曹培英老师课件[1]+2
内径千分尺的使用方法
内径千分尺的使用方法内径千分尺1 正确测量方法1)内径千分尺在测量及其使用时，必需用尺寸最大的接杆与其测微头连接，依次顺接到测量触头，以减少连接后的轴线弯曲。
2)测量时应看测微头固定和松开时的变化量。
3)在日常生产中，用内径尺测量孔时，将其测量触头测量面支撑在被测表面上，调整微分筒，使微分筒一侧的测量面在孔的径向截面内摆动，找出最小尺寸。
然后拧紧固定螺钉取出并读数，也有不拧紧螺钉直接读数的。
这样就存在着姿态测量问题。
姿态测量:即测量时与使用时的一致性。
例如:测量 75,600/0.01mm的内径尺时，接长杆与测微头连接后尺寸大于 125mm 时。
其拧紧与不拧紧固定螺钉时读数值相差 0.008 mm 既为姿态测量误差。
4)内径千分尺测量时支承位置要正确。
接长后的大尺寸内径尺重力变形，涉及到直线度、平行度、垂直度等形位误差。
其刚度的大小，具体可反映在“自然挠度”上。
理论和实验结果表明由工件截面形状所决定的刚度对支承后的重力变形影响很大。
如不同截面形状的内径尺其长度 L 虽相同，当支承在(2/9)L 处时,都能使内径尺的实测值误差符合要求。
但支承点稍有不同，其直线度变化值就较大。
所以在国家标准中将支承位置移到最大支承距离位置时的直线度变化值称为“自然挠度”。
为保证刚性，在我国国家标准中规定了内径尺的支承点要在2/9)L 处和在离端面 200 mm 处，即测量时变化量最小。
并将内径尺每转 90?检 (测一次，其示值误差均不应超过要求。
2 误差分析内径尺直接测量误差包括受力变形误差、温度误差和一般测量所具有的示值误差，读数瞄准误差、接触误差和测长机的对零误差。
影响内径尺测量误差，主要因素为受力变形误差、温度误差。
“从加到乘”评析静安区教育学院特级教师曹培英万航渡路小学副校长张敏万航渡路小学罗杰张:“从加到乘”这节课,罗杰老师上得比较轻松,感觉效果蛮好的。
我们发现罗老师的教学设计很有特色,把教材用活了。
你能不能介绍一下,这节课的教学设计思路和教学活动安排的意图。
小学数学学科德育研究曹培英PPT课件
案例5：抛硬币等古典概率的等可能性
怎样理解？
怎样实验？
选择二： 提出问题：
袋里有红、黑10个球，哪种球多？ 进行实验（摸后放回）
根据记录数据推测 如：摸20次，各组最少4次红球，最多8次红球 推测：红球少，约占1/5～2/5 倒出来看（检验） 感受：随机性；统计推断；误差
二、数学学科德育的内涵
1.科学精神 案例6：2人平均分月饼
对立统一思想
量质互变思想
整数与分数 正数与负数 相交与平行 …… 比分：进2球失2球？ 楼层： 中国没有0层 3－1＝2，√ 3－(-1)＝4 ≠3 ？
8个，每人4个 4个，每人2个 2个，每人1个 1个，每人？ 量质转化的关节点
案例7：正数与负数
14×12＝12×7×2
是否要统一优化？
14×12＝7×2×4×3 怎样启发学生优化？
＝28×6
二、数学学科德育的内涵
1.科学精神
13
对立统一思想
×
√
已知与未知 案例4：两位数乘法（14×12）
竖式的实质：口算笔记的简便方式
多项式乘法(两项乘两项得四项)
10
④
10
2②
4
1 4 2× 4＝ 8
③
× 1 2 2×10＝ 20
用教师不理解的话语来代替已经理解的很好的概 念，这是一种误导！ ——郭华
二、数学学科德育的内涵
1.科学精神
立 足
小学数学学科德育研究
儿
童
彰
显
数
学
曹培英
立
德
树
人
一、概述
空间观念的研究-曹培英
过直线外一点画已知直线的垂线段→垂直线段最短
已知两边夹角画三角形
已知两角夹边画三角形
……
四、怎样发展小学生的空间观念
加强“画图”的重要意义：
小学生好动，画图顺应儿童特点 通过画图可以有效感知几何事实 获得关于几何公理的感性认识 加强“画图”的必要性： 小学阶段，有时间铺垫，却少有作为； 初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何 命题，只能一带而过。 能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙； 学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。 因此，客观上加大了两极分化。
立
足 儿
“空间观念”及其培养
童
彰
研究
显
数
学
回 归
曹培英
学
科
本
色
一、什么是空间观念
原来的描述（侧重“界定”，“是什么”）： 物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象。
