第二章+信号的采样与重建
数字信号处理实验报告-信号采集与重建
数字信号处理实验报告-信号采集与重建实验二信号的采样与重建一.实验目的（1）通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。
（2）通过实验，了解数字信号采样转换过程中的频率特征。
（3）对实际的音频文件作内插和抽取操作，体会低通滤波器在内插和抽取中的作用。
二.实验内容（1）采样混叠，对一个模拟信号Va(t)进行等间采样，采样频率为200HZ，得到离散时间信号V(n).Va（t）由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成。
Va(t)=6cos(60pi*t)+3sin(300pi*t)+2cos(340pi*t)+4cos(500pi*t)+10sin(660pi*t)观察采样后信号的混叠效应。
程序：clear,close all, t=0:0.1:20; Ts=1/2; n=0:Ts:20;V=8*cos(0.3*pi*t)+5*cos(0.5*pi*t+0.6435)-10*sin(0.7*pi*t);Vn=8*cos(0.3*pi*n)+5*cos(0.5*pi*n+0.6435)-10*sin(0.7*pi*n); subplot(221)plot(t,V), grid on,subplot(222) stem(n,Vn,'.'), grid on,40200-20-4040200-20-400510152021101520（2）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，N=100，按因子M=2作抽取：（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。
分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。
程序：clear;N=100; M=2;f1=0.043; f2=0.31; n=0:N-1;x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); y1=x(1:2:100);y2=decimate(x,M,'fir'); figure(1);stem(n,x(1:N));title('input sequence'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(2); n=0:N/2-1; stem(n,y1);title('output sequence without LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(3); m=0:N/M-1;stem(m,y2(1:N/M));title('output sequence with LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(4);[h,w]=freqz(x);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the input sequence');xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(5);[h,w]=freqz(y1);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP');xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(6);[h,w]=freqz(y2);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP');xlabel('w');ylabel('fudu');input sequence21.510.5fudu0-0.5-1-1.5-202120304050n60708090100output sequence without LP21.510.5fudu0-0.5-1-1.5-20510152025n3035404550output sequence with LP1.510.5fudu0-0.5-1-1.50510152025n3035404550frequency spectrum of the inputsequence5045403530fudu252021105000.511.5wfrequency spectrum of the output sequence without LP3022.533.52520fudu15105000.511.5w22.533.5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第2章 信号的采样与重建
Y0 z
n
nL x n z
X zL
j 0
jL
Y e X e
y0(m)频谱中不仅包含基带频率，而且包含以采 样频率的谐波为中心的基带的镜像。
为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，有必 要用一数字低通滤波器对信号y0(m)进行滤波。
技术指标
通带波动 δ
H j max 1 20lg 20lg1 1 , c 20lg 1 1 H j min
最小阻带衰减 At
1 1 At 20lg 20lg 2 , r 20lg 2 H j max
xn , x' n 0, n 0, M ,2M 其他
xn xn
k
n kM
M 1 l 0
1 xn M
e
j 2 l n M
, n
ym xMm xMm
第2章 信号的采样与重建
2.1 数字信号处理系统的模拟接口
2.2 模拟信号的采样与重建
采样信号的频谱
采样的恢复
采样内插公式
2.3采样与重建中的模拟低通滤波器 指标特性
滤波器的幅频特性
低通滤波器在通带内逼近1，阻带内逼近0
性能要求：
1 1 H j 1, c H j 2 , r
d
G d 2
,
/L
/L
Xe
d
j , L
,
Gx(0) L
如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器要 求能恢复抽取前的信号，增益Ｇ必须等于Ｌ。
信号采样与重建
1.软件介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。
成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
MTLAB的语言特点：(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
(2)运算符丰富。
(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。
(5)MATLAB的图形功能强大。
(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。
由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。
