湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一第一学期入学考试 数学试卷(无答案)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U＝{1, 3, 4, 5, 7, 9}，A＝{1, 4, 5}，则∁U A＝（）A.{3, 9}B.{7, 9}C.{5, 7, 9}D.{3, 7, 9}2. 函数y=√x−1+lg(3−x)的定义域为（）A.(1, 3)B.[1, 3)C.(3, +∞)D.[1, +∞)3. 若函数f(x)＝x2+mx−4m在区间[−1, 4]上单调，则实数m的取值范围为（）A.(−∞, −8]∪[2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −8]D.(−∞, −2]∪[8, +∞)4. 函数y=3x3x+2x的值域为（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)5. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，对于任意实数x，y∈(0, +∞)都满足f(xy)＝f(x)+f(y)，若f(3)＝1且f(m)<f(1−m)+2，则实数m的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(910,1) D.(0,910)6. 设a＝log1314，b＝(14)14，c＝(13)13，则a，b．c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b7. 幂函数的图象经过点(12,2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A.f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a) B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b) D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)8. 对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg II0（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I 2时的声强级为60dB ，则I 1是I 2的（ ）倍 A.10 B.100C.1010D.100009. 已知函数f(x)=3sin (2x −π3)，下列结论中正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x =π6对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 D.函数f(x)在(−π12,5π12)内是增函数10. 为了得到函数y ＝3sin 2x +1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点（ ） A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度11. 扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或412. 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B −sin A, sin B −cos A)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13. 已知函数f(x)=3sin (π2x +2)，若对于任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为（ ） A.4 B.1 C.12D.214. 已知平面向量a →=(1, −3)，b →=(4, −2)，若λa →−b →与a →垂直，则实数λ＝（ ） A.−1 B.1 C.−2 D.215. 如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →⋅CQ →的最小值为（ ）A.−6B.−3−2√2C.−3−√2D.−4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）计算：(−8125)−23+log 3√2743−log 29⋅log 32=________．若f(x)对于任意实数x 都有2f(x)−f(1x )=2x +1，则f(12)=________．已知sin α+2cos αsin α−2cos α=5，则cos 2α+12sin 2α=________．已知sin (α2−π4)=√210，则sin α＝________．若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin 2(ωx +φ)的部分图象如图所示，则ω的值为________．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）若函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，f(2)<3．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数f(x)在(−∞, −1]上的增减性，并证明．设向量a →=(cos α, λsin α)，b →=(cos β, sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a →+b →与a →−b →相互垂直． （1）求实数λ的值；（2）若a →⋅b →=45，且tan β＝2，求tan α的值．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点N 、M 满足AN →=λAB →，AM →=(1−λ)AC →，λ∈R ，设AC →=a →，AB →=b →．（1）试用向量a →和b →表示BM →，CN →；（2）若BM →⋅CN →=−32，求λ的值．将函数g(x)=4sin x cos (x +π6)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象．（1）若f(x)为偶函数，求f(φ)的值；（2）若f(x)在(π,76π)上是单调函数，求φ的取值范围．已知函数f(x)＝|x −a|−1，（a 为常数）．（1）若f(x)在x ∈[0, 2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g(x)＝x ⋅f(x)+a −m ，若存在实数a ∈(−1, 2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】 D 14. 【答案】 B 15.【答案】 B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 【答案】 4【答案】 3【答案】 25【答案】2425【答案】 2三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【答案】根据题意，函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，则f(−1)＝−2，又由f(2)<3，则有{ a+1b+c =2a+1−b+c =−24a+12b+c <3 且a 、b 、c ∈N ，解可得a ＝1，b ＝1，c ＝0；由（1）可得：f(x)=x 2+1x=x +1x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数，设x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0且(x 1x 2−1)>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数． 【答案】由a →+b →与a →−b →互相垂直，可得(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2＝0， 所以cos 2α+λ2sin 2α−1＝0，又因为sin 2α+cos 2α＝1，所以(λ2−1)sin 2α＝0， 因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1＝0，又因为λ>0，所以λ＝1．由（1）知a →=(cos α, sin α)，由a →⋅b →=45，得cos αcos β+sin αsin β=45，即cos (α−β)=45，因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0， 所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35， 所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tan α＝tan (α−β+β)=tan (α−β)+tan β1−tan (α−β)tan β=12． 【答案】BM →=AM →−AB →=(1−λ)AC →−AB →=(1−λ)a →−b →； CN →=AN →−AC →=λAB →−AC →=λb →−a →； BM →⋅CN →=−32，即[＝(1−λ)a →−b →]•(λb →−a →)＝[λ(1−λ)+1]a →⋅b →−λb →2−(1−λ)a →2＝(λ−λ2+1)⋅2⋅2⋅12−4λ−4(1−λ)=−32， 化为4λ2+1−4λ＝0，解得λ=12．【答案】∵ g(x)=4sin x(√32cos x −12sin x)=√3sin 2x −(1−cos 2x)=2sin (2x +π6)−1， ∴ 函数g(x)＝2sin (2x +π6)−1的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)=2sin (2x +π6+2φ)−1的图象，又f(x)为偶函数，则π6+2φ=π2+kπ(k ∈Z)，∵ 0<φ≤π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin (2x +π2)−1＝2cos 2x −1，f(φ)＝f(π6)＝2cos π3−1＝0． ∵ x ∈(π,7π6)，∴ 2x +π6+2φ∈(2π+π6+2φ,2π+π2+2φ)， ∵ 0<φ≤π2，∴ π6+2φ∈(π6,7π6]，π2+2φ∈(π2,3π2]，∵ f(x)在(π,7π6)上是单调函数．∴ π6+2φ≥π2，且0<φ≤π2，∴ φ∈[π6,π2]． 【答案】f(x)={x −a −1,x ≥a−x +a −1,x <a，当a ≥1时，f(x)max ＝f(0)＝3，∴ a ＝4； 当a <1时，f(x)max ＝f(2)＝3，∴ a ＝−2； 综上：a ＝4或−2．g(x)＝x|x −a|−x +a −m ＝0有三个零点，等价于ℎ(x)＝x|x −a|−x +a 和y ＝m 有三个不同的交点， ℎ(x)={x 2−ax −x +a,x ≥a−x 2+ax −x +a,x <a ，当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞, a−12)上递增，在(a−12, a+12)递减，在(a+12, +∞)递增；∴ 0<m <ℎ(a−12)，即0<m <(a+1)24∈(1, 94]，∴ 0<m <94．当−1<a <1时，ℎ(x)在(a−12, a+12)上递减，在(−∞, a−12)(a+12, +∞)上递增；∴ ℎ（(a+12)<m <ℎ(a−12)即−(a−1)24<m <(a+1)24，∴ −1<m <94．。
