非线性系统.

2 2 A B 1 arct an 1 1 ,...
A 1 B1
７．２
描述函数
定义：非线性环节稳态输出的基波分量与输入的正弦信号的复数比定义 为非线性环节的描述函数， 用N(A)表示
Y1 j1 N ( A) e A
线性化
A B A1 arctan A B1
2 1 2 1
常见非线性环节的描述函数仅是输入正弦幅度A的函数
1 N ( A)
M2
A sin(t ) N ( A)G( j ) A sin(t N ( A) G( j ))
７．３
描述函数法
M1
自激振荡的分析与计算 临界稳定的条件:
G ( j )
G( j) N ( A) 1,...G( j) N ( A)
负倒描述函数
７．３
Nyquist 稳定判据
描述函数法
1 N ( A)
临界稳定曲线
非线性系统的稳定性

1 N ( A)
G ( j )
G ( j )
1 N ( A) 1 N ( A)
G ( j )
M1
M2
负倒描述函数
７．３
描述函数法
r(t) x N y G(s)
自激振荡的分析与计算 非线性环节的输入
G ( j )
M1
x(t ) A sin t y1 (t ) N ( A) A sin(t N ( A))
1 N ( A)
M2
c(t ) G( j) N ( A) Asin(t N ( A) G( j))
７．３
例题 7-3
描述函数法
x(t)
2 ,...Re( 2 ) 1.66 A
非线性环节
７．２
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
描述函数法
死区环节的正弦响应
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
７．２
描述函数法

y(t)可展开为傅立叶级数
y (t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
７．２
描述函数法
通过描述函数将非线性环节线性化；
应用线性系统的频率法对系统进行分析 （主要分析非线性系统的稳定性和自激激振荡 描述函数的定义 描述函数法的应用条件 非线性环节的输入信号为 x(t) y(t)
x(t ) A sin t
输出y(t)一般为周期性非正弦信号
7．4 相平面法
相平面图. (无阻尼二阶系统)
2 (t ) n x x0
7．4 相平面法
相平面图的绘制 解析法, 图解法,实验法 奇点与奇线 研究相平面图的特征, 找出相平面图与系统运动状态和 性能的关系
0 dx dx dx , 0, 0, dx 0 dt dt
n 1
An Bn
1
2
wk.baidu.com
1
y (t ) cos ntd (t )
0
2

y (t ) sin ntd (t )
0
A1coswt, B1sinwt 为对应y(t)的一次谐波分量
y1 (t ) A t 1 ) 1 cost B 1 sin t Y 1 sin( Y1
系统处于平衡状态,奇点 称为平衡点.
7．4 相平面法
7．4 相平面法
奇点与奇线
7．4 相平面法
奇线
分隔线和极限环
稳定极限环 半稳定极限环 不稳定极限环
7．5 非线性系统的相平面分析法
例7-8
cc
有输入信号
ee
7．5 非线性系统的相平面分析法
例7-8
阶跃输入下 的相轨迹
7．4 相平面法
r(t) x N y G(s) c(t)
描述函数法：频域分析法 非线性系统的稳定性
C ( j ) N ( A)G ( j ) ( j ) R( j ) 1 N ( A)G ( j ) 1 1 N ( A)G ( j ) 0, G ( j ) N ( A)
非线性反馈校正是如何改善系统动态性能的
当c比较小时,无局部反馈
当c比较大时,接入局部反 馈
7．4 相平面法
第七章作业
1 2 什么是描述函数法,其应用的条件是什么?主要用来分 析系统的哪些特性? 什么是相平面法,主要用来分析系统的哪些特性?它 适用于几阶系统?
7-4 7-6
７．２
描述函数的应用条件 • • •
描述函数
r(t) x N y G(s) c(t)
N和G(s)的串联形式 y(x)=-y(-x) 保证A0=0 G(s)具有良好的低通滤波特性．y(t)近似y1(t)
Y1 j1 N ( A) e A
A12 B12 A1 arctan A B1
７．２
第七章 非线性系统
非线性系统的特点 x0<1
x(1 x) x x0 e t x(t ) 1 x0 x0 e t
x0=1
t x0>1
非线性系统的主要研究方法: 相平面法和描述函数法 计算机数字计算
第七章 非线性系统
非线性系统的正弦响应
a system with open transform of 1/s(s+1) and blacklash 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
4 1.66,...A 2.1

1 A N ( A) 4 10 j ( j 1)( j 2)
G ( j )
为稳定的自激振荡点．X(t)=2.1sin(1.414t)
7．4 相平面法
相平面法是求解二阶微分方程的图解法. 时域方法 分析内容: 稳定性,自激振荡,运动轨迹. (局限一,二阶系统) 相平面的基本概念
描述函数的求法
描述函数
• • •
画出正弦信号输入下的输出波形，写出y(t)的表达式 求出y(t)的基波分量(A１， B1) 按定义写出
Y N ( A) 1 e j1 A
A12 B12 A arctan 1 A B1
Y1 j1 4 M N ( A) e A A
７．３
描述函数法
1 G ( j ) N ( A)
在非线性环节处的信号为 x(t)=Asinwt 在输出端的自激信号为 c(t)=-x(t)

1 N ( A)
M2
注意：所计算的是非线性环节的输入信号x(t), 根据系统的结构图， 可计算任何一点的自激振荡的频率和振幅．
７．３
稳定的自激振荡
描述函数法
M2点为稳定的自激振荡点．
c(t)
x(t ) A sin t y1 (t ) N ( A) A sin(t N ( A))
线性部分的输出为
G ( j )
M1
c(t ) G( j) N ( A) Asin(t N ( A) G( j))
r (t ) 0, x(t ) c(t )
第七章 非线性系统
7。1 典型非线性特性
M
k
k
1 饱和特性
a
2 .死区特性
a
b
b
a
3 滞环特性
ma
a
4 继电器特性
第七章 非线性系统
非线性系统的特点 (1) 不满足叠加原理
(2) 系统的稳定性与输入信号的大小, 形式和系统的初始条件有关
(3) 频率响应: 输出通常是非正弦周期函数 (4) 可能会发生自激振荡 有时利用非线性特性改善系统特性
(t ) a1 ( x, x ) x (t ) a0 ( x, x ) x 0 x
seting : x1 x, x2 x 1 x2 x dx2 f ( x1 , x2 ) 2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2 x
xx
相平面