高三数学开学考试试题答案
浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。
江苏省常州市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案
常州市2024-2025学年第一学期期初检测高三数学（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分试卷共6页）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭∣，{|01}B x x =<<，则()A B ⋂=R ð（）A.[)0,1 B.0,1 C.()()1,00,1-⋃ D.−1,12.已知α，β∈R 则“sin()sin 2αβα+=”是“2()k k βαπ=+∈Z ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）A.a b c <<B.c b a<< C.c<a<bD.b a c<<4.已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（）A.12 B.15C.25D.25.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱CD 上的一点，且2DE EC =，则点1B 到平面1AEC 的距离为（）A.6147B.3147C.277D.776.已知函数()22()log 23f x ax x =++，若对于任意实数k ，总存在实数0x ，使得()0f x k =成立，则实数a 的取值范围是（）A.11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.(1,)-+∞ C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若()f x 的图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[,]A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视为同一个“友情点对”.）若op =3lns >0B 2,≤0恰有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4- B.3- C.3D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，0b >，221a b ab ++=，则（）A.13ab ≤B.33a b +≤C.2223a b +≤D.1123a b+≤10.已知函数2()cos (0)2f x x ϕϕ⎛⎫=+<<π ⎪⎝⎭图像的一条对称轴是5π12x =，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.π1124f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 图像的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.若函数()(0)y f x ωω=>在[0,]π上单调递减，则50,12ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11.已知函数()x a f x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（）A.当e a =时，()0f x ≥恒成立B.当01a <<时，()f x 有且仅有1个零点C.当e a >时，()f x 没有零点D.存在1a >，使得()f x 存在2个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是_______.13.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________．14.已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()e (21)()x f x x f x '=⋅++，(0)2f =-，则不等式()4e x f x >的解集是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数op =sin(π−B)cosB +cos 2B(>0)，()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的12，再向右平移π8，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠= ，1AA =，11A AB A AD ∠=∠，145A AC ∠= ，AC 与BD 交于O ．（1）证明：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B CC D --的正弦值．17.第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为23，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为23，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为34，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为12．（1）设甲3次点球的总得分为X ，求X 的概率分布列和数学期望；（2）求乙总得分为100分的概率．18.已知函数()1ln f x a x x=+，a ∈R ．（1）若2a =，且直线y x m =+是曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的值；（2）若不等式()1f x >对任意(1)x ∈+∞，恒成立，求a 的取值范围；（3）若函数()()h x f x x =-有两个极值点1x ，212x x x <（），且()()214h x h x e-≤，求a 的取值范围．19.在平面直角坐标系中，如果将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转π(02αα<£后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.（1）判断函数3y x =是否为“π6旋转函数”，并说明理由；（2）已知函数()()()ln 210f x x x =+>是“α旋转函数”，求tan α的最大值；（3）若函数()()21e ln 2xx g x m x x x =---是“π4旋转函数”，求m 的取值范围.常州市2024-2025学年第一学期期初检测高三数学（时间：120分钟满分：150分试卷共6页）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AB 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】2001,10x x ∃≥-≥【13题答案】【答案】54,63⎛⎤⎥⎝⎦【14题答案】【答案】(,3)(2,)-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Z k ∈（2）1()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）5【17题答案】【答案】（1）分布列见解析，数学期望为100（2）13【18题答案】【答案】(1)0m =(2)[1,)+∞(3)1(2,]e e+【19题答案】【答案】（1）不是，理由见解析（2）1 2（3）em。
河北省2024年高三秋季开学考试数学试题与答案
河北省2024年高三秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,A x x B x x a =∈≤=≤Z∣∣，若A B ⋂中有3个元素，则a 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]1,22．已知复数i(1i)z =-，则||z =（）A ．2BC ．5D3．若向量(2,3)a = ，(1,1)b =- ，则b 在a上的投影向量的坐标是（）A ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，()1cos 3A B +=，则c =（）AB ．4CD ．35．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（）A ．B ．π3C ．π3D ．4π36．已知变量x 与变量y 线性相关，x 与y 的样本相关系数为0.8-，且由观测数据算得样本平均数5x =，6y =，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（）A ． 0.82y x =+B ．1y x =+$C ． 0.89y x =-+D ． 11y x =-+7．已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞8．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则直线l 被圆22:16C x y +=截得的弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若814S S =，则下列结论中正确的有（）A ．1212a d =B ．220S =C ．当0d >时，7170a a +>D ．当0d <时，717a a >10．平面内到两个定点,A B 的距离比值为一定值()1λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点()()()1,0,4,0,0,0A B O ，动点P 满足12PA PB=，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是224x y +=B ．过点()1,1N的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是C ．直线40x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点M 是直线:40L x y -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为,C D ，则四边形OCMD 面积的最小值是411．已知()()()0.3,0.7,0.1P A P B P AB ===，则关于事件A 与事件B ，下列说法正确的有（）A ．事件A 与B 可能相互独立B ．事件A 与B 一定不互斥C ．()0.9P A B ⋃=D ．()()P A P B =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）13．已知函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为.14．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在ABC 中，AB =π4B ∠=，D 是BC 边上一点，且23ADC ∠=π，(1)求AD 的长；(2)若10CD =，求sin DAC ∠.16．(15分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.17．(15分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别是,AB PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求证：MN CD ⊥；(3)若PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，求证：MN ⊥平面PCD .18．(17分)已知函数()31e 2xf x x x =⋅-.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，若()2f x kx x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有()*n n ∈N 份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，将其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为()1k +次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为()01p p <<．(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中()*2k k k ∈≥N 且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ．①若()()12E E ξξ=，求P 关于k 的函数关系式()p f k =；②已知181e p -=-，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln 20.693=，ln 25 3.219=，ln 26 3.258=，ln 27 3.296=，ln 28 3.332=．河北省2024年高三秋季开学考试数学试题答案1．B 【分析】求出{}2,1,0,1,2A =--，再利用交集含义即可得到01a ≤<.【详解】{}{}22,1,0,1,2A x x =∈≤=--Z∣，要使A B ⋂中有3个元素，只需{}2,1,0A B =-- ，所以01a ≤<，2．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.【详解】因为2i(1i)i i 1i z =-=-=+，所以||z ==3．B【分析】根据向量的坐标运算可得1a a b =⋅=，再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为(2,3)a = ，(1,1)b =-，则231a a b =⋅=-+= ，所以b 在a上的投影向量2123,131313a b a a a ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．A 【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cos C 的值，进而利用余弦定理即可求解c 的值．【详解】解：因为2a =，3b =，1cos()cos(π)cos 3A B C C +==-=-，所以1cos 3=-C ，则由余弦定理可得c =5．D 【分析】根据正方体内切球特点即可得到球的半径，再利用球的体积公式即可.【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以22R =，即1R =，则球的体积344ππ33V R ==，6．D 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点()5,6逐项分析判断.【详解】因为x 与y 的样本相关系数为0.80-<，可知x 与y 为负相关，故A ，B 错误；又因为经验回归方程过样本中心点()5,6，对于 0.89y x =-+，则0.85956-⨯+=≠，故C 错误；对于 11y x =-+，则5116-+=，故D 正确．7．A 【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2a x <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,)2a-∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22ax -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a --上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.8．D 【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可.【详解】:1l ax by +=，化为一般式，即:10l ax by +-=，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使2OP =，则圆心到直线的距离2d OP ==,即2d ==22:16C x y +=圆心(0,0),4r =.l ===弦9．BC 【分析】对于A ，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B ，由等差数列求和公式结合1212a d =-即可验算；对于CD ，由等差数列性质即可验算.【详解】对于A ，因为81114871413814220S a d a d S d ⨯⨯⎧=+=+=⎪⎨⎪≠⎩，所以1212a d =-，故A 错误；对于B ，221222122212221220222S a d d d ⨯⨯⨯=+=-+=，故B 正确；对于C ，当0d >时，71710212222222a d d a d a d ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭+>，故C 正确；对于D ，当0d <时，()()22222271711212161661622a a a d a d d d d d ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22291110022d d d ⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即717a a <，故D 错误.10．ACD 【分析】对于A ：设点(),P x y ，结合题意分析求解即可；对于B ：分析可知点()1,1N 在圆O 内，结合圆的性质分析求解；对于C ：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D ：分析可知当OM L ⊥时，OM 取到最小值，四边形OCMD 面积取最小值，运算求解即可.【详解】对于选项A ：设点(),P x y ，因为12PAPB==，整理可得224x y +=，故A 正确；对于选项B ：因点P 的轨迹方程是224x y +=，圆心是O ，半径是2r=，且2ON =<，可知点()1,1N 在圆O 内，过点()1,1N的直线被圆O 所截得的弦最短时，点()1,1N 是弦的中点，根据垂径定理得弦的最小值是=B 错误；对于选项C ：圆心到直线:40L x y-+=的距离2d r ==>=，所以直线与圆相离，故C正确；对于选项D ：因为四边形OCMD 面积12222OCM S S CM ==⨯⨯=，由数形分析可知：当OM L ⊥时，OM 取到最小值d =所以四边形OCMD 面积取最小值4=，故D 正确；【点睛】方法点睛：对于BD ：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.11．BCD 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A 选项，根据互斥事件定义判断B 选项，根据和的概率公式求解即可判断C 选项，应用对立事件概率和为1判断D 选项.【详解】由()()()0.21P A P B P AB ⋅=≠，可知事件A 与B 不是相互独立事件，故A 不正确；由()0.1P AB =，可知事件A 与B 一定不互斥，故B 正确；()()()()0.9P A B P A P B P AB ⋃=+-=，故C 正确；()1()0.7()P A P A P B =-==，故D 正确.12．【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y +展开式的通项()55155C 22C rr r r r r r r T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4013．【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可.【详解】函数()31f x ax x a =-++，若()2f x ≤对任意[]1,0x ∈-恒成立，即321ax x a -+≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3221ax x a -++≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331ax x a -+≤≤-对任意[]1,0x ∈-恒成立，即3)31(1a x x --≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立，即331(1)x a x x -+≤≤+对任意[]1,0x ∈-恒成立．当=1x -时，400-≤≤，显然成立；当(1,0]x ∈-时，331(1)x a x x -+≤≤+化为331311x a x x x +≤-++≤恒成立.令3()13x g x x -=+，则332232323221(291(92)1()3))(1)(1)1(3)(x x x x x x g x x x x x +---++-+'===+++,由于(1,0]x ∈-，则()0g x '>，则()g x 在(1,0]-上单调递增，则max ()(0)3g x g ==-.令32221111()131(1)(1)1()24h x x x x x x x x x x =++-++=-+-=++=，则(1,0]x ∈-时，()h x 单调递增，则min 1()(1)3h x h >-=.因此331311x a x x x +≤-++≤对于任意[1,0]x ∈-时恒成立，则133a -≤≤.故答案为：13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14．【分析】设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r，分析可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，1OE =，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆O设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM ON =，则OC MN ⊥，33sin302OC =o 23303MN NC ===o ，设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则()2OM OE OE ON -=- ，即2EM NE =uuu r uu u r，可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，则1162CE MN ==，221OE OC CE +，设向量OE 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，可得()233cos 63cos OM ON AB OE AB OE AB θθ+⋅=⋅==，且[]cos 1,1θ∈-，所以()OM ON AB +⋅的最小值为63-.故答案为：3-15．【分析】（1）在ABD △中，利用正弦定理即可得解；（2）在ACD 中，先利用余弦定理求得AC ，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）在ABC 中，23ADC ∠=π，则3ADB π∠=，在ABD △中，sin sin AB AD ADB B=∠，即36sin sin 34AD =ππ，得6AD =.（2）因为在ACD 中，26,10,3AD CD ADC π==∠=，所以22212cos 3610026101962AC AD CD AD CD ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则14AC =，又sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，即10142πsin sin 3DAC =∠，解得53sin 14DAC ∠=所以3sin 14DAC ∠=.16．【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【详解】（1）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b ，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.（2）显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m mm m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k 为定值.17．【分析】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先由线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，得到CD AE ⊥，再由（1）即可得证；（3）先由题意得到45PAD ∠=︒，AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理证明⊥AE 平面PCD ，从而得证.【详解】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，N 为PC 的中点，∴//NE CD ，12NE CD =， M 是AB 的中点，底面ABCD 是矩形，∴//AM CD ，12AM CD =，∴//AM NE 且AM NE =，∴四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又 AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2） PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又 底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥，又 ,,AD PA A AD PA =⊂ 平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，由（1）可知//MN AE ，∴MN CD ⊥.（3） PA ⊥平面ABCD ，所以PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成的角，∴45PDA ∠=︒，又PA AD ⊥，∴PA AD =，即PAD 为等腰三角形，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，又由（2）可得AE CD ⊥，,,CD PD D CD PD ⋂=⊂平面PCD ，∴⊥AE 平面PCD ，由（1）可知：//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD .18．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意将问题转仳为21e 12x x k x --≤在[)1,+∞恒成立，构造函数()21e 12x x g x x--=，利用导数求出其最小值即可.【详解】（1）由()31e 2x f x x x =⋅-，得()00f =，对()f x 求导得()()231e 2xf x x x '=+-，()01f ∴'=，()f x \在()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2） 当1x ≥时，()2f x kx x ≥+恒成立，即1x ≥时，321e 2x x x kx x ⋅-≥+恒成立，21e 12x x k x--∴≤在[)1,+∞恒成立，令()21e 12x x g x x --=，则()()2211e 12x x x g x x --+='，令()()211e 12x m x x x =--+，则()()e 1x m x x =-'，()1,0x m x ≥∴'> 恒成立∴当1x ≥时，()()211e 12x m x x =--+单调递增，()()1102m x m ∴≥=>，∴当1x ≥时，()()2211e 120x x x g x x '--+=>.∴当1x ≥时，()21e 12x x g x x--=单调递增，()()31e 2g x g ∴≥=-，∴3e 2k ≤-.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.19．【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解；（2）①根据1ξ和2ξ的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解()p f k =；②根据①的结果，比较()1E ξ和()2E ξ的大小，通过构造函数()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论.【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A ，事件A 分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，所以，()1123322335C C A A 3A 10P A +==所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为310；（2）①由已知得()1E k ξ=，2ξ的所有可能取值为1，1k +，所以()()211k P p ξ==-，()()2111k P k p ξ=+=--，所以()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，若()()12E E ξξ=，则()11k k k k p =+--，所以()11k k p -=，()11k p k-=，所以111k p k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以P 关于k 的函数关系式111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（）（2k ≥且*N k ∈）；②由①知()1E k ξ=，()821ek E k k ξ-=+-，若()()12E E ξξ>，则81e k k k k ->+-，所以81e 0k k --<，得8e 1k k ->，所以ln 08k k ->（2k ≥且*N k ∈）令()ln 2R 8x f x x x x =-≥∈（，），则()1182R 88x f x x x x x-=-=≥'∈（，），当28x ≤<时，()0f x '>，当8x >时，()0f x '<所以()f x 在[28，）上单调递增，在8+∞（，）上单调递减，因为()22ln 20.6930.2508f =-≈->，()2626ln 26 3.258 3.2508f =-≈->，()2727ln 27 3.296 3.37508f =-≈-<，所以不等式()()12E E ξξ>的解是[]226k ∈，且*k ∈N ，所以[]226k ∈，且*k ∈N 时，()()12E E ξξ>，采用方案二混合检验方式好，[27k ∈+∞，）且*k ∈N 时，()()12E E ξξ<，采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求()1E ξ和()2E ξ，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础.。
2023-2024学年高三上学期开学考试 数学试题(解析版)
2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。
湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(解析版)
