二项式定理(binomialtheorem)

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广义二项式定理

广义二项式定理
广义二项式定理（ generalized binomial theorem）是几何系数和组合系数之间的一种关系。

它可以描述如何由若干个项组成一个更为复杂的指数形式。

该定理由亨利·阿涅尔克夫于1758年发展而出，它具有广泛的应用，包括力学，物理，数学和计算机科学领域。

广义二项式定理是这样表示的：a(1+x)^n = a + a*n*x + a*(n*(n-1)/2)*x^2 + a*n*(n-1)*(n-2)/6*x^3 ..... + a*x^n。

其中，a为一个常数，x为一个未知变量，n为一个非负整数。

该定理也可以利用数列等价地写出。

a(1+x)^n可以用(a,anx,an(n-1)x2/2,an(n-1)(n-
2)x3/3,....)这样一个变量进行表示，这样就可以将一个复杂的函数表示为多个项的数列。

广义二项式定理的应用领域很广泛。

它可以在数学中，帮助我们解决一类积分，求导，求
解方程等问题，也可以在物理，力学中求解复杂的力学问题，在计算机科学中它也可以用
于快速精确地求解算法问题。

总之，广义二项式定理是一个重要的数学定理，在解决复杂问题时给我们提供了很大的帮助。

高中数学教案：二项式定理

二项式定理课程目标知识提要二项式定理一般地，对于任意正整数，都有这个公式叫做二项式定理（binomial theorem）．二项式定理的通项一般地，对于任意正整数，都有这个公式叫做二项式定理（binomial theorem），等号右边的多项式叫做的二项展开式，二项展开式共有项，其中各项系数（，，，，）叫做二项式系数（binomial coefficient），式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：一般地，展开式的二项式系数，，，有如下性质：（1）对称性：；（2）；（3）增减性与最大值．当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当为偶数时，中间的二项式系数最大；当为奇数时，中间两项的二项式系数和最大．二项式定理中的赋值法各二项式系数和已知，令，则这就是说，的展开式的各个系数的和等于．二项式定理的应用二项式定理一般应用在以下几个方面：①进行近似计算．当的绝对值与相比很小且不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计；类似地，有．②证明某些整除性问题或求余数；③证明有关的不等式．精选例题二项式定理1. 若二项式的展开式中的系数是，则实数．【答案】【分析】，令，所以，所以，2. 已知的展开式中含的项的系数为，则．【答案】【分析】，，所以，，．3. 展开式中的常数项为．【答案】【分析】，令，所以，常数项为．4. 已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为．【答案】【分析】．所以，令，所以，所以系数为．5. 的展开式中常数项是．（用数字作答）【答案】6. 已知，则．【答案】7. 已知的展开式中项的系数是，则实数的值为．【答案】【分析】，令，，所以．8. 若，则的值为．【答案】9. 在的展开式中的系数是．（用数字作答）【答案】10. 若，则的值是．【答案】11. 设展开式中的系数是．(1)求展开式中的系数的最小值；【解】的展开式中含的系数为，的展开式中含的系数为，由已知得，所以，展开式中的系数为因为，所以当或时，的系数取最小值，其最小值为．(2)当展开式中的系数取最小值时，求展开式中的系数．【解】由（1）知，当展开式中的系数取最小值时，，或，时，此时的系数为12. 求的近似值，使误差小于．【答案】．【解】，，且第项以后的绝对值都小于，从第项起以后的项都可以忽略不计，即．13. 已知，若，(1)求的值；【解】，．由，即，故．(2)求的值；【解】，令，．(3)求的值．【解】令，14. 在的展开式中，(1)二项式系数最大的项是第几项？【解】在二项式系数中，最大，二项式系数最大的项是第项．(2)系数的绝对值最大的项是第几项？【解】设系数绝对值最大的项为，则，，即，，，，．故绝对值最大的项是第项．(3)系数最大的项是第几项？【解】由于系数为正的项为奇数项，故设的系数最大，即，，，，，，解得．系数最大的项是第项．15. 已知在的展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是． (1)求；【答案】的值为．【解】依题意有，化简得，解得或（不合题意，舍去）．所以的值为．(2)求含的项的系数；【答案】含的项的系数为．【解】通项公式为，令，得，所以含的项的系数为．(3)求展开式中所有的有理项．【答案】，，．【解】根据通项公式，由题意得，，，所以，，．所以第项，第项与第项为有理项，它们分别为，，．16. 求展开式的常数项．【解】因为，所以它的展开式通项为．当时，；当时，的展开式的通项为．因为且，所以只能取或，相应的值分别为或，即所以常数项为．17. 在的展开式中，求：(1)第项的二项式系数与第项的系数；【解】，第项的二项式系数是，第项的系数是．(2)倒数第项．【解】展开式中的倒数第项即为第项，．18. 求证：（）能被整除．【解】因为所以能被整除．19. 在二项式中有，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，它是第几项？【解】通项．结合题意知解得，∴系数最大的项为第项．20. 在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；【解】二项式系数之和为．(2)各项系数之和；【解】设展开式中，令，，则．(3)所有奇数项系数之和；【解】由（2）知．令，，可得，将两式相加，可得，即为所有奇数项系数之和．(4)所有项的系数绝对值的和．【解】展开式的通项公式为：（），所以奇数项系数为正，偶数项系数为负，由（2）知，由（3）知，①②得，①②得，即为所有项的系数绝对值的和．二项式定理的通项1. 已知，则的展开式中，关于的一次项的系数为．【答案】【分析】，令，得，所以的一次项的系数为．2. 的展开式中的系数等于，则实数．【答案】3. 的展开式中的系数是．（用数字作答）【答案】【分析】的展开式中的系数是．4. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为．【答案】5. 的展开式中的系数等于的系数的倍，则等于．【答案】【分析】由题意，所以，所以，．6. 已知二项式．(1)求展开式中第项的二项式系数；【解】的展开式的通项是．展开式的第项的二项式系数为．(2)求展开式中第项的系数；【解】展开式的第项的系数为．(3)求展开式的第项．【解】展开式的第项为．7. 已知的展开式中倒数第三项的系数为，求：(1)含的项；【解】已知展开式中倒数第三项的系数为，则，即，，解得（不合题意）或．由通项公式，得，，．故含有的项是第项，．(2)系数最大的项．【解】的展开式中共有项，系数最大的项是第项（在本题中系数最大的项也是二项式系数最大的项），．8. 若展开式中前三项系数成等差数列．求：(1)展开式中含的一次幂的项；【解】二项展开式的通项为：．由已知条件知，解得，或（舍去），则令，解得．∴含的一次幂的项为．(2)展开式中所有的有理项．【解】令，则只有当，，时，对应的项才为有理项，有理项分别为；；．9. 设．(1)求；【答案】．【解】令，得；(2)记（）的最小值为．（1）求；（2）若为奇数，求．【答案】①；②．【解】①；②，当，．记，则所以当时单调递增，而也递增，因此最小值为．当，综上．10. 已知展开式中偶数项的二项式系数之和比展开式中奇数项的二项式系数之和小，求第一个展开式的中间项．【解】展开式中偶数项的二项式系数之和为展开式中奇数项的二项式系数之和为，，即，解得，（舍）．．展开式的中间项为．二项式定理中的赋值法1. 设，则．【答案】2. 已知；那么；；；；．【答案】；；；；3. 若，则．【答案】【分析】令，得．令，得，所以．4. 若，则．（用数字作答）【答案】【分析】令，则；令，则，所以5. 若，则．【答案】【分析】令，则．6. 已知．求：(1) ；【解】令，则因为，所以．(2) ；【解】令，则得(3) ；【解】得(4) ．【解】因为展开式中，，，大于零，而，，，小于零，所以，即可得其值为．其他方法：，表示展开式中各项的系数和，所以．7. 已知，求：(1)；【解】令，得．令，得，所以．(2)；【解】令，得．得，所以．(3)．【解】因为与的展开式中对应项的系数的绝对值相等，而的展开式各项系数均为正数，所以即为的展开式的各项系数和，故．(1)求多项式的展开式中各项系数的和；【解】设其各项系数和即是．所以(2)多项式的展开式中的偶次幂各项系数的和与的奇次幂各项系数的和各是多少？【解】设（且为偶数），，．故的偶次幂各项系数的和为，的奇次幂各项系数的和为．9. 设，求：(1) ；【解】设．(2) ；【解】设．(3) ；【解】设．(4) ．【解】设．10. 在的展开式中，求：(1)二项式系数的和；【解】二项式系数和为．(2)各项系数的和．【解】令，各项系数的和为．二项式定理的应用1. 若 ( 为有理数)，则．【答案】2. 除以的余数是．【答案】【分析】，余数为．3. 除以的余数是．【答案】4. 如图所示，在杨辉三角中，从上向下数共有行，在这些数中非的数字之和为．【答案】【分析】所有数字的总和为，其中共有个．5. 设为奇数，则被除所得余数为．【答案】【分析】因此，被除所得余数为．6. 已知，，用二项式定理证明：．【解】利用二项式定理把左边的式子展开．，，，原式．由二项式系数的性质得．7. 求的值．原式【解】8. 化简：．【解】解法一：令，则也可得，将其相加，利用，，，得故．解法二：9. 用二项式定理证明：能被整除（）．【解】每一项都是的倍数，所以能被整除．10. 求证：（，且）．【解】因为，，所以的展开式至少有四项．因为．所以．课后练习1. 的展开式的常数项是（用数字作答）．2. 已知的展开式中常数项为，则的展开式中项的系数为．3. 在的展开式中，的系数是．4. 已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大，则展开式中系数最大的项为．5. 在二项式的展开式中恰好第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是．6. 若二项式的展开式中的第项是常数项，则．7. 已知的展开式中的系数为，则．8. 关于二项式有下列四个命题：①该二项展开中非常数项的系数和为；②该二项展开式中系数最大的项是第项；③该二项展开式中第项为；④当时，除以的系数是．其中正确的序号是．9. 的展开式中项的系数为．（用数字作答）10. 展开式的常数项为，则正数．11. 在的展开中，的系数为．12. 展开式中的系数是 (用数字作答)．13. 若，则．14. 在的展开式中的系数是．15. 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是．16. 已知，则，．17. 的展开式中，各项系数之和为．18. 若，则的值为．19. 设，则．20. 已知，则；．21. 除以的余数是．22. 除以的余数是．23. 设，则除以的余数为．24. 若，则的值为．25. 数的末尾连续的零的个数是．26. 若，在的展开式中最大的项为第几项？并求出这一项的值．27. 若的展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中含的一次幂的项；(2)展开式中所有含的有理数项；(3)展开式中系数最大的项．28. 求的展开式中的常数项．29. 已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的倍，而又等于它后一项系数的．(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．30. 今天是星期天，再过天后是星期几？31. 已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大，求展开式中系数最大的项和系数最小的项．32. 证明：．33. 求：(1) 展开式中的第项；(2) 的展开式中的第项．34. 若，则展开式中系数最大的项是哪一项？其值等于多少？35. 求证：．(1)在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？(2)的展开式奇数项的二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．37. 