2.课程设计的方案2.1课程设计的原理2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件:(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
第2章 信号的采样与重建
X a (j ) 与 X a (j )
M (t)
(t n)T
aejm st m
m
m
s 2T2fs
amT 1
T
2 M(t)ejmstdt
T2
1
T 2
(t nT)ejmstdt
T T2 n
1
T 2
(t)ejmst d t
1
T T2
模拟信号的数字化
数字模拟转换与平滑滤波
数码 量化电平
数字信号 D/A输出信号
模拟信号
数字信号转化成模拟信号
D/A输出
模拟滤波输出
xa t
理想采样器
xn
通用或专用
yn
理想采样器
ya t
计算机
数字信号处理系统简化表示
2.2 模拟信号的采样与重建
采样器 xa (t)
pt
T
Mt
xp (t)
P(t)
s 6 it n 6 s 6 i 0 n n 6 s T 3 . 0 3 i n n si0 n .7n
v n 6 c0 o .3 n s 3 si 0 .5 n n 2 c0 o .3 n s
4 c0 o .5 n s 1 s0 i 0 .7 n n
v n 6 c0 o .3 n s 3 si 0 .5 n n 2 c0 o .3 n s 4 c0 o .5 n s 1 s0 i 0 .7 n n
G(j) T 0
G(j) T
s 2 s 2
0
S/2
Xˆ a ( j ) G(j)
g(t)
y(t)=xa(t)
Y j X ˆ a (j ) G (j ) X a (j )
连续信号的采样与重建
连续信号的采样与重建一、设计目的和意义随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。
数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最后再重建为模拟信号。
采样在连续时间信号与离散时间信号之间起着桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号(采样序列)中无失真地恢复原模拟信号，同时又尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。
在本次设计中，通过使用用MATLAB对信号f(t)=A1sin(2πf t)+A2sin(4πf t)+A3sin(5πf t)在不同频率点的采样，并进行设计仿真，让我们进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。
二、设计原理1 、时域抽样定理令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(jΩ),抽样后的信号x^(t)的傅里叶变换为X^(jΩ)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为Ωs=2πfs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x^(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为：故可以推得p(t)的傅里叶变换为:其中:根据卷积定理可知:得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为:其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(jΩ)是连续信号频谱X(jΩ)的形状以抽样频率Ω为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数,所以X(jΩ)在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x(t)的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(jΩ)是以Ωs为周期重复。
§3.6--信号抽样与抽样定理(信号抽样-时域抽样定理-连续时间信号的重建--)
所以抽样信号的频谱为
其中， 为抽样角频率， 为抽样间隔 ， 为抽样频率，
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。
(1) 冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
谢谢大家
二、时域抽样定理
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 的范围，若以间隔 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为周期重复，在此情况下，只有满足条件 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息，完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
一、信号抽样
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。
二、时域抽样定理
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
三、连续时间信号的重建
因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定 ，则有理想低通滤波器的冲激响应为若选 ，则而冲激抽样信号为
信号的采样与重建
信号的采样与重建一、 设计目的和意义通过用MATLAB 对f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)进行设计仿真，让我们通过试验论证理论的正确性，同时学会使用并掌握MATLAB 软件的使用，进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。
二、 设计原理通过使用软件MATLAB 对采样信号模拟仿真，进行采样、傅里叶变换通过数字图形对设计的F （T ）显示，观察其形状变化。
1、时间的傅立叶变换：X(jw)=()jwt x t e dt ∞--∞⎰; （2-1）X(t)=1/2()jwt X jw e dw π∞-∞⎰. （2-2）2、离散时间的傅立叶变换：X(jwe )=[]jw nn x n e∞-=-∞∑; （2-3）X[n]=21/2()jw jwn X e e dw ππ⎰. （2-4）3、采样定理：设x(t)是某一个带限信号，在|w|>Wm 时，X （jw ）=0。
如果Ws:>2Wm ，其中Ws=2π/T,那么x(t)就唯一地由其样本x(nT),n=0,1,2++--,···所决定。
