传热学第四章
《传热学》课后习题答案-第四章
t k i，j 1 t k i，j t k i，j 1 t k i , j r r rj rj r 2 r 2 rj r
并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、 一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却， 底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温 度的变化， 取中心角为 1rad 的区域来研究 （如本题附图所示） 。 已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度， 金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1） ， （M,1）(M,n)及 （M,N） 的离散方程式。 在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。 解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点（1，1） ：
， 离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指 出其稳定性条件（ x y) 。 解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
4.3636t 2 2.53t1 1.8336t f
t2
2.53t f 1.8336t f
2t 2t t a x 2 y 2
Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根
n (n 1,2,6) :
n a Fo 2 0.2 并用计算机查明，当 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起 的误差。 解： n Bi 0.1 1.0 10
tan n
第四章
复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似， 为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数 用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方 程的异同与优劣。 5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之． 6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？ 7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解 时是否因为初场的假设不合适而造成？
第四章传热学
4. 非稳态导热4.1 知识结构1. 非稳态导热的特点；2. （恒温介质、第三类边界条件）一维分析解求解方法（分离变量，特解叠加）及解的形式（无穷级数求和）；3. 解的准则方程形式，各准则（无量纲过余温度、无量纲尺度、傅里叶准则、毕渥准则）的定义式及其物理涵义； 4. 查诺谟图求解方法；5. 多维问题的解(几个一维问题解（无量纲过余温度）的乘积)；6. 集总参数法应用的条件和解的形式；7. 半无限大物体的非稳态导热。
4.2 重点内容剖析4.2.1 概述在设备启动、停车、或间歇运行等过程中，温度场随时间发生变化，热流也随时间发生变化，这样的过程称为非稳态导热。
一．过程特点分类1. 周期性非稳态导热（比较复杂，本书不做研究） 如地球表面受日照的情况 （周期为24小时）对于内燃机气缸壁受燃气冲刷的情况，周期为几分之一秒，温度波动只在很浅的表层，一般作为稳态处理。
2. 非周期性非稳态导热：（趋于稳态的过程，非稳态 稳态） 例子：如图4-1，一个无限大平板，初始温度均匀，某一时刻左壁面突然受到一恒温热源的加热，分析平壁内非稳态温度场的变化过程： (1) 存在两个阶段初始阶段：温度变化到达右壁面之前（如曲线A-C-D ），右侧不参与换热，此时物体内分为两个区间，非稳态导热规律控制区A-C 和初始温度区C-D 。
正规状况阶段：温度变化到达右壁面之后，右侧参与换热，初始温度分布的tx1t 0t ABCDEF图4-1 非稳态导热过程的温度变化影响逐渐消失。
(2) 热流方向上热流量处处不等因为物体各处温度随时间变化而引起内能的变化，在热量传递路径中，一部分热量要用于（或来源于）这些内能，所以热流方向上的热流量处处不等。
二. 研究任务1. 确定物体内部某点达到预定温度所需时间以及该期间所需供给或取走的热量，以便合理拟定加热和冷却的工艺条件，正确选择传热工质；2. 计算某一时刻物体内的温度场及温度场随时间和空间的变化率，以便校核部件所承受的热应力，并根据它制定热工设备的快速启动与安全操作规程。
传热学第4章ppt课件
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络 线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区 域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域 的温度； （4）建立节点温度代数方程组； （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温 度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则 修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。 目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元 法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广 泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。
2 t t 2 t t m 1 , n m 1 , n m , n 2 2 xm ( Δ) x , n
中心差分格式
5
同样可得y方向得二阶偏导数
ห้องสมุดไป่ตู้
对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为