在的展开式中，奇数项的系数和是，求第项是多少？38. 在的展开式中，若第项与第项系数相等，则等于多少？39. 已知是等差数列中的一项．求证：的展开式中不含常数项．40. 已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项的系数．41. 请先阅读：设可导函数满足．在等式的两边对求导，得，由求导法则，得，化简得等式．(1)利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；(2)当整数时，求的值；(3)当整数时，证明：．42. 已知，求．43. 若．(1)求；(2)求；(3)求．44. 已知，求：(1) ；(2) ．45. 已知，定义．(1)记，求的值；(2)记，求的所有可能值的集合．46. 证明：若，则能被整除．47. 求证：能被整除．48. 已知二项式的展开式中第项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列，(1)求的值；(2)数列中，，，求证：能被整除．49. 求的十进制表达式中的个位数字．50. 用二项式定理证明：是的倍数．二项式定理-出门考姓名成绩1. 在的展开式中，的系数为．2. 已知，则二项式的展开式中的系数为．3. 已知，则二项式展开式中的系数为．4. 设的展开式的各项系数的和为，且二项式系数的和为，，则展开式中项的系数是．5. 若多项式，则．6. 的展开式的常数项为（具体数值作答）．7. 的展开式中与项的系数之比为．（用数字作答）8. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为．9. 在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．10. 的展开式中的常数项为．（用数字作答）11. 设，则．12. 在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）．13. 在的展开式中，系数为有理数的项共有项．14. 已知为实数，展开式中的系数是，则．15. 若在的展开式中，的系数是，则．16. 已知则．17. 若，且，则实数的值为18. 若，则．19. 若展开式中系数的和大于且小于，则正整数．20. 设，则（1）；（2）；（3）．21. 当时，有如下表达式：．两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：．22. 被除所得的余数是．23. 除以的余数是．24. 除以的余数是．25. 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为．26. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第几行从左至右的第个数与第个数之比为？27. 设集合，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为．(1)求的值；(2)求的表达式．28. 已知在的展开式中，第项为常数项．(1)求；(2)求含的项的系数；(3)系数是有理数的项共有多少项？29. 求的展开式中的系数．30. 在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．31. 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．32. 计算（精确到）；33. 设，试求展开式中含的项的系数．34. 求的展开式．35. 设成等差数列，求证：．36. 求的展开式中系数最大的项．37. 已知的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．38. 化简：．39. 设展开式中的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项．40. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．41. 已知等比数列，首项是展开式中的常数项，公比，设．(1)求；(2)求．42. 求的展开式中，(1)各项二项式系数之和；(2)奇数项二项式系数之和；(3)偶数项二项式系数之和；(4)各项系数之和；(5)各项系数绝对值之和；(6)奇数项系数之和与偶数项系数之和．43. 设数列是等比数列，，公比是的展开式中的第二项（按的降幂排列）．(1)用、表示通项与前项和；(2)若，则用，表示．44. 已知二项式．(1)展开式的中间项是第几项，写出这一项；(2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(4)写出展开式中系数最大的项．45. 的展开式奇数项的二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大项．46. 求被除所得的余数（）．47. 如图，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们的中间留下一些通道，从上面的漏斗直通到下部的长方形框子，前面用一块玻璃挡住．把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层（有几个通道就算第几层）的六棱柱上面，以后，再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里过去，再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里过去……以此类推，最终落到下边的长方形框子中．假设我们总共在木板上做了层通道，在顶上的漏斗里一共放了（颗）小弹子，让它们自由落下，落到下边个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目（按照可能情形来计算）会是多少？你能用学过的二项式定理与概率的知识来解释这一现象吗？48. 求证：能被整除．49. 求的展开式中的常数项，其中是除以的余数．50. 将展开式的各项依次记为，，，．，，设．(1)是否存在，使得的系数成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求证：对任意，恒有．。

