
声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为
10－6，在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。
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§3.3 声子应用实例
ZnO低温PL谱
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Energy diagram of a luminescence process
e
relaxation
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三、X光的非弹性散射 X光光子的波长~10－8 cm的数量级，其波矢与整个
布里渊区的范围相当，原则上说，用X光的非弹性散射可
以研究整个晶格振动谱。 缺点：一个典型X光光子的能量为~104 eV，一个典型声 子的能量为~10－2 eV。一个X光光子吸收（或发射）一个
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 q 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q a 2 q1 1 4a 1 2a 2 例： q2 q1 4 2 5 a q2 2 a 2 2a 5
• C.V.拉曼 （印度） • 研究光的散射并发现 拉曼效应
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频率不变的弹性散射光，称为Rayleigh散射； 入射光与晶格振动的光学波相互作用所引起的频 率改变的非弹性散射光，称为Raman 散射。 频率减小（1－）的散射：Stokes散射； 频率增加（1＋）的散射：anti－Stokes散射。 晶格振动的声学波使晶体的折射率n发生周期性变化， 从而使入射光发生非弹性散射，称为Brillouin散射。
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Quantum theory of phonon-assisted transition • K. Huang and A. Rhys, Proc. Roy. Soc., A204 (1950), 406 • Importance of phonon-assisted PL: affect line width of exciton emission affect decay of exciton affect near band edge emission …
—— 色散关系


a
q

a
—— 简约区
- 2a - a
0
a
2 a
q
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格
波：
Ae
i t naq
连续介质弹性波： Ae
i t xq
对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波
：极化率（电子极化率）
感应的偶极矩将向空间辐射电磁波，形成散射光 电子极化矩会被晶格振动所调制，从而导致频率改 变的非弹性散射 立方晶体: 电子极化率为标量 设： ＝ 0＋
0 cos t q r


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1930诺贝尔物理学奖
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三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
1 2
n
N N+2
N+n

Ae
N n

n
i t N n aq
Ae
i t naq
e
iNaq
ei 2 h 1 1
h =整数
2 q h Na
频率为j的特解： nj Aje
方程的一般解： n
i jt naqj


j
Ae
j
i jt naqj


1 Nm
Q q, t einaq
q
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20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
声子
0.01
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理解
§3.2 确定晶格振动谱的实验方法
晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光
子受晶格的非弹性散射来测定。
中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子） 与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非
弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程。
只讨论单声子过程
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四、格波的简谐性、声子概念
1 2 晶体链的动能： T mn 2 n 2 1 晶体链的势能： U n n 1 2 n 2 1 1 2 n n n 1 系统的总机械能： H m 2 n 2 n
Trapping-detrapping
X
D DAP A
Conduction band NRC Valence band
eA0
Excitation photon(PL) electron (CL) …
b-b
exciton
h
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Why with LO?
• Polariton concept ZnO: ionic binding, charge carrier polarize the lattice lattice distortion Charge carrier accompanied by “phonon cloud”---polaron • Phonon cloud: preferentially LO phonon