长郡高一2019-2020年第一次月考数学答案
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2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞4．（3分）函数332x x xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)106．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍A ．10B ．100C ．1010D ．100009．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或412．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．214．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．215．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+-=g ．17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．18．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= ．19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= ． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 ．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b+r r 与a b -rr 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值．23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u ur u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u rr，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ； （2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<…个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围．25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）． （1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【解答】解：集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}， 所以{3U A =ð，7，9}， 故选：D ．2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：由题意可知，1030x x -⎧⎨->⎩…，解可得，13x <„，即函数的定义域为[1，3)． 故选：B ．3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞【解答】解：2()4f x x mx m =+-的对称轴12x m =-，2()4f x x mx m =+-Q 在区间[1-，4]上单调， ∴12m --„，或142m -…， 2m ∴…或8m -„，故选：A ．4．（3分）函数332xx xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：Q 2()03x >，∴21()13x +>，∴31(0,1)2321()3x xx xy ==∈++， 故选：D ．5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)10【解答】解：Q 对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，且f （3）1=， ∴令3x y ==得：f （9）f =（3）f +（3）2=，∴原不等式()(1)2f m f m <-+可化为()(1)f m f m f <-+（9），()(99)f m f m ∴<-，又Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， ∴01099m m m m>⎧⎪->⎨⎪<-⎩，解得：9010m <<，故选：D ．6．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：1331log log 414a ==>Q ，01b <<，01c <<， a ∴最大，又1141211()()464b ==Q ，1131211()()381c ==，且幂函数112y x =在(0,)+∞上单调递增，c b ∴<， c b a ∴<< 故选：B ．7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数），Q 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-，∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<Q ，1101a b b a∴<<<<<， 又Q 幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a >>，故选：B ．8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍 A ．10B ．100C ．1010D ．10000【解答】解：由题意可得：12010701060I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即10276I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得121I lgI =，∴1210II =， 1I ∴是2I 的10倍，故选：A ．9．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 【解答】解：A 错，最小正周期为π，当6x π=时，()1f x ≠，B 错，2()3sin()063f ππ-=-≠，C 错，当5(,)1212x ππ∈-时，2(32x ππ-∈-，)2π，()f x 单调递增，D 成立，故选：D ．10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【解答】解：将3sin y x =的图象上的所有点的横标缩短原来的12倍， 得到3sin 2y x =的图象，再将函数的图象向上平移1个单位， 即可得到函数3sin 21y x =+的图象． 故选：B ．11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则由题意可得26122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得41l r =⎧⎨=⎩，或22l r =⎧⎨=⎩，当41l r =⎧⎨=⎩，时，其中心角的弧度数4l r α==；当22l r =⎧⎨=⎩时，其中心角的弧度数1l r α==故选：D ．12．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：ABC ∆Q 为锐角三角形，2A B π∴+>．2A B π∴>-，2B A π>-．sin cos A B ∴>，sin cos B A > cos sin 0B A ∴-<，sin cos 0B A ->P ∴在第二象限．故选：B ．13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．2【解答】解：函数()3sin(2)2f x x π=+，所以函数的周期242T ππ==． 对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．14．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r 垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q (1a b λλ-=r r ，3)(4--，2)(4λ-=-，32)λ-+，a b λ-r r 与a r垂直， ∴()43(32)0a b a λλλ-=---+=r r rg ，解得1λ=．故选：B ．15．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-【解答】解以O 为坐标原点建立如图坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，又(1,1)A --，(1,1)C ， ∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ，(cos 1,sin 1)CQ ββ==-u u u r ， ∴(cos 1)(cos 1)(sin 1)(sin 1)AP CQ αβαβ=+-++-u u u r u u u rgg g cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+- cos()2)2)244ππαββα=-++-，当cos()1αβ-=-，且sin()14πβ+=-，且sin()14πα+=时，则AP CQ u u u r u u u rg 有最小值，此时(21)k αβπ-=+，且524k βππ=+，且2()4k k Z παπ=+∈，∴AP CQ u u u r u u u rg 能取到最小值322--， 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+=g 4 ．