信号与系统 卷积分析法

+ ∏ (t ) (t )dt = ∏ (0)
∏ (t ) (t t0 ) = ∏ (t0 ) (t t0 )
一般
+ ∏ (t ) (t t )dt = ∏ (t )
0 0
6
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2.1.2 冲激函数的性质(2)
例:求以下各式的值 e 2 t (t ) (1 e 2 t ) (t ) (t 2 1) (t 2) (t + 2) (t + 1)
+∏ (t ) 2(t )dt = ∏ 2(0) +∏ (t ) 2(t t )dt = ∏ 2(t ) + ∏ ( ) 2( t )d = ∏ (t ) (t t ) ∏ 2(t )U (t t )
0 0 t 0 0 0 0 0 13
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2.1.2 冲激函数的性质(9)
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2.1.2 冲激函数的性质(6)
例:求以下各式的值 e 2 t (t ) (1 e 2 t ) (1 t ) (2t 2 1) (2t 2) (t + 2) (2t + 1)
2 + sin( 3 t ) (2t + 1)dt
(t ) (1 e 2 ) (t 1)
n
1/
0
2
3 4
t
0
n=
/2
0 /2 t
x(t ) Η
n=
x(n ) g (t n )
x(t ) = lim
x(n ) g (t n )
d g (t ) (t ) n g (t n ) (t )
x(t ) = + x( ) (t )d
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例:求以下各式的值 e 2 t 2(t ) (t 2 1) 2(t 2)
2(t ) 2 (t ) 3 2(t 2) 4 (t 2)
3
0 0 0 0
2 + sin( 3 t ) 2(t 1)dt
t 0
+ ∏ ( ) 2( t )d∏ (t ) (t t ) ∏ 2(t )U (t t )
23 t
R=1& x(t) =1V C=1F uC(t)
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2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.3.1 卷积的图解 2.3.2 卷积积分限的确定
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2.3.1 卷积的图解(1)
按如下步骤进行:
(2)折叠: h() (3)时移: h(-)
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h(t-) 0.5 t-2 t-1-0.5 0 0.5
t-1<-0.5 电路基础教学部
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t-2 t-1 0
2.3.1 卷积的图解(3)
x() h(t-) x() h(t-) x() h(t-)
-0.5 0 0.5
-0.5<t-1<0.5 (5) x() h(t-)曲线下的面积 t-1<-0.5 或 t-2>0.5 y(t)=0 -0.5<t-1<0.5 0.5<t-1<1.5
2.1.2 冲激函数的性质(4)
(t ) 与U (t ) 的关系
dU (t ) (t ) = dt
t
dU (t t0 ) (t t0 ) = dt
t
U (t t0 ) = + (t t0 )dt U (t ) = + (t )dt 例:如图所示信号,求 f2(t)
2 1
f(t) 1 t
(t)
0
4
t
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2.1.1 冲激函数(1)
物理意义
i(t) 1V
K(t=0) i(t)=(t)
C=1F uc(0-)=0
uc
5
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2.1.2 冲激函数的性质(1)
抽样性质
∏ (t ) (t ) = ∏ (0) (t )
2 + sin( 3 t ) (t + 1)dt
(t )
0 3 (t 2) (t wenku.baidu.com 1)
3
2 0
+ e
0 0 5
t
(t 1)dt
+(t 2) (t + 2)dt
7
4
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2.1.2 冲激函数的性质(3)
∏ (t ) (t t0 ) = ∏ (t0 ) (t t0 )
信号与系统 (Signal & system)
教师:徐昌彪 xucb@cqupt.edu.cn
2005-3-1
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1
第二章 卷积分析法
2.1 冲激函数和冲激响应 2.2 任意波形信号的分解和卷积积分 2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定 2.4 卷积的运算性质 2.5 冲激响应的一般计算方法
2.2.1 任意波形信号的分解(2)
x(t ) = + x( ) (t )d
上式说明了任意波形信号 x(t ) 可以表示为具有强度 为 x( )d 的冲激信号 [ x( )d ] (t ) 的积分,也就是 说,任意波形信号可以分解为连续的冲激信号之和.
