一元三次方程的解法

考试中一元三次方程的解法

考试中⼀元三次⽅程的解法
第⼀种：⼀般类型⽤配⽅法提取出⼀个因式可以求出⼀个根，其余的就变成⼀元⼆次⽅程求出另两个根。

第⼆种：没有⼀次项：⽤⼗字相乘法把三次项拆分成⼆次项和⼀次项凑齐原⽅程⼆次项的系数，此时拆分成的⼆次项不⼀定符合原⽅程，可在⼗字相乘法中调换⼆次项和⼀次项的位置再次进⾏尝试，先在⼗字相乘法中的每⼀⾏解出可能值（可能值的正负号并不确定，应当分别代⼊原⽅程之后才能确定正负号，）代⼊⽅程，若符合，则继续求解。

第三种：没有⼆次项：与第⼆种类似。

⾄于盛⾦公式等⼀元三次⽅程的解法等，在考试中不太实⽤，⼀般考试不会去考特别复杂的解⽅程，毕竟⼤多时候考的是基本概念是否清晰。

一元三次方程的解法

一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。

一元三次方程的解法

一元三次方程的解法
一元三次方程的公式解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。

卡尔丹公式法:特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0(p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X2=(Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

卡尔丹判别法:当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程的解法有哪些

三次方程绝非好解的，很多方程，都是经过精心设计，各项系数配合得很好，求解过程才变得容易。

以下是由编辑为大家整理的“一元三次方程的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

一元三次方程的一般形式ax^3+bx^2+cx+d=0是很难解的!数学上要用换元法，把原方程换成一个“缺项”的方程，也就是新方程中没有二次项的。

设x=y-b/3a，将它代进去，就可以得到一个新的方程y^3+py+q=0，这个方程最重要的是没有二次项，至于p和q是多少，你可以代进去算。

对于这个y^3+py+q=0，可用待定系数法。

实际上，求出的方程的根y将会有y=A+B的形式，A和B为待定系数，y^3=(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)，整理得到y^3-3AB(A+B)-(A^3+B^3)=0把这两道方程比较，可得到一个二元方程组-3AB=p-(A^3+B^3)=q把A和B解出来，由于上面已经设y=A+B，所以就可以把y解出来。

而最初设x=y-b/3a，就可以把x解出来，这是原方程的解。

一般形式一元三次方程的一般形式是 ax^3+bx^2+cx+d=0一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

如果作一个横坐标平移 y=x+b/3a，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如 x^3=px+q的三次方程。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

卡丹公式解一元三次方程

卡丹公式解一元三次方程一元三次方程是指一元多项式的三次幂的方程，它的一般形式为：ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a≠0。

解一元三次方程的方法有很多，其中最常用的是卡丹公式。

卡丹公式是由法国数学家卡丹提出的，它可以用来解一元三次方程。

卡丹公式的具体表达式为：x=3a^(-1/3)[-1/2+(-1/2)^2+(b/3a)^3]^(1/2)+[-1/2+(-1/2)^2+(b/3a)^3]^(-1/2)+c/3a其中，a、b、c分别为一元三次方程的系数。

卡丹公式的解法如下：1.首先，将一元三次方程化为ax^3+bx^2+cx+d=0的形式，其中a≠0。

2.将卡丹公式中的a、b、c分别替换为一元三次方程的系数，得到x的表达式：x=3a^(-1/3)[-1/2+(-1/2)^2+(b/3a)^3]^(1/2)+[-1/2+(-1/2)^2+(b/3a)^3]^(-1/2)+c/3a3.将x的表达式代入一元三次方程，求出x的值。

4.将x的值代入一元三次方程，检验是否满足方程，如果满足，则x的值就是一元三次方程的解。

以上就是卡丹公式解一元三次方程的具体步骤。

卡丹公式解一元三次方程的优点是，它可以快速求出一元三次方程的解，而且它的解法简单易懂，不需要复杂的数学推导，因此，它是解一元三次方程的最佳方法。

但是，卡丹公式也有一些缺点，比如它只能解实数解，不能解复数解，而且它的解法比较复杂，需要计算机支持，因此，在实际应用中，它的使用范围有限。

总之，卡丹公式是一种有效的解一元三次方程的方法，它的优点是解法简单易懂，可以快速求出一元三次方程的解，但是它也有一些缺点，比如只能解实数解，不能解复数解，而且它的解法比较复杂，需要计算机支持，因此，在实际应用中，它的使用范围有限。

解一元三次方程的方法

解一元三次方程的方法一元三次方程是高中数学中的重要内容，解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍一些常用的方法。