2024-2025学年度年秋学期高三年级开学考试数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.择如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,2Z 3M x x N x x ⎧⎫=-<≤=∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A.{}0,1 B.11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.11,0,,122⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】由交集的定义求解.【详解】集合{}21,2Z 3M x x N x x ⎧⎫=-<≤=∈⎨⎬⎩⎭，则11,0,,122M N ⎧⎫⋂=-⎨⎬⎩⎭.故选：D2.如图，O A B '''△是水平放置的OAB 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x '轴和y '轴平行），26O B O D '=''='，8O C ''=，则OAB 的面积为（）A. B. C.24 D.48【答案】D 【解析】【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.【详解】由直观图可得如下平面图形：其中6O O B B ''==，3OD O D =''=，216OC O C '='=，//AD y 轴，且16AD OC ==，所以1616482OAB S =⨯⨯= .故选：D3.232(2)()x n x x--的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中3x 项的系数为（）A.2B.8C.5- D.-17【答案】D 【解析】【分析】令1x =得各项系数和，可求得n ，再由二项式定理求得3x 的系数，注意多项式乘法法则的应用．【详解】令1x =，可得3(2)(12)3n --=，5n =，在232(25)()x x x--的展开式中3x 的系数为：232(2)(5)117C ⨯⨯-+-⨯=-．故选D ．【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令1x =可得展开式中所有项的系数和，再令=1x -可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．4.已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（）A.35B.53C.45D.65【答案】C 【解析】【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除cos cos αβ，得到tan tan tan tan 12αβαβ-⋅=-.再利用两角差的正切公式展开()tan αβ-，将tan tan αβ⋅换成tan tan 12αβ--，化简即可得到答案.【详解】()()sin 2cos αβαβ-=+，所以()sin cos cos sin 2cos cos sin sin αβαβαβαβ-=-，两边同除cos cos αβ，得到tan tan 22tan tan αβαβ-=-⋅，即tan tan tan tan 12αβαβ-⋅=-.()tan tan tan tan 1tan tan tan 1tan tan 2112αβαβαβαβαβ---===-+⋅+-，4tan tan 5αβ∴-=.故选：C.5.设20.4a =，0.4log 3b =，0.34c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可.【详解】因为0.4log y x =在定义域上单调递减，所以0.40.4log 3log 10b =<=，又4x y =在定义域上单调递增，所以0.30441c =>=，0.4x y =在定义域上单调递减，所以2000.40.41a <<==，所以b a c <<.故选：B6.谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A.20233B.20243C.2023312- D.2024312-【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式求得正确答案.【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：2202421333-++++ ()2023202311331132⨯--==-.故选：C7.已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出||y x =与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆C 的方程为22(2)x y a +-=可得圆心()0,2，半径r =，若圆与函数y x =相交，则圆心到直线y x =的距离d ==即2a >，若函数y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a +->，解得4a <，综上函数y x =的图象与圆C 有四个公共点则24a <<，所以“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B8.已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A.4(0,]9 B.48[,]99C.48(,99D.8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤.所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，选错不得分.9.设z 是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若z z R +∈，则z R∈ B.若z z =，则z z =C.若0z z +=，则i ||z z = D.若z z z=，则1z =【答案】ABD 【解析】【分析】根据复数的运算性质逐一检验即可.【详解】A 选项，||z R ∈，故z R ∈，正确；B 选项，z z =即z R ∈.故z z =，正确；C 选项，0z z +=即z 为纯虚数，故zi z=±，不正确；D 选项，∵22||z z z z z ∴⋅==，，故1z =，正确.故选：ABD.10.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注18 这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A 表示“取出球的编号为奇数”，事件B 表示“取出球的编号为偶数”，事件C 表示“取出球的编号大于5”，事件D 表示“取出球的编号小于5”，则（）A.事件A 与事件C 不互斥B.事件A 与事件B 互为对立事件C.事件B 与事件C 互斥D.事件C 与事件D 互为对立事件【答案】AB 【解析】【分析】分别求出样本空间Ω和事件A 、B 、C 、D 即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断.【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=，事件A 表示{}1,3,5,7，事件B 表示{}2,4,6,8，事件C 表示{}6,7,8，事件D 表示{}1,2,3,4，所以{}7A C =≠∅ ，A B =Ω 且A B ⋂=∅，{}6,8B C =≠∅ ，C D ⋂=∅且{}1,2,3,4,6,7,8C D =⊆Ω ，所以事件A 与事件C 不互斥，事件A 与事件B 为对立事件，事件B 与事件C 不互斥，事件C 与事件D 互斥但不对立，故A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为34πB.若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C.若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆D.若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线【答案】ABD 【解析】【分析】记MN 中点为P ，DM 中点为Q ，连接PQ ，计算出PQ 可知P 的轨迹为圆，然后可判断A ；根据抛物线定义可判断B ；根据已知算出DN ，可判断C ；以DA 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴，将条件坐标化可判断D.【详解】A 中，记MN 中点为P ，DM 中点为Q ，连接PQ ，易知PQ DN ，且12PQ DN =，如图，若MN =2，则DN则2PQ =，所以点P 的轨迹是以Q 为圆心，半径为2的圆，面积234S r ππ==，故A 正确；B 中，点N 到直线1BB 的距离为NB ，所以点N 到定点B 和直线DC 的距离相等，由抛物线定义可知，N 的轨迹是抛物线，故B 正确；C 中，易知60MND ∠=︒，则tan 603DM DN ==︒，所以N 的轨迹是以D为圆心，半径为3的圆，故C 错误；D 中，过点N 向AD 作垂线，垂足为R ，易知NR AB ，所以60RND ∠=︒，所以12D N NR =，在平面ABCD 中，以DA 、DC 所在直线分别为x 轴、y2y =，整理得221443y x -=，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.13.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆于,P Q ，若1F PQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______.【答案】21-【解析】【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.【详解】令椭圆的半焦距为c ，由PQ x ⊥轴，1F PQ 为等腰直角三角形，得212||||2PF F F c ==，112||2||22PF F F c ==，由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=，即2222c c a +=，所以椭圆的离心率12121ce a===-+.故答案为：21-14.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()421f x f x f ++=，()()84f x f x -=-，()01f =，则20251()k f k ==∑__________.【答案】2024【解析】【分析】由()()84f x f x -=-可推出()f x 关于直线2x =对称，可得()()401f f ==，再由()()()421f x f x f ++=可推出()f x 的最小正周期为8，结合周期函数性质求解即可.【详解】由()()84f x f x -=-可知()f x 的图象关于直线2x =对称，从而()()401f f ==，又因为()()()421f x f x f ++=，令0x =，得()()()21042f f f =+=，所以()()()()()()()()152637482f f f f f f f f +=+=+=+=，由()()42f x f x ++=，得()()482f x f x +++=，两式相减可得()()8f x f x +=，故()f x 的最小正周期为8，则()()2152f f ==，()10f =，因为202582531=⨯+，所以20251()253[(1)(2)(8)](1)253802024k f k f f f f ==⋅++++=⨯+=∑ .故答案为：2024.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足ππcos 2cos 22cos cos .66A B A A ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值；（2）若b =且b a ≤，求2ca -的取值范围.【答案】（1）π3或2π3（2）32⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式化简，可求出角B 的值；（2）根据条件b a ≤，可求出角B 的值以及角A 的范围，利用正弦定理可得到12sin sin 2a c A C -=-，将2π3C A =-代入，用辅助角公式化简，结合A 的范围即可求出结果.【小问1详解】在ABC 中，πA B C ++=，ππcos 2cos 22cos()cos()66A B A A -=-⋅+，221112sin (2cos 1)cos sin )cos sin )2222A B A A A A ---=+⋅-，22223122sin 2cos cos sin 22A B A A --=-，()22223122sin 2cos 1sin sin 22A B A A --=--，22cos 12B =，即21cos 4B =，又()0,πB ∈，所以cos 21B =±，解得π3B =或2π3.【小问2详解】∵b =且b a ≤，∴π3B =，由正弦定理得2sin bB=，所以2sin a A =，πππ2n 2sin 23si sin si 3n A c A A C A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=⎣=⎦.故()113π2sin sin cos )22226a c A A A A A A -=-+=-=-，∵b a ≤，∴π2π33A ≤<，πππ662A ≤-<，又易知函数sin y x =在ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是当ππ66A -=，即π3A =时π)6A -的最小值为2，当2ππ6A -=，即2π3A =π)6A -所以1π)262a c A -=-∈⎢⎣⎭，即2c a -的取值范围32⎢⎣⎭.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与22152x y +=有相同的焦点，且经过点P .（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且AB 的中点坐标为()1,2，求直线l 的斜率.【答案】（1）2212y x -=（2）1【解析】【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【小问1详解】由22152x y +=的焦点坐标为())由双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与22152x y +=有相同的焦点所以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点坐标为())故c =在双曲线中：2223a b c +==①又双曲线C经过点P 所以22221a b -=②解得：221,2a b ==所以双曲线C 的方程为：2212y x -=【小问2详解】由题知直线斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y kx m=+由直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y 所以2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理得：()2222220kx kmx m -+++=所以1212222222x x km kmx x k k ++=-⇒=---()()()1212122y y kx m kx m k x x m+=+++=++2224222km m k m k k ⎛⎫=⨯-+=- ⎪--⎝⎭所以122222y y mk +=--由AB 的中点坐标为()1,2所以12221222112222222222x x km kmk k y y m m k k +⎧⎧=-=-=⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨+⎪⎪-==-=⎪⎪--⎩⎩所以1k =.17.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；（2）求平面法向量，由二面角P QD A --的余弦值为49和//PQ 平面11ABB A ，解得P 点坐标，可求四面体ADPQ 的体积.【小问1详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，x 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,4,0D ，()10,2,4D ，设()4,,0Q m ，其中m BQ =，04m ≤≤，若P 是1DD 的中点，则()0,3,2P ，()12,0,4AB = ，()4,3,2PQ m =--，于是1880AB PQ ⋅=-= ，∴1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥.【小问2详解】由题设知，()4,4,0DQ m =- ，()10,2,4DD =-是平面PDQ 内的两个不共线向量.设()1,,n x y z =是平面PDQ 的一个法向量，则()111440,240,n DQ x m y n DD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取4y =，得()14,4,2n m =- .又平面AQD 的一个法向量是()20,0,1n =，∴121222221222cos ,(4)42(4)20n nn n n n m m ⋅==⋅-++-+，而二面角P QD A --的余弦值为49249(4)20m =-+，解得72m =或92m =（舍去），此时74,,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭.设1DP DD λ= （01λ<≤），而()10,2,4DD =- ，由此得点()0,42,4P λλ-，14,2,42PQ λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，∵//PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是()30,1,0n =，∴30PQ n ⋅= ，即1202λ-=，解得14λ=，从而70,,12P ⎛⎫⎪⎝⎭.将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，则其高1h =，故四面体ADPQ 的体积11184413323ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯= .18.已知函数()()e 1sin xf x m x m =--∈R .（1）当1m =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ⅱ）求证：0,2πx ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x >.（2）若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个极值点，求m 的取值范围.【答案】（1）（ⅰ）切线l 方程为0y =；（ⅱ）证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）当1m =时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数()f x 的最值，即可证明结论；（2）根据极值点与函数的关系，对m 进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m 的取值范围.【小问1详解】当1m =时，()e cos xf x x'=-（ⅰ）()00e cos00f '=-=，又()00e 1sin 00f =--=，所以切线l 方程为0y =.（ⅱ）()1s n e i xf x x =--，()e cos xf x x '=-，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以e 1,cos 1xx >->-,所以e cos 0x x ->，所以()e cos 0xf x x =->'所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()()00f x f >=；【小问2详解】()e 1sin x f x m x =--，()e cos x f x m x=-'当1m £时，所以cos cos m x x -≥-，()e cos e cos x x f x m x x =-≥-',由（1）知，()0f x '>，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以当1m £时，()e 1sin xf x m x =--没有极值点，当1m >时，()e cos xf x m x =-'，因为e x y =与cos y m x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.所以()f x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.所以()010f m =-<'，π2πe 02f ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭.所以0π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=.所以当00x x <<时，()0f x '<，因此()f x 在区间()00,x 上单调递减，当0π2x x <<时，()0f x ¢>，因此()f x 在区间0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个极小值点，m 的取值范围是()1,+∞.19.中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为25，传给对角线上的同学的概率为15，由甲开始传球．（1）求第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求第n 次传球后排球传到丙手中的概率；（3）若随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X q ==-==，1i =，2，…，n ，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次传球）中排球传到乙手中的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）8125（2）14-11132545nn⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）4n +*331,325nn ⎡⎤⎛⎫--∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦N【解析】【分析】（1）设第n 次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为*,,,,n n n n a b c d n ∈N ，得到11112120,,,555a b c d ====，求出2425b =，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求出*,,,,n n n n a b c d n ∈N 之间的关系式，联立后得到15nn n a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，n n b d =，进而得到111254n n c ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以11111325420c ⎛⎫+--=-⎪⎝⎭为首项，公比为35-的等比数列，求出1111342545n nn c ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）在（2）的基础上求出113445nn b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求出11()i i i i n n E Y E Y b ==⎛⎫=∑=∑ ⎪⎝⎭，利用等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】设第n 次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为*,,,,n n n n a b c d n ∈N ，则11112120,,,555a b c d ====．第2次传球到乙手中的概率211212112455555525b c d =+=⨯+⨯=，所以第3次传球是由乙传给甲的概率为2285125b =．【小问2详解】根据已知条件可得，当2n ≥时，111111*********,555221,555212,555212,555n n n n n n n n n n n n n n n n a b c d b a c d c b a d d a b c ------------⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎩①②③④联立则有()()11111,515n n n n n n n n a c a c b d b d ----⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，所以{}n n a c -是首项为15-，公比为15-的等比数列，故15nn n a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为1125b d ==，所以n n b d =，代入①②式得11111411,5552141,5555nn n n n n n n b c c b c -----⎧⎛⎫=+--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-++ ⎪⎪⎝⎭⎩⑤⑥，将⑤代入⑥得113714445n n n n b c c -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，11223615555n n n n c c c ---⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()1112336135555n n n n n c c c c n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，其中211222555555252228b d c =+=⨯+⨯=，故211811252533555c c ⨯==++，2322133615555c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3433233615555c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……，111233615555n n n n n c c c c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由累加法可得2211311611121525555555n nn n c c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，所以1111131112545254n n n n c c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以111254n n c ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以111125c ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭13420=-为首项，公比为35-的等比数列，所以1111342545n nn c ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故第n 次传球后排球传到丙手中的概率为1111342545nnn c ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】随机变量i Y 服从两点分布，设第i 次未传到乙手中的概率为()0i P Y =，则排球第i 次传到乙手中的概率为()11i P Y ==-()0,1,2,,i i P Y b i n === ，则11i i i i n nE Y b ==⎛⎫∑=∑ ⎪⎝⎭．由（2）知113714445nn n n b c c -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭111111333133711685165168516545nnn n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113445n⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中1111333533353553585588515n in n i n +++=⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∑-==---=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以11*11333()1,4454325i n i i i n nn E Y b n ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=∑=∑--=+--∈⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N ．【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，（1）若()1n n a a f n +-=，采用累加法；（2）若()1n na f n a +=，采用累乘法；（3）若()11n n a pa q p +=+≠，可利用构造111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭进行求解；。
江西省九江市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案
数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.213.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5 B.5C.5.5D.64.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2-D.3-5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.3166.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,47.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中23sin cos sin a B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 36，求ABC V 的外接圆面积.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，45,,ASD ADS M N ∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M 四点共面.（1）证明：SA MN ⊥；（2）若SM BM =，且二面角S AD C --为直二面角，求平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i--+=+=--+=--，则所求虚部为7-.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.21【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出17a a +的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因{}n a 为等差数列，故172612a a a a +==+，则1772)7(712422a a S +==⨯=.故选：B.3.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D 【解析】cos cos ααα+=-，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．cos cos ααα+=-2cos αα=-，故sin tan cos 3ααα==-.故选：D ．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==，故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500-=人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故()2500595110800016P X ≤≤==.故选：B.6.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,4【答案】D 【解析】【分析】由函数在R 上单调递减，列出相应的不等式组14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，即可求解.【详解】当(],1x ∞∈-时，()1ex f x x -=--，因为1e x y -=-和y x =-都是减函数，所以()f x 在−∞,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()222f x x ax ax =-+-，要使其在()1,+∞上单调递减，则14a≤，所以14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，解得04a ≤≤，故D 正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.374【答案】C 【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==，设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h ==，记外接球球心到上底面的距离为x ，则()2222245x x +=-+，解得378=x .故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，设221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210x kx --=，则121x x =-.而直线()21211:2x l y x x x -=-，即2112x y x x =-，令0y =，则12x x =，即1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，则212x y =-，故210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=--=.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T ==，故A 正确；对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3-，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±，可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-【答案】AB 【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A ；通过证明()()11f x f x +-=-得函数图象的对称点判断选项B ；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C ；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A ，函数()3223f x x x =-，()()26661f x x x x x =='--，令()0f x '=，解得0x =或1x =，故当(),0x ∞∈-时′>0，当∈0,1时，′<0，当∈1,+∞时′>0，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是()f x 的极小值点，故A 正确：对于B，因为()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，()()321231g x f x x x =+=-+，易知()(),g x f x 的单调性一致，而()10g =，故()()1g x f x =+有2个零点，故C 错误；对于D ，当01x <<时，21110x x -<-<-<，而()f x 在()1,0-上单调递增，故()()211f x f x -<-，故D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利用空间直角坐标系求出点G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ，所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF -的体积为定值，故A 正确；对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故22113C G GE EC =-=故动点G 的轨迹为以1C 31111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为13π2π342⨯=，故B 错误；以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=，设 =s s 为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令2z =，故()1,2,2n =--为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =-，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG uuu rr，则001122x y -==--，解得001,12x y ==，但22003x y +≠，所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确；对于D ，因为DEF 为等腰三角形，故2211323222222DEFEF S EF DE ⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y d n ⋅++++===，令03cos x θ=，则0π3sin ,0,2y θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()222333d θϕθθ+++++==≤，其中1tan 2ϕ=，则四面体DEFG 体积的最大值为13223236++⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.【答案】10-【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，()24,4b a x -=-+，故()212280b a a x -⋅=---= ，解得10x =-.故答案为：10-13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分.