应用统计学第四章 推断统计

①方差
②方差
2
已知时： ( X


n
z / 2 , X

n
z / 2 )
2未知时： ( X
S S z /2 , X z /2 )（用 S 2 代替 2 ） n n
补充：当样本来自非正态总体时，应将样本容量增加到30 以上，再进行抽样和区间估计，均值的置信区间同上面推 导的大样本（n ≥ 30）的情况。
第四章
统计推断
30
引题： 大样本 （n
） ， 由中心极限定理可知， 不论总体服从什么分布，X ~ N ( ,
2
n
)，
为未知，设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X
的样本，求 的置信度为1 的置信区间。
解：
2 X X ~ N ( , ) ~ N (0,1) 因 ，则令 Z= n / n
P ( z Z z ) 1
2 2
X P z z 1 / n 2 2
P X z ＜＜ X z 1 n 2 n 2
第四章
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例3：从某公司生产的一批瓶装产品中，随机抽取10罐产品， 测得每罐的重量分别为318、320、322、321、321、323、319、 320、320、324（克），以95%的置信度求该公司这批产品平 均重量的置信区间。（产品重量服从正态分布）
第四章
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复习：设 X1 , X 2 ,, X n 来自正态总体 N (, 2 ) 分别为样本的均值和方差。则
第四章
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（2）样本来自正态总体 N (, 2 ) 样本容量为小样本即（n ＜ 30）时，总体均值的置信区间为：
2 ① 已知时，
(X

n
z / 2 , X

n
z / 2 )
②

2
未知时，
(X
S S t / 2 (n 1), X t / 2 (n 1)) n n
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(一) 无偏性 样本估计量的均值等于该样本统计量所估计的总体参 数的真实值，则称该估计量为无偏估计量。 （二）一致性
也称为相合性，当样本容量n增加时，如果估计量越来 越接近总体参数的真实值，则称这个估计量为一致估 计量。
第四章
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（三）有效性 是指估计量与总体参数的离散程度应该很小，即估计 量的方差应该很小，这样才能保证估计量的取值集中 在被估计的总体参数的附近，对总体参数的估计和推 断更可靠。
4、置信区间： 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，用 （ , ）来表示，即（置信下限，置信上限）。
第四章
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表示 (1 )
5、置信水平也称为置信度用
(1 ) 表示置信区间 ( , ) 包括总体参数真值
的概率，记为 P{ } 1 ，则总体参数真值 有 100 (1 )% 的可能性落在置信区间 ( , ) 内。 其中 为事先给定的概率值，称为显著性水平。
1480 1490 1530 1510 1460 1460 147 1470 设灯泡的使用寿命近似地服从正态分布，试求灯泡的平均使用寿命95%的 0 置信区间 。 解 ：总体的方差未知，故总体均值的置信区间为：
(X S S t / 2 (n 1), X t / 2 (n 1)) n n
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够 （一般指不小于30，且np, n(1 p) 都大于5）， 样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P ， 则有
p ~
对于置信度 1
( p z / 2
近似 N ( P,
P (1 P ) n
)
，P的置信区间为
p(1 p) p(1 p) , p z / 2 ) n n
这样，我们就得到了 的一个置信度为 1 的置信区间
X z , X z n 2 n 2
简写成
X z n 2
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1、一个总体均值 的置信区间：
（1）大样本（n ≥ 30）时，总体均值的置信区间为：
t0.025 (15) 2.1315 而，经过计算得， x 1490, s 24.77, 又查表得， 故所求的置信区间为（1476.8, 1503.2）。
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例2：某食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量为 8000袋左右，按照规定每袋的重量应为100克，为对产品质量 进行监测，企业质检部门从某天生产的一批产品中随机抽取 了64袋，测得该样本的均值为105.36克，标准差为10克，试 估计该批产品平均重量的置信区间为多少？（置信度为95%）
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一、 概念 1、参数估计：在抽样分布及抽样分布的基础上，据样 本统计量来推断总体参数的统计方法。
2、
估计量：用来估计总体参数的统计量的名称； 估计值：计算得到的样本估计量的具体数值
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点估计： 用样本估计量直接作为总体参数估计值
3、
区间估计：在点估计基础上，依照一定的概率保证度 用样本估计值估计出总体参数取值的区间 范围。
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2
推导：设 方差，则
X1 , X 2 ,
, Xn
来自正态总体
N (, 2 )
的样本， X , S 2 分别为样本的均值和
X ~ t (n 1) S/ n
，求总体均值 的置信度为 1 的置信区间。
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例1 现从一批灯泡中随机地取16只，测的其使用寿命（以小时为单位） 如下表所示。 1510 1520 1480 1500 1450 1480 151 0 1520
X,S2 的样本，
X ~ N ( ,
2
n
);
( n 1) S 2
2
~ 2 ( n 1);
样本来自正态总体，则总体方) S 2 ( 2 , 2 ) / 2 (n 1) 1 / 2 (n 1)
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