一轮复习：指数与指数函数
高考文科数学一轮复习：指数与指数函数
+2-2×
2
1 4
1 2
-(0.01)0.5;
(2)
5 a 13b-2·(-3 a
1 2
2
1
b-1)÷(4 a 3b-3 );2
6
(a
2 3
b1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
(3)
6 ab5
.
1
1
解析
(1)原式=1+ 1×
4
4 9
2
-
1 100
答案 B
解析
4
b=
1 2
3
,而函数y=
1 2
x
在R上为减函数,4 > 2> 1,所以
332
4
2
1 2
3
<
1 2
3
<
1
1 2
2
,即b<a<c.
命题方向二 指数型复合函数的单调性
典例4
(1)函数f(x)=
(3)原式= a
3b2a 2b3
15
a6b6
规律总结
11 1
115
1
= a 3 2 6 · b2 3 6 = .
a
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答. ▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又 含有负指数,形式力求统一.
2023届高考数学一轮复习讲义：第11讲 指数与指数函数
第11讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 值域性质过定点当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<D ．c b a <<2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ） A ．12B ．13C ．3D ．23．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值． 【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===； （3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭； （2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=． （3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（ ）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<， 所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →， 所以1a >，所以排除C ， 故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ； 故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D【解析】由指数函数的性质，可得...030002021<<=，所以01b <<， 根据对数的运算性质，可得0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，所以1a >， 由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <， 所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =， 因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值； （2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】3ln ln e 12<=，0.800.50.51<=，0.500.80.81->=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故3143344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b . 因为3433344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<， 故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（ ） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <． 综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ， 即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯， 即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-． 故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =， 所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥， 因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1， 所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+， 解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++． （2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点， 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <． （3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立． 令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞， 可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈， 由20x a +≥恒成立，可得0a ≥， 令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x x a ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数， 则实数a 的取值范围为[]0,3。
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第5讲指数与指数函数课件
1
2
D，左边＝a3 ÷a－3 ＝a1＝a，左边＝右边．故选 D．
3．(必修 1P107T2 改编)设 a>0，将
a2 表示成分数指数幂，其结
3
a·
a2
果是
( C)
A．a12
B．a56
C．a76
D．a32
[解析] 由题意得
a2
＝a2－12
－1 3
＝a67
，故选 C．
3
a·
a2
4．(必修 1P109T4 改编)化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝__－__2_x_2y___.
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有__两__个___，
它们互为__相__反__数___
±n a
零的 n 次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式 __a__，n为奇数，
①n an＝|a|＝____－a____a_a_≥a<00，， n为偶数.
②(n a)n＝__a__(注意 a 必须使n a有意义)．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn 个 a 相乘．
m
m
(3)a－n ＝－an (n，m∈N*)．
(× ) (× ) (× )
考点突破·互动探究
考点一
例1
指数与指数运算——自主练透 (1)(多选题)下列命题中不正确的是
A．n an＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
2025年高考数学一轮复习-第10讲-指数与指数函数【课件】
对于 B，y＝ 143x－1的值域是[0，＋∞)； 对于 C，y＝121－2x的值域是(0，＋∞)；
对于 D，y＝ 1－3x的值域是[0，1).
(C)
5．函数y＝ax+2 024＋2 024(a＞0，a≠1)的图象恒过定点___(_－__2_0_2_4_，__2__0_2_5_)___．
1．根式
在(－∞，＋∞)上是__增__函__数____
在(－∞，＋∞)上是__减__函__数____
举题说法
指数式的求值与化简
1 指数式的求值与化简．
(1) －287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)-1＋π0＝_－__1_69_7___． 【解析】原式＝－32－2＋50012－( 51－0(2)5(＋52＋) 2)＋1＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
图(2)
1．(多选)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，则下列关系式可能成立的是
( ABD )
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．a＝b
【解析】如图，观察易知a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
2．函数y＝2|1-x|的图象大致是
(A )
A
B
C
D
【解析】函数 y＝2|1-x|＝221x--1x，，xx≤＞11，， 所以当 x＞1 时，y＝2x-1 是增函数，当 x≤1 时，
指数函数的图象及应用
2 已知函数f(x)＝|2x－1|. (1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】由 f(x)＝|2x－1|＝21x－－21x， ，xx≥ ＜00， ， 作出函数 f(x)的图象如 图(1)所示，因此函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单 调递增．
第五讲+指数与指数函数 课件——2025届高三数学一轮复习
要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究.