【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=o，即可求出N 点坐标，代入b y x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故32b a =，则2c e a ===.故答案为：72.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2sin cos sin B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 6，求ABC V 的外接圆面积.【答案】（1）π3A =（2）4π3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得A .（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】2sin cos sin sinA B A B A=，因为sin,sin0A B≠sinA A=，则tan A=，因为()0,πA∈，故π3A=.【小问2详解】由题意13sin24ABCS bc A===，故4bc=.由余弦定理得222222cos()3(6)12a b c bc A b c bc a=+-=+-=--，解得2a=.故ABCV的外接圆半径2sinaRA==，故所求外接圆面积24ππ3S R==.16.如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，45,,ASD ADS M N∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M四点共面.（1）证明：SA MN⊥；（2）若SM BM=，且二面角S AD C--为直二面角，求平面SCD与平面ADNM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出MN//AD，再结合SA AD⊥，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为45ASD ADS ∠∠== ，故90SAD ∠= ，则SA AD ⊥，因为AD //,BC AD ⊄平面,SBC BC ⊂平面SBC ，故AD //平面SBC ，而平面ADNM 平面,SBC MN AD =⊂平面ADNM ，故MN //AD ，则SA MN ⊥.【小问2详解】因为二面角S AD C --为直二面角，故平面SAD ⊥平面ABCD .而平面SAD ⋂平面,ABCD AD SA =⊂平面,SAD SA AD ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，所以,,SA AB SA AD AB AD ⊥⊥⊥，以点A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,1A S C D M ，故()()()()2,2,2,0,2,2,0,2,0,1,0,1SC SD AD AM =-=-==，设平面ADNM 的法向量为()111,,n x y z =，则1110,20,n AM x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11x =，可得()1,0,1n =- .设平面SCD 的法向量为()222,,m x y z =，则22222220,2220,m SD y z m SC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令21y =，可得()0,1,1m = ，故平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值1cos 2m n m n θ⋅== .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA =【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设s 0，依题意，222222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意1,0，联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()222214220k x kmx m +++-=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =-+-=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k-，则其方程为()11y x k =--，联立1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩即221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.【答案】（1）e 1y x =--（2）()()f x F x ≥，理由见解析（3）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为1e ln 2x x x x ax +---≥，即()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a 的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，()1e 1f -=-，而()()11e e x f x x +=+-'，故()1e,f '-=-故所求切线方程为()e 1e 1y x -+=-+，即e 1y x =--.【小问2详解】由（1）知()e 1F x x =--，结论；()()f x F x ≥，下面给出证明：令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，则()()11e x m x x +=+'，当1x <-时，()()0,m x m x '<在(),1∞--上单调递减，当1x >-时，()()0,m x m x '>在()1,-+∞上单调递增，故()()10m x m ≥-=，即()()f x F x ≥.【小问3详解】依题意得1e ln 2x x x x ax +---≥，则()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，令()0g x '=，得0x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∞∈+时，()0g x '>，故()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=，当0a ≤时，10,e ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤，此时10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥；当0a >时，令()ln 1h x x x =++，显然()h x 在区间()0,∞+上单调递增，又()221110,120e eh h ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，则01000e ln 20x x x x +---=，而00ax >，不合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =-（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=-写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，根据所给条件可推出存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =-，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++-+=++，即()()22122n n a a +-=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=-因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,12C 6C 3C 6P X P X P X =========，故X 的分布列为X012P162316故1210121636EX =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a -=-或124,5n n a a a -=+=；假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，则121,,,i a a a - 单调递增，即均为正数，且125i a a -≥=，所以15i i a a -=-≤-；则存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，此时与121,,,i a a a - 均为正数矛盾，所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，故14n n a a -=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n -=+⋅=-.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =-，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =-+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+，均不为141;n b n +=--此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141s b n +=--.上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=-=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=，结合11a =，则有31n n a b -=.由5072025b =-可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520⨯-=.【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。
山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案
高三数学试题（答案在最后）2024.9本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I 卷选择题（共58分）一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合{}230A xx x =-<∣，集合{}21xB x =∣ ，则A B ⋂=（）A.()0,3 B.[)0,3 C.()0,∞+ D.[)0,∞+2.已知一组数据(),(110i i x y i 且)i ∈Z 的回归直线方程为ˆ7yx a =+，若10101170,500ii i i xy ====∑∑，则a 的值为（）A.-1B.0C.1D.23.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2516a a =，则2324log log a a +=（）A.2B.3C.4D.54.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（）A.48B.36C.24D.125.已知椭圆222:1(0)x C y a a +=>，则“3a =”是“椭圆C 的离心率为3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为1128,4,23AB A B ==，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.37.已知()()13ππcos ,cos ,0,,0,4422αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan tan αβ+的值为（）A.113B.152 C.1548.已知点A 为直线3470x y +-=上一动点，点()4,0B ，且(),P x y 满足2220x y x ++-=，则3AP BP +的最小值为（）A.65 B.75 C.135 D.215二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.复数z 在复平面内对应的点为()()1,m m ∈R ，且i z ⋅（i 为虚数单位）的实部为2，则（）A.复数z 的虚部为2i -B.复数z 对应的点在第一象限C.复数z 的模长为5D.若复数0z 满足01z =，则0z z -1+10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,πA ωϕ>><）的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象.则（）A.2ω=B.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若()()124g x g x -=，则12x x -的最小值为πD.直线1y=与()π23π1212y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象所有交点的横坐标之和为8π311.设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，则（）A.()20250f =B.()f x 在[]2,4上单调递增C.()5y f x =-为奇函数D.方程()lg f x x =仅有5个不同实数解第II 卷非选择题（共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量()()2,6,1,a b x =-= ，若a∥b ，则x 的值为__________.13.已知三棱锥P ABC -，若,,PA PB PC 两两垂直，且24,PA PB PC ===P ABC -外接球的表面积为__________.14.编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m 表示前两个球号码的平均数，记n 表示三个球号码的平均数，则m 与n 之差的绝对值不超过0.2的概率是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.16.（本小题满分15分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+-+.（1）当02a < 时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若对()0,x ∞∀∈+，都有()()0f x xf x -' 成立，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18.（本小题满分17分）已知双曲线E 焦点在x ，且过点)4，直线1l 与双曲线E 交于,M N 两点，1l 的斜率存在且不为0，直线2l 与双曲线E 交于,P Q 两点.（1）若MN 的中点为H ，直线,OH MN 的斜率分别为12,,k k O 为坐标原点，求12k k ⋅；（2）若直线1l 与直线2l 的交点T 在直线12x =上，且直线1l 与直线2l 的斜率和为0，证明：TP TN TM TQ =.19.（本小题满分17分）若有穷数列{}n a 满足：()120,3k a a a k k <<<∈Z ，若对任意的(),1i j i j k ，j i a a +与j i a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为Γ数列.（1）判断数列0,2,4,8是否为Γ数列，并说明理由；（2）设数列{}n a 为Γ数列.①求证：k i a a -一定为{}n a 中的项；②求证：()1212k k k a a a a ka -++++= ；（3）若数列{}n a 为Γ数列，且{}n a 不是等差数列，求项数k 的所有可能取值.高三数学试题参考答案一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.A2.C3.C4.A5.A6.C7.B8.D二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.）9.BD10.ABD11.ACD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.3-13.25π14.38四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，解得0.025b =估计平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）成绩在第四､五两组志愿者分别有40人､10人，按分层抽样抽得第四组志愿者人数为8，第五组志愿者人数为2，记事件A 为“选出三人来自不同组”，记事件B 为“恰有2人来自第四组”，则()21128282310C C C C C P A +=，()2182310C CC P B =，()()()218221128282C C 7C C C C 8P AB P B A P A ===+∣.所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为78.16.解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()()2221211122.ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+'==①当02a <<时，112a >，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当11,2x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；②当2a =时，()11,02f x a =' 恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增；综上所述，当02a <<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）对()0,x ∞∀∈+，都有()()0f x xf x -' 成立，即对()2ln 10,,x x a x ∞-∀∈+恒成立，等价于对()2maxln 10,,x x a x ∞-⎛⎫∀∈+ ⎪⎝⎭ .令()()23ln 132ln (0),x x g x x g x x x --=='>，当320e x <<时，()()0,g x g x '>在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当32e x >时，()()0,g x g x '<在32e ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.则()32322332ln e 11e 2e e g x g ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭ ，可得312e a .综上，实数a 的取值范围是31,2e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.解：（1）证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ==，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,OE CD OA CD O ⊥⋂=，所以OE ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF（2）解：由（1）知，平面ABCD ⊥平面CDEF ，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =-=-=，设平面AEM 的法向量为(),,n x y z =，则00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则()1,1,1n =，同理，平面 BEM 的一个法向量为()2,2,0m =，所以6cos ,36m n m n m n ⋅===⋅，由图可以看出二面角A EM B --为锐角，故二面角A EM B --的余弦值为63.18.解：（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则2222222(2)41ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得14a b =⎧⎨=⎩，所以22116y x -=，设()()()112200,,,,,M x y N x y H x y 因为,M N 两点都在双曲线22116y x -=上，所以22112222116116y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得2222121216y y x x --=，整理得()()012012,16y y y x x x --=则()()0121201216y y y k k x x x -⋅==-；（2）设1,2T n ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为()()11221,,,,2y n k x M x y N x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立2212116y n k x y x ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩，化简得()()2222211621604kx kkn x k n kn -+---+-=，()22Δ1644364n kn k =--+，则22212122211624,1616k n kn k kn x x x x k k --+--+=-⋅=--，故1211,22TM TN =-=-，()()()2221221121112216k n TM TN kx x k ++⋅=+--=-，由0PQ MN k k +=，所以PQ k k =-，从而()()()()2222221()12112,()1616k n k n TP TQ k k +-+++⋅==---TM TN TP TQ ∴⋅=⋅，即TP TN TMTQ=.19.解：（1）数列0,2,4,8不为Γ数列，因为8210,826,10+=-=和6均不是数列0,2,4,8中的项，所以数列0,2,4,8不为Γ数列.（2）①记数列{}n a 的各项组成的集合为A ，又1210k k k k a a a a a a -<<<<<+ ，由数列{}n a 为Γ数列，k k a a A +∉，所以k k a a A -∈，即0A ∈，所以10a =，设2i k ，因为k i a a A +∉，所以k i a a A -∈，得证②因为1210k k k k k k a a a a a a a a -=-<-<<-<- ，则112211,,,,k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ---=-=-=-= ，将上面的式子相加得：()121121k k k k k ka a a a a a a a a ---++++=++++ .所以()1212k k k a a a a ka -++++= .（3）（i ）当3k =时，由（2）知，1322210,a a a a a a =-==-，这与数列{}n a 不是等差数列矛盾，不合题意.（ii ）当4k =时，存在数列0,2,6,8，符合题意，故k 可取4，（答案不唯一，满足12340,a a a a =+=即可）（iii ）当5k 时，由（2）知，()101k k i i a a a i k -+-=- ，①当31i k - 时，112k i k k a a a a a --+>+=，所以11,k i k i a a A a a A --+∉-∈.又111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<<-<-= ，12320k k a a a a --=<<<< ，所以111122133,,,k k k k k k a a a a a a a a a -------=-=-= ，即()113k k i i a a a i k ---=- .由111122,k k k k a a a a a a -----=-=，得：111122,k k k k a a a a a a -----=-=，所以()111k k i i a a a i k ---=- ，②由①②两式相减得：()1111k k i i a a a a i k -+-=-- ，这与数列{}n a 不是等差数列矛盾，不合题意.综上，满足题设k 的可能取值只有4.。
重庆市2025届高三上学期开学考试数学试卷含答案
高2025届高三上期开学考数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题专上指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}2log 211A x x =-<∣，1222x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A.112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.32xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ C.312xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ D.{11}xx -<<∣【答案】C 【解析】【分析】分别解对数,指数不等式，求出,A B ，再求并集即可.【详解】由于()2log 211x -<,即()22log 21log 2x -<，即0212x <-<，解得1322x <<.则1322A xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣.由于1222x <<，即11222x -<<，则11x -<<，则{}11B xx =-<<∣.则312A B xx ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭∣.故选：C.2.若幂函数()()215mf x m m x-=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（）A.3-B.2- C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数定义和单调性求参数即可.【详解】根据幂函数定义和单调性,知道25110m m m ⎧--=⎨-<⎩，解得3,21m m m ==-⎧⎨>⎩，则3m =.故选：D3.子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意得到答案.【详解】从逻辑上讲，工匠把活作好了，必然有锐利的工具，但有了锐利的工具，不一定能把活做好，“善其事”是“利其器”的充分不必要条件.故选：A4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2e xf x f x --=，则曲线=在点()()0,0f 处的切线斜率为（）A.1- B.13-C.13D.1【答案】C 【解析】【分析】先求出()2e e 3x xf x -+=-，再求出切点和切线的斜率即得解.【详解】因为()()2e xf x f x =-+，所以()()2exf x f x --=+，联立可解得()2e e 3x xf x -+=-，所以()2e e 3x xf x --'=，1(0)3f '=.故选：C5.已知函数=的部分图象如图所示，则()fx 的解析式可能为（）A.3cos 22xxx -+ B.122xxx -++ C.()32121xx x -+ D.21cos 21x x x +-【答案】A 【解析】【分析】由定义域排除D ，由函数在0x >时函数值正负排除B ，由函数的奇偶性排除C ，即得正确选项．【详解】2cos 21x x xy +=-有0x ≠，而由函数=的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D 选项；函数=的部分图象关于y 轴对称是偶函数，而()()122x xx f x f x --+-=≠+,不合题意排除B 选项；当0x >时，03220,2110,210,xxxx +>=->>>，()321021xxx ->+，由图可知0,()x f x >有正有负，不合题意排除C 选项；故选：A.6.已知函数()3sin f x x x ax =+-是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(),1-∞ B.(],1-∞ C.(),2-∞ D.(],2-∞【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，则原问题转化为()2cos 30f x x x a =+-≥'在R 上恒成立，分离参数得2cos 3a x x ≤+恒成立，构造函数2()cos 3g x x x =+，结合其奇偶性以及利用导数求其最值，即可求得答案.【详解】由于()3sin f x x x ax =+-，故()2cos 3,R f x x x a x '=+-∈，函数()3sin f x x x ax =+-是定义在R 上的增函数，故()2cos 30f x x x a =+-≥'在R 上恒成立，即2cos 3a x x ≤+恒成立，令2()cos 3g x x x =+，()g x 为偶函数，故考虑0x ≥时，()sin 6g x x x '=-+，令()sin 6,()cos 60h x x x h x x '=-+∴=-+>，即()g x '在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ''>=，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故min ()(0)1g x g ==，故1a ≤，实数a 的取值范围是(],1-∞，故选：B7.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -的图象关于直线1x =对称，()32f x +是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）A.72f ⎛⎫⎪⎝⎭ B.()2024f C.1D.32f ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】运用已知条件得到()f x 关于1x =对称，也关于(2,0)对称，进而得到周期4.再用赋值法，得到(0)(2)(4)0f f f ===.进而得到()20240f =.【详解】()21f x -的图象关于直线1x =对称，则()()212(2)1(23)f x f x f x -=-+-=-+.即()()212(2)1((21)2)f x f x f x -=-+-=--+，令21t x =-，则()(2)f t f t =-+，则()f x 也关于1x =对称.()32f x +是奇函数，则()32(32)0f x f x ++-+=，()32((32)4)0f x f x ++-++=，令32t x =+，则()(4)0f t f t +-+=，则()f x 也关于(2,0)对称.且令2t =，得(2)0f =.由前面知道()(2)(4)f t f t f t =-+=--+，且令0t =，则(0)(2)(4)0f f f ===.且(2)(4)((6))(6)f t f t f t f t -+=--+=---+=-+，令2m t =-+，则()(4)f m f m =+，故()f x 周期为4.则()2024(0)0f f ==.713((222f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，1，都不确定是否为0．故选：B.8.若存在实数a ，使得关于x 的不等式()()1e ln 0x ax m ax x ⎡⎤-+-<⎣⎦在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.21,e 1⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭B.()2,e1-∞- C.()2e1,-+∞ D.211,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】结合题意把不等式变形()1e ln 0x m x a a x x ⎡⎤+⎛⎫--<⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦后将问题转化为ℎ的最小值大于()g x 的最大值，再利用导数讨论单调性即可求出结果；【详解】因为0x >，所以不等式可变形为()1e ln 0x m x a a x x ⎡⎤+⎛⎫--<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，令()()()1e ln ,xm xg x h x x x+==，由题意可得函数=和函数()y h x =的图象，一个在直线y a =的上方，一个在直线y a =的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值.由()ln x g x x =求导可得()21ln ,0xg x x x='->，令()0e g x x ='⇒=，所以当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()e,+x ∞∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()()max ln e 1e e eg x g ===，由()()1e x m h x x+=求导可得()()()()()221e 1e 1e 1x x x m x m m x h x x x +⨯-++-=='，令()0h x '=，可得1m =-或1x =，当1m <-时，∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；∈1,+∞时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以ℎ有最大值，无最小值，不符合题意，当1m >-时，∈0,1时，ℎ′<0，ℎ单调递减；∈1,+∞时，ℎ′>0，ℎ单调递增；此时()()()min 11e h x h m ==+，所以()()1e h g >，即()11e>e m +，即211em >-，所以实数m 的取值范围是211,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够由已知对不等式两边同时除以x 后变形，再设出()()()1e ln ,xm xg x h x x x+==，然后把问题等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，求导分析即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy有最大值为18B.14x y+有最小值为6+C.224x y +有最小值为12D.()1x y +有最大值为12【答案】ABC 【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC ，利用乘“1”法即可求解B ，利用不等式成立的条件即可求解D.