已知这些样本值，我们能用如下 办法重建X(t)信号：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值，然后将 冲激串通过一个增益T ，截止频率大于Wm ，而小于（Ws-Wm ）的理想低通滤波器，该滤波器的 输出就是x(t)。
4、频谱的平移：0()((0))fejw t e x t X j w w −−→-。
（2-5） 三、 详细设计步骤1.建立源信号：f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)，对f （t ）进行采样，其结果显示如图1所示： t=-1:pi/100:1;x1=5*sin(2*pi*30*t);x2=2*sin(2*pi*60*t); x3=0.5*sin(2*pi*90*t);f=x1+x2+x3;subplot(221),plot(t,x1);subplot(222),plot(t,x2); subplot(223),plot(t,x3);subplot(224),plot(t,f);2、采样：用120Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（2）所示；用240Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（3）所示： fs1=120;t1=-1:1/fs1:1;f1=5*sin(2*pi*30*t1)+2*sin(2*pi*60*t1)+0.5*sin(2*pi*90*t1);figure(1);plot(t1,f1);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;fs2=240;t2=-1:1/fs2:1;f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2);figure(2);plot(t2,f2);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;3、将二个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),观察频谱图,指出是否产生频谱混迭现象. 用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（4）所示；用240Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（5）所示：f1=30;f2=60;f3=90;fs=120;N=120;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x1=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf1=fft(x1,N);xf1=abs(xf1);w1=120*k/Nfigure(1);plot(w1,xf1);f1=30;f2=60;f3=90;fs=240;N=240;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x2=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf2=fft(x2,N);xf2=abs(xf2);w2=240*k/Nfigure(2);plot(w2,xf2);4、因为用信号fs=120HZ进行采样时，fs<2f3,其采样频率太小，所以采样信号重建无法复原，其重建如图（6）所示。
《信号与系统》课程设计-信号采样与重建
《信号与系统》课程设计——信号的采样与重建【设计题目】信号的采样与重建 【设计要求】(1) 理解并掌握采样定理。
(2) 分别给定的带限信号进行临界采样、欠采样、过采样，观察采样前后信号的时域波形及频谱特点。
(3) 分别对临界采样、欠采样、过采样后的信号进行重构，设计合理的滤波器，完成信号的重建。
【设计工具】MATLAB 【设计原理】1 采样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示，这些样本值包含了连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。
其具体内容如下：取样定理：设为带限信号，带宽为0F ，则当取样频率02F F s ≥时，可从取样序列)()(s a nT x n x =中重构，否则将导致)(n x 的混叠现象。
带限信号的最低取样频率称为Nyquist （奈奎斯特）速率。
图1给出信号采样原理图图1 信号采样原理图由图1可见，)()()(t t f t f Ts s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t Ts δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nT t t s)()(δδ （1）其傅立叶变换为∑∞-∞=-n s s n )(ωωδω，其中ss T πω2=。
设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得：∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ssn s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω （2）若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω如图（2），由式（2）可见，)(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s 1倍）。
因此，当m s ωω2≥时如图（4），频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时如图（5），频谱发生混叠。
数字信号处理第1章 第2章 信号的采样--02
T 2
2
T
jm s t M ( t ) e dt T
s 2
T
2f s
1 2 T (t nT )e jm s t dt T 2 n
1 1 jm s t (t )e dt T T
所以
T 2 T 2
1 jm s t M (t ) e T m
G ( j )
T
xa (t )
s / 2
g (t )
ya (t ) xa (t )
Ya ( j) X a ( j)
s / 2
X a ( j)
G ( j )
T G( j ) 0
s 2 s 2
该滤波器的输出 ya (t ) 就是所要恢复的原连续信号。
采样后
ˆ ( j) x ˆ a (t ) X a
ˆ ( j)与X ( j)关系? X a a
采样后会导致的现象？ 周期延拓、混叠效应
12
3、采样信号的频谱
M (t )
n
(t nT ) a
m
m
e
jm s t
傅里叶级数展开式
1 am T
采样的理论和技术是模拟信号处理的关键技术。 模拟信号若在数字传输系统中传输 • 首先需要对其采样，采样后的结果就是离散时 间信号； • 将得到的离散时间信号在进行量化，得到的就 是数字信号。 所以，数字信号是离散时间信号量化的结果。
3
2.2 模拟信号的采样与重建