【解答】解：原式23()351232()2423lg lg lg lg -⨯-=--g2512444=--=． 故答案为：4． 17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ． 【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+， 令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，① 令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =； 故答案为：318．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= 25 ． 【解答】解：Qsin 2cos 5sin 2cos αααα+=-， ∴tan 25tan 2αα+=-，解得tan 3α=， ∴2222221sin cos 1tan 132cos sin 221315cos sin cos tan ααααααααα++++====+++． 故答案为：25． 19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= 2425 ． 【解答】解：Q 2sin()24απ-=， 22224sin cos()cos2()12sin ()12()2242425παπαπαα∴=-=-=--=-⨯=． 故答案为：2425． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 2 ．【解答】解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1(2，1)之间，即112122πω<<g ， ∴2πωπ<<，2ω∴= 或3ω=．由图象经过点(1,0)，所以f （1）1cos(22)02ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈， 222k ωϕπ∴=-+， 由图象知1cos21(0)22f ϕ-=>，得cos20ω<， 又当ω为正整数2时，可得：cos2cos40ω=<，cos60>，所以可得：2ω=．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<． （1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．【解答】解：（1）根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=， 则(1)2f -=-，又由f （2）3<，则有12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩且a 、b 、c N ∈，解可得1a =，1b =，0c =； （2）由（1）可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数， 设121x x <-„，121212121212(1)()11()()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=， 又由121x x <-„，则12()0x x -<且12(1)0x x ->，则有12()()0f x f x -<，故函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b +r r与a b -r r 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值． 【解答】解：（1）由a b +r r 与a b -r r 互相垂直，可得22()()0a b a b a b +-=-=r r r r r r g ，所以222cos sin 10αλα+-=，又因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)sin 0λα-=， 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=，又因为0λ>，所以1λ=．（2）由（1）知(cos ,sin )a αα=r ，由45a b =r r g ，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即4cos()5αβ-=， 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以3sin()5αβ-==-， 所以sin()3tan()cos()4αβαβαβ--==--， 因此tan()tan 1tan tan()1tan()tan 2αββααββαββ-+=-+==--． 23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u u r u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r 和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ；（2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值． 【解答】解：（1）(1)(1)BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r ；CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ； （2）32BM CN =-u u u u r u u u r g ，即[(1)]()a b b a λλ=---r r r r g 22213[(1)1](1)(1)2244(1)22a b b a λλλλλλλλ=-+---=-+---=-r r r r g g g g ， 化为24140λλ+-=，解得12λ=．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【解答】解：（1）Q 31()4sin (sin )3sin 2(1cos2)2sin(2)126g x x x x x x x π=-=--=+-， ∴函数()2sin(2)16g x x π=+-的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()2sin(22)16f x x πϕ=++-的图象，又()f x 为偶函数，则2()62k k Z ππϕπ+=+∈， Q 02πϕ<„，∴6πϕ=，()2sin(2)12cos212f x x x π∴=+-=-，()()2cos 1063f f ππϕ==-=． （2）Q 7(,)6x ππ∈，∴22(22,22)662x πππϕπϕπϕ++∈++++， Q 02πϕ<„，∴72(,]666πππϕ+∈，32(,]222πππϕ+∈， ()f x Q 在7(,)6ππ上是单调函数． ∴262ππϕ+…，且02πϕ<„，∴[,]62ππϕ∈． 25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）1,()1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-<⎩…， 当1a …时，()(0)3max f x f ==，4a ∴=；当1a <时，()max f x f =（2）3=，2a ∴=-；综上：4a =或2-．（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点， 等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，22,(),x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+=⎨-+-+<⎩…， 当12a 剟时，()h x 在1(,)2a --∞上递增， 在1(2a -，1)2a +递减，在1(2a +，)+∞递增； 10()2a m h -∴<<，即2(1)0(14a m +<<∈，9]4， 904m ∴<<． 当11a -<<时，()h x 在1(2a -，1)2a +上递减，在(-∞，11)(22a a -+，)+∞上递增； 11(()()22a a h m h +-∴<<即22(1)(1)44a a m -+-<<， 914m ∴-<<．。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)24．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．56．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1-B ．1C ．2-D ．27．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2> B ．321.2 1.2--< C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．11611．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1AB =，2，3}，{2}AB =的集合B = ．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = ．18．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 ． 19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-【解答】解：{|12}A x x =-<<，{|20}B x x =-<<， 则(1,0)AB =-．故选：A ．2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]【解答】解：根据题意：12030x x ⎧-⎨+>⎩…，解得：30x -<… ∴定义域为(3-，0]故选：A ．3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)2【解答】解：根据题意，函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则有20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪+-⎩…，解可得：102a <…，即a 的取值范围为(0，1]2；故选：C ．4．