1. 代数方法。

解一元三次方程的最基本方法是代数方法。

对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，可以通过代数方法将其化简为一元二次方程，然后利用求根公式或配方法求解。

这种方法适用范围广，但对于复杂的三次方程可能需要较长的计算过程。

2. 图像法。

对于一元三次方程，可以利用图像法来解。

通过绘制函数y=ax^3+bx^2+cx+d 的图像，可以通过观察图像的特点来求解方程的根。

这种方法直观、易于理解，但需要对函数的图像特点有一定的了解。

3. 牛顿法。

牛顿法是一种数值计算方法，也可以用来解一元三次方程。

通过不断迭代逼近方程的根，可以利用牛顿法求解一元三次方程。

这种方法计算速度较快，但需要一定的数值计算基础。

4. 特殊代数方法。

对于特殊形式的一元三次方程，可以利用特殊的代数方法来求解。

例如，对于形如x^3+px+q=0的方程，可以利用某些特殊的代数技巧来求解。

这种方法需要对代数技巧有一定的了解，但可以简化计算过程。

5. 综合运用。

在实际问题中，解一元三次方程的方法可能需要综合运用多种方法。

例如，可以先利用代数方法化简方程，然后再利用图像法观察方程的特点，最后再利用数值计算方法来精确求解。

这种方法需要对多种方法有一定的了解和灵活运用。

总之，解一元三次方程的方法有多种，可以根据具体的方程形式和求解要求选择合适的方法。

在学习和应用中，可以灵活运用各种方法，以便高效地求解一元三次方程。

一元三次方程分解因式的解法

一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程的分解因式的一般解法如下：
1. 将一元三次方程转化为标准形式：将方程移项使得等式的右边为0，得到形如ax³+bx²+cx+d=0的方程。

2. 利用综合除法，找到方程的一个根作为因式的一部分，然后使用综合除法将方程除以这个根。

3. 将步骤2中得到的二次方程再次进行分解因式，直到不再能够继续分解为止。

4. 将分解因式的结果写为一元三次方程的等式形式。

需要注意的是，一元三次方程的分解因式并不总能够找到解，有时方程的根可能是复数。

3次方程求解方法

3次方程求解方法3次方程是数学中一类重要的方程，包括一元三次方程和二元三次方程。

一元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。

二元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。

下面，我们将详细介绍求解三次方程的方法。

一、求根公式法求根公式法是一种有效的求解三次方程的方法。

一元三次方程的求根公式是：ax3+bx2+cx+d=0，那么它的解析式是：x1=-b/3a+[bc/3a-3aab2/2a2]1/2+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3，x2=[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3，x3=-[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a-[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3。

二元三次方程的求根公式为：ax3+by3+cz3+dxy+exz+fxyz+g=0，它的解析式为：x=[2ad-bc2/6b2a2]1/3，y=[-ac3+9abc2-27a2d-2b3f/27b3a2]1/3，z=[9ab2c-27a2c-2b3d+bc3/27b3a2]1/3。

二、插值法插值法是一种求解三次方程的直接方法，其原理是在给定三个点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)，令 ax3+bx2+cx+d=0，其中 a、b、c、d是待求参数，计算得：a=-[(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x1)^3 (x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，b=[(x3-x1)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(y3-y2)]/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，c=-[(x2-x1)(x3-x2)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x 1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，d=(x2-x1)^2(x3-x1)^2(y2-y1)/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]。

一元三次方程解法乐乐课堂

一元三次方程解法乐乐课堂【原创实用版】目录一、一元三次方程的概述二、一元三次方程的解法三、乐乐课堂的优势四、乐乐课堂对一元三次方程解法的帮助正文【一、一元三次方程的概述】一元三次方程是指形如 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的方程，其中 a、b、c 和 d 是已知常数，而 x 是未知数。

一元三次方程的解法较为复杂，通常需要运用到代数方法、几何方法等。

【二、一元三次方程的解法】一元三次方程的解法主要包括以下几种：1.直接解法：通过代数运算，将一元三次方程化为一元二次方程，然后求解。

2.配方法：将一元三次方程化为一元二次方程，再利用配方法求解。

3.韦达定理：通过韦达定理，可以求得一元三次方程的三个根之和、三个根之积以及两个根之积。

4.卡尔丹公式：利用卡尔丹公式，可以直接求解一元三次方程的三个根。

【三、乐乐课堂的优势】乐乐课堂是一款在线教育软件，具有以下优势：1.优质的师资力量：乐乐课堂拥有一支经验丰富、教学水平高的教师团队。

2.丰富的课程资源：乐乐课堂提供了从小学到高中的全科目课程，满足学生多元化学习需求。

3.灵活的学习方式：学生可以根据自己的时间和进度进行学习，提高学习效率。

4.实时互动：乐乐课堂支持师生实时互动，让学生在学习过程中及时解决问题。

【四、乐乐课堂对一元三次方程解法的帮助】乐乐课堂在一元三次方程解法方面具有以下帮助：1.提供专业的教学视频：乐乐课堂提供了关于一元三次方程解法的专业教学视频，让学生能够直观地理解和掌握解法。

