第四章 线性系统的稳定性

t →∞

h(t ) < M ,
0<t <∞
例如纯LC网络， 其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的 正弦振荡。 因为边(临)界稳定是处在稳定与不稳定两种情况 之间， 所以称边（临）界稳定。 为使分类简化， 通常将其 归为非稳定系统。 三、稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系 稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系 系统函数
由上式得
H1 ( s ) Y f ( s) = F ( s) 1 + H1 ( s ) H1 ( s ) K H ( s) = = = 3 F ( s ) 1 + H1 ( s ) s + 11s 2 + 10s + K Y f ( s)
根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得
1 11 c2 d2
10 K c0 d0
(1) D(s)的系数ai全部为正实数; (2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。 以上是系统稳定的必要条件而非充分条件。 如果给定H(s) 表示式， 由此可对系统稳定性作出初步判断。 若当系统为一 阶、 二阶系统时， 系数ai>0就是系统稳定的充分必要条 件 (i=0, 1)。 例1 已知系统的H(s)如下， 试判断是否为稳定系统？
由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为 (4.8-20) (4.8-21)
1 an cn −1 = − an −1 an −1 k = 10 − 11 1 an cn −3 = − an −1 an −1
an − 2 1 1 10 =− an −3 11 11 k
1 11 K 10 − 11 K
根据R-H准则，若
第一行 第二行
2
12
2 0 0 0 0
1 8 2 12 2 2 = −4 − =2 第三行 − 1 8 1 0 1 1 8 1 1 0 = 8.5 =0 第四行 4 −4 2 4 −4 0 1 −4 2 第五行 − 0 8.5 8.5 0
第一列数字两次改变符号（从1→-4； -4→8.5）， 所以 有两个正实部的根， 为非稳定系统。
F(s) V(s)
G ( s) ＝
1 ( s ＋ 2)( s － 1)
来自百度文库
Y(s)
－k
Y(s)=V(s)G(s) 将V(s)=F(s)-kY(s)代入上式， 得 Y(s)=［F(s)-kY(s)］G(s)=F(s)G(s)-kY(s)G(s)
解： 整理上式， 得 Y(s)［1+kG(s)］=F(s)G(s) 由此得到
∫
∞
−∞
h(t ) dt ≤ M < ∞
LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性， lim h(t ) 稳定性也必在其中。 因此既可由 的不同情况， t →∞ 也可由H(s)的极点分布， 对系统稳定性分类。 二、稳定系统的分类 1、稳定系统 由H(s)零、 极点分析可知， 若H(s)的全部极点在s的左 半平面（不含jω轴）， 则单位冲激响应满足
其中
−1 ± 1 − 4(k − 2) 1 9 p1,2 = =− ± −k 2 2 4
1 9 1 9 p1 = − + − k , p2 = − − −k 2 4 2 4
讨论： 1）k=0时， 反馈支路开路， 系统无负反馈， 极点为 p1=1， p2=-2， 系统不稳定； 2）k=2时， 系统加了反馈， 极点为p1=0， p2=-1， 系 统临界稳定； 3）k=9/4时， 系统进一步加大了反馈， 极点为p1=p2=1/2， 系统稳定； 4） k>9/4， p1、 p2为具有负实部的共轭复根， 系统稳 定。 以上分析可知k>2系统稳定， k<2系统不稳定。 可以推 得一般结论： 系统加负反馈可以增加系统的稳定性。
N ( s) H ( s) = D( s)
D ( s ) = an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0
稳定系统的极点应位于s平面的左半平面， 因此D(s)根的 实部应为负值。 它对应以下两种情况： (1) 实数根， 其因式为 (s+a) a>0 (2) 共轭复根， 其因式为 (s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2 =s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c 将D(s)分解后， 只有(s+a)、 (s2+bs+c)两种情况， 且a、 b、 c均为正值。 这两类因式相乘后， 得到的多项式系数必然为 正值， 并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可 得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：
罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则) 罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列， 一部分是罗斯判据(罗斯准则)。 1.罗斯阵列