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( )A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y x =为正比例函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为二次函数，是偶函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于C ，,0||,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩…，是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数，符合题意；对于D ，1y x=，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意； 故选：C ．5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．5【解答】解：函数21y x x =-+，对称轴为12x =， 13()24min y f ==，(1)3f -=，f （1）1=，故最大值为3，最小值为0.75 所以最大值和最小值的和为3.75， 故选：B ．6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1- B ．1C ．2-D ．2【解答】解：()f x 为奇函数且[0x ∈，1]时()2x f x m =-，(0)10f m ∴=-=， 1m ∴=，f （1）211=-=， (1)f f ∴-=-（1）1=-．故选：A ．7．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2>B ．321.2 1.2--<C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<【解答】解：函数x y a =，1a >时，函数是增函数，231.2 1.2∴>不正确；321.2 1.2--<正确； 函数 1.2log y x =，是增函数， 1.2 1.2log 2log 3∴>不正确； 函数0.2log y x =是减函数，0.20.2log 2log 3∴<不正确； 故选：B ．8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：251()(0,1)3a =∈，4321b =>，21log 03c =<，则c a b <<． 故选：D ．9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【解答】解：由220x x ->得2x >或0x <，即函数的定义域为(-∞，0)(2⋃，)+∞， 设22t x x =-，则5log y t =是增函数， 则要求()f x 的单调递增区间， 即求22t x x =-的单调递增区间， 22t x x =-的单调递增区间为(2,)+∞， ()f x ∴的单调递增区间为(2,)+∞，故选：B ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．116【解答】解：设幂函数为()f x x α=，()y f x =的图象过点1(2，∴121()222αα--===∴12α=． 12()f x x ∴=，f ∴（4）1242===，故选：B ．11．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-【解答】解：1a >时，函数()log (1)a f x x =+在定义域上单调递增， ∴不等式()0f x <可化为011x <+<，解得10x -<<，∴所求不等式的解集为(1,0)-．故选：D ．12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+【解答】解：0x 是()x y f x e =-的一个零点，00()0x f x e ∴-=，又()f x 为奇函数，00()()f x f x ∴-=-，00()0x f x e ∴---=，即00()0x f x e -+=， 故000()()10x x x f x e f x ee--+-+==； 故0x -一定是()1x y f x e =+的零点， 故选：A ．13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >【解答】解：原题等价于{213530x x x a x a<<-++=<，当△0=时，135,42a x ==； 当△0>，即134a <时，令2()53g x x x a =-++，满足(1)0(3)0g g >⎧⎨⎩…，解得13a <…．综上，实数a 的取值范围为13a <…或134a =． 故选：A ．14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <【解答】解：方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根， ∴两根之积2(2)0lg a a --<，故2(2)0lg a a ->，221a a ∴->，求得1a >或12a <-，故选：A ．15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =， 由图象知有三个根1u ，2u ，3u ， 分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =， 解出有9个t 符合方程，在令3t x =解出相应x 的根的个数为9个，故选：C ．二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1A B =，2，3}，{2}AB =的集合B = {2，3} ．【解答】解：{1A =，2}，{1AB =，2，3}，{2}A B =，2B ∴∈，3B ∈，1B ∉， {2B ∴=，3}．故答案为：{2，3}．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = 3． 【解答】解：(22)32f x x +=+，令22x t +=，则22t x -=， 232()3222t t f t --∴=+=， f ∴（a ）3242a -==， 则103a =． 故答案为：10318．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 (2,1)- ． 【解答】解：因为3()()3()f x x x f x -=--=-，所以是奇函数，且递增， 且2(2)()0f a f a -+<，即22(2)()()f a f a f a -<-=-， 22a a -<-，220a a +-<，所以(2,1)a ∈-， 故答案为：(2,1)-．19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 7 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 【解答】解：设至少需过滤的次数为n ，则由题意可得0.640.05n …，即0.640.05nlg lg …，0.0552121,301060.642(81)62260.30102lg lg lg n lg lg lg ----∴====--⨯- (706)再由n 为正整数可得n 的最小值为7， 故答案为：7．20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 1{a ，4a ，5}a ．【解答】解：由题意得，M 的第k 个子集，且12111222n i i i k ---=++⋯+， 又03411415125222222---=++=++， 所以M 的第25个子集是1{a ，4a ，5}a ， 故答案为：1{a ，4a ，5}a ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值．【解答】解：（1）3144333-==；∴5log 2log 2545lg lg ++；143115log 310022244lg -=++=-++=；（2）1122x x-+=，111222()23x x x x --∴+=+-=；2212()27x x x x --∴+=+-=；∴22167615352x x x x --+--==-+--． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5． 【解答】解：125121log 5122232lg lg alg lg lg a b--===++．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，当2m =，则12225x x -+=，解得1x =或1x =-； 由0x …，1x ∴=， 故经过1时间，温度为5摄氏度．（2）由题意得1222x x m -+…对一切0x …恒成立， 则 由20x >，得22x m …， 令2x t -=则01t <…，2211()222()22f t t t t =-+=--+， 当12t =时，取得最大值为12． 12m ∴…，故的取值范围为1[2，)+∞． 24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．【解答】解：联立得：221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩， 消去y 得：221x mx x ++=+，即2(1)10x m x +-+=，[0x ∈，2]， 由题设知2()(1)1f x x m x =+-+，[0x ∈，2]必有零点，分两种情况考虑：()i 若在[0，2]只有一个零点，则f （2）0<，即32m <-； 或2(1)401022m m ⎧--=⎪⎨-⎪⎩剟，解得：1m =-； ()ii 若在[0，2]有两个零点，则(2)010220f m ⎧⎪-⎪<-<⎨⎪>⎪⎩…，解得：312m -<-…， 由()()i ii 知：1m -…．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-． （1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【解答】解：（1）对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，则(0)0f =，1(1)2f =-．令1x y ==，则(11)f f +=（1）f +（1），f ∴（2）1=-； (21)f f ∴+=（2）f +（1）；即3(3)2f =-． （2）令y x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴为奇函数， 任取1x ，2x R ∈，且12x x <，210x x ->，则21()0f x x -<，212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<，21()()f x f x ∴<， 所以()f x 在R 上为减函数，故当810x -剟时，()(8)2(4)4(2)4max f x f f f f =-=-=-=-（2）4=， ()(10)10min f x f f ==（1）5=-．故当810x -剟时，函数()f x 的最大值是4，最小值是5-．。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 (含解析)