考点一 指数幂的运算
1.化简 3 ab2 a2b2 (a，b 为正数)的结果是( 11 3 b (a6b4 )4
b2 A.a2
B.a2b2
a2 C.b2
) D.ab
12
78
解析：原式＝ a3b3 1
a2b2
2
a 3b3
21
＝a2b2.故选
B.
2025年高考一轮总复习
第二章 函数、导数及其应用
第五讲 指数与指数函数
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1， 且 n∈N*.
(2)式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(3)(n a)n＝a.当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝ |a|＝a－，aa，≥a0<，0.
4.指数函数y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为 R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0，1)
(续表)
底数
a>1
当 x>0 时，y>1；
性质 当 x<0 时，0<y<1
在定义域 R 上为增函数
0<a<1 当 x>0 时，0<y<1； 当 x<0 时，y>1 在定义域 R 上为减函数
考点二 指数函数的图象
[例 1](1)(多选题)若函数 y＝ax＋b－1(a>0，且 a≠1)的图象经
过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A.a>1
高三一轮复习课件：指数与指数函数教学材料
对于任意的 x1, x2[0, 1], 且 x1<x2, g(x1)-g(x2)=(2x1-4x1)-(2x2-4x2) =(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)
=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2) ∵0≤x1<x2≤1, ∴2x1-2x2<0 且 1-2x1-2x2<0. ∴ g(x1)-g(x2) =(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)>0.
4.若关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 x=2, 求 a 的值 并求方程其余的根.
a=
1 2
时,
方程的另一根为 x=1-log23; a=3时, x=1-log32 .
5.已知 2x=
a+
1 a
(a>1),
求
x2-1 x- x2-1
的值.
解: 以 x+ x2-1、 x- x2-1 为根构造方程: t2-2xt+1=0,
∵ y=e-x 是 R 上的减函数, ∴ y=-e-x 是 R 上的增函数.
又∵ y=ex 是 R 上的增函数, ∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数.
∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数.
综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.
课堂练习
1.若函数y=ax+b-1 (a>0, a1) 图象经过第二、三、四象限, 则 一定有( C )
∴ g(x1)>g(x2). 故函数 g(x) 在 [0, 1] 上单调递减.
6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减 性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域. 解: (3)∵g(x) 在 [0, 1] 上单调递减,
3.4指数与指数函数课件高三数学一轮复习
考点三指数函数的性质的应用 考情提示 指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重 点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
解题技法
第三章 函数及其应用
第四节 指数与指数函数
必备知识·逐点夯实 核心考点·分类突破
【课标解读】 【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算.
(0,1)∪(1,+∞)
核心考点·分类突破
1
-10y
47
解题技法 指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加 减,底数是负数的先确定符号. (2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数, 化带分数为假分数.
由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0].
解题技法 有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若 不满足则排除; (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、 伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论; (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求 解; (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
高三第一轮复习指数与指数函数
零的 n 次 方根是零 负数没有 偶次方根
2.两个重要公式 n为奇数， a ， n n a （a≥0）， (1) a ＝ n为偶数； |a|＝ －a （a＜0）， (2)( a) ＝ a (注意 a 必须使 a有意义)． n
n
n
二、有理数指数幂
2．有理数指数幂的性质 r＋s as (1)ara ＝ (a>0，r，s∈Q)； rs as r (2)(a ) ＝ (a>0，r，s∈Q)； rbr a (3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
3 ．已知函数 f(x) ＝ 4 ＋ ax － 1 的图象恒过定 点P，则点P的坐标是 ( ) A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0) A [当x＝1时，f(x)＝5.]