xa(t) 预滤 A/DC 数字信号处理 D/AC 平滑滤波 ya(t)
17
3、采样信号的频谱
信号采样与重建课程设计
信号采样与重建课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生理解信号采样的基本概念，掌握采样定理及其在信号处理中的应用。
2. 使学生掌握信号重建的方法和原理，了解不同重建算法的特点和适用场景。
3. 引导学生了解信号采样与重建在实际工程中的应用，培养他们将理论知识与实际应用相结合的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学工具对信号进行采样和重建的能力，提高他们解决实际问题的操作技能。
2. 通过课程实验和案例分析，使学生掌握相关软件和硬件工具的使用，培养他们的实践操作能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对信号处理领域的兴趣，激发他们探索未知、勇于创新的科学精神。
2. 强化学生的团队合作意识，培养他们在学术研究中尊重事实、严谨治学的态度。
3. 通过课程学习，使学生认识到信号采样与重建在通信、电子等领域的广泛应用，增强他们的专业认同感。
课程性质分析：本课程属于电子信息类学科，以信号与系统为基础，重点研究信号采样与重建的理论和实践。
课程旨在使学生掌握信号处理的基本原理，提高他们解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生处于本科阶段，已具备一定的数学基础和信号处理理论知识，但对实际工程应用尚缺乏深入了解。
因此，课程设计应注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
教学要求：1. 注重启发式教学，引导学生主动探究信号采样与重建的原理和应用。
2. 结合实际案例，提高学生的实践操作能力，培养他们解决实际问题的能力。
3. 强化团队合作，培养学生的沟通能力和团队协作精神。
二、教学内容1. 信号采样基本概念：包括连续信号与离散信号的区别，采样与量化的基本原理，采样定理及其在信号处理中的应用。
教材章节：第一章第二节2. 采样方法与采样频率：介绍等间隔采样、随机采样等不同采样方法，探讨采样频率对信号重建质量的影响。
教材章节：第一章第三节3. 信号重建算法：讲解插值、滤波等信号重建方法，分析不同算法的优缺点和适用场景。
教材章节：第二章第一节4. 信号采样与重建的应用：分析实际工程中信号采样与重建的应用案例，如数字通信、音频信号处理等。
带通信号的采样与重建(优选)甄选.
带通信号的采样与重建#(优选.）带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。
作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。
射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。
这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。
如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1] ，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
图2.3 带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2）式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。
当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。
也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
信号的采集和重建
答:使得信号的上限频率小于s/2,从而防止频
谱的混叠
10
院阜 阳
2.2 模拟信号的采样与重建
师
范 采样的恢复：如果理想采样满足奈奎斯特定理
学 院 物
（fs ≥ 2fm)，可以将采样信号通过一个理想低通滤 波器来恢复。
电
学
xˆa (t)
Xˆ a ( j)
0 Ts t
g (t )
T T
0
t
s m m s
选择合适的采样率Ωs来满足这个条件
s
2
22 M
采样率Ωs比奈奎斯特采样频率2 Ω2要低，称为欠 采样。欠采样信号的傅里叶变换的表达式：
Xˆ a ( j)
1 T
X a ( j
m
jms )
1 T
X a ( j( 2m
m
))
22
院阜 阳
2.4 连续时间带通信号的采样
师 范
确保平移后，所有频率分量不重叠，从而没有混叠。
M l0
电
学
28
院阜 阳
2.5 离散时间信号的采样与插值
师
范
学
院
物
Y e j 1 X e j M X e j2 M M
如果信号满足 X e jw 0,
电
M
学 Y e j 1 X e j M ,0
M
抽取后的信号无混叠，否则抽取后的信号将产生混叠，
频
n
域
s 0
s
周 期 重
相卷 1 Xˆ a ( j)
复
T
0
t
s 0
7
s
院阜 阳
2.2 模拟信号的采样与重建
师 范
实验六信号抽样与重建
实验六 信号抽样与重建1 实验目的(1) 掌握信号的抽样及抽样定理。
(2) 掌握利用MA TLAB 分析抽样信号的频谱。
(3) 掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理。
(4) 理解频率混叠的概念。
2实验原理及方法2.1信号的抽样及抽样定理抽样就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而得到一个离散时间序列，这个离散序列经量化后，就成为所谓的数字信号。
今天很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统进行的，但是数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信号。
为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字信号，然后才能进行传输与处理。
所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时间信号必要过程。
模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号，为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建和平滑滤波。
图6-1给出了信号理想抽样的原理图。
图6-1 (a) 抽样原理图 (b)带限信号的频谱上图中，假设连续时间信号x(t)是一个带限信号，其频率范围为m m ωω~-，抽样脉冲为理想单位冲激串，其数学表达式为： ∑∞∞--=)()(snT t t p δ 6-1由图可见，模拟信号x(t)经抽样后，得到已抽样信号x s (t)： )()()(t p t x t x s = 6-2 将p(t)的数学表达式代入上式得到：∑∞∞--=)()()(sss nT t nT x t x δ 6-3显然，已抽样信号x s (t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被x(nT s ) 加权了。