t t 2 t t m ,n 1 m ,n 1 m ,n 2 2 ym ( Δ) y , n
取x = y，得
2) 热平衡法 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来 建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 对于无内热源的二维稳态导热， 内部节点( m,n )所代表的元体在导 热过程中的热平衡
0 w e s n
t t t t m 1 , n m , n m 1 , n m , n y y x x t t t t m , n 1 m , n m , n 1 m , n 选择x=y x x 0 y y 7
传热学第4章
数值解法：
有限差分法（finite-difference）
有限元法(finite-element) 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
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第4章 非稳态导热的计算与分析
本章着重讨论非稳态导热问题 ——非稳态导热的基本概念 ——对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程 ——最简单的非稳态导热问题－集总热容系统
4
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第4章 非稳态导热的计算与分析
4.1 概述
非稳态导热的分类： ——周期性的非稳态导热（periodic unsteady heat conduction）：由于边界条件（或内热源）随时间呈周 期性变化，使物体内的温度场也随时间按周期性规律变 化，这种状况通常称为准稳态
19
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4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
整个瞬态导热过程可以分为两个阶段： 初始阶段（initial regime）：也称为非正规状况阶段，
指在穿透时刻之前阶段，此时平壁内的温度分布主要受 初始温度分布t0的影响。
正规状况阶段（regular regime）：穿透时刻之后，非稳态 过程进行到一定的程度，平壁初始温度分布的影响逐渐消失，此 后不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响。这个阶段的非 稳态导热称为正规状况阶段。
第4章 非稳本态节导内热容的结计束 算与分析
1
• 稳态导热是一种理想化的情况 • 受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳 态导热是不存在的 • 只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成 的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热
2
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• 生活和工程中还存在着大量的不能简化为稳态导热的现 象和问题，其中物体内的温度明显随时间而变化 • ——冷冻食品的解冻过程 • ——烘烤食品（花生米、蛋糕等点心） • ——热处理工艺中金属在高温火炉内的加热以及加热后 在水或空气中的冷却过程等 • ——焖井过程热量在地层内的扩散过程
传热学第4章对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述 工程应用背景
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述
热对流 对流换热：
计算关系式
Φ hAtw tf
Φ hAtf tw
本章的主要任务：确定 h 的具体表达式
——请千万小心，步步都是富贵险中求。殊不知多少江湖英豪；名门侠女都 曾栽在这块看似山青湖静，实则风阴涛涌的领域！
第二节：对流换热问题的数学描写—对流换热微分方程组
二维、常物性、不可压、稳态
u v 0 x y
u
u x
v
u y
Fx
1
p x
2u x 2
2u y 2
u
v x
v
v y
Fy
1
p y
2v x 2
2v y 2
u
t x
v
t y
a
2t x 2
2t y 2
t
h tw t y w
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述 求h主要有以下基本途径：
Φ h At w t f
h
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述
影响对流换热的基本因素： 流动因素、几何因素和物性参数 流动因素 a 流动起因 自然对流(Natural Convection)—— 强迫对流(Forced Convection)—— b 流动状态 层流(Laminar Flow)—— 紊流(Turbulent Flow)—— c 流体有无相变(Phase Change) 凝结换热(Condensation Heat Transfer) 沸腾换热(Boiling Heat Transfer)
传热学第四章
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布；b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
（1）温度场：【如图4-1a）所示】 ①首先，紧挨高温表面部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的温度t0，如图中曲线FBC所示； ②其次，随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大， 以致在一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高， 如图中曲线FC、FD所示； ③最后，达到一个新的稳态导热时，温度分布保持恒定， 如图中曲线FE所示。（λ为常数时，FE 为直线。）
t f ( x, y, z, )
dt （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率： d