4 ．若函数 y ＝ (a2 － 3a ＋ 3)·ax 是指数函数， 则实数a的值为________． 解析 ∵ a2 － 3a ＋ 3 ＝ 1 ， ∴ a ＝ 2 或 a ＝ 1(舍)． 答案 2
2t y＝3 是单调递减的，
因此 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． 答案 (－∞，0] [0，＋∞)
[互动探究] 9 在本例条件下，若 f(x)的最大值等于4，则 a＝______． 解析 9 9 2－2 由于 f(x)的最大值是4，且4＝3 ，
x
所以选 D. 答案 D
[规律方法] 1．与指数函数有关的函数的图象的研究， 往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往 往利用相应的指数型函数图象数形结合求 解．
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －mn＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a>10<a <1图象定义域 ________ 值域________ 性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________ 当x >0时，□11________；当x <0时，□12________ 在(－∞，＋∞)上是□13________ 在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) 2．2a ·2b ＝2ab .( )3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( ) 4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( ) 题组二 教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是( )A ．a 43 a 34＝a B ．a ÷a 23 ＝a 32C ．a 23a -23＝0 D ．(a 14 )4＝a2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的一个是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．已知函数f (x )＝a －22x ＋1(a ∈R )为奇函数，则a ＝________.题组三 易错自纠1．式子a －1a化简得( )A.－aB.aC ．－aD ．－－a2．若函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或323．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，则下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________．题型一 指数幂的运算[例1] (1)⎝⎛⎭⎫14 －12 ·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12(a >0，b >0)＝________.(2)若x 12 ＋x －12 ＝3，则x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2＝________.(3)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.[听课记录]类题通法(1)指数幂运算常用技巧①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． ②负指数幂化为正指数幂的倒数．③底数是小数，一般要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，便于指数幂的运算．(2)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法\”巧妙地求出代数式的值.巩固训练1：(1)计算23·612·332＝________.(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则x 12－y12x 12＋y 12 ＝________.题型二 指数函数的图象及应用角度|与指数函数有关的图象识别[例2] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫52－|x －1|的大致图象为图中的( )(2)函数y ＝xax|x |(a >1)的大致图象是( )[听课记录]类题通法识别与指数函数图象有关的策略(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.巩固训练2：函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )角度|指数函数图象的应用[例3] 若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． [听课记录]类题通法解答此类问题的关键是画出已知函数的图象，利用数形结合方法求解.巩固训练3：若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．题型三 指数函数的性质及其应用 高频考点 角度|比较大小[例4] (1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫4313 ，b ＝223 ，c ＝⎝⎛⎭⎫3412 ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b (2)已知0<a <b <1，则( )A ．(1－a )1b >(1－a )bB ．(1－a )b >(1－a )b2C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b [听课记录]类题通法利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.巩固训练4：已知0<a <b <1，则在a a ，a b ，b a ，b b 中，最大的是( ) A ．a a B ．a b C ．b a D ．b b角度|解简单的指数方程或不等式[例5] (1)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[听课记录]类题通法利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.巩固训练5：若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．角度|与指数函数有关的复合函数[例6] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)[2020·全国卷Ⅱ]若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0 [听课记录]类题通法求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.巩固训练6：已知函数f (x )＝cos x x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________．[预测1] 核心素养——直观想象若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．