材料力学 第十一章分解
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开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
狭长截面梁在横向力的作用下：
线弹性范围 铅锤面内的弯曲；
P Pcr
弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环：
p pcr
圆对称的平衡
3、理想压杆
（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
5临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线
平衡形式时所受的轴向压力； Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态：
即：屈曲位移ω =0的直线状态； 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为：
压杆保持直线形态平衡的最大载荷；
或压杆处于微弯状态（丧失稳定）的最小载荷。
§11-2 支细长压杆的临界压力 欧拉公式 =Fcr
M FN=Fcr
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
此方程的通解为 w Asin kx Bcos kx
2EI
Fcr l 2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。 因此，对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
Fcr
2EI
l2
适用范围：
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
.
§11-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
Fcr
(
2 EI
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
非圆对称
当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而 突然变为非圆对称的平衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
工程中的压杆
工程中的压杆
柱、桁架的压杆、薄壳结构及薄壁容器等、在有 压力存在时，都可能发生失稳。
提升 油缸
3、稳定平衡、临界平衡（随遇平衡）、不稳定平衡
利用杆的边界条件，
x0 w0
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：
w Asin Kx
利用边界条件
xl w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形；
kl n
n 1 ,2,3,.....
Fcr
n2 2 EI
l2
实际工程中有意义的是最பைடு நூலகம்的临界力值，即 n 1
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡）
屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程；
屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移；
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
非线性稳定理论已经证明：对于细长压杆，临界平衡是稳定的。
压杆的极限承载能力 压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。
且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L 的两端铰支压杆相当。
长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
Fcr
2 EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端固定
Fcr
D
L
C
Fcr
2 EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
一端固定、一端铰支
杆端的约束愈强，则µ值愈小，压杆的临界力愈高； 杆端的约束愈弱，则值µ愈大，压杆的临界力愈低。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l 。
l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的 两端铰支的细长杆相当。
稳定平衡 当球受到微小干扰，偏离其平 衡位置后，经过几次摆动，它 会重新回到原来的平衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
§11-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
类比法：
根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。 对于其它约束情况的压杆，将挠曲线形状与两端铰支 压杆的挠曲线形状加以比较，用几何类比的方法，求 它们的临界力。
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
狭长截面梁在横向力的作用下：
线弹性范围 铅锤面内的弯曲；
P Pcr
弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环：
p pcr
圆对称的平衡
3、理想压杆
（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
5临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线
平衡形式时所受的轴向压力； Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态：
即：屈曲位移ω =0的直线状态； 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为：
压杆保持直线形态平衡的最大载荷；
或压杆处于微弯状态（丧失稳定）的最小载荷。
§11-2 支细长压杆的临界压力 欧拉公式 =Fcr
M FN=Fcr
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
此方程的通解为 w Asin kx Bcos kx
2EI
Fcr l 2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。 因此，对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
Fcr
2EI
l2
适用范围：
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
.
§11-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
Fcr
(
2 EI
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
非圆对称
当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而 突然变为非圆对称的平衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
工程中的压杆
工程中的压杆
柱、桁架的压杆、薄壳结构及薄壁容器等、在有 压力存在时，都可能发生失稳。
提升 油缸
3、稳定平衡、临界平衡（随遇平衡）、不稳定平衡
利用杆的边界条件，
x0 w0
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：
w Asin Kx
利用边界条件
xl w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形；
kl n
n 1 ,2,3,.....
Fcr
n2 2 EI
l2
实际工程中有意义的是最பைடு நூலகம்的临界力值，即 n 1
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡）
屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程；
屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移；
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
非线性稳定理论已经证明：对于细长压杆，临界平衡是稳定的。
压杆的极限承载能力 压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。
且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L 的两端铰支压杆相当。
长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
Fcr
2 EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端固定
Fcr
D
L
C
Fcr
2 EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
一端固定、一端铰支
杆端的约束愈强，则µ值愈小，压杆的临界力愈高； 杆端的约束愈弱，则值µ愈大，压杆的临界力愈低。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l 。
l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的 两端铰支的细长杆相当。
稳定平衡 当球受到微小干扰，偏离其平 衡位置后，经过几次摆动，它 会重新回到原来的平衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
§11-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
类比法：
根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。 对于其它约束情况的压杆，将挠曲线形状与两端铰支 压杆的挠曲线形状加以比较，用几何类比的方法，求 它们的临界力。
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr
2 EI
(1.0 l )2