现在的描述（侧重“表现”，“怎么样”）：
指根据物体特征抽象几何图形,根据几何图形想象所 描述的实际物体；想象物体方位和相互间的位置关系； 描述 图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。
（1）观察：选择对象，变换角度 （2）操作：学会画图，实验探究
再如：认识长方体；探究圆柱体积 通过操作实验→获得新知识 解决新问题
四、怎样发展小学生的空间观念
画图：
感知：
过两点画直线
→两点确定一条直线
过两点画线段
→两点之间线段最短
过直线外一点画已知直线的平行线→平行公理
过直线外一点画已知直线的垂线 →垂线的唯一性
又如：三角形的分类
研究角→研究边
↓
↓
内角和 三边关系
后续：……
四、怎样发展学生的空间观念
土方技术交底
技术交底记录本表由施工单位填写，交底单位与接受交底单位各保存一份。
“从加到乘”评析静安区教育学院特级教师曹培英万航渡路小学副校长张敏万航渡路小学罗杰张：“从加到乘”这节课，罗杰老师上得比较轻松，感觉效果蛮好的。
我们发现罗老师的教学设计很有特色，把教材用活了。
你能不能介绍一下，这节课的教学设计思路和教学活动安排的意图。
罗：“从加到乘”是数学新教材第三册第二单元中“乘法的引入”的第二课时。
这节课的主要教学目标是在上节课初步接触了几个几，会写连加算式的基础上，让学生懂得同数连加用乘法简便，会把同数连加的算式改写成乘法算式。
知道乘法算式怎么写、怎么读，以及乘法算式中各部分的名称。
这节课的教学设计，首先是进一步加工教材内容。
新课程理念强调不要一味地“教教材”，而是“用教材”。
“乘法的引入”这部分教材是由游乐园、几个几和从加到乘三部分组成的。
我将游乐园作为一个贯穿全课的情境，利用这个情境展开从加到乘的教学。
为此，我适当处理并拓展了教材内容。
在引入环节，借助课件让学生观察游乐园里划船的项目，数几个3来引出同数连加。
教材中是6个3，但现在的学生计算水平还是比较容易算出答案的。
于是，我一边引导学生数数有几个3，一边把6个3拓展到了10个3来进一步感知几个几。
这样，当学生要一口气报出10个3连加的算式时，当他们看到长长的板书时，明显地感到同数连加太繁了，造成一种强烈的冲突，他们迫切地想去找到用何种方法使同数连加的算式简便，为乘法的引入打好了基础。
其次是采用了自学的方法。
这节课中有关乘法的认识、读法、写法和各部分的名称，都是需要学生理解并掌握的。
我是用了看书自学的方式，让课本来告诉学生。
虽然，他们只有二年级，但是通过新教材一年多的学习，完全有能力独立看书理解。
通过课堂实际反馈，学生也的确具备了基本的自学能力。
还有就是让学生尝试把同数连加改写成乘法。
学生看书自学后，他们是否真正理解了呢？这时，关键是让学生交流，通过表达把这些知识内化。
小鹿的减法
师：小朋友们老师为你们带来了童话故事中的两位朋友，掌声把它们请出来。
（学生鼓掌）这是小鹿，獐子。
他们发生了怎样的故事呢？今天我们一起来学习课文。
请同学们跟着老师把课题写出来。
师：读一读课题。
生：读课题。
师：再来一次。
生：再读课题。
师：请同学们轻声读课文，多读几次，一边读一边把不懂的字、词划出来。
生：读课文，师：现在来展示一下你们的学习成果，这些词语都会读了吗？师：谁来展示一下，读一读。
指名学生读，有一个学生“剩”翘舌音读不准。
师：“剩”这个字是翘舌音，再读一次。
生：剩。
师：谁来挑战一下。
生：读生字。
师：他读得很谨慎，吐字很清楚，字音也很准确，掌声送给她。
大家来读一次。
生：齐读词语。
师：老师要增加难度了，把拼音去掉，你们还能不能读出来？男同学读一读。
生：男同学读。
师：谁也来试一试？生：读师：老师我要出绝招了，能把全部生字读出来吗？现在试一试。
生：读生字。
师：谁来试试？生：读声字。
师：（师出示“功”）你能组一下词吗？生：成功。
师：谁再来？生：用功。
师：谁再想试试生：武功。
师：（出示“桥”）你能组一下词吗？生：大桥。
师：你能用“大桥”说一句话吗？生：（不会造句）。
师：谁来造一下？生：小河旁边有一座大桥。
师：是小河旁还是小河上？生：小河上有一座大桥。
师：请同学们齐读一次。
生：齐读生字卡片。
师：现在你们有信心把课文读好了吗？生：有。
师：现在请你们自由读课文。
生：自由读课文。
师：谁知道课文讲了谁做了什么事？生：讲了小鹿想造桥，造成了桥。
师：你记得小鹿住在哪里了吗？师：注意看，老师要把他们的家展示出来了。
（简笔画）师：这是谁的家呀？在哪里？他想干什么？生：小鹿的家。
师：这又是谁的家呀？他的愿望是什么？生：獐子的家。
