物理分析课程设计---一维扩散方程求解
一维对流扩散方程的格子Boltzmann模型研究
一维对流扩散方程的格子Boltzmann模型研究雷娟霞;李春光【摘要】给出了一维对流扩散方程(e)u/(e)t+α(e)u/(e)x=β(e)2u/(e)x2的一种三速格子Botzmann模型(D1Q3模型).采用Chapman-Enskog多尺度展开技术,导出了该模型的平衡态分布函数.理论分析和数值算例均表明,该模型方法具有计算量小、精度较高等特点.【期刊名称】《宁夏工程技术》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】4页(P218-221)【关键词】格子Boltzmann方法;对流扩散方程;Chapman-Enskog展开;平衡态分布函数;数值模拟【作者】雷娟霞;李春光【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川 750021;北方民族大学数值计算与工程应用研究所,宁夏银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O242.1对流扩散方程在数学物理领域扮演着非常重要的角色。
近年来，关于这类方程的一些数值模拟方法逐渐发展起来，包括有限差分法[1—2]、有限元法[3]、有限体积法[4]等。
然而，由于对流扩散方程求解的复杂性，传统的数值模拟方法很难对其进行有效模拟。
格子 Boltzmann 方法（Lattice Boltzmann method，简称LBM）不同于传统的数值方法，它是介于宏观和微观的介观方法。
LBM在求解非线性偏微分方程，特别是在流体力学的研究中取得了很大成果，这是由于LBM具有物理背景清晰、边界容易处理、编程实现简单等优点。
LBM提供了联系宏观和微观的可能性和现实性，除了在一般的流体力学问题中得到了成功的验证之外，在湍流[5—6]、多相流[7]、粒子悬浮流[8]等相关领域也具有广阔的应用前景。
本文利用LBM构造了一个D1Q3模型，该模型具有3个速度方向，平衡态分布函数的最小量也展开到三阶。
本文给出了详细的理论推导，同时用数值算例验证了模型的有效性。
1 模型及方法1.1 一维对流扩散方程考虑如下一维对流扩散方程：式中：α，β为常数为对流项为扩散项。
偏微(08)一阶扩散方程
1 常系数扩散方程 常系数扩散方程
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
a为正常数， 如果给定初始条件
u x,0 g x, x R, (1.2)
(1.1、1.2)就构成了初值问题。
1.1 向前差分格式、向后差分格式
u t
a
2u x 2
,
x
ujn
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.5)
un+1 j
ujn
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.3)
把（1.3）式改写为
隐式
无条件稳定 显式 条件稳定
ujn
un-1 j
-a
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.3) '
2ujn+1
un+1 j-1
un j+1
2ujn
un j-1
=0 (1.8)
一般称为Crank-Nicolson格式
1 时，格式（1.6）为向后差分格式
0 时，格式（1.6）为向前差分格式
1.2 加权隐式格式
0 1 u 2u
t a x2
un j
un-1 j
-a
un j+1
1
1
G ,k的特征方程为
1
1
0
2
2 1
cos
kh
1 1
0 （1.11）
1.3 三层显示格式 引理1.1 实系数二次方程 2 b c 0 的根按其模小于或等于1的充分必要条件是
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
a P P a E E a W W
中心节点系数
相邻节点系数
aP aE , a W aP aE a W (Fe Fw )
考虑到连续方程
Fe-Fw=0
满足相邻系 数之和准则
a P aE a W
扩散项和以前的处理方法一样，即有：
(u) e e (u) w w e ( E P ) ( x ) e w ( P E ) ( x ) w
而控制容积界面上的变量值取其相应上风侧网格 节点上的值。即：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 5.2 一维稳态对流扩散问题
5.2.1 基本方程与差分方程
du d d ( ) dx dx dx
(x)w
其中，u已知，且满
d u 足： 0 或u 常数 dx
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
a P P a E E a W W
aE 1 4 1 2 4 aW 1 3 2 a P 1 3 4 4 2
2P E 3W
De Dw 1 Fe Fw 4
E 200, W 100
E 100 W 200
2 P 0.25E 1.75 W
De D w 1 Fe Fw 1.5
E 200, W 100
E 100 W 200