[预测2] 新题型——多选题若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a <b <1 B ．b <a <0 C ．1<a <b D ．a ＝b2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数答案[教材回扣]□1 na m □2 1amn□3 a r ＋s □4 a rs □5 a r b r □6 R □7 (0，＋∞) □8 (0，1) □9 y >1 □10 0<y <1 □11 0<y <1 □12 y >1 □13 增函数 □14 减函数 [题组练透] 题组一1．× 2.× 3.√ 4.× 题组二1．解析：由已知a >0.a 43 a 34＝a 43 ＋34＝a 2512≠a ，A 错；a ÷a 23＝a 1－23 ＝a 13≠a 32，B 错；a 23·a －23 ＝a 23 ＋(－23 )＝a 0＝1≠0，C错；(a 14)4＝a 14 ×4＝a ，D正确．答案：ABC2．解析：已知三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0，1)，图象②不过点(0，1)，故选B.答案：B3．解析：由f (－x )＝－f (x )，得：a －22－x ＋1 ＝－a ＋22x ＋1，即2a ＝22x ＋1 ＋22－x ＋1 ，∵22x ＋1 ＋22－x ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：1 题组三1．解析：由题意知a <0， ∴a－1a＝a －aa2 ＝－－a .故选D. 答案：D2．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a 2，最小值为a ， 故有a 2－a ＝a 2 ，解得a ＝32或a ＝0(舍去)当0<a <1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a ，最小值为a 2，故有a －a 2＝a2，解得a ＝12 或a ＝0(舍去).综上a ＝32 或a ＝12 .答案：D3．解析：画出指数函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x的图象：满足等式⎝⎛⎭⎫12 a＝⎝⎛⎭⎫13 b，有①0<b <a ； ②a <b <0；⑤a ＝b ＝0三个．而③0<a <b ；④b <a <0不能成立． 答案：③④课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)原式＝412·432·a 32·b－3210·a 32·b－32＝2×45 ＝85 . (2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x－12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴原式＝（x 12＋x －12）（x －1＋x －1）－3（x ＋x －1）2－4 ＝3×（7－1）－372－4＝13. (3)由已知条件知f (p )＝65 ，f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p ＋ap ＝65①，2q 2q＋aq ＝－15②， ①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，所以36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，所以a 2＝36，所以a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6.答案：(1)85 (2)13(3)6巩固训练1 解析：(1)原式＝2·312 ·1216·⎝⎛⎭⎫32 13＝2·312 ·(3×4)16 ·313·⎝⎛⎭⎫12 13 ＝2·312＋16 ＋13 ·213 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×3×1＝6.(2)∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 12－y 12x 12＋y 12 2 ＝x ＋y －2（xy ）12x ＋y ＋2（xy ）12 ＝12－2×91212＋2×912＝618 ＝13 . ∵x <y ，∴x 12－y 12<0，∴x 12－y12x 12＋y 12 <0，∴原式＝－33. 答案：(1)6 (2)－33题型二例2 解析：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫52 －|x －1|＝⎝⎛⎭⎫25|x －1|，y >0，且x >1时，为减函数，x <1时为增函数，故选B.(2)当x >0时，y ＝a x 为单调递增函数；当x <0时，y ＝－a x 为单调递减函数． 答案：(1)B (2)C巩固训练2 解析：当a >1时，函数单调递增，且函数图象恒过点(0，1－1a )，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点(0，1－1a )，且1－1a<0.故选D.答案：D 例3 解析：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0，1).答案：(0，1)巩固训练3 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案：[－1，1] 题型三例4 解析：(1)a ＝⎝⎛⎭⎫43 13>1，0<c ＝⎝⎛⎭⎫34 12 <1， a ＝⎝⎛⎭⎫43 13 <213 <223＝b ， ∴c <a <b .(2)∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错． 答案：(1)B (2)D巩固训练4 解析：∵0<a <b <1， ∴b a >a a >a b 且b a >b b ， ∴最大的是b a . 答案：C例5 解析：(1)函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集即2x >x ＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x ，y ＝x ＋1的图象(图略)，结合图象易得2x >x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.(2)当a <0时，⎝⎛⎭⎫12 a－7<1， ∴⎝⎛⎭⎫12 a<8， ∴－3<a <0；当a ≥0时， a <1，∴0≤a <1. 综上a 的取值范围是(－3，1). 答案：(1)D (2)(－3，1) 巩固训练5解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12 x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12 x ＋[⎝⎛⎭⎫12 x]2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12 x，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2，3)例6 解析：(1)由f (1)＝19 ，得a 2＝19 ，所以a ＝13 或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |2x －4|由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增则y ＝⎝⎛⎭⎫13 t在R 上单调递减．