（4）某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题，必须首先求出： 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义（P53）
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如，锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热； 又如，在冶金、热处理和热加工等过程中，工件被加热或冷却 时的导热； 再有，大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见，研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸，详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi （P55）
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸
工程热力学与传热学 第四章对流换热
从公式可知，要计算热流量，温度及面积比较容易得到，
主要是如何求得对流换热系数α，这是研究对流换热的主要任
务之一。
确定α；
➢对流换热的任务 揭示α与其影响因素的内在关系；
增强换热的措施。
➢研究对流换热的方法 ➢ 分析法 ➢ 实验法
➢ 比拟法 ➢ 数值法
➢ 分析法：对描写某一类对流换热问题的偏微分方程及相应的定 解条件进行数学求解，从而获得速度场和温度场的分析解的方法。
➢关于速度边界层的几个要点
(1) 边界层厚度 与壁的定型尺寸L相比极小， << L
(2) 边界层内存在较大的速度梯度
(3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁 面处仍有层流特征，粘性底层（层流底层）
(4) 流场可以划分为边界层区与主流区，主流区 的流体当作理想流体处理
热边界层
➢定义
当流体流过平板而平板的 温度tw与来流流体的温度t∞不相 等时，在壁面上方也能形成温 度发生显著变化的薄层，常称 0 为热边界层。
：流动边界层厚度 u 0.99u
t∞ u
δt δ
tw
x
l 如，空气外掠平
板u=10m/s：
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
➢速度边界层的形成及发展过程
紊流核心
临界距边离界xc层：从层流开始向紊流过渡的距离。其大小取决
于流体的物性、固体壁面的粗糙度等几何因素以及来流的稳定
相变换热：凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
4、流体的物理性质
流体内部和流体与壁面间导热热阻小 c 单位体积流体能携带更多能量
有碍流体流动，不利于热对流
自然对流换热增强
体胀系数：
1
(
传热和传质基本原理-----第四章-三传类比
相当于空气的相对湿度为30%。
38
4.5 边界层类比
流体流动的控制方程是非线性的偏微分方程组，处理 非线性偏微分方程依然是当今科学界的一大难题
实际工程问题：靠近固体 壁面的一薄层流体速度变 化较大，而其余部分速度 梯度很小
➢ 远离固体壁面，视为理想流 体－－欧拉方程、伯努利方程
➢ 靠近固体壁面的一薄层流体， 进行控制方程的简化－－流动 边界层
27
❖ 在薄层内取一微元体，那么进入微元体的热流为 由温度梯度引起的导热热流、由进入微元体的传 递组分本身具有的焓。
稳定状态时，微元体处于热平衡，满足下列关系式：
令
无因次数为传质阿克曼修正
系数，表示传质速率的大小、
方向对传热的影响。
28
得 边界条件为
令
得方程的解为：
代入边界条件，最后得到流体在薄层内的温度分别为：
水蒸 汽的汽化潜热r=2463.1kJ/kg，Sc=0.6.,Pr=0.7。 试计算干空气的温度。
2.试计算空气沿水面流动时的对流质交换系数hm和每小时从 水面上蒸发的水量。已知空气的流速u=3m/s，沿气流方向
的
水面长度l=0.3m，水面的温度为15 ℃，空气的温度20℃，
空气的总压力1.013*105Pa，其中水蒸汽分压力p2=701Pa，
➢边界层厚度
1904年普朗特首先提出
39
4.5.1 边界层理论的基本概念
边界层的定义
流体在绕过固体壁面流动时，紧 靠固体壁面形成速度梯度较大的 流体薄层称为流动边界层
流速相当于主流区速度的0.99处到固 体壁面间的距离定义为边界层的厚度
边界层的形成与特点 Re vl
平板绕流
Re x
v0 x
传热学4第四章
第四章 导热数值解法基础第一节 建立离散方程的方法一、区域和时间的离散化图4-1 二维物体中的网格二、建立离散方程的方法 1、泰勒级数展开法 +∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=+!3!23,332,22,,,1x x t x x t x x t t t j i j i j i ji j i … （1） ()x x t t x t j i j i ji ∆+∆-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+0,,1, （4-1） +∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=-!3!23,332,22,,,1x x t x x t x x t t t ji j i j i ji j i … （2） ()x x t t x t j i j i ji ∆+∆-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-0,1,, （4-2） ()2,1,1,02x x t t x t j i j i ji ∆+∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+ （4-3）()22,1,,1,2202x x t t t x tj i j i j i ji ∆+∆+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+ （4-4） ()221,,1,,2202y y t t t y tj i j i j i ji ∆+∆+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+ （4-5）02221,,1,2,1,,1=∆+-+∆+--+-+yt t t xt t t j i j i j i ji j i j i （4-6）2、热平衡法图4-2 二维网格单元的能量平衡1,,1⨯∆∆-=Φ-y