【详解】对于A ：因为21x y +=≥，则18xy ≤，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确，对于B ，()421428666x y x y x y x y x y y x +++=+=++≥=+，当且仅当8x y y x =，即21,22x y -==-时取等号，故B 正确，对于C ：因为22x y +≤，则22142x y +≥，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确，对于D ：因为()()()2211111212222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+≤⨯=⎢⎣⎦，当且仅当21x y =+，即12x =，0y =时取等号，这与,x y 均为正实数矛盾，故D 错误，故选：ABC ．10.已知函数()2ln 11f x x x =---，则下列说法正确的是（）A.()f x 在区间()0,1上单调递增B.()()20242025log 2025log 20242f f +=C.若()21ln221b b f a b +=--，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则21b a ⋅=D.函数()f x 有唯一零点【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于B ，证明()01f f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，再赋值，结合对数性质即可计算；对于C ，变形()()2bf a f -=，由a ，b 的范围即可证.对于D ，由()f x 的单调性大概得到函数图像趋势，结合零点存在性定理可判断.【详解】()2ln 11f x x x =---的定义域为()()0,11,∞+ ，()()21201f x x x '=+>-在定义域上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,1和()1,+∞，故A 正确；当x 趋近于0时，()f x 趋于-∞，当x 趋近于1，且在1的左侧时，()f x 趋于+∞.当x 趋近于1，且在1的右侧时，()f x 趋于-∞,当x 趋近于+∞，()f x 趋于+∞.故()f x 在()0,1和()1,+∞都有1个零点，共2个零点，故D 错误.1122ln 1ln 1111x f x x x x x⎛⎫=--=--+⎪-⎝⎭-，所以()122201x f f x x x -⎛⎫+=-+= ⎪-⎝⎭，又202420251log 2025log 2024=，所以()()20242025log 2025log 20240f f +=，故B 错误；()()2122ln 21ln 2ln 212212121b b b b b b b f a b f ---+=-=+-=--=---，因为()0,b ∈+∞，所以0<21b -<，又()0,1a ∈，所以2b a -=，即21b a ⋅=，故C 正确.故选：AC.11.定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()22ln x f x xf x x +='，若()e 0f =，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 在2e x =处取得极大值B.()()343log 4log 52f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭C.过原点可以作2条直线与曲线()y f x =相切D.若()22e xf x m x+≤-在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是(],2-∞【答案】AD 【解析】【分析】根据导数的求导法则可得()ln 1x f x x-=，即可利用导数求解A ，根据对数的运算性质，结合基本不等式可判断B ，求切点处的切线方程，代入原点坐标，即可求解C ，分离参数，构造函数()2ln 1e x x g x x+=-，求导，结合零点存在性定理可得函数的最小值，根据指对数的性质可得0201e xx =，即可代入求解D.【详解】由()()22ln x f x xf x x +='可得()2ln x f x x '⎡⎤=⎣⎦，又()ln ln x x x x '-=，故()2ln x f x x x x c =-+，其中c 为常数，由于()e 0f =，故()2e e elne e 0f c =-+=，所以0c =，因此()()2ln 1ln x x f x x x x f x x -=-⇒=，故()22ln x f x x -'=，当2e x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当20e x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，故()f x 在2e x =处取得极大值，A 正确，由于()()()2222322224log 4lg 4lg 4lg 44lg 44lg 44lg 41log 5lg 3lg 5lg 3lg 5lg15lg162lg 42=>=>==+⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合34log 4,log 50>，故34log 4log 51>>，3343log log 4log 512=>>>由于函数在20e x <<时，()f x 单调递增，故()()343log 4log 52f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭，B 错误，对于C ，设切点为0,0，则切线方程为()000200ln 12ln x x y x x x x ---=-，将()0,0代入可得0000ln 12ln x x x x ---=-，解得320e x =，故过原点可以作1条直线与曲线=相切，C 错误，对于D ，由()22e xf x m x +≤-可得2ln 1e x x m x+≤-，记()2ln 1e xx g x x +=-，则22222ln 2e ln ()2e x xx x x g x x x+=+'=，由于222,e x y x y ==均为0,+∞上的单调递增函数，且恒为正，ln y x =为0,+∞上的单调递增函数，故()222eln xh x x x =+在0,+∞为递增函数，()()10,0,h x h x ∞>→→-，故存在唯一的0x ，使得()00h x =，即022002e ln 0x x x +=，当()()()00,,0,()0,x x h x g x g x ∈<<'单调递减，当()()()0,,0,()0,x x h x g x g x ∞'∈+>>单调递增，故()()0002222000min 00ln 12e 1ee x x x x x g x g x x x +-+==-=-由022002eln 0x x x +=得()020002e ln 0x x x x +=，令020e ,x x t =则0000ln 2ln 2ln 0x x t x t x +=⎧⎨+=⎩，故1t =，因此0201e x x =，则()()00min 00211=2x g x g x x x -+=-=，故2m ≤，D 正确，故选：AD【点睛】关键点点睛：①根据()ln ln x x x x '-=得()ln 1x f x x-=，②对于022002e ln 0xx x +=有唯一的实数根0x ，令020e,x x t =由0000ln 2ln 2ln 0x x t x t x +=⎧⎨+=⎩，根据唯一性可得0201e xx =是求解D 的关键.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数()()e 20cos xf x f x =+，则()0f '=______．【答案】1【解析】【分析】求导，即可代入求解.【详解】由()()e 20cos xf x f x =+可得()()e 20sin xf x f x -'=，故()()00e 20sin 01f f -'==，故答案为：113.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为23，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．【答案】2532##0.78125【解析】【分析】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A ，选到能完整做对的4道题为事件B ，选到有思路的三道题为事件C ，选到完全没有思路为事件D ，利用全概率公式进行求解即可.【详解】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A ，选到能完整做对的4道题为事件B ，选到有思路的三道题为事件C ，选到完全没有思路为事件D ，则()4182P B ==，()38P C =，()18P D =，由全概率公式得()()()()()()()P A P B P A B P C P A C P D P A D=++132112512838432=⨯+⨯+⨯=.故答案为：2532.14.已知函数()e 2xf x =-，()()2ee 24xx g x a a a =-++∈R ，用{}min ,m n 表示,m n 中较小者，若函数()()(){}min ,h x f x g x =有三个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】()12,28【解析】【分析】分析函数()()2e 2,ee 24xxx f x g x a a =-=-++的零点，可知()g x 必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，由条件列不等式求a 的取值范围.【详解】()()2e 2,ee 24xxx f x g x a a =-=-++，因为函数()f x 有一个零点，函数()g x 至多有两个零点，又ℎ有三个零点，所以()g x 必须有两个零点，且其零点与函数()f x 的零点不相等，且函数()f x 与函数()g x 的零点均为函数ℎ的零点，由()0f x =可得，e 20x -=，所以ln 2x =，所以ln 2x =为函数ℎ的零点，即()2ln 2ln 2ln 2ee 244224280g a a a a a =-++=-++=->，所以28a <，令=0，可得2e e 240x x a a -++=，由已知2e e 240x x a a -++=有两个根，设e x t =，则2240t at a -++=有两个正根，所以()24240a a -+>，0,240a a >+>，所以12a >，故1228a <<，当1228a <<时，2240t at a -++=有两个根，设其根为12,t t ，12t t <，则22a t >，设()224F t t at a =-++，则()24224280F a a a =-++=->，02a F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以12t >，令1212e ,exx t t ==，则1122ln ,ln x t x t ==，则()10g x =，()20g x =，且()1ln 11e220t f x t =-=->，()2ln 22e 220t f x t =-=->，所以当1228a <<时，()()120h x h x ==，所以当1228a <<时，12,x x 为函数ℎ的零点，又ln 2x =也为函数ℎ的零点，且12,x x 与ln 2互不相等，所以当1228a <<时，函数ℎ有三个零点.故答案为：()12,28.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.已知定义在()1,b -上的奇函数()lga xf x b x-=+．（1）求实数,a b 的值：（2）若()f x 在(),m n 上的值域为()1,-+∞，求实数,m n 的值．【答案】（1）1a b ==；（2）91,11m n =-=【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，得到10b -+=，()()0f x f x -+=，求出,a b 的值；（2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到91,11m n =-=.【小问1详解】由于10b -+=，故1b =，()lg1a x f x x -=+，由()lg a xf x b x-=+为奇函数得()()()()()()lg +lg lg 01111a x a x a x a xf x f x x x x x +-+--+===-+-+，故()()()()111a x a x x x +-=-+，解得1a =或1-(舍)，故1a b ==；【小问2详解】()1lg11x f x x -=>-+，故11110x x ->+，又11x -<<，解得9111x -<<，故91,11m n =-=.16.甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得4分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是23．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率：（2）若甲以2:1的比分领先时，记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望．【答案】（1）827（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分两种情况甲胜或乙胜，如果第5局甲胜则前4局甲胜3局，若第5局乙胜则前4局乙胜3局，即可求出概率；（2）根据题意，分析接下去的对局数量，从而得到X 的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得X 各取值的概率，由此求得X 的分布列和数学期望．【小问1详解】第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，则概率为331421264C 333243P ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭⨯；第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，则概率为33242228C (1(1)333243P ⨯-=⨯=-；所以比赛结束时恰好打了5局的概率为12864824324327P P P =+=+=．【小问2详解】甲队以2:1的比分领先，∴甲队目前的战绩两胜一负，∴接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，X ∴的可能取值为2，3，4，又224(2)()39P X ===，133232121811(3)C ()()()C ()333327273P X ==+=+=，223122(4)C ()339P X ==⨯⨯=，∴随机变量X 的分布列为：X234P491329∴41225()2349399E X =⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为259．17.已知函数()ln f x x x ax b =++在3x e -=时取得极值，且满足()11f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若存在实数0x >，使得()1kx f x >+成立，求整数k 的最小值．【答案】（1）()ln 21f x x x x =+-（2）5【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案；（2）将原问题转化为()()1ln 121x x x k x++++>恒成立，令()()1ln 121()x x x g x x++++=，0x >，利用导数求解函数最值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知()ln f x x x ax b =++的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x a '=++，由于函数()ln f x x x ax b =++在3x e -=时取得极值，且满足()11f =，故()3e310f a -=-++='，且()11f a b =+=，解得2,1a b ==-，则()ln 3f x x ='+，经验证函数()f x 在3x e -=时取得极小值，适合题意故()ln 21f x x x x =+-；【小问2详解】由题意存在实数0x >，使得()1kx f x >+成立，即()()1ln 121x x x k x++++>恒成立；令()()1ln 121()x x x g x x++++=，0x >，则()()()21ln 1,0,x x g x x x∞--+∈'=+，令()1ln(1)h x x x =--+，则()11011xh x x x=-=>++'在(0)+∞上恒成立，故()1ln(1)h x x x =--+在(0)+∞单调递增，又(2)1ln30,(3)2ln40h h =-<=->，故存在唯一的0(2,3)x ∈使得0()0h x =，即()001ln 1x x -=+，则当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，故()()()()()()00000000min 01ln 12111212x x x x x x g x g x x x x +++++-++====+，故02k x >+，结合0(2,3)x ∈，得()024,5x +∈，故整数k 的最小值为5.18.已知椭圆：22143x y +=的右焦点F 与抛物线()2:20C y px p =>的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程：（2）已知P 为抛物线C 上一个动点，直线1 : =-1l x ，2:30l x y ++=，求点P 到直线12,l l 的距离之和的最小值；（3）若点D 是抛物线C 上一点（不同于坐标原点O ），I 是DOF 的内心，求IOF 面积的取值范围．【答案】（1）24y x =（2）（3）0,51⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）利用题意求出焦点坐标求解就可以了；（2）找到距离之间关系，利用几何法求解即可；（3）利用内心的性质找到面积之间的关系，然后表示出IOF 面积，再利用函数关系求其范围即可.【小问1详解】由题可知，椭圆右焦点坐标为1,0，抛物线焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭所以122pp =⇒=,所以抛物线方程为24y x =,【小问2详解】由题可知，1l 为抛物线准线，所以点P 到1l 的距离等于点P 到焦点1,0的距离1d ；联立()2224412028030y x y y y x y ⎧=⇒++=⇒++=⎨++=⎩，显然无实数根，故直线2l 与抛物线相离，记点P 到2l 的距离为2d ,所以12d d +的最小值为焦点1,0到直线2:30l x y ++=22103211++=+.【小问3详解】设点()00,D x y ，已知点()()0,0,1,0O F 所以DOF 的面积012DOF S y =,设DOF 的内切圆半径为r ,则有111;;222IOF IDF IOD S OF r S DF r S OD r === ,所以()::::::IOF IDF IOD DOF S S S S OF DF OD OF DF OD =++ ,所以0220001211IOF DOF OF S S y OF DF ODx y x ==++++++ ,因为点D 是抛物线C 上一点（不同于坐标原点O ）,所以2004y x =，00y ≠,所以001122IOF S y y ==,经整理得：0028IOF S y y =++,构造函数()()80f x x x x=++>,得()281f x x =-+',显然()281f x x =+'单调增,令()2810f x x -'=+=，解得3x =,所以当0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当,3x ∞⎛⎫∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，′0，()f x 单调递増；所以()34f x f ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭,所以()20,51IOFS f x ⎛=∈ ⎝⎦.【点睛】对于距离问题先用几何法找到其中关系；对于内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解即可，当处理的式子比较复杂的时候，可以构造函数求解.19.如果函数的导数()()F x f x '=，可记为()()F x f x dx =⎰．若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线=，x a =，x b =以及x 轴围成的曲边梯形”的面积（其中)a b <．（1）若()F x xdx =⎰，且()11F =，求；（2）当π02α<<时，证明：0cos cos a xdx αα⋅<⎰；（3）证明：()()()*1111ln 12321n n n n n ++++>++∈+N ．【答案】（1）()2122x F x =+（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义得到.（2）先由新定义的运算得到cos sin sin 0sin axdx a a =-=ò，再构造函数()sin cos h x x x x =-，利用导数分析单调性，证明结论.（3）先证明1x ≥时11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，再利用结论，得11111ln 21n n n n n +⎛⎫<-- ⎪+⎝⎭，累加法可得答案.【小问1详解】因为2(2x x '=，所以设()22x F x C =+，又()11F =，代入上式可得()1112F C =+=，解得12C =，所以()2122x F x =+；【小问2详解】因为()cos sin F x xdx x C =⎰=+，所以0cos sin sin 0sin axdx a a =-=ò，设()sin cos h x x x x =-，π02x <<，则()sin 0h x x x '=>恒成立，所以ℎ在π02x <<上单调递增，()()min 00h x h >=，所以0cos cos axdx a a <ò.【小问3详解】令11()ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x ≥，()222111(1)1022x f x x x x --⎛⎫=-+=≤ ⎪⎭'⎝，∴在[)1,+∞上单调递减，()10f = ，1x ∴≥时()0f x ≤恒成立；知当1x ≥时11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时取等.11n n+>，1111111ln 2121n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫∴<-=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，211ln11122⎛⎫∴<-- ⎪⎝⎭，31111ln 22223⎛⎫<-- ⎪⎝⎭，41111ln 33234⎛⎫<-- ⎪⎝⎭，11111ln21n n n n n +⎛⎫<-- ⎪+⎝⎭，累加得()11111111ln 1112322231n n n ⎛⎫+<++++--+-+- ⎪+⎝⎭，即()()11111111ln 111123212321n n n n n n ⎛⎫+<++++--=+++- ⎪++⎝⎭ ，()()1111ln 12321nn n n ∴++++>+++ 得证.【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与新定义的运算互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、构造函数11()ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求导证明11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，进而得到11111ln21n n n n n +⎛⎫<-- ⎪+⎝⎭，利用累加法得出答案.。
重庆市2025届高三上学期开学考试数学试题含答案
重庆高2025届高三上开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|22}A x x =+≤，2{|23}B x x x =+≤，{|C x x A =∈且}x B ∉，则集合C =（）A.∅B.[)4,3-- C.(]4,3-- D.[)0,1【答案】B 【解析】【分析】解出绝对值不等式与一元二次不等式后，再结合集合的性质即可得.【详解】由22x +≤可得222x -≤+≤，即40x -≤≤，故{|40}A x x =-≤≤，由223x x +≤可得()()310x x +-≤，即31x -≤≤，故{|31}B x x =-≤≤，由{|C x x A =∈且}x B ∉，故[)4,3C =--.故选：B.2.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以OA ，OB为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与x 轴、y 轴均相切，A ，B 两点间的曲线可近似看成函数()f x的图象，()f x 有导函数()f x '，为了让雨水最快排出，()f x 需要满足螺旋线方程()f x ='，其中a ，b 为常数，则（）A.0a >，0b >B.0a >，0b <C.a<0，0b >D.a<0，0b <【答案】D 【解析】【分析】利用函数图象的变化关系可得()0f x '<，再结合曲线与y 轴相切的特征推理即可得解.【详解】观察图象知，函数()f x 单调递减，即()0f x '<，于是a<0，而函数图象与y 轴相切，则x 从大于0的方向趋于0时，()f x '趋于负无穷大，也即1(0)bf +趋于0，又(0)0f >，因此0b <，所以a<0，0b <.故选：D3.使得“函数()f x =在区间[]1,1-上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（）A.1a ≤-B.03a <≤ C.30a -≤< D.31a -<<-【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数()f x =a 的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件.【详解】解：令()272t x ax x =+-，()0)f t t =≥，因为y 在定义域上单调递增，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，则()272t x ax x =+-在[]1,1-上单调递减且()0t x ≥恒成立，所以()2121620at a ⎧-≤-⎪-⎨⎪=+≥⎩，解得31a -≤≤-，因为()3,1--[]3,1--，所以使31a -≤≤-成立的一个充分不必要条件为31a -<<-.故选：D4.已知直线:10l x ay --=与22:2440C x y x y +-+-= 交于,A B 两点，设弦AB 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取值范围为（）A.3⎡+⎣B.1⎤-+⎦C.22⎡-+⎣D.1⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设1,1，2,2，()00,M x y ，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到()()2200111x y -++=，从而求出动点M 的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出OM 的取值范围.【详解】22:2440C x y x y +-+-= 即()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，半径3r =，直线:10l x ay --=，令100x y -=⎧⎨-=⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过定点1,0，又()()22110249-++=<，所以点1,0在圆内，设1,1，2,2，()00,M x y ，由22102440x ay x y x y --=⎧⎨+-+-=⎩，消去x 整理得()221450a y y ++-=，显然0∆>，则12241y y a +=-+，则()21212224221a a x x a y y a -++=++=+，所以21222121x x a a a +-+=+，122221y y a +=-+，则212022121x x a a x a +-+==+，1202221y y y a +==-+则()()2222200222111111a a x y a a ⎛⎫--⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又直线:10l x ay --=的斜率不为0，所以M 不过点1,0，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=（除点1,0外），圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，半径11r =，又ON ==，所以11ON r OM ON r -≤≤+，11OM -≤≤，即OM的取值范围为1⎤-+⎦.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M 的轨迹，再求出圆心到原点的距离ON ，最后根据圆的几何性质计算可得.5.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +-=，当()1,1x ∈-时，()2log 11a f x b x ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭，则202313k k f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A.0B.1C.1- D.2023【答案】B 【解析】【分析】根据()0011022f f f ⎧=⎪⎨⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可求出a 、b 的值，分析可知函数()f x 是周期为2的周期函数，计算出13f ⎛⎫⎪⎝⎭、()1f 的值，结合函数周期性和奇偶性的性质可求得202313k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()1,1x ∈-时，()2log 11a f x b x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，由()()20log 10f a b =-+=，①且()222211248log 21log 1log 12022333a a a f f a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-++-+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①②可得()222248log 1log 133a a a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，整理可得220102102103a a a a a ⎧-=⎪->⎪⎪⎨->⎪⎪->⎪⎩，解得2a =，此时，()20log 10f b =+=，可得0b =，故当()1,1x ∈-时，()2221log 1log 11x f x x x +⎛⎫=-=⎪--⎝⎭，()()2211log log 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，合乎题意，因为()()20f x f x +-=，则()()()22f x f x f x =--=-，所以，函数()f x 是周期为2的周期函数，所以，221113log log 211313f +⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，在等式()()20f x f x +-=中，令1x =可得()210f =，可得()10f =，()()()()12451221121033333333f f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=，因此，62023112023133713333k k k k f f f f ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.故选：B.6.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x xx =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据已知可求得()2fx xx =-+，从而可求得函数()f x 的解析式，令()()210g x xf x x=-=，可得()1f x x =，即2211,013,0x x xx x x ⎧-=>⎪⎪⎨⎪+=<⎪⎩，构造函数并画出函数图象，结合图象即可得解.【详解】解：因为()()22f x f x xx =+-，所以()()()2222f x f x xx f x x x =+-=+-，所以()2fx xx =-+，所以()()2222,0223,0x x x f x f x x x x x x x x x ⎧-+≥=+-=-+-=⎨--<⎩，由()()210g x xfx x=-=，得()221f x x =，即()1f x x =，即2211,013,0x x x x x x ⎧-=>⎪⎪⎨⎪+=<⎪⎩，如图，画出函数1,03,0x x y x x ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩和21y x =的图象，当1x =-时，()21132,11-+==-，由图可知函数1,03,0x x y x x ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩和21y x =的图象右4个交点，即函数()()21g x xf x x=-有4个零点.故选：B.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了利用数形结合思想求函数的零点的个数，考查了数形结合思想和转化思想，有一定的难度.7.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*,()m n m n ∈>N 均有22m n m n m n a a a a +-+=+.记{}n a 的前n 项和为n S ，则7S =（）A.28B.140C.256D.784【答案】B 【解析】【分析】令1n =，得到11(())2m m m m a a a a +---=-，令1m m m b a a +=-，求得12m m b b --=，得出{}m b 为等差数列，求得1223m m a a m a +=--+，利用累加法求得22(2)(1)m a m m a -+-=，再令3,2m n ==，得到513222a a a a +=+，求得24a =，得出2m a m =，即可求解.