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2
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2.1 冲激函数与冲激响应
2.1.1 冲激函数 2.1.2 冲激函数的性质 2.1.3 冲激响应
3
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2.1.1 冲激函数(1)
工程定义
0 t0 (t ) = t=0
(1)
且
+ (t )dt = 1
+
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2.1.2 冲激函数的性质(8)
冲激偶函数2 (t)
d (t ) 2(t ) = dt 2(t ) 是奇函数
∏ (t ) 2(t ) = ∏ (0) 2(t ) ∏ 2(0) (t ) ∏ (t ) 2(t t0 ) = ∏ (t0 ) 2(t t0 ) ∏ 2(t0 ) (t t0 )
2.2.2 卷积积分(1)
对线性时不变系统: g (t )
h (t )
0 n=
x(t ) = lim
x(n ) g (t n )
y(t ) = lim
0
n=
x(n )h (t n )
y(t ) = + x( )h(t )d y(t ) = x(t ) * h(t ) 卷积积分
h(t)
h(t)
h(t ) y(t )
h(t)的求解
直接法 间接法
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2.1.3 冲激响应(2)
直接法求解h(t)举例
RC RC duC (t ) + uC (t ) = us dt dh(t ) + h(t ) = (t ) dt
R=2& us C=2F uc
+ ∏ (t ) (t t )dt = ∏ (t )
0 0
+ ∏ (t ) (t t )dt = ∏ (t )U (t t )
t 0 0 0
+
8
t2 t1
)dt ∏ (t ) (t0 t = ∏ (t0 )[U (t 2 t0 ) U (t1 t0 )]
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dh(t ) + h(t ) = (t ) 4 dt t ε 0+ 4 dh(t ) + h(t ) = 0 dt h(t ) = Ke t / 4
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2.1.3 冲激响应(3)
dh(t ) 0+ 0+ +0 4 dt dt + +0 h(t )dt = +0 (t )dt
+
t
1 t0 ∏ (t ) (at t0 )dt = | a | ∏ ( a ) t0
1 t0 + ∏ (t ) (at t0 )dt = | a | ∏ ( a )U (t a )
t2
1
t 1 t0 t0 +t ∏ (t ) (at t0 )dt = | a | ∏ ( a )[U (t 2 a ) U (t1
不等宽方波卷积的结果是梯形波
梯形波上边的宽度是两方波宽度之差 梯形波的高度是宽度较小的方波完全包含于宽度较大 的方波时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积
y(t)=x(t)*h(t)的最小截止横坐标等于x(t)和h(t)的最小 截止横坐标相加, y(t)的最大截止横坐标等于x(t)和 h(t)的最大截止横坐标相加
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2.2 任意波形信号的分解和卷积积分
2.2.1 任意波形信号的分解 2.2.2卷积积分(Convolution integral)
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2.2.1 任意波形信号的分解(1)
如图示
x(t)
g (t )
L L
L
0+
4h(t ) |
0+ 0
+ +0 h(t )dt = 1
0+
4[h(0+ ) h(0 )] = 1 h(0 ) = 0
h(t)为有限值
h(0+ ) = 1 / 4
h(t ) = 1 e t / 4 t ε 0+ 4 h(t ) = 1 e t / 4 U (t ) 4
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x(t )
y(t ) = x(t ) * h(t ) = + x( )h(t )d
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2.2.2 卷积积分(2)
例:如图示电路,求零状态响应uC(t).
解:(1)求h(t) 单位阶跃响应 rU (t ) = (1 e t )U (t ) h(t ) = r2 (t ) = e t U (t ) U (2)求零状态响应 uC (t ) = x(t ) * h(t ) = 1 * e t U (t ) = + 1 ⊕ e ( t )U (t )d = + e ( t ) d = 1
y(t ) = x(t ) * h(t ) = + x( )h(t )d
h(-) h(t-)
(1)改换变量:x(t) x(), h(t) h()
(4)相乘: x() h(t-) (5)积分: x() h(t-)曲线下的面积
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2.3.1 卷积的图解(2)
2.1.3 冲激响应(4)
间接求解h(t)举例(针对线性时不变系统)
U (t ) rU (t ) h(t ) = drU (t ) dt
dU (t ) (t ) = dt
R=2& C=2F uc
对上例
rU (t ) = (1 e t / 4 )U (t )
us
1 h(t ) = drU (t ) = (1 e t / 4 ) (t) + et / 4 U (t ) =1 t / 4 U (t ) e dt 4 4
2(at t0 )
1 t 2(t 0 ) a|a| a
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2.1.3 冲激响应(1)
单位冲激响应(Unit impulse response)含义 单位冲激函数(t)激励下系统的零状态响应,简称冲
激响应,用h(t)表示.
(t )
x(t )
零状态系统
例:求y(t)=x(t)*h(t)
2 x(t) 0.5 -0.5 0 0.5
(2)h() (1)x(t) x(), h(t) h()
2 x() 0.5
h()
h(t) -0.5 0 0.5
h(t-)
t
0
h(-)
1
2
t
0
1
2
(3)h(-)
(4)x()h(t-)
x() h(t-)
h(-) 0.5 -2 -1 0
27
-0.5 0 0.5
0.5<t-1<1.5
-0.5 0 0.5
t-2>0.5
y(t) 1 0 0.5 1.5 2.5 t
y(t)= t-0.5 y(t)= 2.5-t 电路基础教学部
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2.3.1 卷积的图解(4)
结论
等宽方波卷积的结果是三角波
三角波的宽度是方波宽度的2倍 三角波的高度是两方波完全重叠时两方波相乘波形与 坐标轴围成的面积
0.5 (t + 1) 0.75 (t + 0.5) 3 4 0.5e 0.5 0
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+ e
0 0 5
t
(2t 1)dt
+(t 2) (2t + 2)dt
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2.1.2 冲激函数的性质(7)
1 ∏ ( ) (t ) t0 ∏ (t ) (at t0 ) = |a| a a t0
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f2(t) 1
(1)
(1)
-1 0 1 2
9
-1 0
(3)
2
t
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2.1.2 冲激函数的性质(5)
(t ) 是偶函数 (t ) 的展缩性
1 (at ) = (t ) |a| 1 (at t0 ) = (t t0 ) |a| a
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