P 187.5
P 112.5
某问题 结果合理
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
一维扩散方程 自相似解
一维扩散方程自相似解一维扩散方程是描述物质在空间中扩散传播的方程。
它在许多物理和工程领域中都有广泛的应用，例如热传导、扩散过程中的物质浓度变化等。
一维扩散方程的自相似解是指在特定的条件下，方程的解在空间和时间上具有相似性。
先来看一维扩散方程的一般形式：∂u/∂t = D ∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示扩散物质在时刻t、位置x处的浓度或温度；D 是扩散系数，反映了传导介质的特性。
对于自相似解，我们希望找到一种特殊的解形式，使得在空间和时间上，解在不同位置和不同时刻具有相似的形态。
为了得到自相似解，我们将引入相似变换。
假设我们有一个自变量变换：x' = x/√(Dt)，t' = t/√(Dt)，其中D是扩散系数。
通过这个变换，我们可以将原方程变为：∂u/∂t' = ∂²u/∂x'²接下来，我们将应用这个相似变换，来找到一维扩散方程的自相似解。
首先，我们将把扩散方程作为自变量进行变换：u(x,t) = U(x',t')将自变量变换带入一维扩散方程：∂U/∂t' = ∂²U/∂x'²接下来，我们对新的变量x'和t'进行求导，以确定新的依赖关系：∂u/∂x = ∂U/∂x' * ∂x'/∂x + ∂U/∂t' * ∂t'/∂x∂u/∂t = ∂U/∂x' * ∂x'/∂t + ∂U/∂t' * ∂t'/∂t在相似变换中，∂x'/∂x = 1/√(Dt)，∂t'/∂x = 0，∂x'/∂t = 0，∂t'/∂t = 1/√(Dt)，将这些值带入方程，可得：∂u/∂x = (1/√(Dt)) * ∂U/∂x'∂u/∂t = (1/√(Dt)) * ∂U/∂t'将这些结果代入一维扩散方程，有：(1/√(Dt)) * ∂U/∂t' = (1/√(Dt)) * ∂²U/∂x'²可以发现，新的方程中√(Dt)这一项在两边都能够相互抵消。
一维传热
一维传热扩散方程和求解3.185 2003秋季一维传热扩散方程的k,ρ，（传热系数，密度，比热）对溶质的扩散方程是常数：cp或者在圆柱型坐标：球型坐标1：最重要的不同是在非稳态中使用了热扩散系数pc kρα＝，但在傅立叶第一定律中使用了热传导系数k 来计算热通量：基于以上原因，把D 用k 和α来代替，并使p c ρ等于1，就可以得到溶质扩散方程。
1许多书上都简化了圆柱和球形方程，分别被r 和r 除，并使含有r 的项分离出来，就得到2圆柱型p c q r T r r T t Tρα&+∂∂+∂∂=∂∂)122(球型p c q r T r r T t T ρα&+∂∂+∂∂=∂∂)222(一维热传导答案1. 稳态（ａ）无热量产生i 笛卡尔方程：答案：Ｔ＝Ａｘ＋Ｂ通过平板的传导通量大小和通过流体边界层的热传导（和一级化学反应或者通过流体边界层的质量传递相似）：（是流体温度，和扩散中的流体浓度相似；是流体反方向的温度） fl T 1T 无量纲形式：其中khLh =π（ａ．ｋ．ａ毕渥数） ⅱ圆柱型方程答案Ｔ＝Ａ㏑ｒ＋Ｂ结合在通过流体边界层的热量传热和在，之间的通过柱体的传导的通量大小1R 1R 2Rⅲ球坐标方程答案Ｔ＝Ａ／ｒ＋Ｂ（b）产生恒定的热量¡笛卡尔方程答案ⅱ圆柱坐标方程答案ⅲ球坐标方程答案（c）（只有扩散）一级均向反应消耗反应物，所以G=-Kc ⅰ笛卡尔方程答案ⅱ包含贝塞尔函数的圆柱和球坐标答案，但方程式如下：2建立在笛卡尔坐标上没有热量产生，具有恒定的k,p c ρ的非稳态答案其中pc k ρα=（a ）相同的起始条件Ｔ＝，恒定的边界条件ｘ＝０，∞T S T T =半无限厚介质；或者无限厚介质的起始条件是阶越函数。
答案是试差函数或者它的补集半无限厚介质标准注释：这种理论也可以用于“组合扩散”，就是两个不同温度（浓度）的物体在x=0连接在一起，并彼此扩散；边界条件是两个物体边界条件的中间值。
物理分析课程设计---一维扩散方程求解
课程设计报告课程名称：核反应堆物理分析题目：一维扩散方程求解院系：核科学与工程学院班级：学号：姓名：指导教师：成绩：教师签名：日期：2011 年6月日目录摘要 (1)课程设计的目的与要求 (1)设计正文 (1)课程设计总结或结论 (3)参考文献 (4)摘要和关键词摘要这个设计用微分方程的差分数值求解方法，运用MATLAB编程计算出一维扩散方程中子通量密度的离散解。
关键词：一维扩散方程一．课程设计的目的与要求学习使用微分方程的数值解法（差分方法）来近似求解一维扩散方程，掌握差分方法的核心思想，熟练使用matlab数据处理，origin绘图软件。
通过给定的微分方程及边界条件，计算平板型，圆柱形，球形反应堆中子通量密度分布。
二．设计正文通过查找有关资料，根据二阶线性微分方程○1转换为差分方程的一般公式其中○2h为给定步长,我们把原方程化简为○3对比方程○1和○3得出○4把○4代入○2等式右端向量差分方程其实就是一个线性方程组，此线性方程组的系数矩阵为：则有这是一个三对角阵，故可用追赶法解式○3。
下面通过matlab程序来计算变换后的差分方程的解。
