完整版完整版2018年第59届国际数学奥林匹克IMO竞赛试题及答案图片版
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答-2018年
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答-2018年小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1.三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是m-2和m+2.2.有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是966，最小的一个是126.解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、……966.3.___发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是9岁和16岁。
解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=1.4.一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是1210.5.2310的所有约数的和是6912.解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）。
6.已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有11个。
解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）。
其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）。
7.从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？1000.解题过程：1，5，9，13，……1997（500个）隔1个取1个，共取250个。
2，6，10，14，……1998（500个）隔1个取1个，共取250个。
3，7，11，15，……1999（500个）隔1个取1个，共取250个。
高中数学竞赛-历届IMO试题（1-46届）及答案
高中数学竞赛-历届IMO试题（1-46届）及答案1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。
1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC 边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
2018年第59届IMO中国集训队测试题第一阶段
2. 若一个正整数的正约数的个数被 2018 整除, 则称该数为有趣数, 确定所有正整数 d, 使得存 在一个公差为 d 的无穷项等差数列, 该数列中每一项都是有趣数.
3. ⊙Ω 与线段 AB, AC 分别切于点 D, E, 且 BD + CE 小于 BC, F, G 在线段 BC 上, 使 得 BF = BD, CE = CG, EF 交于 GD 于点 K, L 是 ⊙Ω 离 BC 最远的点. 证明: KL 上有 △ABC 的内心.
∑n »
ai
⩽ λ.
i=1 a2i + a2i+1 + · · · + a2i+k
其中下标模 n.
6. 设 M, a, b, r 为非负整数,a ⩾ 2, r ⩾ 2, 假设存在函数 f : Z → Z 满足如下条件: (1) 对 ∀n, f (r) = an + b(f (r) 为 r 次 f 迭代). (2) 对 ∀n ⩾ M , 有 f (n) ⩾ 0. (3) 对 ∀n > m > M , 有 n − m | f (n) − f (m). 求证: 存在 c ∈ Z 使得 a = cr.
A
L D
I E
K
B
C
F
G
第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天
2017 年 12 月 31 日上午 8:00-12：30
4. 函数 f, g : Z → Z 满足: f (g(x) + y) = g(f (y) + x), 若 f 有界, 证明: g 为周期函数.
5. 给定 k ∈ N +, 若 Cn0, Cn1, · · · , Cnn 中有不小于 0.99n 个能被 k 整除, 则 n 是“好的”, 证明: 存在正整数 N , 使得 1, 2, · · · , N 中“好的”数不小于 0.99N 个.
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第9届)
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第 9 届）
1. 平行四边形 ABCD，边长 AB = a， AD = 1， 角 BAD = A， 已知三角形 ABD 是 一个锐角三角形，求证以 A，B，C，D 为圆心半径为 1 的四个圆能够覆盖此平行四边形 的充要条件是 a四面体有且仅有一边大于 1，求证其体积 ≤ 1/8. 3. k，m，n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令 cs = s(s+1)，求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck) 可被乘积 c1c2 ... cn 整除． 4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 ． 考虑所有与三角形 A1B1C1 相似且外接于 三角形 A0B0C0 的所有三角形 ABC （即 BC 边包含 A0， 边包含 B0， 边包含 C0） CA AB ， 试构造出满足此条件的面积最大的三角形 ABC． 5. a1， ... ， a8 是不全为 0 的实数， cn = a1n + a2n + ... + a8n ( n = 1， 2， 3， ... )， 令 如果数列{ cn }中有无穷多项等于 0，试求出所有使 cn＝0 的自然数 n． 6. 在一次运动会中，连续 n 天内（n>1）一共颁发了 m 块奖牌．在第一天，颁发了 一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7；依此类 推．在最后一天即第 n 天，剩下的 n 块奖牌全部颁发完毕．问该运动会共进行了几天， 一共颁发了多少块奖牌？