湖南省长沙市长郡中学2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学(满分:120分,时间:100分钟)一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(★)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x2-2x<0},则A∩B=( )A.(-1,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-2,2)1.关键点必修1 第一章集合与函数概念 1.1 集合考向解一元二次不等式,集合的运算.思路分析先通过解一元二次不等式化简集合B,再根据交集的定义进行求解即可.解析∵集合A={x|-1<x<2},B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},∴A∩B={x|0<x<2}=(0,2),故选B.答案 B2.(★★)函数f(x)=√1−2x+√x+3的定义域为( )A.(-3,0]B.(-3,1)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3)∪(-3,1]2.关键点必修1 第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示考向基本初等函数的定义域,集合运算思路分析求f(x)的定义域,注意分母不为0,偶次方根的被开方数大于或等于0.解析要使f(x)有意义,则有{1−2x≥0,x+3>0,解得{x≤0,x>−3,∴-3<x≤0,故选A. 答案 A3.(★★)若函数f(x)={(2-a)x,x≥1,ax+1,x<1,在R上是增函数,则a的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(0,2)C.(0,12]D.[12,2)3.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质考向 分段函数的性质,函数单调性的综合应用.思路分析 根据f(x)在R 上是增函数即可得出y=(2-a)x 在[1,+∞)上是增函数,y=ax+1在(-∞,1)上是增函数,且2-a ≥a+1,从而得出{2−a >0,a >0,2−a ≥a +1,解出a 的范围即可.解析 ∵f(x)={(2-a)x,x ≥1,ax +1,x <1在R 上是增函数,∴必须同时满足3个条件: ①y=(2-a)x 在[1,+∞)上为增函数,②y=ax+1在(-∞,1)上为增函数,③2-a ≥a+1,∴{2−a >0,a >0,2−a ≥a +1,解得0<a ≤12,故选C.答案 C点评 本题主要考查了分段函数的单调性及其应用,其中涉及分段函数的解析式、分段函数的单调性,以及一次函数的单调性等知识点,着重考查学生分析问题和解决问题的能力,以及转化与化归思想方法的应用,本题易忽略第③个条件导致错误.4.(★★)下列函数既是偶函数,又在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=xB.y=-x 2C.y=|x|D.y=1x 4.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质考向 基本初等函数奇偶性、单调性的应用.思路分析 首先由函数的奇偶性排除A 、D 选项,再由函数的单调性排除B 即可.解析 函数y=x,y=1x 是奇函数,故排除A 、D 选项.y=-x 2,y=|x|是偶函数.又∵y=-x 2在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数,故排除选项B.y=|x|在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,符合题意,故选C.答案 C5.(★★)函数y=x 2-x+1,x ∈[-1,1]的最大值与最小值之和为( )A.1.75B.3.75C.4D.55.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示考向 二次函数在闭区间上的最值问题.思路分析 y=x 2-x+1=(x -12)2+34,x ∈[-1,1],利用二次函数的性质求得它的最大值和最小值,从而求得函数的最大值与最小值之和.解析 函数y=x 2-x+1=(x -12)2+34的图象的对称轴为直线x=12. ∵x ∈[-1,1],∴函数在[-1,12]上单调递减,在[12,1]上单调递增,∴当x=12时函数取得最小值,为34,当x=-1时函数取得最大值,为3. ∴函数y=x 2-x+1,x ∈[-1,1]的最大值与最小值之和为34+3=3.75,故选B.答案 B点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,要注意分析二次函数图象的开口方向,对称轴与所给闭区间的位置关系.6.(★★)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当x ∈[0,1]时,f(x)=2x -m,则f(2 019)=( )A.-1B.1C.-2D.26.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数基本性质考向 函数的奇偶性,周期性的判断与应用.思路分析 根据f(x)是R 上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可求得f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x ∈[0,1]时f(x)=2x -m 及f(x)为奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,然后即可解出f(2 019)的值.解析 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数且f(x+1)=f(1-x),∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4.又∵x ∈[0,1]时,f(x)=2x -m,函数f(x)为R 上的奇函数,∴f(0)=1-m=0,∴m=1,∴x ∈[0,1]时,f(x)=2x -1,∴f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-1.故选A.答案 A点评 本题考查函数的周期性和奇偶性的综合运用,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a ≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.7.(★★)下列不等式成立的是( )A.1.22>1.23B.1.2-3<1.2-2C.log 1.22>log 1.23D.log 0.22<log 0.237.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数考向 指数函数、对数函数单调性的应用.思路分析 利用指数函数与对数函数的单调性逐一判断即可.解析 对于A,B 选项,函数y=1.2x 是增函数,∴1.22>1.23不正确,1.2-3<1.2-2正确;C.y=log 1.2x 为增函数,∴log 1.22>log 1.23不正确.D.y=log 0.2x 为减函数,∴log 0.22<log 0.23不正确,故选B.答案 B点评 比较指数幂或对数值的大小,若指数幂的底数相同或对数的底数相同,则通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较,若底数不同,则可考虑利用中间量进行比较.8.(★★)已知a=(13)25,b=243,c=log 213,则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b8.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数考向 指数函数与对数函数单调性的应用.思路分析 利用指数函数,对数函数的单调性,及中间值进行比较即可.解析 ∵a=(13)25∈(0,1),b=243>1,c=log 213<0, ∴c<a<b,故选D.答案 D点评 对于多个指、对数函数值的大小比较问题,可以先找中间量,比如0,1等,先把要比较的数按照(-∞,0),(0,1),(1,+∞)进行分类,对于同一类的数再利用指、对数函数的单调性进行比较,这样可以起到化繁为简的目的.9.(★★)函数f(x)=log 5(x 2-2x)的单调递增区间是( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,0)9.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.2 对数函数考向 对数函数的性质,二次函数的单调性,复合函数的单调性.思路分析 先求出函数的定义域,然后将复合函数分解为内、外层函数,分别讨论内外层函数的单调性,进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则,得到函数f(x)=log 5(x 2-2x)的单调递增区间.解析 f(x)=log 5(x 2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),令t=x 2-2x,x ∈(-∞,0)∪(2,+∞),则y=log 5t,∵y=log 5t 为增函数,t=x 2-2x 在(-∞,0)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,∴f(x)=log 5(x 2-2x)的单调递增区间为(2,+∞).故选B.答案 B点评 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.10.(★★)已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22),则f(4)的值为( )A.14B.2C.4D.11610.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数考向 求幂函数的解析式及幂函数的值.思路分析 根据待定系数法求出幂函数的解析式,然后直接求出f(4)的值即可.解析 设幂函数的解析式为f(x)=x α,∵y=f(x)的图象过点(12,√22), ∴(12)α=√22=(12)12, ∴α=12,∴f(x)=x 12,∴f(4)=412=2,故选B.