【详解】由数列满足11a =，且22m n m n m n a a a a +-+=+，令1n =，可得1112222m m m m a a a a a +-+=++=，即11(())2m m m m a a a a +---=-，再令1m m m b a a +=-，可得12m m b b --=，即数列{}m b 是公差为2的等差数列，又由12121b a a a =--=，可得223m b m a =-+，即1223m m a a m a +=--+，又由22211321()()((2)()1)m m m a a a a a a a a m m a -=+-+-++--=+- 即22(2)(1)m a m m a -+-=，所以3212a a =+及5294a a =+，令3,2m n ==，可得513222a a a a +=+，代入可得222942121(2)a a a ++=++，解得24a =，所以22(2)(1)4m m a m m -⨯-=+=，即数列的通项公式为2n a n =，所以222222271234567140S =++++++=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列{}m b 是公差为2的等差数列，再结合累加法并求出24a =，从而得到2n a n =，最后计算7S 即可.8.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（）A.()27132C B.7713142C C C.6714142C C D.()27142C 【答案】B【解析】【分析】分析可得甲组的中位数为14或15，分别求出甲组的中位数为14、15时的分组方法，即可得解.【详解】因为甲组、乙组均为15个数，则其中位数为从小到大排列的第8个数，即小于中位数的有7个数，大于中位数的也有7个数，依题意可得甲组的中位数为14或15，若甲组的中位数为14，则乙组的中位数为16，此时从113 中选7个数放到甲组，剩下的6个数放到乙组，再从1730 中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有771314C C 种分组方法；若甲组的中位数为15，则乙组的中位数为17，此时从114 中选7个数放到甲组，剩下的7个数放到乙组，再从1830 中选7个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有771413C C 种分组方法；若甲组的中位数为16，则乙组的中位数为18，此时甲组中小于16的数有7个、乙组中小于18的数有7个，从而得到小18的数一共只有77115++=个，显然不符合题意，故舍去，同理可得，甲组的中位数不能大于15；若甲组的中位数为13，则乙组的中位数为15，此时甲组中小于13的数有7个、乙组中小于15的数有7个，从而得到小15的数一共只有77115++=个，显然不符合题意，故舍去，同理可得，甲组的中位数不能小于14；综上可得不同的分组方法数是7713142C C 种.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是得到甲组的中位数为14或15再分类分别计算可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数()()1f x f x =，()()1n n f x f f x +⎡⎤=⎣⎦，n *∈N ，则下列函数中满足，()3f x 与()f x 值域相同的是（）A.()e =x f xB.()ln f x x= C.()21f x x =- D.()1f x x x=+【答案】BC 【解析】【分析】分别求出选项中()3f x 与()f x 的值域即可得到答案.【详解】对选项A ，()()1e 0,x f x ∞=∈+，()()e2e 1,xf x ∞=∈+，()()e e 3e e,xf x ∞=∈+，故A 错误.对选项B ，()1ln f x x R =∈，()()2ln ln f x x R =∈，()()3ln ln ln f x x R =∈⎡⎤⎣⎦，故B 正确.对选项C ，()()2111,f x x =-∈-+∞，()()()22111,f x f x =-∈-+∞⎡⎤⎣⎦，()()()23211,f x f x =-∈-+∞⎡⎤⎣⎦，故C 正确.对选项D ，()()()112,,2f x x x =+∈+∞-∞- ，()()()211155,,22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+∈+∞-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()32212929,,1010f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+∈+∞-∞- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC10.在信道内传输,,M N P 信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为()01αα<<，收到其他两个信号的概率均为12α-．若输入四个相同的信号,,MMMM NNNN PPPP 的概率分别为123,,p p p ，且1231p p p ++=．记事件111,,M N P 分别表示“输入MMMM ”“输入NNNN ”“输入PPPP ”，事件D 表示“依次输出MNPM ”，则（）A.若输入信号MMMM ，则输出的信号只有两个M 的概率为()221αα-B.()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()()1112311p P M D p ααα=-+-【答案】BCD 【解析】【分析】由独立事件的乘法公式可得A 错误；由条件概率公式可得BC 正确；全概率的应用，先求出()3112P D N αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据()2332123111222P D p p p αααααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭和()()()()()()1111P D M P M P M D P M D P D P D ⋅==化简得到D 正确.【详解】A ：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为()01αα<<，收到其他两个信号的概率均为12α-，即收到的信号字母变的概率为1α-，且信号的传输相互独立，所以输入信号MMMM ，则输出的信号只有两个M 的概率为()()222224C 611αααα--=，故A 错误；B ：因为()()()2221121111122p P DM P D M P M p αααα-⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭，故B 正确；C ：()()()33311131122p P DP P D P P P p αααα-⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭，故C 正确；D ：因为()()()33211121122p P DN P D N P N p αααα-⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭，而2332123111()222P D p p p αααααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23221111111111222p p p p ααααααααα----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2111113*********p p p p p ααααααααααα-+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2131112p ααααα⎡⎤-+--⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()()()()()()()221111112p P D M P M P M D P M D P D P D P D αα-⎛⎫⋅ ⎪⋅⎝⎭===()()221121112231131112p p p p αααααααααα-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭==-+-⎡⎤-+--⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式()()()|P AB P B A P A =和全概率公式()()()1|ni i i P A P B P A B ==∑.11.在平面直角坐标系中，将函数()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转(090)αα<︒≤后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.那么（）A.存在90︒旋转函数B.80︒旋转函数一定是70︒旋转函数C.若1()g x ax x=+为45︒旋转函数，则1a =D.若()ex bx h x =为45︒旋转函数，则2e 0b -≤≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，举例说明即可；对B ，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD ，将45︒旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.【详解】对A ，如y x =满足条件，故A 正确；对B ，如倾斜角为20︒的直线是80︒旋转函数，不是70︒旋转函数，故B 错误；对C ，若1()g x ax x =+为45︒旋转函数，则根据函数的性质可得，1()g x ax x=+逆时针旋转45︒后，不存在与x 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45︒的直线与1()g x ax x=+的函数图象有两个交点.即()R y x b b =+∈与1()g x ax x =+至多1个交点.联立1y ax x y x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩可得()2110a x bx --+=.当1a =时，10bx -+=最多1个解，满足题意；当1a ≠时，()2110a x bx --+=的判别式()2Δ41b a =--，对任意的a ，都存在b 使得判别式大于0，不满足题意，故1a =.故C 正确；对D ，同C ，()e x bxh x =与()R y x a a =+∈的交点个数小于等于1，即对任意的a ，e xbx a x =-至多1个解，故()e x bxg x x =-为单调函数，即()()11e xb x g x -=-'为非正或非负函数.又()11g '=-，故()110e xb x --≤，即()e 1xb x ≥--恒成立.即e x y =图象在()1y b x =--上方，故0b -≥，即0b ≤.当e x y =与()1y b x =--相切时，可设切点()0,ex x ，对e x y =求导有e x y '=，故000ee 1x x x =-，解得02x =，此时02e e x b =-=-，故2e 0b -≤≤.故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若不等式()3ax a b x a x ++-≤对[]1,2x ∈恒成立，则8a b +的最大值为__________.【答案】3【解析】【分析】先将不等式变形为2111a x b x ⎛⎫+-+≤ ⎪⎝⎭，再把211x x+-看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于,a b 的不等关系，再利用不等关系表达所求式8a b +，并求其范围探究最值即可.【详解】由()3ax a b x a x ++-≤，可得2111a x b x ⎛⎫+-+≤ ⎪⎝⎭.令[]21()1,1,2f x x x x=+-∈，则()f x 在1,2上单调递增，所以21911,2x x ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，由2111a x b x ⎛⎫+-+≤ ⎪⎝⎭对[]1,2x ∈恒成立，所以911,112a b a b -≤+≤-≤+≤，则1()1a b -≤-+≤，故()98232a b a b a b ⎛⎫+=+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当912()1a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，即411,77a b ==-时，等号成立，故8a b +的最大值为3.故答案为：3.13.有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是______号．【答案】512【解析】【分析】根据题设，依次写出每次去掉奇数位后的余项，即可得结果.【详解】第一次：余下编号2,4,6,8,10,...,998,1000，编号为*2,N k k ∈，共500项；第二次：余下编号4,8,12,16,...,996,1000，编号为*4,N k k ∈，共250项；第三次：余下编号8,16,24,32,...,992,1000，编号为*8,N k k ∈，共125项；第四次：余下编号16,32,48,64,...,976,992，编号为*16,N k k ∈，共62项；第五次：余下编号32,64,96,128,...,960,992，编号为*32,N k k ∈，共31项；第六次：余下编号64,128,192,256,...,896,960，编号为*64,N k k ∈，共15项；第七次：余下编号128,256,384,512,640,768,896，编号为*128,N k k ∈，共7项；第八次：余下编号256,512,768，编号为*256,N k k ∈，共3项；第九次：余下编号512，编号为*512,N k k ∈，共1项；综上，最后剩下512.故答案为：51214.《扫雷》是一款益智类的小游戏，游戏要求玩家在方格中点击若干次，排除所有无雷的格子即算成功.方格中的数字代表其周围8格的地雷数.现有如图所示的55⨯方格阵，有4个方格已经被点开，则图中地雷数的可能取值有______种；若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有______种.【答案】①.7②.46【解析】【分析】记ij a 为第i 行，第j 列格子，1,2,3,4,5i =，1,2,3,4,5j =，按照33a 中是地雷和33a 中不是地雷分两种情况讨论，再按照公共地雷的个数进行讨论可求出第一个空的答案；第二个空按照公共地雷个数为2和5分别计数，再相加可得解.【详解】记ij a 为第i 行，第j 列格子，1,2,3,4,5i =，1,2,3,4,5j =，4332当33a 中是地雷时，若其余无公共地雷时，图中地雷数为433239+++-=；若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为4332318+++--=；若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为4332327+++--=；若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为4332336+++--=；若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为4332345+++--=；当33a 中不是地雷时，若其余有且只有一个公共地雷时，图中地雷数为4332111+++-=；若其余有且只有二个公共地雷时，图中地雷数为4332210+++-=；若其余有且只有三个公共地雷时，图中地雷数为433239+++-=；若其余有且只有四个公共地雷时，图中地雷数为433248+++-=；若其余有且只有五个公共地雷时，图中地雷数为433257+++-=；若其余有且只有六个公共地雷时，图中地雷数为433266+++-=；综上所述：图中地雷数可能取5,6,7,8,9,10,11共7个值.若已知图中共有7个地雷，由以上分析可知，共分两类：第一类：当33a 中是地雷时，其余有且只有二个公共地雷，共有2284C C 28622-=-=种；第二类：当33a 中不是地雷时，其余有且只有五个公共地雷，共有41211124422222C C 2C C (C C C )24⋅++=，所以若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有222446+=种.故答案为：7；46.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()()()log log 2m m f x x m x m =-+-（0m >且1m ≠）.（1）若对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，是否存在5,2m αβ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭，，使()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log m m βα？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，说明理由.【答案】（1）112m ≤<（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数性质求得()f x 在[3,4]m m 上的最大值max ()f x ，由max ()1f x ≤计算即可得；（2）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5,2m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解即可得．【小问1详解】对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，等价于max ()1f x ≤，∵()()()()22log 2log 32([3,4])m m f x x m x m x mx m x m m ⎡⎤=--=-+∈⎣⎦，设[]()22223323,424m t x mx m x m x m m ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭，则t 在[3,4]m m 上是增函数，下面按照log m y t =的单调性分类讨论：当01m <<时，()f x 在[3,4]m m 上递减，则()()()2max 3log 21m f x f m m ==≤，解得112m ≤<，当1m >时，()f x 在[3,4]m m 上递增，则()()()2max 4log 61m f x f m m ==≤，解得106m <≤与1m >矛盾，故舍去；综上，112m ≤<.【小问2详解】∵112m ≤<，∴()f x 在5,2m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上递减，∴()()log log m m f f ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()22a m a m m m αβββ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，即关于x 方程()()2x m x m x --=在5,2m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上有两个不等的实根，设()()()()222312h x x m x m x x m x m =---=-++，则12≤<1Δ=3+12−82>03r152ℎ>0，即12≤<12+6+1>0<12>103m ⇒∈∅．综上，不存在这样的α，β满足条件.16.已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，其中R λ∈，n ∈N .（1）若8n =，71024a =，求()0,1,2,3,8i a i =⋅⋅⋅的最大值；（2）若2λ=，求nrr ra=∑；（用n 表示）（3）若1λ=-，求0C ()n k knn k k k x f x n-=∑【答案】（1）1792（2）1023nn rr ran -==⋅∑（3）()0C n k knn k k k x f x x n-==∑【解析】【分析】（1）由二项式定理求得7a ，从而求得λ，然后设最大t a ，解不等式组11t t tt a a a a -+≥⎧⎨≥⎩求解；（2）由题意可得()012nnrrr x a x=+=∑，两边求导，令1x =可得解；（3）用()n f x 写出等式左边的和式，然后由组合数公式11C C kk n n k n--⋅=化简变形后再由二项式定理可得．【小问1详解】()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=++++ ，7778C 10242a λλ==⇒=，不妨设i a 中()0,1,2,3,,8t a t = ，则11188111886C 2C 25C 2C 2t t t t t t t t t t t t a a t a a t ---+++≥⎧≤≥⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨≥≥≥⎩⎩⎩，则5t =或6，i a 中的最大值为55665688C 2C 21792a a ====.【小问2详解】若2λ=，()012nnrr r x a x =+=∑，两边求导得()110212nn r r r n x ra x --=+=∑，令1x =得，1023nn rr ran -==⋅∑.【小问3详解】若1λ=-，()()1nn f x x =-，()0C nk knn k k k x f x n-=∑()()()()120001122012C 1C 1C 1C 1n n n n n nn n n n x x x x x x x x n n n n--=-+-+-++- ，因为()()()()1!!C !!1!!knn k n k n k n k n k n k -=⋅=⋅--⋅-()()()()111!C 1!11!k n n k n k ---==⎡⎤-⋅---⎣⎦，所以()()()()120011211110C 0C 1C 1C 1nn n k k n nnn k n n n k k x f x x x x x x x n-------==+-+-++-∑ ()()()120001111111C 1C 1C 1n n n n n n n x x x x x x x -------⎡⎤=-+-++-⎣⎦()11n x x x x -⎡⎤=+-=⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将C knk n化简为11C k n --.17.已知O 为坐标原点，经过点()4,0的直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B （A ，B 异于点O ）两点，且以AB 为直径的圆过点O .（1）求C 的方程；（2）已知M ，N ，P 是C 上的三点，若MNP △为正三角形，Q 为MNP △的中心，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =（2）12.【解析】【分析】（1）根据题意，联立直线与抛物线方程，由OA OB ⊥代入计算，即可得到抛物线方程；（2）根据题意，分MNP △有一边斜率不存在与MNP △三边的斜率都存在讨论，分别表示出,MN MP k k ，结合60NMP ∠=︒代入计算，结合基本不等式即可得到直线OQ 斜率的最大值.【小问1详解】设(),A A A x y ，(),B B B x y ，:4l x my =+，联立方程24,2,x my y px =+⎧⎨=⎩得2280y pmy p --=，则2A B y y pm +=，8A B y y p =-.因为以AB 为直径的圆过点O ，所以OA OB ⊥，则0A B A B x x y y +=，即22022A BA B y y y y p p⋅+=，解得24A B y y p =-，所以248p p -=-，解得2p =，所以C 的方程为24y x =.【小问2详解】设1,1，2,2，()33,P x y .不妨设N ，M ，P 按逆时针顺序排列.①当MNP △有一边斜率不存在时，另一顶点为()0,0，不妨设()0,0P，则:3MP l yx =，:3NP l y x =-.与抛物线C 的方程联立得(12,M ，(12,N -，中心()8,0Q .②当MNP △三边的斜率都存在时，1212124MN y y k x x y y -==-+，134MP k y y =+.又60NMP ∠=︒，所以1213121344tan 60441y y y y y y y y -++=︒=+⋅++化简可得()()()321213416y y y y y y ⎡⎤-=+++⎣⎦，同理可得()()()213132416y y y y y y ⎤-=+++⎦，()()()132321416y y y y y y ⎡⎤-=+++⎣⎦，三式相加得()2221231223310348y y y y y y y y y ⎤=++++++⎦.因为M ，N ，P 是C 上的三点，所以()2221231234y y y x x x ++=++，又()()22221231231223312y y y y y y y y y y y y ++=+++++，所以()()21231233964y y y x x x +++=++.设(),Q x y ，则1233x x x x =++，1233y y y y =++，代入上式得29432y x =-.又①也满足29432y x =-，所以Q 的轨迹方程为29432y x =-.当0y >，直线OQ的斜率为24432932129y y x y y y==≤++，当且仅当3y =时，直线OQ的斜率取得最大值12.当0y ≤时，直线OQ 的斜率0y x ≤.综上，直线OQ斜率的最大值为12.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用MNP △内角为60︒得到关于123,y y y 的三条方程，从而整理得Q 的轨迹方程为29432y x =-，由此得解.18.药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．（1）药房中共有几味药？（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．（i ）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii ）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．【答案】（1）12（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列出方程3C 220n =，即可求解；（2）设共有烈性药r 味，1味烈性药2+味非烈性药称为R -三药组”，考虑问题的反面，从而列出方程322132r r r -+=，结合该方程的解的情况，即可证明结论.【小问1详解】设共有n 味药，一共可形成3C n 个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它，22副药方中，每副药方可形成35C 个“三药组”，合计220个“三药组”，所以3C 220n =，所以12n =．【小问2详解】设共有烈性药r 味，假设每副药方中至多含有3味烈性药，不妨把1味烈性药2+味非烈性药称为“R -三药组”，共有1212C C r r -个“R -三药组”，另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有3C r 副药方恰含有3种烈性药，每副这样的药方含有1232C C 个“R -三药组”，其余322C r -副药方只含有1种或2种烈性药，它们中每一幅都可形成21146C C =或1123C C 6=个“R -三药组”，故22副药方一共可形成()333C 622C r r +-个“R -三药组”，故有()123312C C 3C 622C r r r r -=+-，得321367132r r r -+=，（i ）将7r =代入321367175132r r r -+=≠,即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii ）321367132r r r -+=两边考虑都除以5，右侧余2，对于2(1367)r r r -+，当r 取0，1，2，3，4，5时，均不成立，即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立，所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于理解透题意，特别是第二问的证明，解答时采用反证思想，从反面说明，推出方程无解，从而证明结论.从而证明结论.19.已知()()12e,x f x ax ax b a b +=+--∈R .（1）若存在两个不同的a 使得()f x 的最小值为0，证明：0e b <<；（2）设b λ≤（λ为常数），且当()0f x ≥恒成立时，a b -的最小值为12λ+-，求λ的取值集合.【答案】（1）证明见解析（2）53⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）求出导数后，分0a =、0a <与0a >讨论函数的调性后，构造函数()1e 12x g x x +=-，结合导数可得存在两个不同的a ，使得()f x 的最小值为0等价于存在两个不同的0x ，使得()01200031e 12x x x b x +-+=-，再构造函数()()2131e 12x x x h x x+-+=-，利用导数研究其单调性后即可得证；（2）由第一问可得，0,e a b ><，构造函数()()()()213e 12x x x F x g x h x x+-+=-=-，结合导数研究其单调性后可得()()0021h x F x ≤--，再构造函数()()()21G x h x F x =++，此时只需结合导数讨论()0G x ≤的解即可得.【小问1详解】()1e 2x f x ax a +'=+-，令()()1e 2x x f x ax a μ+'==+-，则()1e 2x x a μ+'=+，当0a =时，()1e0x f x +=>'，()f x 单调递增，没有最小值，不满足题意；当0a <时，考虑0x <这一侧，有()2e f x ax b <++，则当x =时，()0f x <，不满足题意；当0a >时,()0x μ'>恒成立,()f x '在R 上单调递增，取12x =即有()0f x '>；当12x <时，有()32e 2f x ax a <+-'，则当32e 2a x a -=时，()0f x '<；所以存在唯一的320e 1,22a x a ⎛⎫- ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，此时()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且有010e20x ax a ++-=，也即01e 12x a x +=-，于是，()()()00120012000min31e e 12x x x x f x f x ax ax b b x ++-+==+--=--，记()1e 12x g x x +=-，则()()()1232e 12x x g x x +'-=-，当12x <时，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，所以存在两个不同的a ，使得()f x 的最小值为0，也即存在两个不同的0x ，使得()01200031e 12x xx b x +-+=-；记()()2131e 12x x x h x x+-+=-，则()()()()12123e 12x x x x h x x +---=-'，易知()h x 在(),0-∞上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()0e h x h ≤=；若0b ≤，当0x <时，()0h x b >≥，而当0x >时，()h x 单调递减，方程()h x b =至多有一个解，不满足题意；若e b ≥，则有()()0e h x h b ≤=≤，方程()h x b =至多有一个解，满足题意；综上，0e b <<；【小问2详解】由第一问可知，0,e a b ><，取12x =，则102f a b ⎛⎫-=+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭，此时1a b λ-≥-≤-，记()()()()213e12x xx F x g x h x x+-+=-=-，则()()()()212231e 12x x x x F x x +'---=-，所以()F x在1,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，由于()()()00min 1,2b h x a b F x λλ+=≤-==-，所以有()()0021h x F x ≤--，记()()()()2131e 21112x x x G x h x F x x+-++=++=+-，则只需考虑()0G x ≤的解即可，()()()()()121223e 12x x x x G x x +'+--=-，所以()G x 在(),1∞--上单调递减，在11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，而()10G -=，所以()0G x ≤只有一个解1x =-，此时()513h λ=-=，综上，λ的取值集合为53⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于构造函数()()()F x g x h x =-，结合其单调性再构造函数()()()21G x h x F x =++，从而只需考虑()0G x ≤的解即可.。
上海市松江二中2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷(含解析)
松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，则______．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．3．在的展开式中，的系数为______．4．双曲线的两条渐近线的夹角为______．5．已知向量，且，则______．6．函数在上可导，若，则______．7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数______．8．正方体的棱长为2，P 为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______．9．已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______．10．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为______．11．如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为______．{}{}1,0,1,2,03A B x x =-=<<A B = z ()1,2i z ⋅=)52-2x 2213x y -=()()21,2,,2a b x =-= 3cos ,5a b 〈〉= x =()f x R ()23f '=()()Δ023Δ2ΔlimΔx f x f x x→+--=X 123111236⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3Y aX =+[]2E Y =-a =1111ABCD A B C D -1CC 1BPD △1BD 21,2A xx x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ()12log ,y x a x A =+∈B B A ⊆a12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,M N 12F M F N ∥221::1:2:3F N F M F M =C12．已知都是平面向量，且，若，则的最小值为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“”是“直线与直线垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）A ．若平行于同一平面，则与可能异面B ．若不平行，则在内不存在与平行的直线C ．若不平行，则与不可能垂直于同一平面D ．若垂直于同一平面，则与可能相交15．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形16．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