(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版
岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。
五年级数学竞赛试题及答案
五年级数学竞赛试题及答案1、有数组｛1，2，3，4｝，｛2，4，6，8｝，｛3，6，9，12｝，……那么第100个数组的四个数的和是（）。
2、一个两位数除351，余数是21，这个两位数最小是（）。
3、2008除以7的余数是（）。
4、在1、2、3……499、500中，数字2在一共出现了（）次。
5、甲乙丙三人到银行储蓄，如果甲给乙200元，则甲乙钱数同样多，如果乙给丙150元，丙就比乙多300元，甲和乙哪个人存款多？（），多存（）元。
6、食堂有大米和面粉共351袋，如果大米增加20袋，面粉减少50袋，那么大米的袋数比面粉的袋数的3倍还多1袋，原来大米有（）袋，面粉有（）袋。
7、279是甲乙丙丁四个数的和，如果甲减少2，乙增加2，丙除以2，丁乘以2后，则四个数都相等，那么甲是（），乙是（），丙是（），丁是（）。
8、兄弟俩比年龄，哥哥说：“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁。
”弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了。
”哥哥今年（）岁，弟弟今年（）岁。
9、甲对乙说：“我的年龄是你的3倍。
”乙对甲说：“我5年后的年龄和你11年前的年龄一样。
”甲今年（）岁，乙今年（）岁。
10、A、B两地相距21千米，上午9时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行，甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回，中午12时他们第二次相遇。
此时甲走的路程比乙走的路程多9千米。
甲每小时走（）千米。
11、一只汽船所带的燃料，最多用6小时，去时顺流每小时行15千米，回来是逆流每小时行12千米，这只汽船最多行出（）千米就需往回开。
12、一条轮船在两码头间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，水速是每小时5千米，这条船在静水中每小时行（）千米。
13、一座铁路桥全长1200米，一列火车开过大桥需要75秒，火车开过路旁的电线杆只需15秒，那么火车全长是（）米。
1/6页14、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的铁桥用23秒，该列车与另一列长320米，速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要（）秒。
第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案
2009年第50届IMO 解答2009年7月15日1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +−)−)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a −不能被n 整除。
证明1：由于12(1n a a −)，令1(,)n a p =，nq p=也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a −。
因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=−，故31q a −；同理可得41q a −，。
，因此对于任意都有2i ≥1i q a −，特别的有1k q a −，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=−(*)。
若结论不成立，则1(1k n pq a a =)−，与(*)相减可得1(k n a a −)，矛盾。
综上所述，结论成立。
此题平均得分：4.804分2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ∆,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。
证明：OP PQ OQ =。
证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此APQ MKL ∆∆∼。
所以AP MK BQAQ ML CP==，故AP CP AQ BQ ⋅=⋅(*)。
设圆O 的半径为R ，则由(*)有2222R OP R OQ −=−，因此OP OQ =。
不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。
OQ =PQ此题平均得分：3.710分3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和都是等差数列。
证明：是一个等差数列。
123,,,...S S S 123,,,...S S S S S S 123111,,,.S S S S S S +++..123,,,...S S S 问题等价于：:f Z Z +→+是一个严格递增的函数。
2023年imo国际数学奥林匹克第二天全解答