所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).(2)因为2x －2y <3－x －3－y ，所以2x －3－x <2y －3－y .设f (x )＝2x －3－x ，则f ′(x )＝2x ln 2－3－x ×ln3×(－1)＝2x ln 2＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以f (x )在R 上为增函数．由2x －3－x <2y －3－y 得x <y ，所以y －x ＋1>1，所以ln (y －x ＋1)>0，故选A.答案：(1)B (2)A巩固训练6 解析：∵函数y ＝cos xx是奇函数，∴要使f (x )＝cos x x ＋12x ＋1 ＋a 是奇函数，只需g (x )＝12x ＋1 ＋a 是奇函数．由g (－1)＝－g (1)得12－1＋1 ＋a ＝－12＋1 －a ，∴a ＝－12 .(经检验符合题意)答案：－12高考命题预测预测1 解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x－1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值3－(－1)＝4，所以n －m 的取值范围是(0，4].答案：(0，4]预测2 解析：因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ， 设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x . 由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以2a＋3a＝3b＋2b，即b<a<0，故B正确；②当x＝0时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝0，故D正确；③当0<x<1时，f(x)>g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即0<a<b<1，故A正确；④当x＝1时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝1，故D正确；⑤当x>1时，f(x)<g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即1<b<a，故C错误．答案：ABD第11页共11页。
第04讲 指数与指数函数(四大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
__________
(0,1)
过定点_____，即x＝0时，y＝1
性质
y>1
0<y<1
当x>0时，_____；当x<0时，______
增函数
在(－∞，＋∞)上是_______
0<y<1
y>1
当x<0时，_____；当x>0时，_______
即所求实数m的取值范围为(−∞, 0]．
故答案为：(−∞, 0]．
题型三：指数函数中的恒成立问题
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）设 =
2 −2−
，当
2
∈ R时， 2 + + 1 > 0恒成立，则实数m的
取值范围是____________．
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，
且 → +∞, → −, () → 2 ，与图象相符，所以 < 0 ，
当() = 0时，e = ，
故选：C．
题型二：指数函数的图像及性质
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = −4 + 1（ > 0且 ≠ 1）的图象恒过定点A，若点A的坐
掌握指数幂的运算性质.
一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、
（2）通过实例，了解指数函
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
大小的 比较和函数方程问题.
数的实际意义，会画指数函
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第5节 指数与指数函数 课件(40张)
分数指数幂 负分数指数幂
1 规定 a－mn＝ 1m＝__n_a_m__(a>0，m，n∈N*，n>1)
an
0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于_0__，0 的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋__s __(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝__a_r_s _(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝__a_rb_r__(a>0，b>0，r∈Q). 5．指数函数定义 一般地，函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 _R___．
在(－∞，＋∞)上是_减__函__数___
[必记结论] 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
第二章 函 数
[课标解读] 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2.了解指数函数 的实际意义，理解指数函数的概念． 3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果_x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数___．
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点 1 指数幂的运算 【考点集训】
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 幂函数、指数与指数函数
C. 当x＞1时，f(x)＞1
[解析]
D.
(1 )＋(2 )
1 ＋2
当0＜x1＜x2时，
＜f(
)
2
2
1
α
α
因为幂函数 f ( x )＝ x 的图象经过点(16，4)，所以16 ＝4，α＝ ，所以 f ( x )
2
1
2
＝ ＝ ，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正
(2)指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
函数的定义域为R；值域为⑲ (0，＋∞) .
函数图象过定点⑳ (0，1) ，即当x＝0时，y＝1.
性质
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
y＞1.
函数在R上单调递㉑ 增 .
函数在R上单调递㉒ 减 .
确；由 f ( x )＝
(1 )＋(2 )
1 ＋2
的图象可知
＜f(
)，故D正确.故选BCD.
2
2
)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 (1，3) .