xt t ji j i LP λ 1,,1⨯∆∆-=Φ+y xt t ji j i P R λ1,1,⨯∆∆-=Φ+x yt t ji j i P T λ Φ∆∆B P i j i jt t yx =-⨯-λ,,11ΦΦΦΦLP R P T P B P +++=0 ()()λλ∆∆∆∆y x t t t xyt t t i j i j i j i j i j i j +-+--++-+=1111220,,,,,, （4-7）第二节 稳态导热的数值计算一、内节点离散方程的建立t t t t t i j i j i j i j i j +-+-+++-=111140,,,,,()t t t t t i j i j i j i j i j ,,,,,=++++-+-141111 （4-8）二、边界节点离散方程的建立图4-3 第三类边界条件的边界节点λλλt t x y t t y x t t y x q y i j i ji j i j i j i j w --+-+-+-+=111220,,,,,,∆∆∆∆∆∆∆t t t t xq i j i j i j i j w ,,,,=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪--+1422111∆λ （4-9a ） ()q h t t w f i j =-,()1,,1,1,2-2220i j i j i j i j f h x h x t t t t t λλ--+∆∆⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（4-9b ）节 点 方 程 式 表4-1三、节点离散方程组的求解 方程组可以写为下列形式t a t a t 1111122=++…++a t c n n 11 t a t a t 2211222=++…++a t c n n 22… （4-10）t a t a t n n n =++1122…++a t c nn n n t a t c i i j j nj i =+=∑,1 i =1，2，…nk i k i t t -+1m a x≤ε k iki k i t t t -+1m a x ≤ε （4-11）t a t a t k k k 212111222++=++…a t n nk2+c 2 t a t a t a t k k k k 3131113221333+++=+++…++a t c n n k33t a t a t n k n k n k +++=++1111221…+++--+a t a t c n n n k n n n k n ,,111图4－6 例4－2 程序框图第三节 非稳态导热的数值计算一、显式离散格式图4-7 一维非稳态导热的空间和时间划分22x ta t ∂∂=∂∂τ （1） 211,222x t t t x tk i k i k i ki ∆+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+- （2） ττ∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+k i k i ki t t t 1, （3）t t a t t t x i k i k i k i k i k +-+-=-+11122∆∆τ ()t a x t t a x t i k i k i kik +-+=++-⎛⎝ ⎫⎭⎪1211212∆∆∆∆ττ ()()t Fo t t Fo t i k i k i k i k +-+=++-11112 （4-12）a x ∆∆τ2≤12 Fo ≤12（4-13） t t t t i k i k i k i k +-+=+-111 （4）142-a x ∆∆τ≥ 0 Fo ≤ 14（4-14） 二、隐式离散格式ττ∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-1,k i k i ki t t t （5）t t a t t t xi k i k i k i k i k -=-+--+11122∆∆τ t t a t t t xi k i k i k i k i k +-++++-=-+11111122∆∆τ122+⎛⎝ ⎫⎭⎪a x ∆∆τt i k +1= a x ∆∆τ2()t t t i k i k i k-+++++1111 ()12+Fo t i k +1= Fo ()t t t i k i k i k -+++++1111（4-15） 三、边界节点离散方程的建立图4-8 非稳态导热第三类边界条件的示意图()2111211x t t c x t t tt h k k kk k kf∆∆-=∆---+τρλ()()k k k kfk k t t x c ttxh t t 111211221-∆∆=-∆+-+τλρλh xBi ∆λ=，Fox c 12=∆∆τλρ ()()t t Bi t t Fot t k k f k kk k 21111112-+-=-+ ()t Fo t Bit k kfk 1122+=+()+--1221BiFo Fo t k （4-16） 122--B i F o Fo ≥ 0 Fo ≤122Bi + （4-17）()1121212k kk t Fot Fo t +=+-（4-18）Fo ≤124Bi + （4-19）()21111211111x t t c x t t tt h k k k k k k f∆∆-=∆---+++++τρλ()()k k k k fk k t t x c ttxh tt1112111111221-∆∆=-∆+-+++++τλρλh xBi ∆λ=，Fox c 12=∆∆τλρ()()t t Bi t t Fot t k k fk k k k 211111111112+++++-+-=- ()()122112111++=+++++B i F o Fo t Fo t Bit t k k f k k（4-20）()()1211111+-+=+-+++Fo t Fo t t t i k i k i k i k （4-21）()()1111211222k k k k fB i F o F o t F ot B i t t +++++-+= （4-22）[]A []t = []c四、节点离散方程组的求解图4－9 例[4－4] 程序框图。
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
第五版传热学第四章
3.C＋＋ —— C plus plus，C语言的增强版，目前最常用的应用程序设计 语言，数值计算软件主要使用的语言。