师：那小鹿究竟是怎样实现他的愿望的。
请同学们读一读第二自然段。
生：读课文。
师：小鹿先干什么？生：他从太阳升起就干活。
师：他在造桥之前做什么？生：下定决心。
师：看来下定决心非常重要。
有了决心才会有行动，所以小鹿才会忙起来。
数据分析观念(上)曹培英解读
跨越断层，走出误区：《数学课程标准》核心词的实践解读之五上海市静安区教育学院曹培英随着社会信息化程度的日益提高，人们每天都要面对来自网络、新闻媒体等渠道的各种数据信息，我们的日常生活、学习与工作都比过去更加依赖形形色色的数据信息。
因此，统计知识的习得与数据分析观念的形成，已成为当今社会每一位公民不可或缺的基本素养。
正是在这一社会发展的大背景下，我国1998年颁布的本科专业目录中，统计学上升为与数学、物理学、化学等学科并列的一级学科，表明国家对统计学的重视与重新定位。
2001 年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将原来的“统计初步知识”拓展为“统计与概率”，成为小学数学课程内容重新归并后的四个学习领域之一，并提出了发展学生统计观念的培养目标。
在此基础上，《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》进一步将“统计观念”修改为“数据分析观念”。
一、“统计观念”与“数据分析观念”从名词本身看，“统计观念”涵盖“数据分析观念”，前者更概括，后者更具体。
从统计学科的研究内容看，统计学是一门收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
由此可以认为，“数据分析是统计的核心”，将“统计观念”修改为“数据分析观念”，突显了统计的研究对象。
从教学工作现状看，有研究显示：针对“您认为小学统计学习中，最重要的是什么?”以及“您如何定位小学统计课程?”两访谈问题，“我们的小学数学教师都从统计的应用、统计图表、统计活动的视角出发，阐述自己的观点，然而对‘数据分析’和‘随机观念’却没有人提及”1。
这与笔者近年来有关工作中的感受与评估基本一致。
可见，将“统计观念”表述为“数据分析观念”，在一定程度上，有利于教师更深入地理解、把握“统计观念”的实质。
从名词的界定看，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
曹培英：“图形与变换”教学漫谈之欧阳语创编
“图形与变换”教学漫谈曹培英一、引进的背景为什么要在基础教育阶段引进图形变换的内容，怎样认识这一引进的必要性和可能性？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。
我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上所写成的不朽名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。
如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。
其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。
但改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。
有人称之为“不倒翁现象”。
这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。
所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。
它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。
①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。
那么，怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？一条途径是教学法方面的改进。
首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。
如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。
其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。