二项式定理百科

二项式定理百科二项式定理（Binomial theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。

这个定理在代数、组合数学、概率论等领域都有广泛应用。

本文将详细介绍二项式定理及其应用。

一、二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，都有以下等式成立：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$其中，$\binom{n}{k}$表示组合数，计算公式为$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$式中的$\binom{n}{k}$可以读作n选择k，它表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

二项式系数$\binom{n}{k}$决定了二项式展开后各项的系数。

二、二项式定理的展开式通过二项式定理，可以将一个二项式的幂展开成多个项的和。

例如，对于$(a+b)^3$，应用二项式定理，展开式为：$$(a+b)^3=\binom{3}{0}a^3b^0+\binom{3}{1}a^2b^1+\binom{3}{2}a ^1b^2+\binom{3}{3}a^0b^3$$化简得：$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$可以看出，展开后的每一项的指数和为3，且系数由组合数$\binom{3}{k}$确定。

三、二项式定理的应用1. 代数应用二项式定理常用于代数运算中，特别是求解多项式的展开式和系数。

通过二项式定理，可以快速计算高次幂的二项式展开式，简化复杂计算过程。

同时，二项式定理也可用于证明其他代数恒等式。

2. 组合数学组合数学研究的是离散结构和计数问题。

二项式定理的组合数$\binom{n}{k}$用于计算从n个元素中选择k个元素的方法数。

这对于排列组合、概率计算等问题都具有重要意义。

3. 概率论在概率论中，二项分布是一种重要的离散概率分布，它描述了一系列独立重复实验中成功次数的概率分布。

二项式定理可以用于计算二项分布的概率，判断在一定概率下，事件发生k次的概率。

二项式定理(binomialtheorem)