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b
＝⑭
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
1
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质
2025高考数学一轮复习- 指数与指数函数-专项训练【含解析】
课时过关检测(九)指数与指数函数【原卷版】1．已知a＞0，则a2a3a2＝()A．a 65B．a56C．a 56 D．a532．已知函数f(x)＝2e xe x＋1＋x(其中e为自然对数的底数，e＝2．71828…)，若实数m满足f(m)＝－1，则f(－m)＝()A．4B．3C．2D．13．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3．6小时B．3．8小时C．4小时D．4．2小时6．(多选)已知f(x)＝1－2x1＋2x，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在R上单调递增D．f(x)在R上单调递减7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．9．已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．10．已知f(x)＝a－23x＋1(a为常数)为奇函数，则满足f(ax)＞f(1)的实数x的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)11．(多选)关于函数f(x)＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4x a≥0恒成立，则a的取值范围是________．13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|．(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．14．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x．若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为()A．35B．－35C．1D．－115．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．课时过关检测(九)指数与指数函数【解析版】1．已知a ＞0，则a 2a 3a 2＝()A ．a 65B ．a 56C ．a56-D ．a53解析：Ba 2a 3a 2＝a 2a 12·a23＝a 1-2223＝a 56．故选B ．2．已知函数f (x )＝2e xe x ＋1＋x (其中e 为自然对数的底数，e ＝2．71828…)，若实数m 满足f (m )＝－1，则f (－m )＝()A ．4B ．3C ．2D ．1解析：B由题意，函数f (x )＝2e x e x ＋1＋x ，可得f (－x )＝2e －xe －x ＋1－x ＝2e x 1e x＋1－x ＝2e x ＋1－x ，可得f (x )＋f (－x )＝2e x e x ＋1＋x ＋2e x ＋1－x ＝2，即f (m )＋f (－m )＝2，因为f (m )＝－1，所以f (－m )＝3．故选B ．3．函数y ＝16－4x 的值域是()A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：C要使函数有意义，须满足16－4x ≥0，则x ∈(－∞，2]，所以4x ∈(0,16]，则0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．故选C ．4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()解析：Af 0)＜0，f 1)＞0，f －1)＜0ab ＜0，①(－a )(1－b )＞0，②(1－a )(－1－b )＜0，③因为a ＞b ，所以由①可得：a ＞0＞b ，由③可得：－1－b ＞0⇒b ＜－1，由②可得：1－a ＞0⇒a ＜1，因此有1＞a ＞0＞－1＞b ，所以函数g (x )＝a x ＋b 是减函数，g (0)＝1＋b ＜0，所以选项A 符合，故选A ．5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N (mg/L)与时间t 的关系为N ＝N 0e －kt (N 0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A ．3．6小时B ．3．8小时C ．4小时D ．4．2小时解析：C由题意可得N 0e－4k＝45N 0，可得e －4k ＝45，设N 0e －kt＝0．64N 045N 0，可得e －kt＝(e －4k )2＝e －8k ，解得t ＝8．因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C ．6．(多选)已知f (x )＝1－2x1＋2x ，则()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )在R 上单调递增D ．f (x )在R 上单调递减解析：ADf (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除B ；因为f (x )＝1－2x 1＋2x ＝21＋2x －1，且y ＝2x在R 上单调递增，所以y ＝1＋2x 在R 上单调递增，所以y ＝21＋2x－1在R 上单调递减，即f (x )在R 上单调递减，排除C ．故选A 、D ．7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x 1x 2≥0时，f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x )为偶函数．解析：若满足①对任意的x 1x 2≥0有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，则对应的函数为指数函数y ＝a x 的形式；若满足②f (x )为偶函数，只需要将x 加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f (x )＝a |x |(a ＞0，a ≠1)即可．答案：f (x )＝2|x |(答案不唯一)8．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1．由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：(1，＋∞)f (－4)＞f (1)9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )的图象经过点A (1,6)，B (3,24)·a ＝6，·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3．所以f (x )＝3·2x ．(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]－m ≥0恒成立，即m ＋在x ∈(－∞，1]上恒成立．又因为y 与y 均为减函数，所以y 也是减函数，所以当x ＝1时，y 有最小值56．则m ≤56，故m ∞，56．10．已知f (x )＝a －23x ＋1(a 为常数)为奇函数，则满足f (ax )＞f (1)的实数x 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：A因为函数f (x )＝a －23x ＋1为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝2a －23x ＋1－23－x ＋1＝2a －23x ＋1－2·3x 3x (3－x ＋1)＝2a －2(1＋3x )3x ＋1＝2a －2＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝1－23x ＋1，任取x 1＞x 2，则3x 1＞3x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，则函数f (x )为R 上的增函数，由f (x )＞f (1)，解得x ＞1．故选A ．11．(多选)关于函数f (x )＝14x ＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形解析：ACD函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )D 正确．12．当x ∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，则a 的取值范围是________．解析：不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，转化为－a ≤1＋2x4x ＝，易知函数y是R 上的减函数，因此x ∈(－∞，－1]时，y min 11＝6，所以－a ≤6，即a ≥－6．答案：[－6，＋∞)13．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |．(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1．(2)当t ∈[1,2]时，22t t0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1,2]为减函数，所以y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5．