另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。
其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（Klein，1849—1925）在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫做“爱尔兰根纲领”的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。
曹培英老师课件[1]+2
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三、空间观念
怎样发展学生的空间观念？
例如，画图：
感知
过两点画直线 过两点画线段
→两点确定一条直线 →两点之间线段最短
过直线外一点画已知直线的平行线→平行公理 过直线外一点画已知直线的垂线 →垂线的唯一性 过直线外一点画已知直线的垂线段→垂直线段最短
……
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三、空间观念
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三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系
垂直、平行概念中的“要素” 相交成直角的两条直线互相垂直
同一平面内不相交的两条直线互相平行
以双杠为例：
1＋ 3＋2＋1
先讨论平行：
1＋4 ＋2
再讨论垂直：
42＋42
平行 同一平面
垂直
同一平面 两个平面(异面垂精选直可编)辑ppt
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表 达和进行数学思考的重要形式。
符号：指具有某种代表意义的记号、标识； 它是意义的载体，精神的外化呈现。
数学的符号：“标识”的内容是特殊的； 它的“作用”更具特殊性。
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二、符号意识
培养符号意识误区的主要表现： Ø生活中的符号混同数学符号
社会已经先于学校培养了孩子的符号意识 Ø规律的表征混同符号意识
……
1
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二、符号意识
怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？ 一是数字符号，
二是运算符号，如：
数学符号：被感知的直观形式与内在思想， 高度和谐、统一。
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二、符号意识
曹培英小学数学学科核心素养培育的基本路径(课程教材教法版)
小学数学学科核心素养及其培育的基本路径曹培英摘要：小学数学学科核心素养体系由两个层面（数学思想方法、数学内容领域）、六项素养（抽象、推理、模型思想、运算能力、空间观念、数据分析观念）构成。
落实数学学科核心素养的培育路径主要有：不同内容领域各有侧重的培育路径，从整体到局部“上挂下联”的培育路径，以及基于课程教材的两条基本培育路径。
关键词：小学数学；核心素养；培育；路径一、小学数学学科的核心素养1.何为学科核心素养关于核心素养，北京师范大学林崇德教授领衔的课题组在《中国学生发展核心素养》的总体框架中已有普适性界定。
关于学科核心素养，目前尚处探索阶段，现在给出学科核心素养的定义还为时过早。
可以借鉴数学对于不加定义的“原名”，用公理刻画其特征的方法，暂且将学科核心素养视为“原名”，寻找它必须具备且容易达成共识的特征，来刻画学科核心素的内涵。
已有一些趋同的认识，可以给我们带来启发。
如：“素养”比“能力”含义更为广泛；素养是知识、能力、态度的统整。
又如：核心素养具有整体性、综合性和系统连贯性，是所有人为了适应个人终身发展和社会发展都需要的必备素养，是各种素养中最关键、最重要的共同素养；核心素养应当少而精，有必要将核心素养与由核心素养衍生出来的其他素养区别开来。
在此基础上，经反复研究、筛选，本人以为一门学科的核心素养必须同时满足以下三项特征（也可以说“条件”“要求”或“辨别标准”）：[1]其一，必须体现学科本质。
真正处于学科核心位置的素养必然地反映了学科的本质，这是学科核心素养非常显然的也是最为基本的特征。
其二，必须具有普适性意义。
必须澄清，学科核心素养不是针对学科专业人才的特殊需要，而是适用于普遍情境和所有人的共同素养，因而必须具有普适性的一般意义。