例子
例如，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 是一个二项式的展开式。
小常识
二项式來源于对“二”的组合数。
二项式定理的公式表述
1
公式1
(a+b)^2 = a^2 + 2ab a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
3
公式3
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
二项式定理的性质
对称性
(a+b)^ n = (b+a)^ n
二项式系数的对称性
在二项式定理中，第k(k为整数) 个系数等于第(n-k)个系数。
常数的系数
二项式定理中，每一项系数的和为2的n次方。
二项式定理的证明方法
数学归纳法
适用于证明二项式定理的基本形式。
杨辉三角形
通过观察杨辉三角形的性质，可以推导出二项式定理。
二项式系数与对称性质
二项式系数具有对称性，即第k个系数等于第n-k个系数。通过对称性质的使用，可以简化二项式定理中的系数。
二项式定理的推广与应用：多项式定理
在二项式定理的基础上，我们可以进一步推广并建立多项式定理。多项式定理适用于(x+y+z)^n的展开，同样具有广泛的应用于组合数学等领域。
利用二项式定理求逆元
在计算机科学中，在模m下，a的逆元定义为b等于a乘以b模m余1。利用二项式定理，可以推导出求逆元的通用公式。
投掷硬币问题与二项式定理
二项式定理可应用于投掷硬币的问题。例如，考虑抛掷硬币n次，期望得到k个正面的概率，可以使用二项式系数计算。

二项式系数等于2的n次方推导

二项式系数等于2的n次方推导
从组合的角度来可以这样理解。

有两个变量x和y，要从这两个变量里面选n个，每次随便选1个可以选x，也可以选y，所以每次的选择有2个，共选择n次（n 步，乘法原理），所以是2的n次方。

扩展资料：
二项式定理（binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。

该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。

二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

二项式定理最初用于开高次方。

在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。

11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。

此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。

13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。

贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。

14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线。

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。

其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。

二项式定理原理

二项式定理原理The binomial theorem, also known as the binomial expansion, is a fundamental theorem in algebra that describes the algebraic expansion of powers of a binomial.二项式定理，也称为二项式展开定理，是代数学中的一个基本定理，描述了二项式的幂的代数展开。

The theorem states that for any positive integer n, the binomial expansion of (a+b)^n is given by the formula: (a+b)^n = C(0,n)a^nb^0 + C(1, n)a^(n-1)b^1 + C(2, n)a^(n-2)b^2 + ... + C(k,n)a^(n-k)b^k + ... + C(n, n)a^0b^n, where C(k, n) denotes the binomial coefficient.该定理表示对于任意正整数n，(a+b)^n的二项式展开可以用公式表示：(a+b)^n = C(0, n)a^nb^0 + C(1, n)a^(n-1)b^1 + C(2, n)a^(n-2)b^2 + ... + C(k, n)a^(n-k)b^k + ... + C(n, n)a^0b^n，其中C(k, n)表示二项式系数。

The binomial theorem is widely used in combinatorics, calculus, and other areas of mathematics. It provides a powerful and efficient method for calculating the expansion of binomial powers, simplifying complicated algebraic expressions, and solving various mathematical problems.二项式定理在组合数学、微积分及其他数学领域被广泛应用。

