2019年全国高中数学联赛贵州预赛试题及详解

高中数学联赛试题 一、选择题：每小题6分，本大题共30分. 1.小王在word 文档中设计好一张4A 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ）
A ．9次
B ．10次
C ．11次
D ．12次
2.已知一双曲线的两条渐近线方程为30x y -=和30x y +=，则它的离心率是（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．31+
3.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，
则到面OAB 、面OBC 、面OAC 、面ABC 的距离相等的点的个数是（ ）
A ．1
B ．4
C ．5
D ．无穷多
4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为
223，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ） A ．1arcsin 3 B ．1arccos 3 C ．2arcsin 3 D ．2arccos 3
5.已知等差数列{}n a 及{}n b ，设12n n A a a a =++⋅⋅⋅+，12n n B b b b =++⋅⋅⋅+，若对*n N ∀∈，有
3553n n A n B n +=+，则106
a b =（ ） A ．3533
B ．3129
C ．17599
D ．15587 二、填空题（每小题6分，本大题共60分） 6.已知O 为ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足(
)AB
AC OP OA AB AC λ=++，其[0,)λ∈+∞，则P 点
的轨迹为 ．
7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中
最佳选手是 ． 8.方程组2226()6
x y xy x y ⎧+=⎨+=-⎩的实数解为 ．
9.如图，在ABD ∆中，点C 在AD 上，2ABC π∠=，6DBC π∠=，1AB CD ==，则AC = ．
10.
函数z 的最小值是 ．
11.若边长为6的正ABC ∆的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则ABC ∆的重心G 到平面α的距离为 ．
12.若实数a 使得不等式222x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 ．
13.若方程(0,1)x
a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．
14.顺次连结圆229x y +=与双曲线3xy =的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为 ．
15.函数2(5)sin 1(010)y x x x π=--≤≤的所有零点之和等于 ． 三、解答题（每小题15分，本大题共60分）
16.
已知函数3y x =.
17.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率2e =，直线21y x =-与C 交于A 、B
两点，且AB =（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(2,0)M 的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在点F 、M 之间），记OME OMF
S S λ∆∆=
，求λ的取值范围.
18.证明：（1）
1111112212221
k k k k ++++⋅⋅⋅+<++-(2,)n n N ≥∈； （2）分别以1，12，13， (1)
19.已知梯形ABCD ，边CD 、AB 分别为上、下底，且90ADC ∠=，对角线AC BD ⊥，过D 作DE BC ⊥
于点E .
（1）证明：22AC CD AB CD =+⋅；
（2）证明：22AE AC CD BE AC CD
⋅=-.。