其中， 罗斯阵列前两行由D(s)多项式的系数构成。 第一行 由最高次项系数an及逐次递减二阶的系数得到。 其余排在第二 行。 第三行以后的系数按以下规律计算：
依次类推， 直至最后一行只剩下一项不为零， 共得n+1行。 即n阶系统， 罗斯阵列就有n+1行。 如果第一列an、 a n-1、 c n-1、 d n-1、 en-1、 …各元素数字有符号不相同， 则符号改变的次数就是方 程具有正实部根的数目。
K H1 ( s ) = s( s + 1)( s + 10)
K取何值时系统为稳定系统。
＋
F(s)
X(s) H1(s) Yf(s)
－
解 令加法器的输出为X(s)， 则有
X ( s) = F ( s) − Y f ( s) Y f ( s ) = H1 ( s ) X ( s ) = H1 ( s )[ F ( s ) − Y f ( s )]
lim h(t ) = 0
t →∞
系统稳定。 2、不稳定 若H(s)有极点落在右半平面， 或者jω轴、 原点处有二 阶以上的重极点， 则单位冲激响应为
lim h(t ) → ∞
t →∞
系统不稳定。 3. 边（临）界稳定 若H(s)在原点或jω轴上有一阶极点， 虽然单位冲激响 应 lim h (t ) ≠ ∞ ， 但
罗斯准则（判据）: 若 D( s) = an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 则D(s)方程式的根全部位于s左半平面的充分必要条件是 D(s)多项式的全部系数ai大于零、 无缺项、 罗斯阵列中第一 列数字符号相同。 例 2 如图 所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中， H1(s)为
D( s ) = an s + an −1s
n
n −1
+ L + a1s + a0
H(s)的极点就是D(s)=0的根。若D(s)=0的根全部在左半平 面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。 D(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：D(s)的各项系数ai都 不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数， 可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai＞0。
4.11 线性系统的稳定性
稳定系统 一、 稳定系统 一个连续系统，如果对任意有界输入产生的零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定 稳定 系统。 即对有限正实数Mf和My，若|f(t)|≤Mf，并且|yf(t)|≤My， 系统 则系统是稳定系统。 线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激 响应h(t)绝对可积。 设M为有限正实数，系统稳定的充分必要 条件可表示为
10 K 0 0
an − 4 =0 an − 5
K 10 − > 0 和K＞0，则系统稳定。 根据 11 以上条件，当0<K<110时系统为稳定系统。 例3：用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根。 D(s)=2s4+s3+12s2+8s+2 解 全部系数大于零， 无缺项； n=4， 排出n+1=5行。
Y ( s) G( s) 1 /( s + 2)( s − 1) H ( s) = = = F ( s ) 1 + kG ( s ) 1 + k /( s + 2)( s − 1) 1 1 1 = = 2 = ( s + 2)( s − 1) + k s + s + k − 2 ( s − p1 )( s − p2 )
(1) ( 2) (3)
s2 + 2s + 1 H1 ( s ) = 3 s + 4 s 2 − 3s + 2 s3 + s2 + s + 1 H 2 ( s) = 2s3 + 7s + 9 s2 + 4s + 1 H 3 ( s) = 3 2 3s + s + 2 s + 8
解 (1) 分母有负系数所以为非稳定系统； (2) D(s)中缺项， 所以不是稳定系统； (3) D(s)满足稳定系统的必要条件， 是否稳定还需进一步 分解检验。 对D(s)进行分解 D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4) 可见D(s)有一对正实部的共轭复根， 所以系统(3)为非稳 定系统。 例2 如图所示反馈系统， 讨论当k从零增长时系统稳定性变 化。
四、罗斯 霍尔维兹准则 罗斯-霍尔维兹准则 罗斯 霍尔维兹准则 设n阶线性连续系统的系统函数为
B ( s ) bm s m + bm −1s m−1 + L + b1s + b0 H (s) = = D( s ) an s n + bn −1s n −1 + L + a1s + a0
式中，m≤n，ai(i=0, 1, 2, …, n)、bj(j=0, 1, 2, …, m)是实常数。H(s) 的分母多项式为