math1-代数-二项式定理

题目 1：将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如下所示的 0-1 三角数表，从上往下数，第一次全行的数都为 1 的是第 1 行，第二次全行的数都为 1 的是第 3 行，。。。，第 n 次全行的数都是 1 的是第行，第 61 行中 1 的个数是第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 【答案】 2^n -1 , 32 【解答】可以归纳推算，第 1,3,7,15 行的数都是 1，所以，第 2^n-1 行的数都是 1. 因为 2^6-1=63, 也就是说第 6 次全行的数都是 1，从而得到第 63 行共有 64 个 1. 则第 62 行中必有 32 个 1 且奇数为 1，偶数位为 0，（10101010…0101），第 61 行中的数为（1100110011001100……0011）其中 1 的个数也为 32 个。例题 2 将杨辉三角中的每一个数 C n 都换成
令 an=
1 1 1 1 1 1 ... ，则 lim a n 2 2 n 3 12 30 60 nCn 1 (n 1)Cn
【答案】r+1， 1/2 【解答】因为
nCrn-1 n x
（n 1 ） ! r ! n r 1!
n! （r+1)x （r 1 ） ! n r 1!
4
翔文教育 xiangwenjy@
二项式定义 Binomial definition
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二项式定义 Binomial definition
例题 3 在 2001,2002，。。。。。。，2010 这 10 个数中，不能表示成两个平方数差的有个【解析】根据题意，要构成两个平方数的差可以有:a^2-b^2=(a+b)(a-b),两数的和与两数的差同奇或同偶，所以能构成两个数的平方数的差的数有两种：奇数或能被 2 整除但不能被 4 整除的数。所以不能表示成两个数的平方数的差的数有 2002，2006，2010 共 3 个；例题 4 今天是星期天，再过 821 天后是星期几，今天后的第 100^100 天是星期几？今天星期 3，再过 22001 天是星期几？

二项式定理公式概念

二项式定理公式概念The binomial theorem is a fundamental concept in algebra and mathematics. It provides a formula for expanding the power of a binomial expression, which is an algebraic expression with two terms. The theorem is often used in various fields of mathematics, including calculus, combinatorics, and probability theory. Understanding the binomial theorem is essential for solving problems in these areas and is a crucial part of a student's mathematical education.The binomial theorem states that for any positive integer n, the expansion of (a + b)^n can be calculated using the formula (a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n, where C(n,k) represents the binomial coefficient, which is the number of ways to choose k items from a set of n distinct items. This formula allows for the efficient calculation of the coefficients in the expansion of a binomial expression to any power, making it a powerful toolin algebraic manipulations.One of the key applications of the binomial theorem isin the field of probability theory. In probability, the binomial distribution describes the number of successes ina fixed number of independent Bernoulli trials, each with the same probability of success. The binomial theorem provides a way to calculate the probabilities of different outcomes in such trials, making it an essential tool for analyzing and predicting the likelihood of events invarious real-world scenarios.In addition to its applications in probability theory, the binomial theorem also plays a crucial role in combinatorics, the branch of mathematics concerned with counting, arranging, and organizing objects. The theorem provides a systematic way to expand binomial expressionsand calculate the number of combinations of items, which is essential for solving problems in combinatorial mathematics. This makes the binomial theorem an indispensable tool for solving problems in areas such as graph theory, coding theory, and cryptography.Furthermore, the binomial theorem has practical applications in fields such as engineering, physics, and computer science. In engineering and physics, the theorem is used to expand and simplify expressions in mathematical models and calculations, allowing for the efficient analysis and design of systems and structures. In computer science, the binomial theorem is applied in algorithms and data structures, where efficient calculations and manipulations of binomial expressions are required for various computational tasks.Overall, the binomial theorem is a fundamental concept with wide-ranging applications in mathematics and its related fields. Understanding and mastering the theorem is essential for students and professionals in various disciplines, as it provides a powerful tool for solving problems and analyzing real-world phenomena. Whether it's calculating probabilities in a game of chance, solving combinatorial puzzles, or designing complex systems, the binomial theorem is an indispensable tool that underpins many aspects of modern mathematics and its applications.。

高二数学二项式定理6(2019年新版)