其三，必须承载不可替代的学科育人价值。
某一学科的核心素养必然会在其他学科中也有表现，但本学科具有其他学科无法企及的培育优势。
以抽象素养为例：首先，数学的一切研究对象都是抽象得来的，没有抽象就没有数学，也没有数学的学习。
城市病表现及其治理
城市病表现及其治理“城市病”表现及其治理城市病是城市化进程中因城市的盲目扩张、违背自然规律搞建设而表现出来的与城市发展不协调的失衡和无序现象，它造成了资源的巨大浪费、居民生活质量下降和经济发展成本上升，进而导致城市竞争力丧失，阻碍城市可持续发展。
治理城市病是落实科学发展观，建设环境友好型、资源节约型社会的有效途径，是实现经济社会可持续发展的必然选择。
要解决这些问题，必须要做到:1、树立规划权威，发挥规划的调控作用。
2、统筹兼顾抓规划，立足长远搞建设。
3、立足本地实际，实施增绿扩绿工程。
4、加强污染治理，构建城市生态经济。
5、加强城市土地资源管理，国有土地市场机制，土地利用规划与城市总体规划相衔接，从源头上治理规划管理失控问题。
(二)联系实际例子在城市中，“马路拉链”的现象随处可见，严重地影响了城市的整体形象。
我国城市地下管网有给水、污水、雨水、弱电、供电、供热、供气等七种管线，这些管线所在单位的经济状况、时间要求和管线技术标准各不相同，受城市发展条件限制，能同时规划、同步施工，而且管线所属单位按各自所需，分阶段、分路段挖路施工，使得城市道路经常“开膛破肚”，既影响城市整体形象，给市民生活带来极大不便，又浪费大量资金。
(三)小组讨论改革开放以来，特别是近10年，许多城市火柴盒般的高大建筑密集，宛若“混凝土森林”。
城市不断变大、变新、变洋，一批批低矮破旧的房屋被拆除，一幢幢高楼大厦拔地而起;大广场、宽马路、豪华办公楼、欧化建筑席卷全国，但一些中小城市不结合本地人文、历史地理、景物等实际来制定规划，而是贪大求洋，舍近求远，搞大而全、高而空的规划，不结合自己经济实力、社会发展、生态环境等因素搞规划，小城市模仿大城市，内陆城市模仿沿海城市，重在外在建设，而功能设施却往往配套不全。
形成现有“城市病”的主要原因有以下几点:1、规划滞后于建设。
2、城市建设标准低，城市生态环境差。
3、环境污染严重，居民生产生活环境恶劣。
PPP会话建立过程及CHAP验证过程
PPP 会话建立过程一个完整的ppp 会话建立大体需要以下三步：1、链路建立阶段：在这个阶段，运行PPP 的设备会发送LCP 报文来检测链路的可用情况，如果链路可用则会成功建立链路，否则链路建立失败。
2、验证阶段（可选）：链路成功建立后，根据PPP 帧中的验证选项来决定是否验证。
如果需要验证，则开始PPP 或者CHAP 验证，验证成功后开始网络协商阶段。
3、网络层协商阶段：运行PPP 的双方发送NCP 报文来选择并配置网络层协议，双方会协商彼此使用的网络层协议（例如是IP 或者是IPX ），同时也会选择对应的网络层地址（如IP 地址或IPX 地址）。
如果协商通过则PPP 链路建立成功。
PPP 会话流程PPP 会话流PSTN/ISTN ROUTER-A ROUTER-B 链路的建立和配置协调阶段 可选的验证阶段，选择PAP 或者CHAP 网络层协议配置协商阶段Establish 阶段 Dead 阶段 链路建立失败 Authenticate 阶段 Network 阶段Terminate 阶段LCP Opened验证失败 验证通过或 无验证 关闭 Down详细的PPP会话建立流程如下：1、当物理层不可用时，PPP链路处于Dead阶段，链路必须从这个阶段开始和结束。
2、当物理层可用是进入Establish阶段。
PPP链路在Establish阶段进行LCP协商，协商的内容包括是否采用链路捆绑、使用哪种验证方式、最大传输单元等。
协商成功后LCP进入Opened状态，表示底层链路已经建立。
3、如果配置了验证，则进入Authenticate阶段，开始CHAP或者PPP验证。
4、如果验证失败则进入Terminate阶段，拆除链路，LCP状态转为Down；如果验证成功则进入Network阶段，有NCP协商网络层协议参数，此时LCP状态仍为Opened，而NCP状态从Initial转到Request。
5、NCP协商支持IPCP协商，IPCP协商主要包括双方的IP地址。
小学一年级数学PPT课件
❖ ◎ 会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位 置。
❖ ◎ 能在具体情境中，根据行、列确定物体的位置。
教学难点: 感受“左右”的相对性,确定物体的位置.