所编程序如下：clear;N=input('请输入参数：');alpha=input('请输入alpha值：');if alpha==0rmax=input('请输入平板的厚度：');f0=input('请输入平板中心的中子通量密度：');elseif alpha==1rmax=input('请输入堆芯半径：');f0=input('请输入圆柱中心的中子通量密度：');elseif alpha==2rmax=input('请输入堆芯半径：');f0=input('请输入球形中心的中子通量密度：');endh=rmax/N;D=0.8*10^(-2)for i=1:1:N-1a(1,i)=2*D*(i-1/2)^alpha*h^(alpha-1);c(1,i)=2*D*(i+1/2)^alpha*h^(alpha-1);b(1,i)=a(1,i)+c(1,i)+2*h*8.5*10^(-28)*(i*h)^2;g(1,i)=2*i^2*h^3*10^14*cos(pi*i*h/2);endnewa=a(:,2:N-1);newc=c(:,1:N-2);Hb=diag(b);Hc=diag(newc,1);Ha=diag(newa,-1);H=-Ha+Hb-Hc;G=g;G(1,1)=g(1,1)+a(1,1)*f0;p(1,1)=b(1,1);for k=1:1:N-2q(1,k)=c(1,k)/p(1,k);p(1,k+1)=b(1,k+1)-a(1,k+1)*q(1,k);endfor k=1:1:N-2y(1,1)=G(1,1)/p(1,1);y(1,k+1)=(G(1,k+1)-a(1,k+1)*y(1,k))/p(1,k+1);endfor k=N-2:-1:1u(1,N)=y(1,N-1);u(1,k+1)=y(1,k)-q(1,k)*u(1,k+2);endu(1,1)=f0;u(1,N+1)=0;X=0:h:rmax;P=polyfit(X,u,5)U=polyval(P,X);plot(X,U)三．课程设计总结或结论本次课程设计加深了我对中子扩散理论的认识，充分的将理论和实践结合起来。
一维热扩散问题的c++描述
标题：一维热扩散问题的C++描述一维热扩散问题在物理学和工程领域中具有重要的应用。
它描述了热量在一维空间中的传导和扩散过程，是热传导方程的一个经典问题。
在本文中，我们将使用C++编程语言来描述一维热扩散问题，并计算其数值解。
本文将从问题的数学描述开始，然后逐步介绍如何用C++来模拟热传导过程，并给出完整的代码和计算结果。
问题描述：1. 数学模型假设我们有一个长度为L的均匀材料棒，初始时刻材料棒的温度分布为u(x,0)。
根据热传导方程，材料棒上任意一点x处的温度u(x,t)满足如下偏微分方程：∂u/∂t = α ∂²u/∂x²其中α是材料的热扩散系数。
我们假设材料棒的两端保持在恒定的温度，即u(0,t)=u0，u(L,t)=uL。
这就构成了一维热扩散问题的数学模型。
2. 离散化方法为了求解这个偏微分方程，我们需要对空间和时间进行离散化。
我们将材料棒均匀地划分成N个小段，长度为Δx，时间上也划分成M个小段，长度为Δt。
对于任意的i和j，我们用u(i,j)来表示材料棒上第i 个小段的温度在第j个时间点的值。
C++代码实现：1. 初始化参数我们需要初始化材料棒的参数，包括长度L、离散化的段数N、时间步长Δt等。
```cppdouble L = 1.0; // 材料棒长度int N = 100; // 离散化的段数double dx = L / N; // 空间步长double dt = 0.001; // 时间步长double alpha = 0.1; // 热扩散系数```2. 初始化温度分布接下来，我们需要初始化材料棒的温度分布，即u(x,0)。
我们可以假设初始时刻的温度分布为一个正弦波或者矩形波等。
```cppdouble u0 = 0.0; // 棒的左端温度double uL = 1.0; // 棒的右端温度std::vector<double> u(N+1,0.0); // 温度数组for(int i=0; i<=N; i++){u[i] = 0.5*sin(2*3.1415*i/N); // 正弦波初始温度分布}```3. 迭代求解我们使用显式差分格式来迭代求解热传导方程。
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
对控制方程在P点的控制容积积分后，得到如下方程
(u ) e (u ) w ( d d ) e ( )e dx dx
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
所以，当 F 2D，即意味着两节点对其间变量分布 的影响特性是受扩散控制的，当 F 2D时，即意味 着两节点对其间变量分布的影响特性是受对流控 制的。对于前者，两节点之间的变量分布偏离线 性分布，但尚不显著，而对于后者两节点之间的 变量分布则严重偏离线性分布。
P<<-1
P=-1
P=0
P=1 P>>1
0
0 L/2 L
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
说明