答案 B点评 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式,解答此类题需要熟练掌握基本初等函数的一般表达式.11.(★★)已知函数f(x)=log a (x+1)(其中a>1),则f(x)<0的解集为( )A.(-1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(-1,0) 11.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.2 对数函数考向 利用对数函数的单调性解对数不等式.思路分析 根据a>1时函数f(x)在定义域上单调递增,把不等式f(x)<0转化为0<x+1<1求出x 的取值范围即可.解析 ∵a>1时函数f(x)=log a (x+1)在定义域上单调递增,且log a 1=0,∴不等式f(x)<0即为log a (x+1)<log a 1,∴0<x+1<1,解得-1<x<0,∴所求不等式的解集为(-1,0),故选D.答案 D点评 本题主要考查对数不等式的解法,在解题过程中要始终注意函数的定义域.形如log a f(x)>log a g(x)的不等式,需借助y=log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1和0<a<1两种情况讨论.12.(★★)若f(x)为奇函数,且x 0是y=f(x)-e x 的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点( )A.y=f(x)e x +1B.y=f(-x)e -x -1C.y=f(x)e x -1D.y=f(-x)e x +112.关键点必修1 第三章函数的应用 3.1 函数与方程考向函数的奇偶性,函数的零点.思路分析由x0是y=f(x)-e x的一个零点,得f(x)=e x0,结合函数的奇偶性依次分析各选项,验证-x是不是其零点,即可得到答案.解析∵x是y=f(x)-e x的一个零点,∴f(x)=e x0.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).依次分析各选项:A.y=f(x)e x+1,将x=-x代入可得y=f(-x0)·e-x0+1=-f(x)·e-x0+1=-e x0·e-x0+1=-e x0-x0+1=0,即-x是其零点,符合题意.B.y=f(-x)e-x-1,将x=-x代入可得y=f(x)·e x0-1=e x0·e x0-1=e2x0-1≠0,不符合题意.C.y=f(x)e x-1,将x=-x代入可得y=f(-x0)·e-x0-1=-f(x)·e-x0-1=-e x0·e-x0-1=-e x0-x0-1=-2≠0,不符合题意.D.y=f(-x)·e x+1,将x=-x代入可得y=f(x)·e-x0+1=e x0·e-x0+1=e x0-x0+1=2≠0,不符合题意,故选A.答案 A点评需要注意的是函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的根.13.(★★★)若函数f(x)=lg(x-1)+lg(3-x)-lg(a-x)只有一个零点,则实数a的取值范围是( )A.1<a≤3或a=134B.3≤a<134C.a≤1或a=134D.a>13413.关键点必修1 第三章函数的应用 3.1 函数与方程考向 对数函数的概念,函数的零点.思路分析 根据题意,问题等价于{1<x <3,x <a时,方程x 2-5x+a+3=0只有一解,然后讨论即可得结论.解析 问题等价于{x -1>0,3−x >0,a -x >0,即{1<x <3,x <a 时, f(x)=lg (x -1)(3-x)a -x =0只有一解,即{1<x <3,x <a时,方程x 2-5x+a+3=0只有一解.当Δ=25-4(a+3)=0时,a=134,此时x=52,满足题意.当Δ=25-4(a+3)>0,即a<134时,令g(x)=x 2-5x+a+3,需满足{g(1)>0,g(3)≤0,解得1<a ≤3. 综上,1<a ≤3或a=134,故选A.答案 A14.(★★)若方程x 2-2x-lg(2a 2-a)=0有一个正根和一个负根,则实数a 的取值范围是( )A.a>1或a<-12B.-12<a<1C.a>-12D.a<114.关键点 必修1 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程考向 对数函数的概念,一元二次方程根的分布.思路分析 方程x 2-2x-lg(2a 2-a)=0有一个正根和一个负根,则两根之积小于0,再由对数函数的概念得到2a 2-a>1,解此不等式即可.解析 ∵方程x 2-2x-lg(2a 2-a)=0有一正根和一负根,∴两根之积小于0,由一元二次方程根与系数的关系知lg(2a 2-a)>0,∴2a 2-a>1,即2a 2-a-1>0,解得a>1或a<-12,故选A.答案 A点评本题利用一元二次方程根与系数的关系很容易完成转化,需熟练掌握对数函数的概念,才能正确解决对数不等式.15.(★★★)已知函数g(x)的图象如图所示,则方程g(g(x3))=0的实数根个数为( )A.3B.6C.9D.1215.关键点必修1 第三章函数的应用 3.1 函数与方程考向数形结合思想解决函数与方程的应用.思路分析令u=x3,t=g(u),先根据函数g(x)的图象求出g(t)=0的根,再利用数形结合求出t=g(x3)的解即可.解析令u=x3,t=g(u),则由g(g(x3))=0知g(t)=0,由图象知g(t)=0有3个根,设为t1,t2,t3,且t1<t2<t3,则t1∈(-3,0),t2=0,t3∈(0,3).令t1=g(u),t2=g(u),t3=g(u),分别有3个解,即共解出9个互不相同的u,再由u=x3解出相应x有9个,所以方程g(g(x3))=0的实数根个数为9.故选C.答案 C点评本题考查了函数与方程的应用,根据函数定义,找到函数值与自变量之间的对应关系,借助数形结合的思想方法使问题得到解决.二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)16.(★★)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3},A∩B={2}的集合B= .16.关键点必修1 第一章集合与函数概念 1.1 集合考向集合的运算.思路分析 根据题意,分析可知集合B 中一定有元素2,再结合所给集合A 与A ∪B 中所含元素即可得答案.解析 由A ∩B={2}知集合B 中一定有元素2,又由A={1,2}可知B 中一定没有元素1,又A ∪B={1,2,3},所以集合B 中必有元素3.综上,集合B={2,3}.答案 {2,3}17.(★★)已知函数f(2x+2)=3x+2,且f(a)=4,则a= .17.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示考向 换元法求函数解析式和求函数值.思路分析 令2x+2=t,通过换元求出f(x)的解析式,再代入f(a)=4解方程求出a 即可.或者直接令3x+2=4解出x 的值,再计算出对应a 的值.解析 解法一:令2x+2=t,则x=t -22,∴f(t)=3·t -22+2=3t -22, ∴f(x)=3x -22.∵f(a)=4,∴3a -22=4,解得a=103. 解法二:∵f(2x+2)=3x+2且f(a)=4,∴令3x+2=4,解得x=23,∴a=2x+2=2×23+2=103.答案 103点评 对于形如y=f[g(x)]的函数解析式,令t=g(x)从中求出x=φ(t),然后代入表达式求出f(t),再将t 换成x,得到f(x)的解析式,同时要注意所换新元的取值范围,解法二比较简捷,但需要深刻理解函数概念中x 与y 的对应关系.18.(★★)已知f(x)=x 3+3x,x ∈R,且f(a-2)+f(a 2)<0,则实数a 的取值范围是 .18.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质考向 函数的奇偶性,函数的单调性,解一元二次不等式.思路分析 首先分析函数f(x)的奇偶性和单调性,然后利用f(x)的奇偶性和单调性“脱去”f(a-2)+f(a 2)<0不等式中的“f ”,得到关于a 的不等式,解不等式即可.解析 ∵f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x 3+3x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.又∵f(x)=x 3+3x 是R 上的增函数,∴f(a-2)+f(a 2)<0可转化为f(a-2)<-f(a 2),∵f(x)为奇函数,∴f(a-2)<f(-a 2),又f(x)为增函数,∴a-2<-a 2,即a 2+a-2<0,解得-2<a<1.故答案为(-2,1).答案 (-2,1)点评 此题要充分利用f(x)的奇偶性和单调性,将含“f ”的不等式中的“f ”脱去,从而得到关于a 的不等式.19.(★★★)某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质36%,若要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤 次.(参考数据:lg 2=0.301 0)19.关键点 必修1 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.2 对数函数考向 指数函数的应用,对数不等式解析 设净化前的水中杂质为1,第1次过滤后的水中杂质为1-36%,第2次过滤后的水中杂质为(1-36%)(1-36%)=(1-36%)2,第3次过滤后的水中杂质为(1-36%)2(1-36%)=(1-36%)3,……第x 次过滤后的水中杂质为(1-36%)x =0.64x (x ≥1且x ∈N),由题意得0.64x <0.05,两边取对数得x ·lg 0.64<lg 0.05,∴x>lg0.05lg0.64=lg5−2lg64−2=-1-lg26lg2−2=-1-0.3016×0.301−2=1.3010.194≈6.7.∴x ≥7,故答案为7.答案 7点评 本题通过实际问题体现了数学建模及数学运算的核心素养.20.(★★★)若规定集合M={a 1,a 2,…,a n }(n ∈N *)的子集N={a x 1,a x 2,…,a x k }(k ∈N *)为M 的第k 个子集,其中k=2i 1-1+2i 2-1+…+2i k -1,例如P={a 1,a 3}是M 的第5个子集,则M 的第25个子集是 .20.关键点 必修1 第一章 集合与函数概念 1.1 集合考向 子集的概念,集合中新定义的应用思路分析 根据规定将25表示成2n 的形式,由规定求出M 的第25个子集.解析 k=2i 1-1+2i 2-1+…+2i k -1,又25=20+23+24=21-1+24-1+25-1,∴M 的第25个子集是{a 1,a 4,a 5}.答案 {a 1,a 4,a 5}三、解答题(本大题共5个小题,共40分。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷
13.若函数 ＝ 只有一个零点，则实数 的取值范围是（）
A. B. 或 C. D. 或
14.若方程 ＝ 有一个正根和一个负根，则实数 的取值范围是（）
A. B. 或 C. D.
15.函数 的图象如图所示，则方程 （ ）＝ 的实数根个数为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上．
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
对数函数表础象与性质
指数函数于图象视性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
对数都北算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
复合函表的型调性
【解析】
此题暂无解析
【考点】
分段水正的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
函体奇序微病性质与判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
二次来数的斗象
二次明数织性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
函体奇序微病性质与判断
【答案】
此题暂无答案
【考点】
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．9的算术平方根是（ ） A ．3B ．3-C ．3±D ．812．2019年4月23日是中国海军70华诞的日子，我国宣布中国海军现役军人约为24万人，舰船300余艘，现役舰艇总吨位仅次于美国，将24万用科学记数法表示为（ ） A ．42410⨯B ．52.410⨯C ．42.410⨯D ．72.410⨯3．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ） A ．666422n n n --=- B ．236(3)27n n -= C ．22(4)416n n n -=-+D ．2(2)(2)4n n n +-=-5．在下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．买一张电影票，座位号一定是偶数 B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．将ACB △绕点C 旋转50°得到A CB ''，这两个三角形全等D ．阴天就一定会下雨6．不等式组2233(51)72x x x x-⎧≥-⎪⎨⎪--<-⎩的整数解的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27．如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0,)a ，(3,2)-，(,)b m ，(,)c m ，则点E 的坐标是（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(2,3)-D ．(3,2)-8．如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y （单位：N ）与铁块被提起的高度x （单位：cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实"相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x 升和y升，则可列方程组为（ ）A ．618101555x y y x +=⎧⎨+=⎩B ．618101555x yy x -=⎧⎨-=⎩C ．6181515510x y y x -=⎧⎨-=⎩D ．6181515510x y y x +=⎧⎨+=⎩10．如图，ABC 中，90BAC ︒∠=，3AB =，4AC =，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，连接CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．7511．如图，边长为4cm 的正方形ABCD ，点F 为正方形的中心，点E 在FA 的延长线上，4cm EA =．O 的半径为1cm ，圆心O 在线段EF 上从点E 出发向点F 运动，小明发现：当EO 满足①35EO <<；①35EO ≤≤；①4EO =①4EO =+O 与正方形ABCD 的边只有两个公共点，你认为小明探究结论正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①12．已知二次函数22y x mx =-（m 为常数），当12x -时，函数值y 的最小值为2-，则m 的值是（ ）A ．32B C ．32D ．32-二、填空题13．分解因式：2288a a -+=________．14．设a ，b 是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根，且2a ab b -+=，则实数k 的值是________．15．已知0a b >>，223a b ab +=，则22-a b ab的值为________．16．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点O 是Rt ACB △内部一点，ABO BCO CAO ∠=∠=∠．设OA a =，OB b =，OC c =，则a bc+=________．17．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图对所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_______．18．已知矩形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，B 的坐标为(10,5)，点P 在边BC 上，点A 关于OP 的对称点为A '，若点A '到直线BC 的距离为4，则点A '的坐标可能为________．三、解答题19．计算：2201912cos 45|(1)2-⎛⎫-+--︒- ⎪⎝⎭．20．先化简22242⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭mm m m m m ，再从2-，0，1，2中选取一个符合要求的数代入求值．21．某校为了提高学生的阅读能力，准备出台一项计划，为使计划更具针对性，对全校九年级学生进行了“1分钟默读速度”测试，现随机抽取20名学生的成绩进行分析，过程如下：收集数据 20名学生的“1分钟默读速度”成绩如下（单位：个）： 210 225 234 235 315 246 248 324 253 316 258 260 262 262 305 318 272 228 327 230整理数据 请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整．（说明：1分钟默读字数达到300个及以上者为达标）分析数据 请将下列表格补充完整：得出结论(1)用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为________； (2)估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数．22．如图1是一种客厅放置创意书架，共分三层，忽略其厚度，其基本结构可简化为图2．量得ABC 为等边三角形，100cm AB =，DE FG BC ∥∥，AD DF BF ==．(1)求书架的高度；(2)现有一种圆柱形茶叶盒的底面直径为10cm ，高为15cm ，若要将此茶叶盒按图中所示方式自然摆放在下层，一排可摆放多少个这样的茶叶盒？（结果精确到整数．参考1.7≈） 23．如图，A 与ABCD 的CD 边交于点F ，DE 是A 的直径，BF 与A 相切于点(1)求证：BE 是A 的切线；(2)若A 的半径为5，2FC =，求AB 的长．24．如图，以原点O 为中心的正方形ABCD 与反比例函数2104k y k AB x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的图象交于点E ，F ，G ，H ，双曲线在正方形内部被截出两段曲线．(1)如图AB y ∥轴，若点E 的横坐标是m ，则点F ，G ，H 的坐标可用含m ，k 的代数式表示为________，________，________；(2)在图1中，AB y ∥轴，若点E 的坐标为(2,5)，求GF 的长；(3)在图2中，若8AB =，点A 与点E 重合，AB 与y 轴交于点M ，1AM =，求k 的值．25．我们定义：如果三角形上两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”．如图1，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，若BD BE CD AC AE +=++，则DE 为ABC 的一条“等分周线”．(1)任意三角形的“等分周线”有________条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是________．(2)如图1，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，DE 为ABC 的一条“等分周线”．若AB AC >，设A n ∠=︒，AC m =，求DE 的长（用含m ，n 的代数式表示）．(3)如图2，在四边形ABCD 中，2BC CD =，AC 平分BCD ∠，BA AC ⊥，点E 在AC上，连接ED ，EB ，AB =1EC =，120∠=︒BEC ，求ED 的长． 26．如图1，直线:(0,0)l y mx n m n =+<>与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，将AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到COD △，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而直线l 叫做P 的关联直线．(1)若直线:22l y x =-+，则抛物线P 表示的函数解析式为________；若抛物线2P :34y x x =--+，则直线l 表示的函数解析式为______．(2)求抛物线P 的对称轴（用含m ，n 的代数式表示）；(3)如图2，若直线:24l y x =-+，抛物线P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在抛物线P 的对称轴上．