一、问题引入
1999年9月，马云先生带着一个18人的团队和50万人民币在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美金。经过10பைடு நூலகம்的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳定发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十。
问：按这样的发展速度，到20周年庆典时，该公司市值将达到多少亿美金？
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进履宜假号百万并阴者敬以国从子贞子代立土地教化使之然也不三暮昔东瓯王敬鬼是日召而幸之兢兢焉惧不任好气无不为诸侯相、郡守者人有上书告新垣平所言气神事皆诈也贤人也康王死天下艾安都江陵霸业成矣二十一年关中计宫三百越祖少康率四方之士有应见柳从死者百七十七人至咸阳长子至楚方急围汉王於荥阳任国政十二年前昭公欺其臣迁州来晋曰：“必得郑君而甘心焉复入自雍属绛惠公至燕而死秦武王卒 “公见夫谈士辩人乎叔孙通者周平王命武公为公不可易也原望见邢夫人我不过为桀纣主齐王曰：“闻陈王战败天下恶之最比其羸弱者菑川地比齐学者多传夏小正云 “於是乎崇山巃嵸不敢复言为河伯娶妇仰天大哭人或恶之不敢言游戏之乐 ”子玉请曰：“非敢必有功 ”燕王因属国於子之去游燕十馀年不就岂敢以闻天王哉於齐则辕固生遇之不谨越桂林监居翁谕瓯骆属汉：皆得为侯塞成皋之险行酒次至临汝侯侵扰朔方发巴蜀吏卒千人 ”舜曰：“皋陶附王后安釐王元年六年今子幸而听解故曰申见周公祷书立二年见酒来今乃有意西面而事秦折其辩；昭王十三年後一岁兵起言足下於太子也不朝三月诸侯军乃敢击围钜鹿秦军山海不以封妾主岂可与同坐哉是岁鲁哀公三年中立将二国并力合谋田上下陈馀为将建

二项式定理的由来

二项式定理的由来二项式定理﹝Binomial Theorem﹞是指(a＋b)n在n为正整数时的展开式。

古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民，通过了以下的几何图形，认识了这个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。

它是公式(a＋b)n的特殊情形。

这公式在科学上很有用。

而在初中我们学到怎样算(a＋b)n，当n是较小的正整数。

如：n＝1，我们有(a＋b)1＝a＋bn＝2，我们有(a＋b)2＝(a＋b) (a＋b)＝a(a＋b)＋b(a＋b)＝a2＋2ab＋b2n＝3，我们有(a＋b)3＝(a＋b) (a＋b)2＝a(a2＋2ab＋b2)＋b(a2＋2ab＋b2)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3是否有较快的方法，写下(a＋b)n的展开式呢？有的，请看底下的方法，这方法的原理和上面的展开方法是一样的，但容易看出来：(a＋b)n的系数表为：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……这个三角形，在我国称为“贾宪三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。

它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中，“开方作法本源，出《释锁算书》，贾宪用此术。

”我们对贾宪的生平知道的不多，而《释锁算书》早已失传。

只知道他是北宋时楚衍（1022—1053）的学生。

除了杨辉的书有这个贾宪三角形，另外一本元朝朱世杰的书，出版于1303年的《四元玉鉴》也有这个贾宪三角形的图。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。

但在欧洲，这个三角形一般却称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

1665年，刚好22岁的牛顿在大学毕业前夕把二项式定理推广到n 为分数与负数的情形，并给出了展开式。

(a ＋b)n ＝a n ＋1n C a n －1b ＋2n C a n －2b 2＋…＋n-1n C ab n －1＋b n 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具，对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。

二项式定理 python

二项式定理 python二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。

在Python中，我们可以使用以下代码来实现二项式定理的展开：python.def binomial_theorem(a, b, n):result = []for k in range(n + 1):coefficient = b(n, k)。

term = coefficient (a (n k)) (b k)。

result.append(term)。

return result.在这段代码中，我们定义了一个函数`binomial_theorem`，它接受三个参数`a`、`b`和`n`，分别代表二项式中的两个项和幂次。

函数内部使用了`b`来计算组合数，并利用循环计算每一项的系数和幂次，最后将结果存储在列表中并返回。

除了这种自定义函数的方法，Python的一些库也提供了计算二项式展开的函数，比如SymPy库中的`expand`函数可以用来展开二项式。

使用SymPy库，我们可以这样来实现二项式定理的展开：python.import sympy.a, b, n = sympy.symbols('a b n')。

expr = (a + b)n.expanded_expr = sympy.expand(expr)。

print(expanded_expr)。

这段代码中，我们首先导入了SymPy库，然后定义了符号`a`、`b`和`n`，接着利用`sympy.expand`函数来展开`(a + b)^n`这个二项式，并打印出展开后的表达式。