由图很容易看出，只有在贝克列数为零的极限条 件下，即对纯扩散问题或导热问题，变量在任意 两点之间的变化才是线性的。即在没有流动的情 况下，我们假定变量在任意两个节点之间的线性 分布才是可以接受的。 当贝克列数不为零时，即存在对流过程时，变量 在任意两点之间的变化是偏离线性的。贝克列数 的绝对值越大，这种偏离越严重。所以我们在用 控制容积法推导差分方程时，假定任意两个节点 之间变量呈线性变化显然是有问题的。
e P e E
如果 Fe 0 如果 Fe
0
同样
w W
w P
如果 Fw 0
如果 Fw 0
为了能写出差分方程，我们定义一个新的算子，如下：
A, B AMAX( A, B)
一维扩散方程数值求解
一维扩散方程数值求解一维扩散方程是描述物质扩散过程的数学模型，广泛应用于物理、化学、生物和工程等领域。
本文将介绍一维扩散方程的数值求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一维扩散方程的数值求解是通过离散化连续物理问题，将其转化为有限个代数方程的求解过程。
首先，我们需要将一维空间进行离散化，将其划分为一系列离散节点。
然后，通过数值方法近似计算节点上的物理量，如浓度、温度等。
最常用的数值方法包括有限差分法和有限元法。
有限差分法是一种简单且常用的数值求解方法。
它通过将偏导数用差商近似表示，将一维扩散方程转化为离散的代数方程组。
具体而言，我们可以使用向前差分、向后差分或中心差分等方式来近似计算偏导数。
然后，通过代数方程组的求解，得到离散节点上的物理量。
有限元法是一种更为灵活和精确的数值求解方法。
它将一维空间划分为一系列小单元，通过定义适当的插值函数，将节点上的物理量表示为有限个自由度的线性组合。
然后，通过求解线性方程组，得到每个单元上的物理量。
最后，通过汇总所有单元的解，得到整个一维空间上的物理量分布。
一维扩散方程的数值求解在许多领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于描述热传导、质量传递等过程。
在化学工程中，它可以用于模拟反应器内物质的传输与转化。
在生物学中，它可以用于研究细胞内物质的扩散行为。
在工程学中，它可以用于设计材料的扩散性能和优化结构。
除了基本的一维扩散方程，还可以考虑一些扩展问题。
例如，考虑非线性扩散系数、吸附效应、反应等因素。
这些扩展模型可以更准确地描述实际问题，但也增加了数值求解的难度。
一维扩散方程的数值求解是解决物质扩散问题的重要手段。
通过合理选择数值方法和适当的离散化方式，可以得到准确的物理量分布。
这为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
同时，我们也需要注意数值误差和收敛性等问题，以确保数值结果的可靠性和有效性。
因此，深入理解一维扩散方程的数值求解方法，对于科学研究和工程应用都是非常重要的。
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算一维扩散方程是描述物质在一维空间中扩散过程的方程。
数值计算是一种近似求解微分方程的方法，可以通过离散化空间和时间来求解一维扩散方程。
本文将介绍一维扩散方程差分格式的数值计算方法，并给出一个具体的数值计算实例。
∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
差分格式的基本思想是将连续的时间和空间变量离散化为一系列有限的点，然后用离散化后的点代替原方程中的连续变量，从而得到一个差分方程。
一维扩散方程的差分格式数值计算方法有很多种，下面介绍两种基本的差分格式：显式差分格式和隐式差分格式。
1.显式差分格式：显式差分格式的基本思路是使用当前时间步的解来计算下一个时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：(u_i)_(n+1)=(u_i)_n+D*(∆t/∆x²)*((u_(i-1))_n-2(u_i)_n+(u_(i+1))_n)其中，(u_i)_(n+1)表示时间步n+1时刻、位置i处的扩散物质浓度。
该公式使用当前时间步n的解来逐点计算下一个时间步n+1的解。
2.隐式差分格式：隐式差分格式的基本思路是使用下一个时间步的解来计算当前时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：((u_i)_(n+1)-(u_i)_n)/∆t=D*(∆x²)*((u_(i-1))_(n+1)-2(u_i)_(n+1)+(u_(i+1))_(n+1))这是一个关于时间步n+1的隐式方程，需要使用迭代方法求解。
数值计算的实例：假设在一根长为L的杆上有一种扩散物质，杆的两端固定浓度为0，即u(0, t) = u(L, t) = 0；初始时刻杆上的浓度分布为一个正弦函数，即u(x, 0) = sin(πx/L)；扩散系数为D。
我们需要计算杆上扩散物质的浓度随时间的变化情况。
首先，选择合适的网格间距∆x和时间步长∆t。
然后将杆上的空间坐标和时间离散化为一系列点，得到网格。
一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
一维扩散偏微分方程
一维扩散偏微分方程一维扩散偏微分方程（PDE）是一类常见的微分方程，它表达了某种物理现象的变化。