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四、怎样达成目标——活动中学习、交流中 提高、体验中升华。
义务教育课程标准实验教科书 数学一年级下册教材分析
海珠区教育发展中心 曾绮霞
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❖ 本册教学内容
❖ 数与代数： ⒉ 20以内的退位减法
❖
⒋ 100以内数的认识
❖
⒌ 认识人民币
❖
⒍ 100以内的加法和减法（一）
❖
⒎ 认识时间
❖
⒏ 找规律
❖ 空间与图形：⒈ 位置
❖
⒊ 图形的拼组
❖ 统计与概率：⒐ 统计
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三、教学重点和难点
❖ 教学重点： 100以内数的读法和写法、数的组成 教学难点:
1.数数到接近整十数时下一个整十数是多少。 2. 数位的意义。
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学生独立判断。重点是理解位置的相对性。 ❖ ②“左右”要引导学生从以自我为中心过
渡到以自然物为标志进行辨别。
2. 适当把握教学要求。
3.要注意联系学生的生活实际。
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参考文章 曹培英 <小学数学教师>2006
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20
第二单元
20 以 内 的 退 位 减 法
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一、教学内容
❖ （2）在拼组活动中描述图形的变换。
❖ 在拼组活动中，应让学生说明是用什么形状的图形 拼成了什么新的图形，由此体会图形间的变换关系。
曹培英：从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想_曹培英_看图王
为 “四基” 之一。无疑，这是我国数学课程改革 迈出的重要一步。
可见，三十多年来，数学思想融入小学数学 课程，经历 了 从 内 容 渗 透 到 成 为 课 程 目 标 的 过程。
常生活到联系社会自然及其他学科。这些贯穿各 年级的教学策略原则，既是广大教师追求有效教 学长期实践经验的总结提炼，也是三种基本思想 贯穿数学教育始终的客观反映。实践归纳与理论 思辨在这里得到了相互印证。
· ４２ ·
图３
例如，设想地球是一个表面光滑的球，有一 条很长的绳子，恰好绕地球赤道 （球的大圆） 一 周。把这根绳子再接长ｘ 米，绕着赤道悬在空 中，使姚明 （身 高 ２．２６ 米） 正 好 能 从 绳 圈 下 穿 过 （见图３）。［９］
设绳子原长２πｒ米，接长ｘ 米，由题意得 ２πｒ＋ｘ＝２π（ｒ＋２．２６）
国际上无论是由政府主导还是由民间组织推 动的核心素养架构或评价，都少不了数学素养或 素养的 数 学 领 域。 那 么， 数 学 的 核 心 素 养 有 哪 些？数学基 本 思 想 是 否 就 是 数 学 学 科 的 核 心 素 养？如果是，它们的学科育人价值何在？这些问 题，可以综合起来回答。
首先，抽象、推理和模型思想分别对应三种 具有一般意义的能力，即抽象能力、推理能力和 应用能 力， 因 而 并 非 数 学 学 科 的 独 门 秘 籍。 文 科、理科，凡是理论知识都有不同程度的抽象， 都有不同表现形式的从个别到一般或从一般到个 别以及从个别到个别的推理。同样，不仅数学学 科有数学模型，其他学科也有自己的模型，如物 理模型、化学模型等。因此可以认为，抽象、推 理和模型有着跨学科共同素养的特征。
蕉、猴与香蕉比多少，结果也是３＞２ （见图２）。 同样，猴 与 梨、 桃 与 梨 比， 也 是 ３＜４。 这 一 概 括对儿童来说，又是进一步的抽象。
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二、符号意识
对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？ 一是数字符号，如：
„„
1
二、符号意识
怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？ 一是数字符号， 二是运算符号，如：
数学符号：被感知的直观形式与内在思想， 高度和谐、统一。
二、符号意识
怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？ 一是数字符号， 二是运算符号， 三是关系符号，如： “再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等 符号了” ——列科尔德 诸如此类，举不胜举。 可见：数学符号如同“象形文字”， 简洁、生动、形象、传神。 符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。 任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！
2 1.9
很少想象盒与礼物的实际大小
3.8
4.5
3.5 4.8
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(3)从熟悉标准图形到熟悉变式图形 图形的认识：