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
物理问题的数值求解过程
优点——无条件稳定 缺点——不可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算 (k+1)Δ τ 时刻温度分布
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四节 常用算法语言和计算软件简介
一、常用算法语言
1.FORTRAN语言 ——Formula Translation，数值计算领域所使用的主要语言。
2.C语言 ——将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合 起来的应用程序设计语言。
k k k k ti Fo ti 1 ti 1 1 2 Foti
优点——可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算(k+1)Δ τ 时刻温度分布 缺点——选择Δ x和 Δ τ 时必须满足稳定性条件 a a 1 或 1 2 0 2 2 x x 2
第三节 非稳态导热的数值计算
研究对象——一维非稳态导热问题 一、显式差分格式
t 2t a x 2
热工基础传热学
w/(m·k)，与物体性质、 温度有关，各向同性与各向异 性之别。 热流密度：
q=Φ/A= λΔt /δ
二、热对流
1、特征：（1）物体相互接触； （2）各部分之间发生相对位移；
（3）依靠微观离子热运动。 （4）固体—流体、 流体—流体 2、热流量与热流密度 热流量：牛顿冷却公式
第四章 热量传递的基本原理
第一节 热量传递的三种基本方式
传热的三种不同形式:热传导、热对流、 热辐射。 一、热传导
1、特征：（1）物体相互接触； （2）各部分之间不发生相对位移； （3）依靠微观离子热运动。
（4）固体—固体、固体—流体、 流 体—流体
2、热流量与热流密度 热流量： Φ= λ AΔt /δ
φ
y
x
c t
1 r t
r r r
1 r2
t
t
.
z z
球坐标系里导热微分方程：
z
t(r,φ,θ) θ
φ
y
x
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin 2
t
r
2
1
sin
sin
t
.
2、求解导热微分方程的定解条件
（1）第一类边界条件：已知边界上的温度
例如：tw=const tw=f1(τ)
一维稳态温度场
τ≠const t=f (x,y,z,τ) 非稳态温度场
等温线和等温面
2、温度梯度
t-Δt t t+Δt
lim t t
gradt n
n
n0 n n
q
n
3、傅立叶定律——导热基本定律
传热学第四章
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
传热学第四章
15
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
tm-1,n
tm,n
6
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n) N
n
y
y
x x
m
传热学第四章
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
7
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
方程 离散化
传热学第四章
5
2 例题条件
y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
传热学第四章
传热学第四章
9
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
同样可得：
截断误差
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
《传热学》第四章复习题答案
《传热学（第四版）》第四章复习题答案1.试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
答：基本思想：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
步骤：①建立控制方程及定解条件；②区域离散化；③建立物理量的代数方程；④用迭代法求解时，设立迭代初场；⑤求解代数方程组；⑥解的分析。
2.试说明用热平衡法对节点建立温度离散方程的基本思想。
答：对以节点所代表的元体用傅立叶定律直接写出其能量守恒表达式，得到以元体为研究对象的传热代数方程。
3.推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描写，而由后者解出的却是近似解。
答：因为微分方程的研究对象是微元体，而用热平衡法建立的节点温度离散方程的研究对象是元体。
微分方程的微元体可以达到无限小，从而可准确描述物体内任一点的连续函数。
而热平衡法对有限大小元体内的分布函数用节点处的值代替，从而得到近似解，不能得到准确解。
4.第三类边界条件边界节点的离散方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式来建立。
试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡法建立起来的离散方程的异同与优劣。
答：由教材P175 式(a)，(b)可得：在x方向上有：ðt ðx |m,n≈t m+1,n−t m,nΔxðt ðx |m,n≈t m,n−t m−1,nΔx同理在y方向上有：ðt ðy |m,n≈t m,n+1−t m,nΔyðt ðy |m,n≈t m,n−t m,n−1Δy从而可得：−λðtðx|m,n≈−λt m+1,n−t m,n∆x=ℎ(t f−t m,n)t m,n=t m,n−1−ℎΔxλt f+ℎΔxλt m,n⇒(1−ℎΔxλ)t m,n=t m,n−1−ℎΔxλt f其它式子可类似导出。
传热学第四章
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
4-3 一维非稳态导热问题的数值求解
在非稳态导热问题中，不但需要对空间区域进 行离散，还需要对时间变量进行离散，接下来以一 个一维非稳态导热问题为例，重点介绍对非稳态项 的离散方法，以及不同离散方法对计算带来的影响 等。
n
y
m
