第二章+信号的采样与重建

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5．采样的恢复（恢复模拟信号）
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频 率谱不超过折迭频率
X ( j ) a X a ( j ) 0 s s 2 2
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有
又设
1 X a ( j ) 2



X a ( j ) e j t d
ˆˆ a ( j ˆa (t ) X X )) x a
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先看冲激序列M(t)，这是一个周期函数(周期T )，可用付氏 级数展开:
奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失 真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。 s 2 max 即 实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混 淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率 max 更大些如 s (3 ~ 5)max 。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采 样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的 前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于 2 频率 分量进入。

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2 s T
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ˆ ( j)G ( j) X ( j) Y j X a a
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样 信号经理想低通后的输出为
ˆ y (t ) xa ( ) g (t ) d xa ( ) ( nT ) g (t ) d n


n




x a ( ) g ( t ) ( nT ) d
n


x a ( n T ) g ( t nT )

T ( t nT )
这里，g(t-nT) 称为内插函数
g ( t nT )
sin

T
( t nT )
特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上 的值为零。
G(j)
T
s / 2
0 S/2
a (t ) x
T G ( j ) 0 s s
G(j) g(t)
y (t ) xa (t )
wk.baidu.com
2 2
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： ˆ ( j)G ( j) X ( j) Y j X
a a
也就恢复了模拟信号：
y (t ) xa (t )
实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足 一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。
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6、采样内插公式
问题：如何由采样信号表示连续信号，采样信号 通过理想低通滤波器G(j)的响应是什么？
这个过程可看作是一个脉冲调幅过 程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为 的矩形脉冲，以p(t)表示, 调制信号是 输入的连续信号xa(t),则采样输出为
x p (t ) xa (t ) p (t )
一般 很小, 越小，采样输出脉冲的幅度 越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。
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( t nT ) e jm t dt
jm s t
(t )e
1 dt T
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所以
1 M (t ) T
m


e jm s t

将M(t)的级数表示代入采样序列的傅立叶变换式：
jt ˆ ( j) F x x ( t ) M ( t ) e dt ˆ X ( t ) F x ( t ) M ( t ) a a a a
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3. 理想采样
开关闭合时间 0 时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激 函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等 于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。 我们用M(t)表示这个冲激载波，
M (t )
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内插公式表明，连续函数 xa(t)可以由它的采样值 xa(nT )来表示，它等于 xa(nT )乘上对应的内插函数 的总和，如图所示。 S (t 2T )
1
(m-1)T (m-2)T mT
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X ( j)
图 1.4、频谱的混叠
因此，称采样频率的一半s/2为折叠频率，它好像 一面镜子，信号频谱超过它时，就会被折迭回来，造成 频谱混淆。
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4、采样信号的频谱
问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号 频谱的关系？ 设
X Xaa((jj )) F xa (t ) xa (t )e jt dt

1

对应的反变换为
x a (t ) F
则有
n

(t nT )
n n

ˆa (t ) xa (t )M (t ) xa (t) (t nT) xa (nT) (t nT) x
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实际情况下， 0 达不到，但 T 时， 实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实 际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集 中反映采样过程的所有本质特性，理想采样Z变 换分析相当重要。
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1、采样过程
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒 短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次 采样。
采样器
xa (t )
p(t )
xp (t )
P(t)

T
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1 fs T
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ˆ ( j ) 1 X a T
m
X

a
( j jm s )
s
1 ˆ X a ( j ) X a ( j ) 2 T Xa ( j) 通过一个理想低通滤波器（只让基带 将采样信号
频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图
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采样保持信号 模拟信号
数字信号
t
103 s
模拟信号的数字化
数字信号处理器：对数字信号序列按一定的要求加工处
理（滤波、运算等）；
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D/A变换器：将输出数字信号序列反过来转换成模拟电压（或电 流），这些电压或电流在时间点0、T、2T，…上的幅度应该 等于序列y(n)中相应数码所代表的大小，最后通过一定的滤波 器，滤去这些台阶形模拟信号中不需要的高频分量，就得到平滑 模拟信号输出。
模拟 信号
通用或专 用计算机
模拟低通 滤波器
低通滤波器
抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以 采样频率为周期的周期延拓，为避免采 样信号频谱混 迭产生失真而处理频带外的高频分量； 采样保持器：对模拟信号的时间取量化；
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§2.2 模拟信号的采样 与重建
对信号进行时间上的离散化，这是对信号 作数字化处理的第一个环节。 研究内容： • 信号经采样后发生的变化 • 信号内容是否丢失 • 由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析十 分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。
数码 量化电平 数字信号 D/A输出信号 模拟信号
数字信号转化成模拟信号
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D/A输出
模拟滤波输出
本身输入为数字量的系统，抗混迭滤波器和A/D不需要。 最终只需要求出信号的参数时，不需要最后的D/A，如雷达 和声纳系统中计算目标的方位、距离等参数。
m


(t nT ) M ( t )
m


a m e jm s t
级数的基频就是采样频率 s 2 T 2f s 式中的傅立叶系数
am 1 T

T
2 2
T
M (t )e
jm s t
dt
s
1 T 1 T

T T T T
2
2 n 2 2
s
抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以采样频率 为周期的周期延拓，为避免采样信号频谱混迭产生失真而处理频 带外的高频分量。
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表 2.1 一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探 生物医学 机械振动 语音 音乐 视频 上限频率 f max 500Hz 1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz 采样频率 f s 1-2 kHz ２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
X a ( j) 通过理想低通滤波器G(j)的 讨论采样信号 响应过程；理想低通G(j)的冲激响应为
1 g (t ) 2 T 2s jt jt G( j)e d 2 2s e d s sin t sin t 2 T s t t 2 T
2、物理采样
p(t )
1
p(t )

xa (t )
xa (t)
xp (t )
3T 2T T
T
2T 3T
t
x p (t ) xa (t ) p (t )
0
t
3T 2T T
0
T
2T 3T
t
图 1.1、物理采样
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X a ( j )
X ( j ) a X a ( j ) 0

s s
2 2
X ( j )
X ( j )
图 1.3、频谱的周期延拓
图 1.4、频谱的混叠
如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中, 各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现 象（图1.4）, 当出现频谱混淆后,一般就不可能无失 真地滤出基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要 失真。
A/D变换器：对保持电路中的采样信号电平取量化（一 般采用二进制码）；
编码 111 110 101 100 011 010 001 000 量化电平 0.875 0.750 0.625 0.500 0.375 0.250 0.125 0.000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
采样信号
1 T



xa (t )

m


e jm s t e jt dt
因此有，
1 ˆ X a ( j ) T
m
1 T
m

xa (t ) e j ( m s ) t dt


X a ( j jm s )
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周 期延拓,重复周期为s(采样角频率)。
第二章 信号的采样与重建
§2.1 数字信号处理系统 的模拟接口
数字信号处理是必须用数字序列来表示 信号，通过数字计算机来处理这些序列，对
模拟信号要进行数字信号处理，必须要对模 拟信号数字化
数字信号处理系统
模拟 信号
抗混迭 滤波器
连续时 间信号 采样 保持器 A/D 变换器
数字信号
连续时 间信号 D/ A 变换器