2024届山东名校考试联盟高三下学期开学考数学试题及答案
机密★启用前试卷类型A山东名校考试联盟高三年级下学期开学联考数学试题2024.2注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．二项式4(32)x +的展开式中常数项为（）A ．4B ．8C ．16D ．322．欧拉公式cos isin i e θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知i ie z θ=，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．3．已知非零向量,a b 满足a b = ，且2a b += a 与b 夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π4．已知函数())lnf x ax =+是定义在R 上的奇函数，则实数a 的值是（）A ．1B ．1±C ．2D ．2±5．已知数列{}n a 是以1a 为首项，q 为公比的等比数列，则“()110a q −>”是“{}n a 是单调递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若曲线()e x f x =在1x =处的切线与曲线()ln g x x a =+也相切，则a =（）A ．12 B ．1 C ．32D ．2 7．已知点P 是直线:40l x y ++=上一动点，过点P 作圆22:(1)(1)1C x y +++=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅的服小值为（）A ．0B ．1CD ．28．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为原点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于点P ，且224tan 7POF ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 B ．3C ．4 D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1'月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ）A ．中央大街日旅游人数的极差是1.2B ．冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3C ．冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大D ．冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则（）A ．2ω=B ．6x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．()()()210f x a f x a −++=在0,2x π∈上有两个不相等的解，则11,22a∈−D ．已知函数()()21sin 2g x f x x =+，当()g x 取最大值时，sin2x =11．在长方体1111ABCD A B C D −中，12,1,ABAA AD E ===为11A B 的中点，点P 满足1(01)DP DB λλ=<< ，则（）A ．若M 为1A D 的中点，则三棱锥P BEM −体积为定值B ．存在点P 使得AP BE⊥C ．当23λ=时，平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D −D ．若Q 为长方体1111ABCD A B C D −外接球上一点，23λ=，则3QE QP +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数的和为偶数”，事件B 为“取到的两个数均为偶数”，则()P B A =______．13．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()1cos 2cos b A a B +=−，2b c ==，则ABC △外接圆的半径为______．14．已知函数()ln f x a x x =−()e 2e a x x x f x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()(1)1n n n b a n =−+−，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．16．（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），每一局比赛中两人都要决出胜负，不出现平局，且甲获胜的概率为(01)p p <<．（1）若23p =，求甲以3:2获胜的概率； （2）若12p =，求比赛结束时，比赛局数X 的分布列及数学期望．17．（15分）已知四棱锥,P ABCD PA −⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，24,2BC AD AB DC PA =====．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，求直线l 与平面PCB 夹角的正弦值．18．（17分）已知函数()()ln 1f x x =+．（1）讨论函数()()()F x ax f x a =−∈R 的单调性；（2）设函数()()1111g x x f f x x=+−+．（ⅰ）求()()12g g −−的值；（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．19．（17分）已知抛物线2:4,,,W x y A B C =是W 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,A B C ′′′，则称三角形A B C ′′′为抛物线的外切三角形．（1）当点C 的坐标为()2,1,B 为坐标原点，且BA BC =时，求点B ′的坐标；（2）设外切三角形A B C ′′′的垂心为H ，试判断H 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；（3）证明：三角形ABC 与外切三角形A B C ′′′的面积之比为定值．山东名校考试联盟2024年2月高三年级下学期开学考数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 78答案C A C B BD A D6．【解析】由题意得，()e x f x =在1x =处的切线为e y x =，设该直线与曲线()ln g x x a =+相切的切点为()()00001,ln ,e xx a g x x ′+==，所以01e x =，所以切点1,1ea −在直线ex y =上，所以2a =，故选：D ． 7．【解析】圆22:(1)(1)1C x y +++=的圆心为()1,1−−半径为1，点C 到直线:40l x y ++=的距离d=．解法一：PA PB ==，设2APB θ∠=，则在Rt PAC △中，1sinAC PC PCθ==，所以222cos cos212sin 1APB PC θθ∠==−=−，所以()222cos 11PA PB PA PB APB PCPC⋅=∠=−−=2223PC PC +−，因为minPC =22min23PC PC += ，所以PA PB ⋅ 的最小值0． 解法二：当CP l ⊥时，APB ∠取得最大值2π，此时0PA PB ⋅= 取得最小值0，其他位置0PA PB ⋅> ，所以PA PB ⋅的最小值0．故选：A ．8．【解析】解法一：由题意得，1212190,,22F PF OP OF POF PF O θ∠=°=∠==∠，222tan 24tan tan271tan POF θθθ∠===−，所以13tan tan 4PF O θ=∠=，即2134PF PF =， 又122PF PF a −=，所以128,6PF a PF a ==∣ ．在12PF F △中，由勾股定理得：222(8)(6)(2)a a c +=，解得225e =，所以双曲线C 的离心率为5．解法二：点P 一定在右支上，不妨设点P 在第一象限，由于224tan 7POF ∠=，所以724,2525c c P，一定满足22221x y a b−=，即222272425251c c a b−=，化简得，22222249576625b c a c a b −=，结合222c a b =+，整理得，42244926256250c a c a −×+=，同除4a 得，424926256250e e −×+=，解得，225e =或22549e =（舍），所以双曲线C 的离心率为5， 故选：C ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BC ABD ACD10．【解析】对于A ：因为周期,0T πω=>，所以2ω=．对于B ：代入2,13π −得4sin 13πϕ+=− ，所以()43232k k ππϕπ+=+∈Z ， 则()26k k πϕπ=+∈Z ，因为2πϕ<，所以6πϕ=，则()sin 26f x x π=+，其对称轴为()126x k k ππ=+∈Z ，所以6x π=是()f x 的对称轴．对于C ：因为()()()210f x a f x a −++=，所以()1f x =或()f x a =，因为0,2x π∈，所以令72,666t x πππ=+∈，所以sin 1t =或sint a =有两个解， 结合sin yt =的图象，1y =与sin y t =有一个交点，12y =与sin y t =有一个交点，共两个交点，所以12a =符合题意，答案错误．对于D ：()111cos2444g x x x xx =++=++ ，令cos θθ=()()124g x x θ=++．所以当()222x k k πθπ+=+∈Z 时取到最大值，此时sin2sin 2cos 2x k ππθθ=+−==．答案：ABD 11．【解析】对于A ：因为M 为1A D 的中点，E 为11A B 的中点，所以1DB EM ∥，所以1DB ∥面BEM ，则P 到面BEM 的距离为定值，所以体积为定值．对于B ：AP 在平面11ABB A 的投影为1AB ，由三垂线定理得，若AP BE ⊥，则1AB BE ⊥，因为四边形11ABB A 为正方形，所以1AB 与BE 不垂直，所以B 错．对于C ：平面PCD 与平面1B CD 重合，平面1B CD 与平面11DCB A 重合，所以延长CP 会与11A B 有交点，因为123DP DB =，所以延长CP 与11A B 交于点E ，取11C D 中点F ，则平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D −所得截面为矩形BCFE ．对于D ：长方体1111ABCD A B C D −外接球球心为1B D 中点，半径为132,23DP DB =，由阿氏球得，在直线1B D 上必存在一点N ，使得3QP QN =，此时点N 在1DB 延长线上，且满足13B N =，以D 为原点，建系如图，13,6DB DN ==所以12DN DB =，则()4,2,4N ，因为()1,1,2E ，所以min min (3)()QE QP QE QN NE +=+=．答案：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．23； 1314．[]0,e ．13．【解析】解法一：由正弦定理得，()()sin 1cos sin 2cos B A A B +=−，化简得，sin sin cos 2sin sin cos B B A A A B +=−，所以()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2sin B B A A B B A B B C A ++=++=+=由正弦定理得2b c a +=，因为2b c ==，所以ABC △为正三角形，由22,2sin sin sin sin 3a b cR R A B Cπ=====，所以ABC △解法二：由余弦定理得，2222221222b c a a c b b a bc ac+−+−+=−，化简得2b c a +=， 因为2b c ==，所以ABC △为正三角形， 由2sin sin sin a b cR A B C===，得22sin 3R π==ABC △14．【解析】只需保证2ln 10e ea ax x x x −−≥恒成立．令()2ln 1g x x x =−−，则()g x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，当x →+∞时()(),322ln30g x g →+∞=−<，故存在03x >，使得()00g x =．又()10g =，故01e ax x <≤或0ea x x x ≥恒成立．又当x →+∞时0e ax x →，则0ea x x x ≥不恒成立，于是01e a x x <≤恒成立．当0a <时，若0x →，显然不成立； 当0a =时，满足题意；当0a >时，ln a x x ≤，若01x <≤，显然成立； 若1x >时，则ln xa x≤恒成立，求导可得0e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围为[]0,e ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】因为12n n a a n +=+，所以()121n n a a n −=+−，()122122,2,n n a a n a a −−=+−=+ 累加得：()211212n n na a n n −=+=−+，经检验1n =时符合，所以21n a n n −+ 【注：丢捕对1n =的检监不扣分】（2）因为()(1)1n n n b a n =−+−，所以()22(1)11(1)n n n b n n n n =−−++−=−， 所以222222221234(21)(2)12322n S n n n n n =−+−++−−+=++++=+ 【注：此处没有使用并项法求和，而是使用不完全归纳法得出规律求和，不扣分】16．【解析】（1）记A 表示甲以3:2获胜，则前4局两人比分为2:2平，第5局甲获胜， 所以()22242121633381P A C =×××=；【注：浸有列出式子，直接给出答束，扣3分】 （2）X 的可能取值为3，4，5()31211324P X C===，()4122313428P X C C ==⋅×= ，()5122413528P X C C==⋅×=，故()133333454888E X =×+×+×=；【注：1．不列出分布列的㐘格，不扣分；2．没有单独给出随机变童的取值，后面求概时有体现，不扣分； 3．每一个概值的计算只有结来没有式子，各和1分； 4．数学期望只有结果，没有式子，和1分； 5．结果没有化成最简分数，不扣分】 17．【解析】（1）证明：连接AC ，过A 做BC 的垂线交BC 于点F ，所以1BF =，因为2AB =，所以AF =，又因为3FC =，所以AC =，所以90BAC ∠=°，所以AB AC ⊥【注：其他方法证得AB AC ⊥，同样得分】因为PA ⊥面,ABCD AC ⊂面ABCD ，所以AC PA ⊥，PA 与AB 交于点A ，所以AC ⊥面PAB ，因为AC ⊂面PAC ，所以面PAB ⊥面PAC【注：1．此处铁少AC ⊥面PAB ，直接得面PAB ⊥面PAC ，扣1分；2．证得PA ⊥面ABCD 后建系，由两平面的法向量重直得两平面垂直也同样得分】 （2）延长,BA CD 交于点E ，因为E ∈面PAB ，且E ∈面PCD ，所以E l ∈，PE 即为面PAB 与面PCD 的交线，以A 为原点建系如图：()()()()0,2,0,,0,2,0,0,0,2B C E P −，()()()0,2,2,2,0,2,2PB PC PE =−=−=−−，设面PCB 的方向量为(),,n x y z =，则22020y z z −=−=，取(n = ，设直线l 与平面PCB 的夹角为α，所以sin |cos ,PE α= 所以直线l 与平面PCB．解法二：延长,BA CD 交于点E ，因为E ∈面PAB ，且E ∈面PCD ，所以E l ∈，PE 即为面PAB 与面PCD 的交线如图建立空间直角坐标系：()()()()2,0,0,0,,2,0,0,0,0,2,B C E P −所以()()()2,0,2,0,2,2,0,2PB PC PE =−−=−=−，设面PCB 的方向量为(),,n x y z =，则22020x z z −−= −=，取(n = ，设直线l 与平面PCB 的夹角为α，所以sin cos ,PE α= ，所以直线l 与平面PCB．解法三：延长,BA CD 交于点E ，因为E ∈面PAB ，且E ∈面PCD ，所以E l ∈， PE 即为面PAB 与面PCD 的交线做AF BC ⊥于点F ，连接PF ，因为PA ⊥面ABCD ，由三垂线定理可知：BC PF ⊥． 在Rt PAF △中，2AF PA =，所以PF =设点E 到平面PBC 的距离为h ，由E PBC P BCE V V −−=，得h =，因为PA ⊥面ABCD ，所以在Rt PAE △中，PE =．设PE 与平面PBC 得夹角为α，则sin h PE α==，所以直线l 与平面PCB．（1）由题意可知()()ln 1F x ax x =−+，则()F x 的定义域为()1,−+∞，()1111ax a F x a x x +−=−=′++当0a ≤时，()101F x a x ′=−<+，则()F x 在()1,−+∞上单调递减；当0a >时，若()11111,01a ax a x F x a a x ′−+−−<≤−≤+；若()111,01ax a x F x a x +−−′>=>+，则()F x 在11,1a−− 上单调递减，在11,a −+∞上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()F x 在()1,−+∞上单调递减；当0a >时，()F x 在11,1a−− 上单调递减，在11,a −+∞上单调递增．【注：1．丢接0a =的情况，扣1分；2．单调区间未用区间表示，共扣1分】（2）（ⅰ）函数()()111ln 1ln 2g x x x x=++−+，则()412ln2ln3ln 3g −，()13342ln ln ln ln 2243g −=−−=−=，故()()120g g −−=．（ⅱ）函数()g x 的定义域为()(),10,−∞−+∞ ．若存在m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称，则()(),10,−∞−+∞ 关于直线x m =对称，所以12m =−由()()111ln 1ln 211g x x x x−−=−+−+ −−−−()211211121ln ln ln ln 1ln ln ln 1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=−−=−=+−++++()()1211ln ln x x x g x x x++=+−=．可知曲线()y g x =关于直线12x =−对称．【注：1．由（ⅰ）的计算结果猜想得出对称轴为直线12x =−，也得2分； 2．只要出理()()1g x g x −−=或1122g x g x −+−−或两者做差等于0等式子，即得2分； 没有最后一句结论，不扣分】（1）由题意可知()2,1A −，求导得2x y ′=，则切线A B ′′的方程为1,y x B =−′为切线A B ′′与y 轴的交点，则点B ′的坐标为()0,1−．【注：求导正确得1分；正确求解点C 或A 处的切线得1分；正确求得点B ′的坐标得1分】 （2）设222312123,,,,,444x x x A x B x C x，则抛物线在点A 处的切线B C ′′的方程为21124x x y x =−，同理可得切线A C ′′的方程为22224x x y x =−，【注：得由其中一条切线方程即可得1分】 联立可得交点1212,24x x x x C +′．同理可得23233131,,,2424x x x x x x x x A B ++ ′′ ．【注：得由其中1个顶点的坐标即可得1分】设垂心H 的坐标为(),x y ，则2331122233112444,2222AC B H x x x x x x y x k k x x x x x x x ′−−===+++−−．由A C B H ′′⊥′可知312314122AC B H x x y x k k x x x ′′−⋅=⋅=−+−，即12323124x x x x x y x x +=++．【注：由现解之积为1−，即得1分】 同理可得12331224x x x x x y x x +=++．两式相减可得()3223x x y x x −=−，即1y =−． 因此垂心H 在定直线1y =−上．【注：出理定直线1y =−，即得1分】（3）直线AB 的方程为12121,44x x x x y x AB x +=−=−，点233,4x C x到直线AB 的距离为1d 则三角形ABC 的面积()()()112131321128S AB d x x x x x x =⋅=−−−．再由切线B C ′′的方程为223233*********,,,,,,24242424x x x x x x x x x x x x x x y x A B C +++ =− ′′′ 可知1222x x B C x +=−=−′′，点2323,24x x x x A +′到直线B C ′′的距离为2d 则外切三角形A B C ′′′的面积()()()2221313211216S B C d x x x x x x ′′=⋅=−−−．故()()()()()()21313212213132182116x x x x x x S S x x x x x x −−−=−−−．因此三角形ABC 与外切三角形A B C ′′′的面积之比为定值2．解法二：因为222312123,,,,,444x x x A x B x C x ，所以()()22223121213111224444ABC x x x x S AB AC x x x x =×=−−−−− △()()()31213218x x x x x x =−−−由②得232331311212,,,,,242424x x x x x x x x x x x x A B C +++ ′′′ 所以312313122312,,,2424x x x x x x x x x x x x A B A C −−−− = ′′′′ 12233123132111222442A B C x x x x x x x x x x x x S A B A C ′′′−−−− =×=− ′′′′ △()()()312132116x x x x x x =−−−所以2ABC A B C S S ′′=△△．。
四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学+答案
树德中学高2022级高三开学数学考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.“∀x ∈R ，x 2+2x +1>0”的否定是( )A.∃x 0∈R ，使得x 20+2x 0+1≤0B.∀x ∈R ，x 2+2x +1<0C.∃x 0∈R ，使得x 20+2x 0+1<0D.∀x ∈R ，x 2+2x +1≤02.已知全集U =1,2,3,4,5,6,7 ，集合A =1,2,3,4,5 ，B =3,4,5,6 ，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )A.2B.4C.8D.163.已知等差数列a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ≥0”是“S n 是递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在同一平面直角坐标系中，直线mx -y +1=0(m ∈R )与圆x 2+y 2=2的位置不可能为( )5.一堆苹果中大果与小果的比例为9:1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )A.855857B.8571000C.171200D.9106.某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100 ，81,90 ，71,80 ，61,70 ，51,60 ，41,50 ，31,40 ，21,30 八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ~N 50,256 ，那么B +等级的原始分最低大约为( )参考数据：对任何一个正态分布X ~N μ,σ2 来说，通过Z =X -μσ转化为标准正态分布Z ~N 0,1 ，从而查标准正态分布表得到P X ≤X 1 =P Z ≤Z 0 ．可供查阅的(部分)标准正态分布表：Z 01.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9P Z ≤Z 00.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713Z 02.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8P Z ≤Z 00.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974A.57B.64C.71D.777.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行于反射镜对称轴的入射光线与抛物线y 2=2px 的交点为A 4,4 ，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )A.274 B.214C.254D.2948.若对任意的x 1,x 2∈-1,0 ,x 1<x 2,x 2e x 1-x 1ex 2x 1-x 2<a 恒成立，则a 的最小值为( )A.-1e 2B.-1eC.-2e 2D.-2e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元)405060708090销量y (件)504443m3528由表中数据，求得线性回归方程为y =-0.4x +66，则下列说法正确的是( )A.产品的销量与单价成负相关B.为了获得最大的销售额(销售额=单价×销量)，单价应定为70元或80元C.m =40D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为1310.已知a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是( )A.若a >b >0，则b a <b +ca +c B.若ac 2>bc 2，则a >b C.若a >b >0，a +b a +22ab≥12 D.2a 2+3a 2+1的最小值为2211.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ，F 2a ,0 距离之积等于a 2a >0 的点的轨迹称为双纽线，已知点P x ,y 是a =1的双纽线C 上一点，下列说法正确的是( )A.若直线F 1F 2交双纽线C 于A ，B ，O 三点(O 为坐标原点)，则AB =22B.双纽线C 上满足PF 1 =PF 2 的点有2个C.△PF 1F 2的面积的最大值为12D.△PF 1F 2的周长的取值范围为4,2+22 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若(x -2)4=a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0=；a 1+a3a 0+a 2+a 4=.13.若不等式x -3 ≤a 成立的一个充分不必要条件是-1≤x ≤7，则实数a 的取值范围为．14.设函数f x =x 3-x ，正实数a ,b 满足f a +f b =-2b ，若a 2+λb 2≤1，则实数λ的最大值为四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数f x =x +1,g x =x 2-1.(1)若a ∈R ，求不等式af x +g x <0的解集；(2)若b ≤3，对∀x 1∈1,2 ,∃x 2∈4,5 ，使得bf x 1 +f x 2 =g x 1 +b +8成立，求b 的取值范围.16.2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次是否近视1~100101~1000近视4030不近视1020(1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数(精确到0.01)；(2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?(3)在(2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.P K 2≥k0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .17.在三棱台DEF -ABC 中，CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且BA =BC ，AC =2DF ，M 为AC 的中点，P 是CF 上一点，且CF DF =MCCP=λ(λ>1).(1)求证：CD ⊥平面PBM ；(2)已知CP =1，且直线BC 与平面PBM 的所成角的正弦值为66时，求平面EFM 与平面PBM 所成夹角的余弦值.18.如图，双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点F1，F2分别为双曲线C2:x24a2-y24b2=1的左、右顶点，过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A,B两点，交双曲线C2的右支于点M(与点F2不重合)，且△BF1F2与△ABF2的周长之差为2.(1)求双曲线C1的方程；(2)若直线MF2交双曲线C1的右支于D,E两点.①记直线AB的斜率为k1，直线DE的斜率为k2，求k1k2的值；②试探究：DE-AB是否为定值？并说明理由.19.设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0①，有两根x1,x2，则方程可变形为a x-x1x-x2=0，展开得ax2-a x1+x2x+ax1x2=0②，比较①②可以得到x1+x2=-ba,x1x2=ca,这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0有三个根x1,x2,x3，则有x1+x2+x3=-bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=-da③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数f x =ax3+bx2+x+1(a<0)恰有两个零点.(i)求证：f x 的其中一个零点大于0，另一个零点大于-2且小于0；(ii)求a+b的取值范围.树德中学高2022级高三开学数学考试试题参考答案1.A2.B3.B4.C5.A6.C7.C8.D 9.ACD 10.BC 11.ACD8．【详解】因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0，则x 2e x1-x 1e x 2x 1-x 2<a 可化为x 2e x1-x 1e x 2>a x 1-x 2 ，整理得x 2e x 1+ax 2>x 1e x 2+ax 1，因为x 1x 2>0，所以e x1x 1+a x 1>e x 2x 2+ax 2，令f x =e x x +ax ，则函数f x 在-1,0 上单调递减，则f x =e x x -1 -ax2≤0在-1,0 上恒成立，所以e x x -1 ≤a 在-1,0 上恒成立，令g x =e x x -1 ，则g x =e x x -1 +e x =xe x <0在-1,0 上恒成立，则g x =e x x -1 在-1,0 上单调递减，所以g x ≤g -1 =-2e，故a ≥-2e ，所以a 得最小值为-2e.11．【详解】由双纽线的定义可得：PF 1 ⋅PF 2 =x +a 2+y 2⋅x -a 2+y 2=a 2，即x +a 2+y 2 ⋅x -a 2+y 2 =a 4，化简得：x 2+y 2 2=2a 2x 2-y 2 ，当a =1时，点P 的轨迹方程为x 2+y 2 2=2x 2-y 2 ，令y =0，解得x =±2或x =0，所以AB =22，故A 正确；因为F 1-a ,0 ，F 2a ,0 ，若满足PF 1 =PF 2 ，则点P 在y 轴上，在方程中x 2+y 2 2=2x 2-y 2 令x =0，解得y =0，所以满足PF 1 =PF 2 的点P 为P 0,0 ，只有一个，故B 错误；S △F 1PF 2=12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=12sin ∠F 1PF 2≤12，故C 正确；因为C △PF 1F 2=PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =2+PF 1 +PF 2 ，又PF 1 PF 2 =1，且PF 1 +PF 2 >F 1F 2 =2，所以C △PF 1F 2=2+PF 1 +PF 2 >4，接下来先证明PO ≤2a ：在△F 1PF 2中，由余弦定理可得F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，所以PF 1 2+PF 2 2=4a 2+2a 2cos ∠F 1PF 2.又因为2PO =PF 1 +PF 2 ，所以2PO 2=PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2cos ∠F 1PF 2.所以2PO 2+F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 cos ∠F 1PF 2+PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2=2PF 12+PF 2 2 ，即4PO 2+4a 2=2×4a 2+2a 2cos ∠F 1PF 2 ，整理可得|PO |2=a 2+a 2cos ∠F 1PF 2≤2a 2，所以PO ≤2a ；所以PO ≤2，如图以PF 1、PF 2为邻边作平行四边形PF 1GF 2，则GF 1 =PF 2 ，所以PF 1 +PF 2 =PF 1 +GF 1 <PG =2PO ≤22，所以C △PF 1F 2=2+PF 1 +PF 2 <2+22，即△PF 1F 2的周长的取值范围为4,2+22 ，故D 正确.12．16-404113．4,+∞ 14．2+2214.【详解】因为f x =x 3-x ，所以f a =a 3-a ，f b =b 3-b ，又f a +f b =-2b ，所以a 3-a +b 3-b =-2b ，即a 3+b 3=a -b ，因为a>0，b>0，所以a3+b3>0，所以a>b>0，所以a3+b3a-b=1，又a2+λb2≤1，即a2+λb2≤a3+b3a-b，所以λb2≤b3+a2ba-b，所以λ≤b2+a2ab-b2=1+ab2ab-1，令t=ab，则t>1，所以1+ab2ab-1=1+t2t-1=t2-1+2t-1=t+1+2t-1=t-1+2t-1+2≥2t-1⋅2t-1+2=2+22，当且仅当t-1=2t-1，即t=2+1时取等号，所以b2+a2ab-b2min=22+1，所以λ≤2+22，则实数λ的最大值为2+2 2.15.