即m 的取值范围是[－5，＋∞)．14．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x ．若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，则实数m 的最大值为()A ．35B ．－35C ．1D ．－1解析：A∵g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且g (x )－h (x )＝2x ①，∴g (－x )－h (－x )＝g (x )＋h (x )＝2－x②，①②两式联立可得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2．由m ·g (x )＋h (x )≤0得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，∵y ＝1－24x ＋1在x ∈[－1,1]上为增函数，＝35，故选A ．15．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．解：(1)若函数f (x )为理想函数，取x 1＝x 2＝0，由条件③可得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0．由条件①对任意的x ∈[0,1]，总有f (0)≥0．综上所述，f (0)＝0．(2)函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])为理想函数，证明如下：函数g (x )＝2x －1在[0,1]上满足g (x )≥0，即满足条件①．∵g (1)＝21－1＝1，∴g (x )满足条件②．若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③．综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数．(3)证明：由条件③知，任给m，n∈[0,1]，当m＜n时，n－m∈[0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾．综上所述，x0＝f(x0)．。
高三一轮复习指数与指数函数
所以选 D. 答案 D
[规律方法] 1．与指数函数有关的函数的图象的研究， 往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往 往利用相应的指数型函数图象数形结合求 解．
[跟踪训练] 2．(1)(2014·杭州模拟)函数y＝a|x|(a＞1)的 图象是 ( )
指数函数的性质及应用
[典题导入] 已知函数
2 |x|－a f(x) ＝ 3 . 则函数
f(x) 的单调递增区间为
________，单调递减区间为________．
[听课记录]
令 t＝|x|－a，则
2t f(x)＝3 ，
不论 a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又
3 ．已知函数 f(x) ＝ 4 ＋ ax － 1 的图象恒过定 点P，则点P的坐标是 ( ) A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0) A [当x＝1时，f(x)＝5.]
4 ．若函数 y ＝ (a2 － 3a ＋ 3)·ax 是指数函数， 则实数a的值为________． 解析 ∵ a2 － 3a ＋ 3 ＝ 1 ， ∴ a ＝ 2 或 a ＝ 1(舍)． 答案 2
指数式的化简与求值
[典题导入] 化简下列各式(其中各字母均为正
数) ．
[规律方法] 指数式的化简求值问题，要注意与其他代 数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相 乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进 行，一般情况下，宜化负指数为正指数， 化根式为分数指数幂．对于化简结果，形 式力求统一．
三、指数函数的图象和性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1
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一轮复习： 指数与指数函数[最新考纲]1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4．体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1．根式 (1)根式的概念①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数．②(na )n ＝a .2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)． ②负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)；③正分数指数幂：a nm ＝na m (a ＞0，m ，n ∈ N *，且n ＞1)；④负分数指数幂：anm -＝anm 1＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.(×)(2)(教材探究改编)(na n)＝a.(×)2．对指数函数的理解(3)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a x 是R 上的减函数．(×)(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， 无论在y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．(×)(6)(2013·调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√) [感悟·提升]1．“na n ”与“⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ”的区别 当n 为奇数时，或当n 为偶数且a ≥0时，na n＝a ，当n 为偶数，且a ＜0时，na n ＝－a ，而(na )n ＝a 恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2.2．两点注意 一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5).学生用书第22页考点一 指数幂的运算【例1】 (1)计算：()()()20.5321132234350.0080.020.3289--⎡⎤⎢⎥-+÷⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭÷0.062 50.25； (2)若12x ＋12x -＝3，求33222223x x x x--++++的值．解 (1)原式＝32827⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎛⎫ ⎪⎝⎭－12499⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2310008⎛⎫ ⎪⎝⎭÷50×10⎦÷1462510000⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－179＋2×2＝29. (2)由12x ＋12x -＝3，得x ＋x －1＋2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＋2＝49，∴x 2＋x －2＝47.∵3322x x-+＝1122x x -⎛⎫+⎪ ⎭⎝3－31122x x -⎛⎫+⎪ ⎭⎝＝27－9＝18，∴原式＝18＋247＋3＝25.规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．答案 C考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·模拟)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )．(2)下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析 (1)y ＝2x ―――→向下平移2个单位y ＝2x －2――――――→把x 轴下方的部分翻折上去y ＝|f (x )|.(2)A 中，∵函数y ＝1.7x 是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73.B 中，∵y ＝0.6x 是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. D 中，∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1. 答案 (1)B (2)B规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个解析设2 011a＝2 012b＝t，如图所示，由函数图象，可得(1)若t＞1，则有a＞b＞0；'(2)若t＝1，则有a＝b＝0；(3)若0＜t＜1，则有a ＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案 B考点三指数函数的性质及其应用【例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x－1＋12x 3. (1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )＞0. 