标准图形→变式图形
“标准”与“变式”是相对的
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(4)从直观辨认图形到语言描述特征 例如：识别梯形→说出梯形特征 梯子形状的图形→只有一组对边平行的四边形 四边形→平行 （幼儿园）→(小学高年级)
二、符号意识
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、 数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推 理，得到的结论具有一般性。 建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表 达和进行数学思考的重要形式。 符号：指具有某种代表意义的记号、标识； 它是意义的载体，精神的外化呈现。 数学的符号：“标识”的内容是特殊的； 它的“作用”更具特殊性。
跨 越 断 层 走 出 误 区
数学课程标准解读：
“十个核心词”的实践研究 曹培英
引言
义务教育数学课程标准（2011年版） 最大的改变： 1.“双基”→“四基” 数学的基础知识、基本技能、基本思想、基 本活动经验 意味着： 我国数学教育优良传统得到肯定 理解＋记忆；铺垫＋变式„„ 回归“结果”与“过程”并重的理念 “但求曾经拥有，不求天长地久” „„
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形， 根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的 方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化； 依据语言的描述画出图形等。 例如：指认圆柱高 空间观念发展规律 空间知觉（表象的基础） ↓ 空间观念（表象的形成） ↓ 空间想象（表象的改造）
实物指认 图形指认
一、数感
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果 估计等方面的感悟。 建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解 或表述具体情境中的数量关系。 已有研究认为数感是“直觉”、“敏感”、“能力” „„ 其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似„„ 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。 教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的 大小比较„„都有助于形成数感。 看不到新概念背后的实在之物，就容易„„
①如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样 的小正方体最多有几个？ „„ ②如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4个，那 么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？
图形
变换
名称
性质
空间观念 （联想）
实际事物
三、空间观念
图形 变换 名称 性质
空间观念 （联想） 实际事物
星 河 街
三、空间观念
图形 变换 名称 性质
空间观念 （联想） 实际事物 长方形、一片 花瓣旋转„
三、空间观念
图形 变换 名称 性质
空间观念 （联想） 实际事物 6个面、12条„
三、空间观念
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(5)从使用日常语言到使用几何语言 如“高”： 生活中的高→几何图形的高 身高、树高→平行四边形的高 (平行线间的距离) →三角形的高 (点到直线的距离) →圆柱的高 (平行平面的距离) →圆锥的高 (点到平面的距离)
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
剖面指认 三种水平既递进发展，又交错共存
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(1)从感知强成分到感知弱成分
强弱具有相对性,特殊性
如：形状；边的长短是强成分；
关系；角的大小是弱成分。
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(1)从感知强成份到感知弱成份
强弱具有相对性,特殊性
如：形状；边的长短是强成分；
首先，数感是数出来的！
一、数感
简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。 有没有不依赖量的数感？ 请看读数的例子： 2 3000006000 三十亿零六千 30600， 30060， 30006 3 三万零六百 三万零六十 三万零六 6789读作( 6 )千 ( 7 ) 百 ( 8 ) 十 ( 9 ) ； 6789由( )个千，( )个百，( )个十和( )个一组成. 6789=( )×1000＋( )×100＋( )×10＋( ) 分数也能读出数感，如“2/3什么意思？” “2/3的意思就是三分之二”
二、符号意识