举个例子，它可以用来描述热的传导、浓度的变化、电场的强度以及气体的压力等等。
PDES 的形式可以用更抽象的方法表达，可以为应用程序设计者提供更多的自由度。
一维扩散偏微分方程的形式可以用通用的微积分方式来描述，其基本形式可以表述为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
该方程描述了当变量因扩散作用而随时间发生变化时，随着空间单位变化量的变化率，变量会发生变化。
一维扩散偏微分方程有几个典型的形式，具体可以分为以下几类：一、静态扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
它描述了由于变量的扩散作用而发生变化的系统，而不考虑任何外部影响因素。
二、动态扩散型方程：它的形式为：u_t=k(u_xx)+f(u,x,t)，其中f(u,x,t)表示变量受外部影响因素的作用，由外部影响决定变量的波动。
三、热扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=a(u_xx)+b(u_xxxx)，其中a和b分别表示传热系数和热容系数。
当变量受到外部热源的影响时，可以使用这种方程来描述。
四、声学扩散型方程：它的形式为：u_t=c(u_xx)+v(u_xxxx)，其中c和v分别表示声学场的传播速度和声学场的波动速度。
它通常用来描述声音在空间上的传播。
五、湍流扩散型方程：它的形式为：u_t=p(u_xxx)+q(u_xxxx)，其中p和q分别表示湍流的传播速度和湍流的波动速度。
它通常用来描述边界层的湍流场的变化。
一维扩散偏微分方程在物理上反映了某些物理现象的变化，是一类经典的微分方程，广泛应用于物理，工程和数学领域，如工程热力学、传热学、流体动力学等。
值得一提的是，一维扩散偏微分方程也可以用一般的微分方法来求解，求解过程相对简单，求解结果可靠，值得我们学习和应用。
一维扩散方程解析解
一维扩散方程解析解
一维扩散方程是用来描述一维物质在空间上传播特性的、有均匀源并带有时间项的常微分
方程. 它是科学研究的重要基础，常用来研究传播过程中的浓度变化特性.
一维扩散方程的基本形式为，扩散方程的右端带有一个包含时间项的源项，即σ
(t)=γ(t)，γ(t)表示源项，σ(t)为时间t时扩散量，它反映扩散系统中物质水平变化，Δx表示x方向上的瞬间变化尺度，D被称为扩散系数，它反映系统物质的扩散能力，
d/dt则是描述系统物质变化的时间项. 简而言之，一维扩散方程的核心思想就是随着时间的推移，物质随着一定的扩散系数D和一次空间上梯度即dx/dt在均匀源的作用下，按照
波动的规律传播消散.
一维扩散方程的解析解是采用特殊的变换法来解决的，比如通过Laplace变换解二阶方程，等待变换系数空间上梯度消失，然后通过其变换反归纳解出原函数形式即为所求解. 在科
学研究中，应用到一维扩散方程的问题比较多，比如用于研究流体在均匀源条件下流动波
动性，以及反应扩散等.
一维扩散方程是研究和探究扩散现象的重要工具，它的解析解有助于人们把握和理解扩散
系统中的重要过程，当然我们也可以通过对比实验和数值模拟的方法来研究一维扩散方程
的具体应用，总之，一维扩散方程的解析解为物理学研究奠定了坚实的基石.。
扩散方程 (2)
扩散方程引言扩散方程是描述物质扩散现象的方程之一。
在自然界中，扩散是一种常见的物理现象，例如气体的自由扩散、液体中的溶质扩散以及热量的传导等都可以通过扩散方程来描述。
扩散方程在物理学、化学、工程学等领域都有广泛的应用。
扩散方程的基本概念扩散是指物质由高浓度区域朝向低浓度区域的自发运动。
在数学上，扩散过程可以用扩散方程来描述。
扩散方程是一个偏微分方程，一般形式可以写为：$$ \\frac{{\\partial u}}{{\\partial t}} = D \\cdot \ abla^2 u $$其中，u是描述扩散物质浓度的函数，u是时间，u是扩散系数，uuuu2表示拉普拉斯算子。
上述方程可以解释为：物质的浓度随时间的变化率等于扩散系数和浓度分布的二阶导数之积。
扩散方程的求解方法扩散方程是一个偏微分方程，通常需要采用数值方法来求解。
以下介绍几种常见的求解方法。
有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用方法之一。
基本思想是将求解区域离散化为有限个点，并通过近似求解偏微分方程的导数。
具体步骤如下：1.将求解区域网格化，并给出相应初始条件和边界条件；2.将扩散方程转化为差分格式，例如中心差分格式；3.迭代计算网格中的节点的值，直到达到收敛条件。
有限差分法的优点是简单易行，适用于一维、二维以及三维空间的扩散问题。
但是其精度较低，对网格尺寸和时间步长的选择敏感。
有限元法有限元法是一种广泛应用于求解偏微分方程的数值方法。
其基本思想是将求解区域分割为有限个单元，并在每个单元内逼近解的形式，然后通过拼接所有单元的解来得到整体的解。
具体步骤如下：1.将求解区域分割为有限个单元，并给出相应初始条件和边界条件；2.在每个单元内选择适当的插值函数形式，建立单元内的近似解；3.将各个单元的近似解拼接起来，形成整体的解；4.通过求解线性方程组得到近似解的系数。
有限元法的优点是适用于复杂几何形状的求解区域，精度较高，并且对网格尺寸的选择相对灵活。