2.提供实时的辅导服务：乐乐课堂的教师团队可以为学生提供关于一元三次方程解法的实时辅导，帮助学生解决学习过程中遇到的问题。

一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理

一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!一元三次方程是指方程的最高次项为三次方的一元二次方程。

一元三次方程的解法

一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。

一元三次方程的解法

如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
它的解是：
其中
根与系数的关系为
判别式为
当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。

三个根的三角函数表达式（仅当时）为
其中
一般的一元三次方程可写成
的形式。

上式除以，并设，则可化为如下形式：
其中，.
可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
三个根与系数的关系为。

整数解法解一元三次方程

整数解法解一元三次方程一元三次方程是指次数最高为3的一元方程。

一般形式为：ax^3 +bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d都是实数且a不等于0。

解一元三次方程的过程中，我们通常使用有理根定理和辗转相除法来求解。

有理根定理是指，如果一个整数解x能够被整数p/q整除，并且p和q的最大公约数是1，那么p是常数项d的因数，q是方程的最高项系数a的因数。

首先，我们要先判断方程是否存在有理根。

根据有理根定理，有理根的分母是a的因数，而分子是d的因数。

因此，我们可以列举出所有可能的有理根，并逐个带入方程进行验证。

假设方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0有一个有理根r，那么该方程可以表示为(x - r)(px^2 + qx + s) = 0的形式，其中p、q和s都是实数系数。

这时，我们可以计算出二次方程px^2 + qx + s = 0的解。

如果方程px^2 + qx + s = 0有实数解r1和r2，那么原方程ax^3 +bx^2 + cx + d = 0的解就是r1、r2和r。

如果方程px^2 + qx + s = 0没有实数解，说明原方程也没有实数解。

需要注意的是，一元三次方程可能有三个不同的实数根，也可能只有一个实数根，或者根本没有实数根。

接下来，我们通过一个例子来解释整数解法解一元三次方程的具体步骤。

假设我们要解方程2x^3 - 5x^2 + 3x - 6 = 0。

首先，我们要找到所有可能的有理根。

根据有理根定理，有理根的分母是2的因数，而分子是-6的因数。

在这个例子中，2的因数是±1和±2，-6的因数是±1、±2、±3和±6。

因此，所有可能的有理根为±1/1、±1/2、±2/1、±2/2、±3/1和±3/2。

接下来，我们逐个带入方程进行验证。

通过计算可得：f(1) = 2(1)^3 - 5(1)^2 + 3(1) - 6 = 2 - 5 + 3 - 6 = -6f(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) - 6 = -2 - 5 - 3 - 6 = -16f(1/2) = 2(1/2)^3 - 5(1/2)^2 + 3(1/2) - 6 = 1/4 - 5/4 + 3/2 - 6 = -13/4f(-1/2) = 2(-1/2)^3 - 5(-1/2)^2 + 3(-1/2) - 6 = -1/4 - 5/4 - 3/2 - 6 = -27/4f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 6 = 16 - 20 + 6 - 6 = -4f(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 + 3(-2) - 6 = -16 - 20 - 6 - 6 = -48f(3) = 2(3)^3 - 5(3)^2 + 3(3) - 6 = 54 - 45 + 9 - 6 = 12f(-3) = 2(-3)^3 - 5(-3)^2 + 3(-3) - 6 = -54 - 45 - 9 - 6 = -114f(3/2) = 2(3/2)^3 - 5(3/2)^2 + 3(3/2) - 6 = 27/4 - 45/4 + 9/2 - 6 = -29/4f(-3/2) = 2(-3/2)^3 - 5(-3/2)^2 + 3(-3/2) - 6 = -27/4 - 45/4 - 9/2 - 6 = -71/4根据计算结果，我们可以得出方程的有理根为1和-3/2。