x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2.建立节点物理量的代数方程
每一个节点都与它周围相邻的节点存在一定的 关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关 系式（属于代数方程式），此关系式又称作节点的 离散方程。
(m,n+1)
(m,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
华北电力大学
(m,n-1)
h,tf
0 q=0 H x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
二、数学描述
华北电力大学
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
Φ& λ
=
0
x=0 x=H y=0
−
∂t ∂x
=
0
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−tf
)
−
∂t ∂y
=
0
y =W
−
λ
∂t ∂y
=
h(t
−tf
)
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
tm,n+1 −tm,n ∆y
(m,n+1)
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
传热学 第四章 对流传热原理
h相变 >h单相
College of Energy & Power Engineering
4. 壁面的几何形状、大小和位臵
换热表面的形状／大小／换热表面与流体流动方向的 相对位置以及换热表面的状态（光滑或粗糙） 内部流动对流换热：管内或槽内 外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
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雷诺数的物理意义
ul ul u Re u
l
2
惯性力与黏性力之比
College of Energy & Power Engineering
3. 流体有无相变
单相换热 流体的显热变化
相变换热 沸腾、凝结、升华、 凝固、融化等
要有有限差分法、有限元法、有限分析法、边界元
法等等。 各种数值方法的根本区别主要在区域离散
和方程离散处理方法的不同，其基本思想大致可描
述为：把原来在时间和空间坐标中连续的物理量场
（如速度场、温度场、浓度场等）， 用有限个离散 点上的值的集合来代替，按一定方式建立起关于这 些值的代数方程并求解之。
College of Energy & Power Engineering
1. 流动的起因或其他外 部动力源所造成
强迫对流换热
College of Energy & Power Engineering
流动的起因不同，流体中的速度场也有差 别，所以传热规律就不一样了，从而对流换热 系数也不同。 一般来说，同一种流体的强迫对流换热系
对流传热的基本公式
传热学课件第四章非稳态导热
exp
hA
cV
hA
cV
h V
A
c
V
A2
hl
c
l2
hl
a
l2
BiV
FoV
0
e BiV FoV
exp
BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
在0~ 时间内物体和周围环境之间交换的热量
升高到t1并保持不变，而右侧仍与温度为t0的 空气接触。这时紧挨高温表面那部分的温度
很快上升，而其余部分则仍保持初始温度t0， 如图中曲线HBD所示。随着时间的推移，经τ 1, τ 2，τ 3…平壁从左到右各部分的温度也依次 升高，从某一时刻开始平壁右侧表面温度逐
渐升高，图中曲线HCD、HE、HF示意性地表示
• 二、Bi数对导热体温度分布的影响
•
Bi hL L / 的大小对非稳态导热过程中导
热体内的 温1度/ h 分布有重要的影响。
• 厚为2δ的平壁突然置于流体中冷却时 ，Bi数 不同壁中温度场的变化会出现三种情形 。
思考题: 试说明毕渥数的物理意义。 毕渥数趋于
零和毕渥数趋于无穷各代表什么样的换热条件？ 有人认为，毕渥数趋于零代表了绝热工况，你 是否赞同这一观点，为什么？
圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
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2
因此
( x , ) 是F0, 0
Bi 和
x
函数，即
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
注意：特征值 n 特征数（准则数） 区别
2. 非稳态导热的正规状况
对无限大平板 当F
0
F0 a 2
0.2
取级数的首项，板中心温度，误差小于1%
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
2 n
a
2
μn为下面超越方程的根
ctg n
h
n h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
新稳态阶段
热量变化
热流量不相等 过程的进行差 距越来越小
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
热扩散率a
物理内部温度变化率的大小，取决于 边界条件影响向内传播的速率。
a
c
对于瞬态非稳态导热：a越大，意味着不规则情况阶段和正 常情况阶段所需时间越短，即加热或加冷过程所需时间越 短。 对于周期性非稳态导热：a越大意味着温度波衰减及时间延 迟程度越小，传播速度越快。
t ( x, ) tw 则有：
2 a 2 x
0时， ( x,0) 0 t0 t w x 0时, (0, ) t w t w 0 x 时， (, ) t0 t w
t tw 2 0
1 非稳态导热的定义 物体的温度随时间而变化的导热过 程称非稳态导热。 2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
基本特点： 任何非稳态过程必伴随着加热或冷却 的过程 t 0
可分为周期性和非周期性 热流方向上热流量处处不等
Biv Bi Bi Biv 2 Bi Biv 3
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ=const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写：
导热微分方程