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u(x,t)是在位置x和时间t的扩散现象的浓度，D是扩散系数。
为了对一维扩散方程进行数值计算，可以使用差分格式。
最常用的差分格式是向前差分和中心差分。
1.向前差分格式：使用向前差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。
将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²其中，u_i(t)表示在位置x_i和时间t的解，u_i(t+Δt)和u_i(t)是上一时刻和当前时刻的浓度，u_i-1(t)和u_i+1(t)分别是x_i左右两侧位置的解。
这样，一维扩散方程就被转化为一个差分方程。
根据初始条件u(x,0)和边界条件u(0,t)和u(L,t)，L表示空间区域的长度，可以得到差分方程的初始条件。
使用向前差分格式可以得到一个显式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²这个公式可以用来逐步推进时间t的步骤，从而获得扩散过程中的浓度分布。
2.中心差分格式：使用中心差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。
将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²与向前差分格式不同的是，在右侧位置x_i+1处使用u_i+1(t)近似。
这个差分方程可以进一步简化为一个稳定的隐式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t+Δt)-2u_i(t+Δt)+u_i+1(t+Δt))/Δx²这个公式可以通过求解线性方程组来计算下一个时间步长的解。
以上是一维扩散方程差分格式的数值计算的基本原理和方法。
第4章 扩散方程数值解法
e
E N-1 N
第4章 扩散方程的数值解法及应用
8
aPTP aETE aW TW b
aE Ae ( x) / (d x e P (d x e E
从i=2到N-1，遍历所有控制容积，得线性代数方程组：
(
aW Aw ( x) / (d x w P (d x e W
aPP aEE aW W b
aE e Ae / (d x e , aW w Aw / (d x w
aP aW aE SP AP Dx , b Sc AP Dx
到此为止，只剩下界面物性λe，λw取值问题了。
2013-7-10 第4章 扩散方程的数值解法及应用 4
MODULE CASEDATA USE PARAM REAL H,D REAL*8 GAM(NI),SP(NI),SC(NI),AF(NI) END MODULE
SUBROUTINE GRID USE MESH ! ----------控制容积界面位置-----------DX=XL/(N-2.) ! 控制容积的宽度 XU(2)=0 ! The first CV面编号为2 DO I=3,N XU(I)=XU(I-1)+DX ENDDO !------- 节点坐标计算 -----------X(1)=XU(2) DO I=2,N-1 X(I)=0.5*(XU(I)+XU(I+1)) ENDDO X(N)=XU(N) END SUBROUTINE
2013-7-10
第4章 扩散方程的数值解法及应用
12
SUBROUTINE COEF USE COEFDATA; USE MESH; USE CASEDATA INTEGER P,E Real*8 gamw,afw,dltax_w,RE,AFE,DIFF,CV GAMW=GAM(1) Afw=AF(2) Dltax_W=X(2)-X(1) AW(2)=GAMW*Afw/Dltax_W ! 第1个内节点的西界面总传导系数 DO I=2,N-1 P=I ; E=P+1 Re=(XU(E)-X(P))/(GAM(P)+1.0e-30)+(X(E)-XU(E))/(GAM(E)+1.0e-30) ! 热阻 计算 DIFF=AF(E)/Re AE(P)=DIFF ; AW(E)=DIFF CV= 0.5* (XU(E)-XU(P)) * ( AF(P)+AF(E)) AP(P)=AE(P)+AW(P)-SP(P)*CV CON(P)=SC(P)*CV ENDDO END SUBROUTINE
matlab求解一维对流扩散方程
一维对流扩散方程是描述物质传输和扩散现象的重要数学模型，对于工程、地质、生物等领域具有重要的理论和应用价值。
在科学研究和工程实践中，人们经常需要利用计算机软件对一维对流扩散方程进行数值求解，以获得物质传输和扩散的详细信息。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的数学工具和编程接口，可以方便地对一维对流扩散方程进行数值求解。
本文将介绍利用MATLAB对一维对流扩散方程进行数值求解的基本方法和步骤。
一、一维对流扩散方程的数学模型一维对流扩散方程是描述物质在一维空间中传输和扩散的数学模型，通常可以写成如下的形式：∂c/∂t + u∂c/∂x = D∂^2c/∂x^2其中，c是物质浓度，t是时间，x是空间坐标，u是对流速度，D是扩散系数。