因式分解一元三次方程的解法

因式分解一元三次方程的解法因式分解一元三次方程是解决代数问题中的一种常见方法，它可以将复杂的三次方程转化为简单的一次方程，从而求出方程的解。

本文将介绍因式分解一元三次方程的解法，并通过实例进行演示。

一元三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

为了解这个方程，我们可以先尝试使用因式分解的方法来对其进行简化。

在进行因式分解之前，我们需要先找出方程中的公因式。

通常情况下，我们可以通过试除法来找出公因式。

首先，我们可以尝试将方程中的x因子提取出来，得到x(ax^2 + bx + c) + d = 0。

接下来，我们需要对括号中的二次多项式进行因式分解。

对于二次多项式ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式或配方法来进行因式分解。

具体的方法取决于方程的具体形式。

以求根公式为例，对于一般形式为ax^2 + bx + c的二次多项式，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

通过求根公式，我们可以得到二次多项式的两个根x1和x2。

将求得的根带入到方程x(ax^2 + bx + c) + d = 0中，我们可以得到两个新的一次方程：x1(ax1^2 + bx1 + c) + d = 0和x2(ax2^2 + bx2 + c) + d = 0。

我们可以将这两个一次方程进行因式分解，得到最终的解。

具体的方法与一次方程的因式分解相同，可以使用试除法或配方法。

通过因式分解，我们可以得到方程的解。

下面，我们通过一个实例来演示因式分解一元三次方程的解法。

假设我们有一个方程2x^3 + 5x^2 + 3x + 6 = 0，我们可以首先尝试将x因子提取出来，得到x(2x^2 + 5x + 3) + 6 = 0。

接下来，我们需要对括号中的二次多项式进行因式分解。

根据求根公式，我们可以求得二次多项式的两个根x1和x2。

一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法

一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法本方基于MMA,给出了一元三次方程标准式,精简式和一般式盛金公式法-待定系数法的求解过程,并通过韦达定理进行验证。

一.一元三次方程1.一般式：a x3+b x2+c x+d=0(a≠0)2.标准式：x3+p x+q=0其中,p=3a c-b23a2,q=2b3-9a b c+27a2d27a3。

3.精简式：x3+3r x+2s=0其中,r=3a c-b29a2,s=2b3-9a b c+27a2d54a3。

二.待定系数法-盛金公式法1.标准式：x3+p x+q=0设标准式：x3+p x+q=0的三根为x1=-h-k3,x2=-ωh-ω2k3,x3=-ω2h-ωk3。

其中,h,k为待定系数。

则有x1+x2+x3=0,x1x2+x1x3+x2x3=-h k 3,x1x2x3=-h3+k3 27。

根据韦达定理,得-h k3=p 1-h3+k327=-q 2由 1 得,h k=-3p,h3k3=-27p3。

代入 2 得,h3+k3=27q。

则h3,y3是关于t的一元二次方程t2-27q t-27p3=0的两根。

t1,2=329q±12p3+81q2。

h,k有六组根,只需取最简结的一组。

当h=329q+12p3+81q23≠0,取k=-3ph。

当h=0时,p=0,标准方程简化为x3+q=0。

此时,k=3q3。

综合,得x1=-h-k3,x2=-ωh-ω2k3,x3=-ω2h-ωk3。

其中,h=329q+12p3+81q23p≠0 0p=0,k=-3php≠03q3p=0,ω=2清除全部ClearAll[p,q,h,k]h=329q+12p3+81q23;k=-3ph;ω=2x1=-h-k3;x2=-ωh-ω2k3;x3=-ω2h-ωk3;完全简化FullSimplify[{x1+x2+x3,x1x2+x1x3+x2x3,x1x2x3}]{0,p,-q}2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法.nb清除全部ClearAll [p,q,h,k ]h =0;k =3q 3;ω=2x 1=-k3;x 2=-ω2k3;x 3=-ωk3;完全简化FullSimplify [{x 1+x 2+x 3,x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3,x 1x 2x 3}]{0,0,-q }2.精简式：x 3+3r x +2s =0设精简式：x 3+3r x +2s =0的三根为x 1=-h -k 3,x 2=-ωh -ω2k 3,x 3=-ω2h -ωk3。

一元三次方程的15种解法

一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。

解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。

本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。

2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。

具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。

3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。

具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。

4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。

具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。

一元三次方程的解法

一元三次方程的解法
标准型的一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；
2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。

一元三次方程通用求根公式
一元三次方程的因式分解法
例题：x³-3x²+4
答案：x1=-1，x2=x3=2
解题思路：解一元三次方程，首先要得到一个解，这个解可以凭借经验或者凑数得到，然后根据短除法得到剩下的项。