(1)a<2时，不等式的解集为{x∣-1<x<1-a};a=2时，不等式的解集为∅；a>2时，不等式的解集为{x∣1-a<x<-1}；(2)52≤b≤22；16．【详解】(1)由图可知，第三组和第六组的频数为100×0.8×0.2=16人第五组的频数为100×1.2×0.2=24人所以前四组的频数和为100-24+16=60人而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人所以中位数落在第四组，设为x，因此有x-4.60.2=50-(4+8+16)32(或1.6(x-4.6)=0.22)解得x=4.7375所以中位数是4.74(2)因为K2=100×(40×20-30×10)250×50×70×30=10021≈4.762,所以K2>3.841因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人，从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个，所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为P=915=35.17．(1)∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC.∵CF⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴CF⊥BM.又CF∩AC=C,CF,AC⊂平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，因为DC⊂平面ACFD，∴DC⊥BM.①∵CF DF =MCCP,∠CFD=∠MCP=π2，∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD.∵∠ACD+∠FCD=π2，∴∠PMC+∠ACD=π2，∴在平面ACFD中DC⊥PM.②∵BM∩PM=M,BM,PM⊂平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM.(2)由题意得DM⎳CF，CF⊥平面ABC，∴DM⊥平面ABC.由(1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点.如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.∵CF DF =DFCP =λ，CP =1∴CM =DF =λ，DM =CF =λ2.∴M 0,0,0 ，B λ,0,0 ，C 0,λ,0 ，D 0,0,λ2 .∵AC =2DF ，∴由棱台的性质得BC =2EF ,BC =-λ,λ,0 ，∴ME =λ2,λ2,λ2 .由(1)可知平面PBM 的一个法向量为CD ，且CD=0,-λ,λ2 .∵直线BC 与平面PBM 的所成角的正弦值为66，∴cos BC ,CD =BC ⋅CDBC ⋅CD=66(λ>0)，即-λ2λ2⋅λλ2+1=66，解得λ= 2.∴平面PBM 的一个法向量为CD ，且CD=0,-2,2 .平面EFM 的法向量为n=x ,y ,z .∵ME =22,22,2 ，MF =0,2,2 ，n ⋅ME=22x +22y +2z =0n ⋅MF =2y +2z =0，即y =-2zx =-2z ，当z =-1时，x =2，y = 2.∴平面MEF 的一个法向量为n =2,2,-1 .cos n ,CD =n ⋅CD n CD =2+26×5=23015.∴平面EFM 与平面PBM 所成夹角的余弦值23015.18．(1)解：设F 1F 2 =2c ，因为△BF 1F 2与△ABF 2的周长之差为2，所以BF 1 +F 1F 2 -AB -AF 2 =2，即2c -2a =2，又因为F 1,F 2分别为双曲线C 2:x 24a 2-y 24b2=1的左、右顶点，所以c =2a ，联立方程组c -a =1c =2a ，解得a =1,c =2，所以b 2=c 2-a 2=1，故双曲线C 1的方程为x 2-y 23=1.(2)解：①由(1)知，双曲线C 2的方程为x 24-y 212=1,F 1-2,0 ,F 22,0 ，设M (x 0,y 0)，则x 204-y 2012=1，可得y 20=3(x 20-4)，则k 1⋅k 2=y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=y 20x 20-4=3.②DE -AB 为定值4.理由如下：由(1)得直线AB 的方程为y =k 1x +2 ，联立方程组y =k 1x +2x 2-y 23=1，整理得3-k 21 x 2-4k 21x -4k 21-3=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 213-k 21,x 1x 2=-4k 21-33-k 21，因为A ,B 位于双曲线的左、右两支，所以x 1x 2=-4k 21-33-k 21<0，即k 21<3，可得AB =1+k 21 x 1+x 22-4x 1x 2 =361+k 2123-k 21 2=61+k 21 3-k 21，又因为k 1⋅k 2=3，所以直线DE 的方程为y =3k 1x -2 ，根据双曲线的对称性，同理可得DE =61+3k123-3k 12=29+k 21 3-k 21，所以DE -AB =29+k 213-k 21-61+k 213-k 21=4，故DE -AB 为定值4.19．(1)证明：因为方程ax 3+bx 2+cx +d =0a ≠0 有三个根x 1,x 2,x 3，所以方程ax 3+bx 2+cx +d =0a ≠0 即为a x -x 1 x -x 2 x -x 3 =0，变形为ax 3-a x 1+x 2+x 3 x 2+a x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1 x -ax 1x 2x 3=0，比较两个方程可得x 1+x 2+x 3=-ba x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=ca x 1x 2x 3=-d a.(2)(i )证明：∵f x 有两个零点，∴f x =0有一个二重根x 1，一个一重根x 2，且x 1≠0,x 2≠0,由(1)可得2x 1+x 2=-ba x 21+2x 1x 2=1a x 21x 2=-1a，由x 21+2x 1x 2=1a <0可得x 1x 2<0.由x 21⋅x 2=-1a>0可得x 2>0，∴x 1<0<x 2.联立上两式可得x 21+2x 1x 2=-x 21⋅x 2，解得x 2=-x 1x 1+2，又x 2>0,x 1<0∴x 1>-2，综上-2<x 1<0<x 2.(ii )解：由(i )可得a =-1x 21x 2=x 1+2x 31=1x 21+2x 31b =2x 1+x 2x 21x 2=2x 1x 2+1x 21=-2x 1-4x 21+1x 21=-2x 1-3x 21，∴a +b =2x 31-2x 21-2x 1.令t =1x 1,∵x 1∈-2,0 ,∴t ∈-∞,-12，则g t =2t 3-t 2-t ，∵g t =23t 2-2t -1 =23t +1 t -1 >0，当t <-12时，g t >0，∴g t 在-∞,-12 上单调递增，∴g t <g -12 =14，∴a +b ∈-∞,14.。
广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题
肇庆市第一中学2024-2025学年第一学期高三数学开学考（文字版|含答案）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集U =R {}31A x x =-<<{}02B x x =≤≤合为（）A ．B ．C ．D ．()3,0-()1,0-(0,1)(2,3)2．复数的虚部为（）13i1i +-A ．B ．C ．D ．2i-1-2i3．已知命题：，使得 成立为真命题，则实数的取值范围是（p x ∃∈R 2210ax x ++<a ）A ．B ．C ．D ．(],0-∞(),1-∞[)0,1(]0,14．对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）[]1,2x ∈2230ax x a -+<A ．B ．C ．D．⎛-∞ ⎝4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数，则不等式的解集是（ ）2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>2()f x x ≥A ．B ．C ．D ．[1,1]-[2,2]-[2,1]-[1,2]-6．已知函数，若，则（ ）()()222x x f x ax a -=-++∈R ()25f =()2f -=A ．B ．1C ．-5D ．51-7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区()(2)mf x m x =-()lg g x x x m =+-()g x 间为（ ）A ．B ．C ．D ．(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)8．已知定义在R 上的函数，若函数 恰有2个零点，2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()k x f x ax =+则实数a 的取值范围为（）A ．B ．{}1,0(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭{}11,0(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．111,{0},e e ⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9．下列说法正确的有（）A ．不等式的解集是21131x x ->+123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭B ．“，”是“”成立的充分条件1a >1b >1ab >C ．命题：，，则：，p x ∀∈R 20x >p ⌝x ∃∈R 2x <D ．“”是“”的必要条件5a <3a <10．已知，且，则（）0,0a b >>1a b +=A ．的最小值是B ．最小值为ab 14222a b +23C D ．的最小值是12a a b +1+11．已知函数是定义在R 上的奇函数，是偶函数，当，()f x ()1f x +[]()20,1,x f x x x∈=+则下列说法中正确的有（）A ．函数关于直线对称()f x 1x =B ．4是函数的周期()f x C ．()()202220230f f +=D ．方程恰有4不同的根()ln f x x=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．计算：的值是．()()12920243lg 4lg 254-⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭13．已知函数，函数为一次函数，若，()221f x x x =+-()y g x =()()2243g f x x x =++则.()g x =14．若函数，则使得成立的的取值范围是.()()2ln 2f x x x =++()()211f x f x +<-x 四、解答题：本题共5小题，共77分。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新高考通用)01(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学·答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 DCCBAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BCDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． π313．13 14．6四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）由题意2222AB CD AD BC ====，则60ABC ∠= ， 因为1,2BC AB ==，所以90,ACB AC BC ∠=⊥ ，（1分） 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD AB =， 且,PA AB PA ⊥⊂平面PAB ， 所以PA ⊥平面ABCD ，（2分） 因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，（3分） 且,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，（4分）又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ；（5分） （2）如图，以A 为原点，,AP AB分别为x 轴，y 轴正方向，在平面ABCD 内过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(0,2,0),0,,0,22P B D C ，（7分，建系、设点各一分）所以1(1,0,0),0,2AP AD == ，1(1,2,0),0,2PB BC =−=− ， 设平面PAD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11002n AP x y n AD ⋅==⋅=+=，令1z =−，得11)n =− ，（9分） 设平面PBC 的法向量()2,,n m n p = ，则222002n PB m n n n BC ⋅=−+=⋅=−=，令1p =，得2n = ，（11分） 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ，则121221cos 244n n n n θ⋅===×⋅ ，（12分）所以平面PAD 与平面PBC．（13分）16．（15分）【详解】（1）易知9.398.570.82=+，所以根据正态分布区间公式有()()()19.390.162P x P X P x µσµσµσ−−≤≤+>=>+==，（3分） 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16， 则()2,0.16Y B ∼，（4分，不写不扣分） 所以：()()()121C 0.1610.160.2688P Y ==××−=；（6分） （2）因为0.2 2.2t x =+，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： 12314.6417.4220.726.1, 6.7,7.40.21 2.20.22 2.20.23 2.2u u u ======×+×+×+， 4525.230.088.4,9.40.24 2.20.25 2.2u u ====×+×+，（8分） 所以()()11123453, 6.1 6.77.48.49.47.655x u =×++++==×++++=，（10分） 则()()518.3i i i x x u u =−−=∑，()52110i i x x =−=∑（12分） 由公式可知()()()515218.30.83,7.60.833 5.1110ˆˆˆiii ii x x u u ba u bx x x ==−−====−=−×=−∑∑，（14分）即0.83 5.11u x +.（15分）17．（15分）【详解】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心， 故有：00233x x y y= =，（2分）解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，（4分） 又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104xy xy +=≠.（5分）（2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =（7分）故设直线l的方程为()1y m m +≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++−=x m ，（8分） 由2Δ208160m =−>得213m <，（9分） 设()()1122,,,A x y B x y，则212124413m x x x x −+=，（10分） 由AH BQ ⊥2211y x −=−，所以()211210x x mm +++−=，（12分）所以)()21212410x x m x x m m −++−=， 所以()()()22444241130m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，（13分） 解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），（14分） 故直线l的方程为165y =−.（15分）18．（17分）【详解】（1）由题意得()()ln e 1ln x xf x ax ax+==，()0,x ∈+∞，则()2ln x f x ax =−′，（1分） 由()0f x ′=，解得1x =．（2分） 显然0a ≠，若0a >，则当01x <<时，()()0,f x f x ′>单调递增，当1x >时，()()0,f x f x ′<单调递减；（3分）若0a <，则当01x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，当1x >时，()()0,f x f x ′>单调递增．（4分） 综上，当0a >时，()f x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减； 当a<0时，()f x 在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（5分） （2）（i ）由()ln e 1x ax=，得1ln xa x+=， 设()1ln xg x x+=，由(1)得()g x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减，（6分） 又()10,11e g g ==，当1x >时，()0g x >，且当x →+∞时，()0g x →，（8分） 所以当01a <<时，方程1ln xa x +=有两个不同的根，即方程()ln e 1x ax=有两个不同的根，故a 的取值范围是()0,1．（9分）（ii ）不妨设12x x <，则1201x x <<<，且1212ln 1ln 1x x x x ++=．（10分） 设()()()11ln 1ln xh x g x g x x x x + =−=−−，()0,x ∈+∞， 则()222ln 1ln ln 0x x h x x x x x ′−−=+=⋅≥，（11分） 所以()h x 在区间()0,∞+内单调递增， 又()10h =，所以()()11110h x g x g x =−< ，即()111g x g x<．（13分） 又()()21g x g x =，所以()211g x g x< ，（14分）又()2111,1,x g x x >>在区间()1,+∞内单调递减． 所以211x x >，即121x x >，（16分） 又12x x ≠，所以22121222x x x x +>>，得证．（17分）19．（17分）【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得11a =，21a =，3122a a a =+=，（1分） 123,,2,c m c m c m ∴===（2分） 312+,c c c ∴=即1+212+,c c c = （3分）∴对m ∀∈R ，当正整数=1k 时，存在=2n ，使得k nk n c c c +=+成立，即数列{}n c 为“1阶可分拆数列”；（4分）（2）3n nS a =− ， ∴当1n =时，13d a =−，（5分） 当2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n d S S a a −−−=−=−−−=⋅，（6分）（i ）若数列{}n d 为“1阶可分拆数列”，则存在正整数n 使得11nn d d d +=+成立， 当1n =时，211d d d =+，即()623a =−，解得0a =，（7分） 当2n ≥时，()1233+23n n a −⋅=−⋅，即1433n a −⋅=−，（8分） 因0a ≥，所以33a −≤，又14312n −⋅≥，（9分） 故方程1433n a −⋅=−无解.综上所述，符合条件的实数a 的值为0. （10分） （ii ）证明：*21,()n n n a a a n ++=+∈N ， ∴当2n ≥时，()21111nn n n n n n n a a a a a a a a +−+−=−=−， ∴2222123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()21232134324543+++a a a a a a a a a a a a a =+−−+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11n n n n a a a a +−−2121=a a a −1+n n a a +1=n n a a +，（11分）222212311=1n n n a a a a a a +∴+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+，（12分） 由（i ）知3nn S =，所以3nn na f =， 31121231=++++33333n n n n na a a a a T −−∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①，3112234+11=++++333333n n n n n a a a a a T −⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②，（13分）由①-②可得324311211234+12=++++3333333n n n n n n a a a a a a a a a a T −−−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅+− 21234+11=+++33333n n n n a a a a −⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+ 1222122+111=+++333333n n n n a a a a −−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+（）（14分） -22+111=+333n n n a T −，（15分） +12<03n n n n a T T −> ， ，-22+1221111=++333333n n n n n a T T T −∴<，（16分）315n T ∴<<，当*n ∈N 且3n ≥时， 222212311n n n n T a a a a a a +<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+成立.（17分）。
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)
西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试高三数学（范围：集合与不等式、函数、导数）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若正数满足，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．64．吹气球时，气球的半径（单位：与体积（里位：之间的函数关系是时，气球的膨胀率（即气球每增大单位体积时半径的增加量）为（ ）A．B ．C ．1D ．5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，，则7．已知函数，若均不相等且，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．{}240A x x =--≤∣A N ⋂={}0{}0,1{}0,1,2{}1,2()()01f x x =-[]3,3-[]3,1)(1,3-⋃()3,3-()()3,11,3-⋃,x y 220x xy -+=x y +r )dm V )L ()r V =V =166π12[]1,2x ∃∈-213022x x a +--≥0a ≤1a ≤2a ≤3a ≤ab >22ac bc >a b >22a b >0a b >>0m >b m ba m a+<+15a -<<23b <<43a b -<-<()lg |,01013,105x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩a b c 、、()()()f a f b f c ==abc ()1,10()5,6()10,15()20,248．设，，，则的大小顺序为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9．已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，，，则下列说法正确的是（ ）A ．的最大值为B ．的最小值为C ．的最小值为20D ．的最小值为11．已知函数，的定义域均为为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知奇函数在定义域上是减函数，且则的取值范围为______．13．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．14．定义在上的函数满足，，若，则______，______．四、解答题（本题共5小题，共77分。
北京市2024年高三秋季开学考试数学试题与答案
北京市2024年高三秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B = （）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．已知复数55i2iz +=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是（）A ．1B C ．iD3．二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A ．1B ．4C ．6D ．04．设a ，b是非零向量，则“a b =- 或a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()2π4cos 1026x f x ωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭，若对任意的实数t ，()f x 在区间2π,3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的值域均为[]1,3-，则ω的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,+∞D ．()3,+∞6．已知标准椭圆上P ，Q 两点的切线方程分别为210x -=，10y +-=，则直线PQ 的斜率为（）AB ．C ．2D ．2-7．若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A ．45B ．35C ．512D ．5138．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若11224,AF F B AB BF ===，则双曲线C 的焦距为（）AB ．3C ．2D ．9．函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x ⎧---≥⎪=⎨+--<⎪⎩，若对任意1x ，()212R x x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,1--B ．[]4,2--C ．(]5,1--D ．[]5,4--10．已知集合1114,3,2,,,,2,3234A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在()0,∞+上单调递减的有序数对(),,a b c 的个数是（）A ．36B ．42C ．72D ．84二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知AB 是圆22:3O x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=，则()2OM ON AB +⋅的最小值为.12．与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为sin A i I t ω=，12sin 2π,sin 2π33B C i I t i I t ωω⎫⎫⎛⎛=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流A B C i i i i =++=．13．()52x y +的展开式中32x y 的系数是.（用数字作答）14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12a =，则n a =15．经研究发现：任意一个三次多项式函数()32f x ax bx cx d =+++的图象都有且只有一个对称中心点()()0,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数.若函数()32f x x px x q =+++图象的对称中心点为()1,2-，且不等式()()e 32ee ln 13e x mx xf x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦对任意()1,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．17．（13分）如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 翻折至PEF !，使得PC =．(1)证明：EF PD ⊥；(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．18．（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值.20．（15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为()30A -,，右顶点为()3,0B ，椭圆上不同于点,A B 的一点P 满足49PA PB k k ⋅=-.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()2,0的直线l 交椭圆C 于M N ､两点，直线AM BN ､交于点Q ，证明：点Q 在定直线上.21．（15分）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．北京市2024年高三秋季开学考试数学试题答案1．C 【分析】首先求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.2≤，则04x ≤≤，所以{}{}{}2040,1,2,3,4A x x x =∈≤=∈≤≤=Z ，又{}23B x x =-≤≤，所以{}0,1,2,3A B = .2．A 【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解.【详解】()()()()55i 2i 55i 3i 2i 2i 2i z +-+===+++-，z 的虚部是1.3．C 【分析】根据二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可求出对应展开式的常数项.【详解】二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为4421441C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令420r -=，得2r =，所以展开式的常数项为24C 6=.4．A 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若a b =-，则0a b += ，所以()()0a b a b +⋅-= ，若a b = ，则0a b -=，所以()()0a b a b +⋅-= ，故由“a b =- 或a b =”推得出“()()0a b a b +⋅-= ”，即充分性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，则220a b -= ，所以a b = ，所以由“()()0a b a b +⋅-= ”推不出“a b =- 或a b = ”，故必要性不成立；所以“a b =- 或a b =”是“()()0a b a b +⋅-= ”的充分不必要条件.5．D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.【详解】由()()2ππ4cos 12cos 10263x f x x ωωω⎛⎫⎛⎫=--=-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数值域为[]1,3-，又对任意的实数t ，()f x 在区间2π,3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的值域均为[]1,3-，则2π2π3T ω>=，解得3ω>，6．D 【分析】设椭圆方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，分别联立直线方程，根据判别式联立求解可得,m n ，然后求出,P Q 坐标可得斜率.【详解】设椭圆方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，()()1122,,,P x y Q x y ，联立222101x mx ny ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩消去x得2310424m m n y my ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭①，则233Δ41340444m m m n m mn n ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭②，联立22101y mx ny ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()21210m n x n +-+-=③，则()()2Δ48412144480n m n n m mn n =-+-=-+=④，联立②④解得16,4m n ==，代入①得21630y -+=，解得14y =，所以1112428x =-⨯+=，代入③得26430x -+=，解得28x =，所以214y =，所以142PQk =-.7．C 【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.8．B【分析】利用双曲线定义、已知条件求出a 、2AF ，设c ，由余弦定理、1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=求出c 可得答案.【详解】如图，由于11224,AF F B AB BF ===，有21262a BF BF =-=-=4，可得2a =，又由212AF AF a =+，可得28AF =，设c =，在12BF F △中，由余弦定理有2221244364328cos 22282c c c BF F c c c∠+---===⨯⨯.在12AF F △中，由余弦定理有222121646444812cos 242164c c c AF F c c c∠+---===⨯⨯.