该方程的求解可以得到物质浓度随时间和空间的变化规律，对于理解物质传输和扩散过程具有重要意义。
二、MATLAB求解一维对流扩散方程的基本步骤在MATLAB中，可以利用偏微分方程求解工具箱（Partial Differential Equation Toolbox）来对一维对流扩散方程进行数值求解。
求解的基本步骤如下：1. 网格的生成首先需要在空间上生成一个网格，将一维空间离散化为有限个网格点。
可以利用MATLAB中的linspace函数或者自定义函数来实现网格的生成。
2. 边界条件和初始条件的设定根据具体问题的边界条件和初始条件，需要在MATLAB中对边界条件和初始条件进行设定。
3. 偏微分方程的建立利用MATLAB中的偏微分方程建立工具箱，可以方便地将一维对流扩散方程建立为MATLAB中的偏微分方程对象。
4. 方程的数值求解利用MATLAB中的求解器对建立的偏微分方程进行数值求解，可以获得一维对流扩散方程的数值解。
5. 结果的可视化可以利用MATLAB中丰富的绘图函数，对求解得到的数值解进行可视化，以便对物质传输和扩散过程进行直观的理解。
三、MATLAB求解一维对流扩散方程的举例为了进一步说明MATLAB求解一维对流扩散方程的方法，下面举一个简单的例子进行说明。
一维扩散方程求解课程设计
一维扩散方程求解课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解一维扩散方程的物理背景和数学表达；2. 掌握一维扩散方程的推导过程和求解方法；3. 能够运用一维扩散方程解决实际问题。
技能目标：1. 学会分析一维扩散现象，建立数学模型；2. 培养运用数值方法求解一维扩散方程的能力；3. 提高运用一维扩散方程解决实际问题的综合运用能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学物理模型的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生严谨的科学态度，注重细节，提高问题解决能力；3. 增强学生团队合作意识，学会倾听、交流、分享。
课程性质：本课程为高中物理选修课程，旨在帮助学生掌握一维扩散方程的求解方法，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生具备一定的物理和数学基础，对数学物理模型有一定了解，但可能缺乏实际应用经验。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过实例分析、数值求解等教学方法，提高学生的知识水平和实践能力。
将课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。
1. 引入一维扩散方程的物理背景，通过实例使学生理解扩散现象在实际生活中的应用；教材章节：第三章第一节《扩散现象》内容：分子动理论，扩散现象的定义及分类。
2. 掌握一维扩散方程的数学表达和推导过程；教材章节：第三章第二节《一维扩散方程的建立》内容：Fick定律，一维扩散方程的推导。
3. 学习一维扩散方程的求解方法，包括解析解和数值解；教材章节：第三章第三节《一维扩散方程的求解》内容：分离变量法，特征值问题，数值求解方法（如显式和隐式Euler方法）。
4. 分析实际案例，运用一维扩散方程解决具体问题；教材章节：第三章第四节《一维扩散方程的应用》内容：温度场、浓度场等实际问题，建立模型，求解，分析结果。
5. 总结与拓展，巩固所学知识，提高学生运用一维扩散方程解决实际问题的能力；教材章节：第三章第五节《一维扩散方程的拓展与应用》内容：多物种扩散，非线性扩散方程简介。
扩散方程得解
扩散方程是描述物质分子在浓度梯度下扩散过程的方程。
一般来说，扩散方程是一个偏微分方程，其一维形式可以写作：
∂C/∂t = D ∂²C/∂x²
其中，C是物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
求解一维扩散方程的一般方法是使用分离变量法或者傅里叶变换等数学方法。
以下是分离变量法的基本步骤：
1. 假设解具有形式C(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)是与空间坐标x有关的函数，T(t)是与时间t有关的函数。
2. 将以上假设带入扩散方程，得到两个方程：
∂C/∂t = X(x) dT/dt
∂²C/∂x² = X''(x) T(t)
3. 将以上两个方程合并，得到两个独立的常微分方程：
X(x) dT/dt = D X''(x) T(t)
4. 根据方程两边等式的常数等于常数的性质，可以得到两个常微分方程：
dT/dt = λ T(t)
X''(x) = λ/D X(x)
5. 解上述两个常微分方程，分别得到T(t)和X(x)的通解。
6. 应用边界条件和初始条件来确定通解中的任意常数，得到特定问题的特解。
通过以上步骤，可以得到一维扩散方程的解。
需要注意的是，在实际应用中，扩散方程往往是一个更加复杂的方程，并可能包含更多的影响因素，求解过程可能更加复杂。
因此，具体问题的求解还需要根据实际情况进行适当的假设和边界条件的处理。
第三章 一维扩散方程.