从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为： ∑∞∞--=)()}({ssn t p F ωωδω 6-4(a)根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换之间的卷积。
所以，已抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：∑∞-∞=-=n sss n j X T j X ))((1)(ωωω 6-5表达式6-5告诉我们，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(j ω)，则已抽样信号x s (t) 的傅里叶变换X s (j ω)等于无穷多个加权的移位的X(j ω)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连续时间信号的频谱以抽样频率ωs 为周期进行复制的结果。
第2章信号的采样与重建
20
例2.1 对一个模拟信号 va (t) 进行等间隔采样，采样频率
为200Hz，得到离散时间信号 v(n)。va (t) 由频率为
30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成, 分析采样后信号的混叠效应。
信号；而当信号的最高频率大于折叠频率时，信号就被反折回
来，造成频谱的混叠，一般就不可能无失真地滤出基带频谱。
14
一般将能够恢复出原始信号的最低采样频率（ 2m） ，称为奈奎斯特(Nyquist)采样频率。
工程上为了防止频谱的混叠，在采样之前要加一 抗混叠滤波器使得信号的最高频率小于采样频率的一 半。教材p51表2.1列出了一些典型信号的上限频率和 采样频率。
xˆa (t) xa (t) p(t)
此过程可用图2.5(c)所示的数学模型表示。
xa (t)
xˆa (t)
p(t)
图2.5(c) 数学模型
p(t)
T
t
图2.5(b) 调制脉冲
一般τ很小, τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在 离散时间点上的瞬时值（采样信号图形如图2.6(a)所示）。
2.10）。
sin (t nT )
h(t nT )
T
(t nT )
T
内插公式表明：连续函数 xa (t) 可以由它的采样值xa (nT ) 来 表示，它等于 xa (nT )乘上对应的内插函数的总和，如图2.10
所示。
19
图2.10 采样内插恢复
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数 为1，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点 上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的 波形延伸迭加而成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
2014/3/14
13
4、采样信号的频谱
问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号 频谱的关系？ 设
X Xaa((jj )) F xa (t ) xa (t )e jt dt
1
对应的反变换为
x a (t ) F
( t nT ) e jm t dt
jm s t
(t )e
1 dt T
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
2014/3/14
15
所以
1 M (t ) T
m
e jm s t
将M(t)的级数表示代入采样序列的傅立叶变换式：
jt ˆ ( j) F x x ( t ) M ( t ) e dt ˆ X ( t ) F x ( t ) M ( t ) a a a a
G(j)
T
s / 2
0 S/2
a (t ) x
T G ( j ) 0 s s
G(j) g(t)
y (t ) xa (t )
2 2
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： ˆ ( j)G ( j) X ( j) Y j X
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 24
内插公式表明，连续函数 xa(t)可以由它的采样值 xa(nT )来表示，它等于 xa(nT )乘上对应的内插函数 的总和，如图所示。 S (t 2T )
1
(m-1)T (m-2)T mT
1 T
xa (t )
m
e jm s t e jt dt
因此有，
1 ˆ X a ( j ) T
m
1 T
m
xa (t ) e j ( m s ) t dt
X a ( j jm s )
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周 期延拓,重复周期为s(采样角频率)。
采样保持信号 模拟信号
数字信号
t
103 s
模拟信号的数字化
数字信号处理器：对数字信号序列按一定的要求加工处
理（滤波、运算等）；
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 4
D/A变换器：将输出数字信号序列反过来转换成模拟电压（或电 流），这些电压或电流在时间点0、T、2T，…上的幅度应该 等于序列y(n)中相应数码所代表的大小，最后通过一定的滤波 器，滤去这些台阶形模拟信号中不需要的高频分量，就得到平滑 模拟信号输出。
数码 量化电平 数字信号 D/A输出信号 模拟信号
数字信号转化成模拟信号
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 5
D/A输出
模拟滤波输出
本身输入为数字量的系统，抗混迭滤波器和A/D不需要。 最终只需要求出信号的参数时，不需要最后的D/A，如雷达 和声纳系统中计算目标的方位、距离等参数。
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
2014/3/14
20
5．采样的恢复（恢复模拟信号）
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频 率谱不超过折迭频率
X ( j ) a X a ( j ) 0 s s 2 2
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有
又设
1 X a ( j ) 2
X a ( j ) e j t d
ˆˆ a ( j ˆa (t ) X X )) x a
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14