具体过程：我们观察式子，很容易找到x=-1是方程的一个解，所以我们就得到一个项x+1。

剩下的项我们用短除法。

也就是用x³-3x²+4除以x+1。

因为被除的式子最高次数是3次，所以一定有x²
现在被除的式子变成了x³-3x²+4-（x+1）*x²=-4x²+4，因为最高次数项是-4x²，所以一定有-4x
现在被除的式子变成了-4x²+4-（-4x²-4x）=4x+4，剩下的一项自然就是4了
所以，原式可以分解成（x+1）*（x²-4x+4），也就是（x+1）*（x-2）²
（x+1）*（x-2）²=0
解得x1=-1，x2=x3=2。

1元3次方程的解法和过程

1元3次方程的解法和过程一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a, b, c, d是已知实数且a≠0。

解一元三次方程的方法有多种，包括代数方法、图形方法和牛顿法等。

下面将详细介绍这些方法及其过程。

1.代数方法：代数方法是通过数学运算来求解方程的方法，主要包括换元法、配方法、公式法和因式分解法等。

（1）换元法：换元法先通过变量代换将一元三次方程转化为二次方程，再利用求解二次方程的方法求解。

具体步骤如下：设y=x+p/3a（其中p为待定系数），代入原方程得到：a(x+p/3a)^3+b(x+p/3a)^2+c(x+p/3a)+d=0化简后得到：x^3 + (p/b + c/ab)x + (p^2 / b^2 + cp / ab + d /a) = 0令p/b + c/ab = 0，p^2 / b^2 + cp / ab + d /a = 0，解得p = -c / ab，代入原方程得到一个二次方程，再用求解二次方程的方法求解。

（2）配方法：配方法是通过配方将一元三次方程转化为二次方程之差或者平方的和的形式，再利用求解二次方程的方法求解。

具体步骤如下：将方程的四项进行配方，使其中项成为一个完全平方，然后将方程转化为一个二次方程，再用求解二次方程的方法求解。

（3）公式法：公式法是通过一元三次方程的三个根和系数之间的关系，利用一些特殊公式来求解方程。

具体步骤如下：首先求得方程的判别式D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd，然后通过判别式的值来确定方程的根的个数。

当D>0时，方程有一个实根和一对共轭复根；当D=0时，方程有一个实根和一对重根；当D<0时，方程有三个不相等的实根。

对于有一个实根和一对共轭复根的情况，可以通过求解二次方程得到实根，再利用配方方法求解复根。

（4）因式分解法：因式分解法是将一元三次方程进行因式分解，然后利用乘法原理求解方程的方法。

一元三次方程解法乐乐课堂

一元三次方程解法乐乐课堂（最新版）目录一、一元三次方程的概述二、一元三次方程的解法三、乐乐课堂的优势四、一元三次方程解法在乐乐课堂的应用正文【一、一元三次方程的概述】一元三次方程是指形如 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的方程，其中 a、b、c、d 为常数，且 a ≠ 0。

一元三次方程的解法较为复杂，通常需要运用到代数方法、几何方法等。

对于一般的一元三次方程，其解法主要包括以下几种：1.因式分解法：将一元三次方程因式分解为两个二次方程的乘积，从而求解方程的根。

2.韦达定理：通过韦达定理，可以求得一元三次方程的三个根之和、三个根之积以及两个根的和与积。

3.卡尔丹公式：一元三次方程的解可以用卡尔丹公式表示，该公式较为复杂，但可以直接求解方程的根。

【二、一元三次方程的解法】在乐乐课堂中，一元三次方程的解法课程通过生动有趣的实例，引导学生掌握一元三次方程的解法。

课程从基本的因式分解法入手，让学生了解如何通过因式分解将一元三次方程转化为可解的形式。

接下来，课程会介绍韦达定理，让学生学会如何利用韦达定理求解一元三次方程的根。

最后，课程将介绍卡尔丹公式，让学生了解一元三次方程的解法公式，并学会如何运用该公式求解方程。

【三、乐乐课堂的优势】乐乐课堂作为一款在线教育平台，具有以下优势：1.丰富的课程资源：乐乐课堂提供了涵盖各个学科领域的课程资源，让学生可以根据自己的兴趣和需求进行学习。

2.灵活的学习方式：乐乐课堂支持学生随时随地进行学习，让学生可以根据自己的时间安排学习进度。

3.专业的师资团队：乐乐课堂拥有一支专业的师资团队，教师们具有丰富的教学经验和学科知识，能够为学生提供高质量的教学服务。

【四、一元三次方程解法在乐乐课堂的应用】在乐乐课堂中，学生可以通过学习一元三次方程解法课程，掌握一元三次方程的解法。

这不仅可以帮助学生更好地理解一元三次方程的性质，提高数学成绩，还可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。