第三章 一维扩散方程本章讨论一维扩散方程。
首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。
然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。
讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：2,,0(,0)()t xx u c u x t u x x ϕ⎧=-∞<<∞>⎨=⎩；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） (,),,0(,0)()t xx u ku f x t x t u x x ϕ-=-∞<<∞>⎧⎨=⎩；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0t xx u ku x t u x x u t ϕ-=<<∞>⎧⎪=⎨⎪=⎩；（其它非齐次边界等）对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。
由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程首先讨论随机过程中的扩散过程。
设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown 运动），满足性质：在t ∆时间内位移转移概率为均值为0，方差为2t σ∆的正态分布。
在时刻t 处于x 的概率密度记为(,)Pr(())u x t dx X t x dx ==。
则2()2(,)(,)x y t u x t t u y t dy σ-∞-∆-∞+∆=⎰，或22(,)(,)y u x t t u x y t dy ∞-+∆=+⎰22221[(,)(,)(,)()]2y x xx u x t u x t y u x t ty o t dy σ∞-=++∆+∆⎰21(,)(,)()2xx u x t u x t t o t σ=+∆+∆因此，22t xx u u σ=。
可见：一维Brown 运动的状态概率密度满足扩散方程。
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：22()2(,)(,0)y x tu x t eu y dy σ-∞-=⎰。
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课程设计报告
课程名称：核反应堆物理分析题目：一维扩散方程求解院系：核科学与工程学院班级：
学号：
姓名：
指导教师：
成绩：
教师签名：
日期：2011 年6月日
目录
摘要 (1)
课程设计的目的与要求 (1)
设计正文 (1)
课程设计总结或结论 (3)
参考文献 (4)
摘要和关键词
摘要
这个设计用微分方程的差分数值求解方法，运用MATLAB编程计算出一维扩散方程中子通量密度的离散解。
关键词：一维扩散方程
一．课程设计的目的与要求
学习使用微分方程的数值解法（差分方法）来近似求解一维扩散方程，掌握差分方法的核心思想，熟练使用matlab数据处理，origin绘图软件。
通过给定的微分方程及边界条件，计算平板型，圆柱形，球形反应堆中子通量密度分布。
二．设计正文
通过查找有关资料，根据二阶线性微分方程
○1
转换为差分方程的一般公式
其中
○2
h为给定步长,
我们把原方程化简为○3
对比方程○1和○3得出
○4
把○4代入○2
等式右端向量
差分方程其实就是一个线性方程组，此线性方程组的系数矩阵为：则有
这是一个三对角阵，故可用追赶法解式○3。
下面通过matlab程序来计算变换后的差分方程的解。
所编程序如下：
clear;
N=input('请输入参数：');
alpha=input('请输入alpha值：');
if alpha==0
rmax=input('请输入平板的厚度：');
f0=input('请输入平板中心的中子通量密度：');
elseif alpha==1
rmax=input('请输入堆芯半径：');
f0=input('请输入圆柱中心的中子通量密度：');
elseif alpha==2
rmax=input('请输入堆芯半径：');
f0=input('请输入球形中心的中子通量密度：');
end
h=rmax/N;
D=0.8*10^(-2)
for i=1:1:N-1
a(1,i)=2*D*(i-1/2)^alpha*h^(alpha-1);
c(1,i)=2*D*(i+1/2)^alpha*h^(alpha-1);
b(1,i)=a(1,i)+c(1,i)+2*h*8.5*10^(-28)*(i*h)^2;
g(1,i)=2*i^2*h^3*10^14*cos(pi*i*h/2);
end
newa=a(:,2:N-1);
newc=c(:,1:N-2);
Hb=diag(b);
Hc=diag(newc,1);
Ha=diag(newa,-1);
H=-Ha+Hb-Hc;
G=g;
G(1,1)=g(1,1)+a(1,1)*f0;
p(1,1)=b(1,1);
for k=1:1:N-2
q(1,k)=c(1,k)/p(1,k);
p(1,k+1)=b(1,k+1)-a(1,k+1)*q(1,k);
end
for k=1:1:N-2
y(1,1)=G(1,1)/p(1,1);
y(1,k+1)=(G(1,k+1)-a(1,k+1)*y(1,k))/p(1,k+1);
end
for k=N-2:-1:1
u(1,N)=y(1,N-1);
u(1,k+1)=y(1,k)-q(1,k)*u(1,k+2);
end
u(1,1)=f0;
u(1,N+1)=0;
X=0:h:rmax;
P=polyfit(X,u,5)
U=polyval(P,X);
plot(X,U)
三．课程设计总结或结论
本次课程设计加深了我对中子扩散理论的认识，充分的将理论和实践结合起来。
基本了解源迭代，中子通量密度迭代的方法，充分认识到有限差分法在扩散临界计算中的重要性。
四．参考文献
微分方程数值方法（第二版）胡建伟汤怀民编MATLAB程序设计与应用（第二版）刘卫国主编
核反应堆物理分析谢仲生等编
附录（设计流程图、程序、表格、数据等）
真实的离散数据
5次多项式拟合所得图形
在求解区间[a,b]按N等分划分微分方程在网点
用差商代替倒数，
省略高阶无穷项
用追赶法求解对
三角阵
用matlab做拟合
曲线。