2023年imo国际数学奥林匹克第二天全解答摘要：一、2023 年IMO 国际数学奥林匹克简介1.竞赛时间2.竞赛地点3.竞赛规模二、第二天竞赛试题与解答1.试题一1.1 题目概述1.2 解题思路1.3 答案与解析2.试题二2.1 题目概述2.2 解题思路2.3 答案与解析3.试题三3.1 题目概述3.2 解题思路3.3 答案与解析三、竞赛成果与获奖情况1.各国获奖情况2.中国队表现3.竞赛成果对数学发展的影响正文：2023 年IMO 国际数学奥林匹克第二天全解答一、2023 年IMO 国际数学奥林匹克简介2023 年IMO（国际数学奥林匹克）于日本某地举行，这是一场面向全球中学生的数学竞赛，共有来自世界各地的数百名学生参加。
该竞赛旨在选拔优秀的数学人才，激发中学生对数学的学习兴趣和热情，促进数学教育的发展。
二、第二天竞赛试题与解答第二天竞赛共有三道试题，分别为：试题一：（题目概述）请详细阅读并解析给定的数学题目，完成相关计算。
（解题思路）通过分析题目，找到关键信息，运用相应的数学知识进行解答。
（答案与解析）根据题目的要求，给出详细的答案解析。
试题二：（题目概述）请详细阅读并解析给定的数学题目，完成相关计算。
（解题思路）通过分析题目，找到关键信息，运用相应的数学知识进行解答。
（答案与解析）根据题目的要求，给出详细的答案解析。
试题三：（题目概述）请详细阅读并解析给定的数学题目，完成相关计算。
（解题思路）通过分析题目，找到关键信息，运用相应的数学知识进行解答。
（答案与解析）根据题目的要求，给出详细的答案解析。
三、竞赛成果与获奖情况经过两天的激烈角逐，各国参赛选手取得了丰硕的成果。
其中，中国队表现优异，获得了多枚奖牌。
此次竞赛的成果对数学发展产生了积极的影响，激发了全球中学生对数学的热爱，为数学人才的培养和选拔提供了平台。
总之，2023 年IMO 国际数学奥林匹克第二天竞赛在紧张而有序的氛围中顺利进行，各国选手展示了卓越的数学才能。
第59届IMO中国集训队第二次测试题(官方正版)
5.
给定正整数
n, k, n
⩾
4k.
对任意正实数
a1, a2, · · ·, an.Fra bibliotek不等式∑n
i=1
» a2i
+
ai a2i+1 +
···
+
a2i+k
⩽
λ. 恒成立
求 λ 的最小值.(规定 an+m = am, m = 1, 2, · · · )
6. 已知 a, b, r, M 是整数,a ⩾ 2, r ⩾ 2, 函数 f : Z → Z 满足: (1) 对任意整数 n, m > M, m ̸= n, 有 (m − n) | (f (m) − f (n)). (2) 对任意整数 n > M , 有 f (n) ⩾ 0; (3) 对任意整数 n, f (r)(n) = an + b; 求证: a 可以表示为一个正整数的 r 次方幂.(f (r)(n) 表示 f (n) 的 r 次迭代).
第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天
2018 年 1 月 8 日上午 8:00-12：30
1. 给定 △ABC, D 为 BC 上动点, 在 AB 上取点 E, 使得 BE = CD; 在 AC 上取点 F , 使得 CF = BD. △BDE 的外接圆与 △CDF 的外接圆交于另一点 P . 求证: 点 P 在一个定圆上.
2. 将正整数 n 表示为无序的正整数之和, 有 P (n) 种方法. 例如 P (4) = 5, 因为 4 可表示为 4, 1 + 3, 2 + 2, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1
2018年第59届IMO中国国家集训队选拔考试试题
6. 求所有正整数对 (������, ������), 使得 (������������ + 1)(������������ + ������ + 2) 是完全平方数.
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59
2018
3
26
8:00-12
30
1. 多项式序列 {������������ (������)}������≥1 定义如下:������1 (������) = 1, ������2������ (������) = ������������������ (������), ������2������+1 (������) = ������������ (������) + ������������+1 (������), ������ ≥ 1. 求所有有理数 ������, 使得 ������ 是某个 ������������ (������) 的根.
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2018 年第 59 届 IMO 中国国家队 选拔考试
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2
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目录
第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2018 年 3 月 20 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2018 年 3 月 21 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试四 第一天 2018 年 3 月 26 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试四 第二天 2018 年 3 月 27 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 59 届 IMO 中国国家集训队第二阶段日程安排 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 6 5 4