对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。 “优势”在于简洁吗？
(a+b)c=ac+bc
a
b
c
“优势”不仅在于“简洁”、还在于“准确”、“无 歧义” 更在于由特殊到一般„„
二、符号意识
对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。 “使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一 般性” 你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告 诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？ 设：所想的数为x，则 则（ 2x＋7)×3－21 ＝6x＋21－21 ＝6 x 不引进符号与字母，就没有今天的数学！ 如： b b 2 4ac 2 ax bx c 0 x
过两点画线段
感知
→两点确定一条直线 →两点之间线段最短
过直线外一点画已知直线的平行线→平行公理 过直线外一点画已知直线的垂线 →垂线的唯一性 过直线外一点画已知直线的垂线段→垂直线段最短
„„
三、空间观念
怎样发展学生的空间观念？
加强“操作”（动作直观）的重要意义：
即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作 实验依然是行之有效的教学对策。
其次，读数可以也应该读出数感！
一、数感
回溯以往相关教学策略： 1.在数概念教学中培养数感 如:借助几何直观引入计数单位 千 个 十 百
一、数感
(1)看图写数。
( 233)
(数概念直观化的练习)
…
“多样化”旨在“各取所 需”， 适应不同学生！
海平面0米 甲湖 水深 20米
( 233) 乙湖 水深 60米 20 米
数感可以算出来、估出来。 1小时行 小学数学历来重视数感培养，从“自发”走向了“自觉”
一、数感
3.在解决实际问题中激活数感
一个典型案例：
●
●
1080稍大于1000； 1080超过2000的一半，都是真正的数感，与量无关
72×15＝1080（米）
一、数感
总而言之
数感：最朴实的数学素养， 就是关于数的感觉与理解。 数感可以： 数出来 读出来 算出来 估出来 用出来 „„
引言
义务教育数学课程标准（2011年版） 最大的改变： 2.“六个核心词”→“十个核心词” 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 即便是小学数学的知识也并非都能实际应用 例如：量角 实乃“屠龙之技”„„ 又如：人的一生中 使用三角形面积公式的可能性＜0.5% 患上各种程度糖尿病的可能性＞50% 所以，联系日常生活的目的主要是帮助建构知 识的意义，促进理解；还必须为进一步学习着想
三、空间观念
小学生空间观念发展的若干特点
(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系
一个包装盒，如果从里面长3.8分米，宽2分米，容积34.2 立方分米。小胖想用它来装一件长3.5分米，宽1.9分米,高4.8 分米的礼物,是否装得下？
3.5×1.9×4.8＝31.92 ＜34. 2 答：装得下。
关注长与长、宽与宽、高与高的关系 34.2÷3.8÷2＝4.5 ＜4. 8
一、数感
认知偏差： 全新概念，从头摸索（割裂历史） „„ 实践误区： 先估再数，看谁估的准
教学100以内数的认识：估豆子
教学1000以内数的认识：估纸 加强应用，培养现实的数感
教学整万数的认识：估人民币
„„
一、数感
认知偏差： 全新概念，从头摸索（割裂历史） „„ 实践误区： 先估再数，看谁估的准 加强应用，培养现实的数感 问题所在： 数感、量感不分 以特殊的量为载体 有效案例：
( 233)
甲湖水面高度记作0米，甲湖水底高度记作( -20)米；乙湖是堰 塞湖，水底高度记作( +20)米，水面高度记作( +多少人吗? 大约1000人, 想一想,( )个这样学校的学生集中在一起,约一万人. （数概念生活化的练习） (3)读一读，填一填.（数概念形式化的练习） 如前面的填空练习
引言
义务教育数学课程标准（2011年版） 最大的改变： 2.“六个核心词”→“十个核心词” 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维 与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词) 义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观 念、统计观念、应用意识、推理能力 义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间 观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推 理能力、模型思想、应用意识、创新意识
二、符号意识
培养符号意识误区的主要表现： 生活中的符号混同数学符号 社会已经先于学校培养了孩子的符号意识 规律的表征混同符号意识 其他学科先于数学发展了学生的符号表征 一概让学生自创符号 自创之后更应了解为什么全人类沿用这些符号？ „„ 红 绿 红 绿 红 绿 „„ 1 2 1 2 1 2 „„ 只是记号 ○ △ ○ △ ○ △ „„ „„