初始条件
2 t t ( 0 x , 0 ) a 2 x
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为tf的流体中。
当物体被冷却时（t >tf）,由能量守 恒可知
dt hA(t t ) - Vc d
令： t t — 过余温度，则有
d hA - Vc d ( 0) t0 t 0
t t0
t 0 x
0
边界条件
x0
x
t h(t t ) x
(对称性 )
引入变量－－过余温度
令 ( x, ) t( x, ) t
上式化为：
2 a 2 x
0 x , 0
0
x0 x
0
集总参数法的应用条件
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
h(V A)
Biv
0.1M
M是与物体 几何形状 有关的无量 纲常数
对厚为2δ的
无限大平板
对半径为R的无限 长圆柱 对半径为R的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 3 R V R 3 2 A 4R 3
0 x h x
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2 n
此处Bn为离散面(特征值) 若令
n n
则上式可改写为：
1 即与
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 e 36.8% 1 此时， Vc 0
Vc 上式表明：当传热时间等于 hA 时，物体的过余温度已经 达到了初始过余温度的36.8％。称 Vc 为时间常数，用 c hA 表示。
c
0
1 e 36.8% 0
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov
是傅立叶数
hA Vc
e 0
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
qw
[0,]内累计传热量
q 0 qwdz 2
c 0
吸热系数
Bi准则对温度分布的影响
当Bi→∞时，rh→0，相当于第一类边界条 件，即tw=tf；定向点在壁表面 当Bi→0时，r→0 ，任一时刻物体内t分布 均匀，即t=f（） ,零维分布；定向点在壁 表面无穷远处； 0<Bi<∞，t分布介于上述两种极限之间。
二、集总参数法 Bi→0 1 定义：忽略物体内部导热热阻、认 为物体温度均匀一致的分析方法。 此时，Bi→0，温度分布只与时间有 t f ( ) 关，即 ,与空间位置无关，因 此，也称为零维问题.
第四章
非稳态导热
１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点；
② 集总参数法的基本原理及应用；
③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容：
① 确定瞬时温度场的方法；
② 确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
( x, ) 2 sin 1 x cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
(0, ) m ( )
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
一、瞬态非稳态导热
温度分布
t
H
1
G
F E C D
t
0
A
B
温度分布变化的阶段划分与特点
非正规状况阶段 （不规则情况阶段）
温度分布主要受初始 温度分布控制，温度 随时间的变化率处处 不同 温度分布主要取决于 边界条件及物性，温 度随时间的变化率具 有一定的规律 温度的变化不再 随时间变化
正规状况阶段 （正常情况阶段）
控制方程 初始条件
hA 方程式改写为： Vc d
d
d
hA d Vc
hA ln 0 Vc
积分
hA 0 Vc 0 d
d
t t e 0 t0 t
hA Vc
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变 换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法 、分子动力学模拟
无线大平壁的瞬态导热
1）毕渥数的定义：
h Bi 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部 温度场的分布规律。
应用集总参数法时，物体过余温度的变化 曲线
Biv Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到 物体内部，因而，物体各点地温度就 越接近周围介质的温度。
3 ）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无 量纲数。 4 ）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
Bi对温度分布的影响
当Bi→∞时，
当Bi→0时， ，，因此，可以忽略对流换热热阻 1/ h / / 1/ h，因此，可以忽略导热热阻
d r r rh
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短 的时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。
(3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
两个重要参数:
① 几何位置 对一原为2δ的平板，若
若y 2
x 4 a
4 a
( x, ) x cos(1 ) m ( )
与时间无关
当 F0 0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。
半无限大物体的非稳态导热
半无限大物体的概念 几何上是指x=0的界面开始可以向正 的x方向及其他两个坐标（x，y）方 向无限延伸的物体，称为半无限大物 体。
3 半无限大的物体
无量纲变量
x 4 a
0
e
y2
d erf ( x
4a )
无量纲 坐标
其中， 数
x 4 a
，
erf ( )
为误差函
，它随 的变化而变化
说明
无量纲就是没有单位的量，一般而言热血中设计到很多的统 计性数据，这些数据就是没有单位的，只具有统计学术上的 意义。
(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关.
即可作为半无限大物体来处理