14
先看冲激序列M(t)，这是一个周期函数(周期T )，可用付氏 级数展开:
m
(t nT ) M ( t )
m
a m e jm s t
级数的基频就是采样频率 s 2 T 2f s 式中的傅立叶系数
am 1 T
T
2 2
T
M (t )e
jm s t
dt
s
1 T 1 T
T T T T
2
2 n 2 2
s
抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以采样频率 为周期的周期延拓，为避免采样信号频谱混迭产生失真而处理频 带外的高频分量。
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 19
表 2.1 一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探 生物医学 机械振动 语音 音乐 视频 上限频率 f max 500Hz 1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz 采样频率 f s 1-2 kHz ２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
模拟 信号
通用或专 用计算机
模拟低通 滤波器
低通滤波器
抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以 采样频率为周期的周期延拓，为避免采 样信号频谱混 迭产生失真而处理频带外的高频分量； 采样保持器：对模拟信号的时间取量化；
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 3
这个过程可看作是一个脉冲调幅过 程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为 的矩形脉冲，以p(t)表示, 调制信号是 输入的连续信号xa(t),则采样输出为
x p (t ) xa (t ) p (t )
一般 很小, 越小，采样输出脉冲的幅度 越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
2 s T
2014/3/14
23
ˆ ( j)G ( j) X ( j) Y j X a a
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样 信号经理想低通后的输出为
ˆ y (t ) xa ( ) g (t ) d xa ( ) ( nT ) g (t ) d n
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 16
X a ( j )
X ( j ) a X a ( j ) 0
s s
2 2
X ( j )
X ( j )
图 1.3、频谱的周期延拓
图 1.4、频谱的混叠
如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中, 各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现 象（图1.4）, 当出现频谱混淆后,一般就不可能无失 真地滤出基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要 失真。
第二章 信号的采样与重建
§2.1 数字信号处理系统 的模拟接口
数字信号处理是必须用数字序列来表示 信号，通过数字计算机来处理这些序列，对
模拟信号要进行数字信号处理，必须要对模 拟信号数字化
数字信号处理系统
模拟 信号
抗混迭 滤波器
连续时 间信号 采样 保持器 A/D 变换器
数字信号
连续时 间信号 D/ A 变换器
则有
n
(t nT )
n n
ˆa (t ) xa (t )M (t ) xa (t) (t nT) xa (nT) (t nT) x
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 12
实际情况下， 0 达不到，但 T 时， 实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实 际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集 中反映采样过程的所有本质特性，理想采样Z变 换分析相当重要。
a a
也就恢复了模拟信号：
y (t ) xa (t )
实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足 一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 22
6、采样内插公式
问题：如何由采样信号表示连续信号，采样信号 通过理想低通滤波器G(j)的响应是什么？
X a ( j) 通过理想低通滤波器G(j)的 讨论采样信号 响应过程；理想低通G(j)的冲激响应为
1 g (t ) 2 T 2s jt jt G( j)e d 2 2s e d s sin t sin t 2 T s t t 2 T
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 6
§2.2 模拟信号的采样 与重建
对信号进行时间上的离散化，这是对信号 作数字化处理的第一个环节。 研究内容： • 信号经采样后发生的变化 • 信号内容是否丢失 • 由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析十 分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。
ˆ ( j ) 1 X a T
m
X
a
( j jm s )
s
1 ˆ X a ( j ) X a ( j ) 2 T Xa ( j) 通过一个理想低通滤波器（只让基带 将采样信号
频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系 2014/3/14 21
奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失 真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。 s 2 max 即 实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混 淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率 max 更大些如 s (3 ~ 5)max 。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采 样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的 前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于 2 频率 分量进入。