审题路线 由2x －1≠0可求f (x )的定义域⇒分别求g (x )＝12x －1＋12与h (x )＝x 3的奇偶性⇒可利用g (－x )±g (x )＝0判断g (x )的奇偶性⇒利用“奇×奇＝偶，奇×偶＝奇”判断f (x )的奇偶性⇒先证x ＞0时，f (x )＞0⇒再证x ＜0时，f (x )＞0. 解 (1)由2x －1≠0可解得x ≠0，∴定义域为{x |x ≠0}． (2)令g (x )＝12x －1＋12，h (x )＝x 3.则h (x )为奇函数，g (－x )＋g (x )＝12－x －1＋12＋12x －1＋12＝2x1－2x ＋12x －1＋1＝0.∴g (x )为奇函数，故f (x )为偶函数．(3)证明 当x ＞0时，2x －1＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x－1＋12x 3＞0， 即f (x )＞0.又∵f (x )是偶函数， ∴当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＞0，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒大于零．∴f (x )＞0.规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.学生用书第23页【训练3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝x 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a.解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪⎪t >1或t <－13.1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 3．画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，1a . 4．熟记指数函数y ＝10x ，y ＝2x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[解析] 若a＞1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．[答案] 1 4[易错警示] (1)误以为a＞1，未进行分类讨论从而求得错误答案．(2)对条件“g(x)在[0，＋∞)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案．[防错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础． 【自主体验】当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的围是( )． A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)解析 x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)， 若a >1，y ＝a x 是一个增函数，则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2； 若0<a <1，y ＝a x是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1.综上知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，1∪(1，2)．答案 C对应学生用书P235基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．函数y＝a x－1a(a＞0，a≠1)的图象可能是( )．解析当a＞1时单调递增，且在y轴上的截距为0＜1－1a＜1时，故A，B不正确；当0＜a＜1时单调递减，且在y轴上的截距为1－1a＜0，故C不正确；D正确．答案 D2．(2014·质检三)函数y＝2x－2－x是( )．A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数． 答案 A3．(2014·一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )． A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b ，选A. 答案 A4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )．A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10.答案 A5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值围为( )．A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b ∈(0,1)．答案 C二、填空题 6.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．解析a 3a ·5a 4＝31425aa a ＝14325a--＝1710a .答案1710a7．(2013·模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值围是________．解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1) 8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析 当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32. 答案12或32 三、解答题9．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e xa ＋ae x ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫e －x a＋a e －x ， 整理得⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a＝0，即a 2＋1＝0，显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a (e x －e －x )＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a＝0，得a ＝±1.10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解 令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )． A ．3c ＞3b B ．3b ＞3a C ．3c ＋3a ＞2 D ．3c ＋3a ＜2解析 作f (x )＝|3x －1|的图象如图所示，由图可知，要使c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0且a ＞0，∴3c ＜1＜3a ，∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1， 又f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1， 即3a ＋3c ＜2，故选D. 答案 D2．(2014·质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3a x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤13， 611 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，611 解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3a x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，1－3a ×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 B 二、填空题3．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x x ＞0，e a －x x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a的值为________．解析 由f (1－a )＝f (a －1)，1－a 和a －1互为相反数，得e 2(1－a )＝e a －(a －1)(1－a ＞0)，解得a ＝12，或e 2(a －1)＝e a －(1－a )(a －1＞0)，此方程无解，故a ＝12.答案12三、解答题4．已知函数f (x )＝.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝，令t ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，实用标准文档文案大全 由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－4a＋3＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a的值等于1.。