又由1212πBF F AF F ∠+∠=，有1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=，可得22812024c c c c --+=，解得c C的焦距为3.9．A 【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意()1212,R x x x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以()f x 是R 上的减函数，则44(1)32(5)25012a a a a a +--≥---⎧⎪--<⎨⎪-≥⎩，解得41a -≤≤-．10．C 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.【详解】若x y a =和log b y x =在(0,)+∞上单调递减，c y x =在(0,)+∞上单调递减增，则01,01,0a b c <<<<>，此时有序数对(),,a b c 的个数有：21352A C 18-⋅=个；若x y a =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，log b y x =在(0,)+∞上单调递增，则01,1,0a b c <<><，此时有序数对(),,a b c 的个数有：111323C C C 18⋅⋅=个；若log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，x y a =在(0,)+∞上单调递增，则01,1,0b a c <<><，此时有序数对(),,a b c 的个数有：111323C C C 18⋅⋅=个；若x y a =、log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递减，则01,01,0b a c <<<<<，此时有序数对(),,a b c 的个数有：2133A C 18⋅=个；综上所述：共有1818181872+++=个.【点睛】关键点点睛：关键在于恰当的进行分类，做到不重不漏，由此即可顺利得解.11．【分析】设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r，分析可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，1OE =，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆O设MN 的中点为C ，因为120MON ∠= ，OM ON =，则OC MN ⊥，OC =o 2303MN NC ===o ，设23OM ON OE +=uuu r uuu r uu u r ，则()2OM OE OE ON -=- ，即2EM NE =uuu r uu u r ，可知点E 为线段MN 靠近N 的三等分点，则1162CE MN ==，1OE ，设向量OE 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，可得()233cos 6OM ON AB OE AB OE AB θθ+⋅=⋅==，且[]cos 1,1θ∈-，所以()OM ON AB +⋅的最小值为-.故答案为：-12．【分析】利用给定计算公式结合两角和差的正弦公式求解即可.【详解】由题意得A B C i i i i =++，原式2π4πsin sin sin 33I t t t ωωω⎡⎤⎫⎫⎛⎛=++++ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦，2π2π4π4πsin sin cos cos sin sin cos cos sin 3333I t t t t t ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin sin sin 22I t t t t tωωωωω⎡⎤⎫⎫⎛⎛=+-++--⎢⎥⎪⎪ ⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦，0=.故答案为：013．【分析】利用通项中,x y 的指数确定r ，然后可得.【详解】因为()52x y +展开式的通项()55155C 22C rr r r r r r r T x y x y --+==，所以含32x y 的项为第3项，即2r =，所以32x y 的系数是2252C 40=.故答案为：4014．【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2n S ，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得答案.【详解】因为12a =，所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n n =+-=-，所以2441=-+n S n n ，当2n ≥时，221441[4(1)4(1)1]n n n a S S n n n n -=-=-+----+224414(21)4(1)1n n n n n =-+--++--22444844488n n n n n n =--+-+-=-，因为11a =不满足上式，所以88,(2)1,(1)n n n a n -≥⎧=⎨=⎩.故答案为：88,(2)1,(1)n n n -≥⎧⎨=⎩15．【分析】首先求得3p =，1q =，而原不等式等价于()eln e 1e ln 1x x x m x --++≤+，可以利用不等式e 1≥+t t 放缩即可求解.【详解】()()()322,321,62f x x px x q f x x px f x x p '''=+++=++=+，因为()f x 图象的对称中心点为()1,2-，所以()1620f p -=-+'='，所以3p =，由()11312f q -=-+-+=，所以1q =，原不等式为()()e ee ln 11e x mx x x x -+≥++，因为()1,x ∞∈+，所以()()()()e eln ee e 1e e 1e e 1e ln 1ln 1ln 1xx xxx x x x x m x x x x --++-++-++≤==+++，设()e 1t g t t =--，则()e 1tg t '=-，当0t <时，()0g t '<，当0t >时，()0g t '>，所以当0t <时，()g t 单调递减，当0t >时，()g t 单调递增，所以()()00g t g ≥=，即e 1≥+t t ，因为eln e eln 1x x x x -≥-+，当且仅当eln 0x x -=，即e x =时等号成立，所以()()eln e 1e eln 11e e ln 1ln 1x x x x x x x x --++-+-++≥=-++，所以其最小值为e -，故m e ≤-.故答案为：(],e ∞--.【点睛】关键点点睛：关键是得到()eln e 1e ln 1x x x m x --++≤+恒成立，结合切线放缩不等式e 1≥+t t 即可顺利得解.16．【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 1246222A ⎛⎫⎛⎫==+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cb c====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c===，由已知ABC的面积为323=，所以c=17．【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF=，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD⊥，则,EF PE EF DE⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz-，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB====，得4AE AF==，又30BAD︒∠=，在AEF△中，由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=，则AE EF⊥，即EF AD⊥，所以,EF PE EF DE⊥⊥，又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，故EF⊥PD；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD︒∠===，则22236CE ED CD=+=，在PEC中，6PC PE EC===，得222EC PE PC+=，所以PE EC⊥，由（1）知PE EF⊥，又,EC EF E EC EF=⊂、平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD，所以PE ED⊥，则,,PE EF ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz-，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D CF A-，由F是AB的中点，得(4,B，所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF=-===-，设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z==，则1111130n PC xn PD⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB xm PF x⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令122,y x=11220,3,1,1x z y z===-=，所以(0,2,3),1,1)n m==-，所以cos,65m nm nm n⋅==，设平面PCD和平面PBF所成角为θ，则sin65θ==，即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为65.18．【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求0p，再根据频率估计概率1p，即得大小.【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C-+-=;（Ⅲ）01p p<【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【分析】（1）利用切点在直线和曲线上，结合导数的几何意义即可求解；（2）根据（1）的结论，求出()F x，再利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【详解】（1）因为切点为()1,3，所以31k=+，解得2k=.由()3f x x ax b=++，得()23f x x a'=+，因为直线21y x=+与曲线C相切于点()1,3，所以()21312f a=⨯+='，解得1a=-，所以()3f x x x b =-+，由()31113f b =-+=，得3b =.所以函数()f x 的解析式为：()33f x x x =-+.（2）由（1）知，()33f x x x =-+，所以()()3233F x f x x x x =--=-，[]0,2x ∈.可得()33F x x x '=-，令()0F x '=，则2330x -=，解得11x =-（舍），21x =.当01x <<时，()0F x '<；当12x <<时，()0F x '>；所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增.当1x =时，()F x 取的极小值，极小值为()311312F =-⨯=-，又因为()()3300300,22322F F =-⨯==-⨯=，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-.20．【分析】（1）由左、右顶点为A ，B 先求a ，再设点P 的坐标，利用斜率公式表示条件49PA PB k k ⋅=-，结合点P 在椭圆上求，由此可得椭圆方程.（2）解法一（非对称韦达）：设点,M N 的坐标及直线MN 的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线AM 、BN 的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点B 的直线MN 的方程，由题意求出m 的值，然后表示出直线AM 、BN 的斜率，设点()00,Q x y ，结合椭圆方程化简分析即可.【详解】（1）如图所示：根据题意，3a =，设点P 的坐标为()00,x y ，由于点P 在椭圆上，所以2200219x y b +=，得()2202099x b y -=-，则()222200002200009143399999PA PBx b y y y b k k x x x x -⋅=⋅==-=-=-+---，解得24b =，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（2）解法一（非对称韦达）：由题意如图所示：设点()()1122,,,M x y N x y ，可设直线MN 的方程为：2x my =+，联立222194x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224916200m y my ++-=，由根与系数的关系，1212221620,4949m y y y y m m +=-=-++，直线AM 的方程：()1133x y y x +=+，①直线BN 的方程：()2233x y y x -=-，②①÷②得，()()()()121221221222121121112132335333323x y my y y x y y my y y x x x y x y y my y y my y y ++++++====---+--因为()121254my y y y =+，所以()()122122121121555345534y y y my y y x x my y y y y y ++++===--+-，解得92x =，因此，点Q 在定直线92x =上.解法二（齐次化）：由题意如图所示：设不过点()3,0B 的直线MN 的方程为：()31m x ny -+=，由于直线MN 过()2,0，所以1m =-.设1212312,,33BM BN AM y y k k k k k k x x =====--，点()00,Q x y .椭圆C 的方程转化为，()224(3)24390x x y -+-+=，代入直线MN 的方程得，()2220(3)24390x n x y y --+-+=，即292420033y y n x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即2924200k nk +-=，由根与系数的关系，12209k k ⋅=-，又由题意可得：1349k k ⋅=-，所以两式相除得：235k k =，即0000533y y x x =-+，解得092x =，所以点Q 在定直线92x =上.21．【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11i i r r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =.（2）由题意可知：n r m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立，所以010,1r r =≥，又因为112i i i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-≥，可得11i i r r +-≥，反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为01j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为01j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .（3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+；（ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N N r A B =，可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得X Y Y r X r A B A B +=+，可取,,,Y X p Y s r q X t r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；（ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <，构建,1n n R n S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤-，则1,0K K R K R K A B m A B +-≤-->，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤-∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =-=，即N R N A B =，可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y R X R Y A B A B -=-，可得Y X R X R Y A B A B +=+，可取,,,Y X p R t X q R s Y ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．。
海南中学2025届高三上学期开学考试数学试题+答案
时间：120分数学试题钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足i i z 43)2(+=+，则复数z 的虚部是（）A ．2iB ．2C ．-iD ．-12.已知命题3:0,p x x x ∃<>，命题2:0,10q x x ∀<+>，则（）A ．p 和q 均为真命题B ．p ⌝和q 均为真命题C ．p 和q ⌝均为真命题D ．p ⌝和q ⌝均为真命题3.已知向量,a b满足(1,2),||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．24.已知数据12310,,,,x x x x ，满足：()11210i i x x i --=≤≤，若去掉1x ，10x 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）A ．中位数不变B ．若11x =，则数据12310,,,,x x x x 的第75百分位数为7.5C ．平均数不变D ．方差变小5.已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则tan tan αβ=（）A ．23B.15C ．13D ．126.已知正三棱台的体积为3,其上、下底面的边长分别为2,4,则该正三棱台的侧面上的高为（）A ．393BC．3D ．27.函数()1ln f x x =+与函数1()x g x e =-公切线的纵截距为（）A ．1或0B ．1-或0C ．1或eD ．1-或e8.类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列{}n a满足12n n a a d +=+ ，且满足1||1a d d ⋅== ，则n a d ⋅的值为（）A ．12n -B ．2nC ．21n-D ．124n +-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 是递减数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当且仅当3n =时，n S 取得最大值10.已知函数()3211()132f x ax x a R =-+∈，则（）A ．0x =是函数()f x 的极小值点B ．存在3个不同的a 值，使得函数()f x 有2个零点C ．有且仅有一个a 值，使得曲线()f x 有对称轴D ．存在无数多个a 值，使得曲线()f x 有对称中心11.已知线段AB 是圆()()22:134C x y -+-=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，||23AB =，直线1:310l mx y m +-+=与直线2:310l x my m +++=相交于点P ，下列说法正确的是（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆22420x y x y +++=上C ．线段PG 的最小值为45+D ．PA PB ⋅的最大值为38512+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线3y x =是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线，则此双曲线的离心率为_______．13.已知函数()()2c 0,2os f x x ϕπωϕω⎛⎫><+ ⎝=⎪⎭的部分图像如图所示，其中03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，13212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则111146f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．14.已知0a b >>且621a b a b+=+-，则2a b -的最小值为_______．四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =.(1)求角A ；(2)若a =4b =，求边c .16.（15分）设函数()()ln f x x ax a R =-∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当函数()f x 有最大值，且最大值小于2a -时，求a 的取值范围．17.（15分）如图（1），在ABC ∆中，CD AB ⊥，226BD CD AD ===，点E 为AC 的中点．将ACD ∆沿CD 折起到PCD △的位置，使DE BC ⊥，如图（2）．(1)求证：PB PC ⊥．(2)在线段BC 上是否存在点F ，使得CP DF ⊥？若存在，求二面角P DF E --的正弦值；若不存在，请说明理由．18.（17分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且椭圆过点），（320-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线2x =与椭圆C 交于P 、Q 两点，A ，B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12.①求四边形APBQ 的面积的最大值；②设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断12k k +的值是否为常数，并说明理由.19.（17分）从2024年开始，新高考数学试卷中为了提高试卷考点的覆盖面和提高试卷的区分度，对多项选择题的命题进行了改革.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的.每一道题考生全部选对得6分，选项中有错误得0分，对而不全得部分分.对而不全得部分分的规则如下：若多选题中有2个选项正确，则只选对1个得3分；若多选题中有3个选项正确，则只选对1个得2分，只选对2个得4分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为(01)p p <<，有3个选项正确的概率为1p -，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多选题的选项A 是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得6分的概率为115，求p 的值；(2)小明可以确认另一道多选题的选项A 是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A 不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若512p =，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？一．选择数学参考答案题1234567891011D A D B D A B C AC BCD ABD 二．填空题12.13.114.12四．解答题15.（13分）16.（15分）17.（15分）18.（17分）19.（17分）。
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1．B 解：根据题意，由扇形的面积公式可得： 制作这样一面扇面需要的布料为1212404020204002323πππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B.2．C 由诱导公式知，71sinsin()sin 6662ππππ=+=-=-，7πcoscos()cos 666πππ=+=-=， 所以角()02παα≤<终边上一点的坐标为1(,2-，故角的终边在第三象限，所以tan α=， 由02πα≤<知，43πα= 故选：C3．C 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 、 且b 2+c 2、a 2+bc 、则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===、由于：0、A 、π、 故：A 3π=、由于：sin B sin C 、sin 2A 、 利用正弦定理得：bc 、a 2、所以：b 2+c 2、2bc 、0、 故：b 、c 、所以：△ABC 为等边三角形． 故选C 、4．D 对A ，因为A B >，所以a b >，又sin sin a b A B=，所以sin 1sin A aB b =>，即sin sin A B >，所以A 正确；对B ，因为ABC 为锐角三角形，所以2A B π+>，即有022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，B 正确；对C ，因为2221cos 22a cb B ac +-==，所以()20a c -=，即a c =，而60B =，所以ABC 是等边三角形，C 正确；对D ，由cos cos a A b B =可得，sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，亦即A B =或2A B π+=，所以ABC 是等腰三角形或者直角三角形，D 不正确． 故选：D5．解：(0,)απ∈，sin cos αα+= 两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-， sin 0α∴>，cos 0α<，sin α∴，cos α=，则22cos 2cos sin ααα=-= 故选：A ．6．22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =. 故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.故选：D .7.将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误；当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 8．将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()2sin[()]2sin()23623y g x x x πππ==++=+的图象.故选：B.9．解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ．10．选项A ：76π-终边与56π相同，为第二象限角，所以A 不正确；选项B ：设扇形的半径为,,33r r r ππ=∴=，扇形面积为13322ππ⨯⨯=，所以B 正确； 选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5α=-，所以C 正确；选项D ：角α为锐角时，0<<,02πααπ<<，所以D 不正确.故选:BC 【点睛】本题考查有关角的定义和范围、三角函数的定义、扇形弧长和面积公式的命题真假判定，属于基础题.11．()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确． 故选：ACD12．由题知：函数()f x，所以A =.因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π， 所以22T π=，2T ππω==，2ω=，()()2 f x x ϕ=+. 又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈.所以6k πϕπ=+，k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ. 即()2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A，0512f ππ==⎫⎪⎝⎭≠⎛A 错误.对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ266x时，()fx 取得最小值 故B 正确. 对选项C，sin(2)2625f ππααα⎛⎫-=-==⎪⎝⎭， 得到3cos 25α=. 因为()()4422223sin cos sin cos sin cos cos 25ααααααα-=+-=-=-， 故C 错误. 对选项D ，()2g x x =的图像向右平移6π个单位得到222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD13．()sin 2sin()3f x x x x π==+；当x θ=时，函数()f x 取得最大值 2,32k k z ππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，k z ∈；∴1tan()tan(2)tan()246446k πππππθπ+=++=+==+故答案为：2+．14．22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.15．解：∵sin +cos =2θθ， ∴()21sin +cos =1+2sin cos =2θθθθ， ∴1sin cos =-4θθ 则1sin cos 1tan 4tan cos cos sin sin θθθθθθθθ+=+==- 故答案为：-4 16．51sin()sin()cos()63233ππππααα+=++=+=、 17．（1）()()()()3sin cos tan 22tan sin f ππααπααπααπ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----cos sin (tan )cos (tan )sin αααααα-⋅⋅-==--⋅； （2）331cos()cos()sin 227ππααα-=-=-=，1sin 7α=-， 又α是第三象限角，∴cos 7α==-，∴()cos()cos 7f ααα-=--=-=．18．解：（1）21cos21()cos sin 2sin 2262x f x x x x x x π-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ 令3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 则()f x 的单调减区间为5[,]36k k ππππ++，k ∈Z . （2）令26t x π=-，因为[,]63x ππ∈，则,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()1sin ,,262f t t t ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，由于()sin f t t = 在,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当6t π=时，()min 1f t =；当2t π=时，()max 32f t =.即()f x 的最大值为32，最小值为1.19．解：由题意得23AOB π∠= ，BAO ∠为锐角，3sin 5BAO ∠=，所以41434cos ,cos cos 53252510BAO OBA BAO π+⎛⎫∠=∠=-∠=⨯+⨯=⎪⎝⎭ 即4cos 10β+=（2）因为1123,sin 3sin 223OA S OA OB BOA OB π==⋅⋅∠=⨯⨯=所以5OB = 由余弦定理得22222cos 92515493AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅=++=所以7AB = 20.解法一：由sinA =√3sinB 可得：ab =√3，不妨设a =√3m,b =m(m >0)，则：c 2=a 2+b 2−2abcosC =3m 2+m 2−2×√3m ×m ×√32=m 2，即c =m .选择条件①的解析：据此可得：ac =√3m ×m =√3m 2=√3，∴m =1，此时c =m =1. 选择条件②的解析： 据此可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =m 2+m 2−3m 22m =−12，则：sinA =√1−(−12)2=√32，此时：csinA =m ×√32=3，则：c =m =2√3.选择条件③的解析： 可得cb =mm =1，c =b ，与条件c =√3b 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵sinA =√3sinB,C =π6,B =π−(A +C), ∴sinA =√3sin (A +C )=√3sin (A +π6), sinA =√3sin (A +C )=√3sinA ·√32+√3cosA ·12 ，∴sinA =−√3cosA ,∴tanA =−√3,∴A =2π3,∴B =C =π6,若选①，ac =√3,∵a =√3b =√3c ,∴√3c 2=√3,∴c=1; 若选②，csinA =3,则√3c 2=3,c =2√3;若选③,与条件c =√3b 矛盾.21.（1）原式222222cos sin sin cos 1tan tan 11cos sin 1tan 10βββββββββ-+-+===++； （2）cos()05αβ+=>且(0,)αβπ+∈，(0,)2παβ∴+∈，则sin()5αβ+=， 243cos2()2cos ()12155αβαβ∴+=+-=⨯-=，4sin 2()2sin()cos()5αβαβαβ+=++=，1tan 7β=，(0,)2πβ∈，sin ββ∴==，2)cos[2()]co c s2()cos sin 2()si s(n o αβαββαββαββ+=+-=+++∴34=55+， 又(0,)2παβ+∈，(0,)2πα∈，2(0,)αβπ∴+∈2=4παβ∴+.22．解：(1)5cos 013B =-<， B ∴为钝角，12sin 13B =， B 为钝角C ∴为锐角，3sin 5C =， 4cos 5C ∴=. ()sin sin A B C ∴=+=sin cos cos sin B C B C +124533313513565=⨯-⨯=. (2)::sin :sin :sin a b c A B C =11:20:13=，设11a k =，20b k =，13c k =，BC 边上的高为h 则2133sin 6622S ab C k ===，12k =112a ∴=，11133222S h =⨯=， 6h ∴=.BC 边上的高为6。