专题——三角形中常见的辅助线

三角形中常见的辅助线的作法一、斜边中线模型构成：Rt △ABC,∠ACB=090,D 为AB 边的中点 目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。

结果：AD=CD=BD例 1 已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12BC例2、如图，直角三角形ABC 中，∠C=90 ，M 是AB 中点，AM=AN ，MN//AC 求证：MN=AC 例3已知：△ABC 中，CE ⊥AB,BD ⊥AC ，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN ⊥ED例4如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？例5如图 ，Rt △ABC 中，∠C=090，CD 平分∠C ，E 为AB 中点，PE ⊥AB,交CD 延长线于P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？ADCMABDEC213N CE D B A MN CD BA MNMBCA等腰三角形底边的中线例1、如图所示，在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC 且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2如图所示，等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90︒，点D 是BC 的中点 二、“三线合一”模型“角平分线”+垂线→等腰三角形”构成：OC 为∠A0B 的角平分线，BC ⊥OC 于C 点 目的：构造等腰三角形结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB →OC 为△OAB 的中线⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=090→ OC 为△ABO 的高线 ⑶[全等]：△ACO ≌△BCO例 1 已知：AD 是△ABC 的∠A 的平分线，CD ⊥AD 于D,BE ⊥AD 于AD 的延长线于E,M 是BC 边上的中点。

求证：ME=MD例２已知：△ABC 为等腰直角三角形，∠A=090,∠１＝∠2,CE ⊥BE求证：BD=2CE例3 已知：△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE,∠AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)求证：DE ∥BC例4 已知：在△ABC 的两边AB 、AC 上分别取BD=CE ，F 、G 分别为DE 、BC 的中点，∠A 的平分线AT 交BC 于T 求证：FG ∥AT4321C BAO 654321MGFE D CB A 4321FE D BA54321F EDCBA MK N L FE DA例5、如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点 （1）求证：AF ⊥CD（2）在你连接BE 后，还能得出什么新结论？三、三角形中位线模型构成：△ABC 中，D 为AB 边中点目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形结果：①DE ∥BC,DE=12BC ②△ADE ∽△ABC例1 已知：在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AC 于E,F 为DE 中点 求证：AF ⊥BE例2 已知 BD 、CE 为△ABC 的角平分线，AF ⊥CE 于F,AG ⊥CE 于F,AG ⊥BD 于G求证：①FG ∥BC ② FG=12(AB+AC-BC)例3 已知 ，如图在ABCD 中，P 为CD 中点，AP 延长线交BC 延长线于E,PQ ∥CE 交DE 于Q求证：PQ=12BC例4 已知：梯形ABCD 中，AB=DC,AC ⊥BD,E 、F 为腰上中点，DL ⊥BC,M 为DL 与EF 的交点 求证：EF=DLA BCD E GFED HCB A4321G F N ME CD B AL MK HFEDCBAQ PED CBAOF DC BA108054321ECBAD例 5 已知：锐角△ABC 中，以AB 、AC 为斜边向外作等腰直角△ADB ，△AEC,M 为 BC 中点，连结DM 、ME四“补长截短”模型（1） 截长法： 构成：线段a,b,c目的：确定一线段，找令一线段的等量关系结果：→ a-b '=c ⇒a=b+c ， b=b ' （2）补短法： 构成：线段a,b,c目的：构造一等长线段，再找等量关系结果：c=c '，b+c '=a ⇒a=b+c例1 已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC求：（1）若∠B=2∠C,则AB+BD=AC (2) 若AB+BD=AC,则∠B=2∠C例2：在ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥BCY 于D ，求证BD=AC+CD例3如图所示，等腰直角ABC 中，∠BAC=90︒过点A 做直线DE ，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，求证：DE=BD+CE例4已知：等腰△ABC 中，AB=AC, ∠A=0108,BD 平分∠ABC求证：BC=AB+DC7654321MG F EDCBAc ab c4321E BDCACD B ACBEDA54321GMFE D CB A例6、已知如图所示，在ABC 中，AB=AC ∠A=100︒，BD 平分∠ABC 交AC 于D求证：BC=AD+BD例 7 已知：在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，且∠BAE=2∠DAM求证：AE=BC+CE例 8已知：在正方形ABCD 中，E 为BC 上任一点，∠EAD 的平分线交DC 于F 求证：BE+DF=AE构造等边三角形、等腰三角形例9、如图，已知∠ABD=∠ACD=60︒∠ADB=90︒-12∠BDC 且∠BAC=20︒求：∠ACB 的度数。

五．倍长中线模型 构成（条件）：△ABC 中，AD 为中线 目的：（1）构造全等三角形 →找等量关系（边）（2）构造平行线 → 找等角关系 结果：（1）△BDE ∽△ADC → ① BE=AC（2）AE=2AD ②∠1=∠2，∠3=∠4→AC ∥BE 例1： 已知：AD 为△ABC 中线，E 为AC 上一点，且AE=FE 求证：AC=BF21BACDEFG345F GABCDE 123ME DCB ACDB AEDCBA例2 ：已知：CE 、CB 分别是△ABC 、△ACD 的中线，且AB=AC ，求证：CD=2CE例3、如图，在△ABC 中，AB=BD=DC ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE例4、如图在△BAC 中，AD 是中线，且BE=AC 求证：AF=EF例5：已知Rt △BAC 中，∠A=900，D 为BC 边中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上一动点，且ED ⊥FD 。

求证：EF=BE+CF 。

例6：已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，过BC 上一点D 引直线平行于AM 交AB 于E ，交CA 的延长线于F 求证：ED+DF=2AM六、面积法（1）构成：AD ∥BC ，△ABC ，△BCD 。

目的：找等积 △.结果：S △ABC =S △BCD.（2）构成：EF ∥BC ，△ABC ，△AEF 。

目的：找比例线段。

结果：S △AEF ：S △ABC=AF 2：AC 2=AE 2：AB 2=EF 2：BC2（3）构成：l 1∥l 2∥l 3，线段AC 、BD ，AD 、BC 相交于点O 。

目的：找比例线段。

结果： AE ：EC=AO ：OD=BO ：CO=BF ：FDGF E DCB AMKH FC ABD E D A F E A l 3l 2l 1O F EB APF EDCB A例 1：已知：△ABC 中,AB=AC ，D 为BC 上任一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，CG ⊥AB 于G 。

求证：CG=ED+DF延伸：如图题中的条件不变把“点D 在BC 上”改为“点D 在BC 的延长线上”那么DE 、DF 、CG 存在什么等式关系？写出你的猜想并加以证明 结论：DE-DF=CG例2：已知P 是 △ABC 中∠A 的平分线上任意一点，过C 引CE ∥PB ，交AB 的延长线于E ，过 B 引BF ∥PC ，交AC 的延长线于F 。

求证：BE=CF 。

例3：已知：△ABC 中，DE ∥BC 交CB 延长线于F ，AG ∥DC 交 BC 延长线于G 。

求证：BF=CGN MFE DB A G EHF D CB A FG E D AC B。