除了以上方法之外，还有一些其他的方法可以在Python中实现二项式定理的展开，比如使用NumPy库进行多项式的乘法展开等。

总的来说，Python提供了多种灵活的方式来实现二项式定理的展开，开发者可以根据自己的需求选择合适的方法来实现。

下阶乘幂二项式定理

下阶乘幂二项式定理
下阶乘幂二项式定理（Lower Factorial Power Binomial Theorem）是二项式定理的一个扩展形式。

在数学中，二项式
定理是关于两个实数a和b以及任意非负整数n的恒等式：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
其中，$\binom{n}{k}$表示组合数C(n,k)，即从n个元素中选
取k个元素的组合数。

下阶乘幂二项式定理在二项式展开中使用阶乘的概念，将二项式展开更加深入地扩展到整数阶。

具体来说，下阶乘幂二项式定理将二项式展开的系数与下阶乘的函数数列联系起来。

下阶乘是一种阶乘的变种，定义如下：
$n!! = n \times (n-2) \times (n-4) \times \ldots \times 3 \times
1$（当n为奇数）
$n!! = n \times (n-2) \times (n-4) \times \ldots \times 4 \times
2$（当n为偶数）
下阶乘幂二项式定理的表达式如下：
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom{n}{k} a^{n-2k} b^{2k} (2k-1)!! $
其中，$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$表示不大于$\frac{n}{2}$的
最大整数。

这个定理的意义在于可以用下阶乘幂二项式定理方便地计算(a+b)^n的展开式，尤其是当n为大整数时，可以避免计算大量的阶乘值。

牛顿二项式定理

牛顿二项式定理目录二项式定理发现历程应用二项式的递推加法定理数形趣遇算式到算图二项式定理发现历程应用二项式的递推加法定理数形趣遇算式到算图展开编辑本段二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。

此定理指出：其中，二项式系数指...等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项公式为其i项系数可表示为:见图右，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。

(a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）编辑本段发现历程在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。

它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。

但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。

编辑本段应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。

排列与组合1、Cn0+Cn1+Cn2……Cnk……Cnn=2^n2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0证明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^ n当a=b=1时，代入二项式定理可证明1但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2二项式定理二项式定理: 叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别.系数性质①对称性：②增减性和最大值：先增后减n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2＋1n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2＋1]赋值法掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。

文科全国卷三数学考不考二项式定理

文科全国卷三数学考不考二项式定理答案是文科不考
扩展资料：又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。

该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。

二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

1、二项式定理(英语:binomial theorem)，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。

该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。

一项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

2、一项式定理最初用于开高次方。

在中国，成书于1世纪的《九音算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。

11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。

牛顿是如何计算圆周率的

r=0
3 反正弦方法
5
3 反正弦方法
牛顿的另一个方法是：利用反正弦的展开式进行计算.
先求导数
(arcsin x)′ = √ 1 1 − x2
然后积分
arcsin x =
dx √
1 − x2
=
(1
−
x2
)−
1 2
dx
=
∞
−
1 2
(−x2 )r dx
r
r=0
=
∞
(−1)r
−
1 2
·
1
· x2r+1
r 2r + 1
1 S△BCO = 2 · OC · BC
√ 11 3 =2·4· 4 √
3 =
32
(x − 1 )2 + y2 = ( 1 )2
2
2
y
=
x1 2
(1
−
x)
1 2
下面对函数进行积分
SABC =
1
41
1
x 2 (1 − x) 2 dx
0
2 求面积方法
4
应用二项式定理，将
(1
−
x)
1 2
展开，将
x1 2
r=0
代入一个适当的值，就可以计算了. 如
π = arcsin( 1 )
6
2
则
∞
π = 6 (−1)r
−
1 2
r
1 22r+1(2r + 1)
r=0
4 数值表
6
4 数值表
列举前几个值
1 2
r
1 1/2 -1/8 1/16 -5/128 7/256 -21/1024 33/2048 -429/32768 715/65536 -2431/262144