当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；(4)如图3，若直线:4l y mx m =-，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH中点，连接OM ．若OM =l ，抛物线P 表示的函数解析式．参考答案：1．A 【分析】利用算术平方根的定义可得结果.【详解】93=. 故选：A.2．B 【分析】利用科学记数法表达24万即可. 【详解】24万=5240000 2.410=⨯ 故选：B3．C 【分析】根据三视图的定义判断.【详解】从左边看，是一个正方形，其对角线是虚线，故C 选项符合， 故选：C4．D 【分析】根据幂的运算法则、乘法公式判断． 【详解】由同类项合并，66664262n n n n --=-≠-，A 错； 由积的乘方与幂的乘方法则得236(3)27n n -=-，B 错； 由完全平方公式得22(4)816n n n -=-+，C 错； 由平方差公式得2(2)(2)4n n n +-=-，D 正确． 故选：D ．5．C 【分析】根据必然的定义判断．【详解】A. 买一张电影票，座位号可能是是偶数也可能是奇数，A 不是必然事件； B. 随时打开电视机，可能在播新闻，也可能不在播放新闻，B 不是必然事件； C. 将ACB △绕点C 旋转50°得到A CB ''，这两个三角形一定全等，C 是必然事件； D. 阴天不一定下雨，D 不是必然事件． 故选：C ．6．C 【分析】分别解不等式得不等式组的解，再在其中确定整数解． 【详解】223x x -≥-，即2(2)0x -≤，2x ≤， 3(51)72x x --<-，即33x >-，1x >-，所以原不等式组的解为12x -<≤，其中整数有0,1,2共3个． 故选：C ．7．A 【分析】根据题意可知点A 在y 轴，CD 平行x 轴，从而得B 与E 关于y 轴对称，从而可求出点E 的坐标.【详解】因为正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0,)a ，(3,2)-，(,)b m ，(,)c m ，所以点A 在y 轴，CD 平行x 轴， 所以B 与E 关于y 轴对称， 所以点E 的坐标是(3,2)， 故选：A8．D 【分析】结合物理知识分析判断.【详解】在铁块被提起的过程中，分如下情况：当物体完全浸没在水中时，此时浮力不变，弹簧测力计的读数y 不变； 当物体部分浸没在水中时，此时浮力减小，弹簧测力计的读数y 变大； 当物体完全脱离水面，此时不受浮力，弹簧测力计的读数y 不变； 故选：D.9．B 【解析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可.【详解】解：上下禾每束为,x y 升，上禾6束有6x ，减损18，即618x -，下禾10束之“实"相当，即61810x y -=，同理有1555y x -=，所以方程组为618101555x yy x -=⎧⎨-=⎩. 故选：B.10．D 【分析】连接BE 交AD 于O ，作AH BC ⊥于H ，由勾股定理和等面积法求出AH ，证得AOE AOB ≅，得出BCE 是直角三角形，等面积法求出OB ，再由勾股定理求得CE 即可.【详解】连接BE 交AD 于O ，作AH BC ⊥于H ，在Rt ABC △中，3AB =，4AC =，则5BC =，又点D 是BC 的中点，52AD DC DB ∴===，1122BC AH AB AC ⋅=⋅，125AH ∴=，,,AE AB EAD BAD AO AO =∠=∠=，AOE AOB ∴≅，90,AOE AOB OE OB ∴∠=∠==，又D 是BC 的中点，OD EC ∴，90BEC ∠=，BCE ∴△是直角三角形， 1122AD BO BD AH ⋅=⋅，1224,255OB BE OB ∴===，在Rt BCE 中，75EC ==. 故选：D.11．A 【分析】根据给定的图象，确定O 与正方形ABCD 边的两个公共点位置，结合点A 与圆的位置关系求出EO 范围作答.【详解】依题意，AF =4EO EF EA AF ≤=+=+①不正确；因O 与正方形ABCD 边有两个公共点，则这两个公共点只能在边,AB AD 上，当且仅当点A 在O 内或O 与AB 相切，当点A 在O 内时，1EO EA OA -=<，即|4|1EO -<，解得35EO <<，①正确，①不正确；当O 与AB 相切时，圆心O 在线段AF 上，到AB 的距离为1，则AO =4EO EA AO =+=，①正确，所以小明探究结论正确的是①①. 故选：A12．D 【分析】易知22y x mx =-的图像的对称轴为x m =，开口向上，分类讨论对称轴x m =不同位置时函数的最小值即可求得结果.【详解】因为22y x mx =-的图像的对称轴为x m =，开口向上，所以当1m ≤-时，22y x mx =-在1x =-时取得最小值，即()()21212m --⨯-=-，解得32m =-，故32m =-；当2m ≥时，22y x mx =-在2x =时取得最小值，即22222m -⨯=-，得32m =，与2m ≥矛盾，舍去；当12m -<<时，22y x mx =-在x m =时取得最小值，即2222m m -=-，解得m =m综上，32m =-或m故选：D.13．22(2)a -【分析】利用提公因式法及公式法分解因式作答. 【详解】2222882(44)2(2)a a a a a -+=-+=-. 故答案为：22(2)a -14．7-【分析】由韦达定理可得5a b ab k +=-⎧⎨=⎩，代入条件可解得7k =-.【详解】因为a ，b 是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根，所以5a b ab k +=-⎧⎨=⎩，代入2a ab b -+=，得52k --=，解得7k =-.故答案为：7-.15at b=，结合22111,,t t t t t t +-+之间的关系运算求解.【详解】①223a b ab +=，则3a bb a+=令1a t b =>，则22113,a ab a b t t b a t b a t b ab --=+=+==- ①2221129t t t t ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，则2217t t +=①2221125t t t t ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭又①11,01t t><<，则10t t ->①1t t -=22a b ab-=16．22+【分析】根据等腰直角三角形的性质以及相似三角形得相似比即可求解.【详解】由90ACB ∠=︒，AC BC =知AB =,45ABC CAB ∠=∠=, 因为ABO BCO CAO ∠=∠=∠，所以∠=∠BAO CBO ,因此BO AO AB b aABO BCO CO BO BC c b⇒==⇒==,a b ==，故)112b a b c cc+===+故答案为：217222R r ππ=，，求得1r =，进而由h =.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形半径为4R =，圆锥底面圆的半径为r ，则有222R r ππ=，解得1r =，又因为圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =18．(-，(，【分析】设出点A '的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答.【详解】依题意，点(10,0)A ，直线BC ：5y =，而点P 在边BC 上，则直线OP 的斜率51102k ≥=或OP 在y 轴上， 设点(,)A a b '，由点A '到直线BC 的距离为4，得|5|4b -=，即1b =或9b =， 又点A 关于OP 的对称点为A '，则||||10OA OA '==，即22210a b +=，当1b =时，a =-a =a =-(A '-，点A '与A 的中点1)2在直线OP 上，此时直线OP 斜率1102k ==+>，符合题意，则(A '-，若a =A '，点A '与A 的中点101()22+在直线OP 上，此时直线OP 斜率1102k ==-<，不符合题意，当9b =时，a =a a =(A '，点A '与A 的中点9)2在直线OP 上，此时直线OP斜率12k =>，符合题意，则(A '，若a =，有A '，点A '与A的中点9)2在直线OP 上， 此时直线OP斜率12k =>，符合题意，则A '，所以点A '的坐标可能为(-，(，.故答案为：(-，(，19．5【分析】根据指数的运算法则以及特殊角的锐角三角函数值即可求解.【详解】原式421=+5=． 20．2m m -，m 等于1，值为-1【分析】利用通分运算与分式的除法运算易得原式2mm =-，再由分母不为0分析得m 只能等于1，代入即可求得结果. 【详解】原式(2)22(2)(2)m m m m m m m +-+=⋅+-2mm =-，由于分母不为0，故当2,0m =±时，分式无意义，故m 只能等于1， 当1m =时，原式1112==--． 21．(1)表格见解析，C (2)90人【分析】（1）数据分析，补充完整表格，并根据中位数的定义得到样本的中位数落在C 组，从而得到答案；（2）求出样本中“1分钟默读速度”达标的人数的比例，从而计算出九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数. （1）补充表格如下：其中从小到大排列，第10和第11位学生均落在第三组，即等级为C 的组. 用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为C （2）①“1分钟默读速度”达到300个及以上的人数为6人， 000061003020⨯=， ①达标率为30%，30%30090⨯=．①估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数为90人． 22．(1)85cm (2)8盒【分析】（1）根据直角三角形中的锐角三角函数即可求解，（2）根据锐角三角函数可求MC 长度，进而根据等边三角形的性质可得MN 长度，结合圆柱的特征即可求解. （1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ．ABC 为等边三角形，100cm AB =，sin 100AH AHB AB ∴===．85cm AH ∴=≈．（2）如图，设靠右侧摆放的茶叶盒的右侧与书架交于点M ，P ，则有MP BC ⊥，15cm MP =，15sin 60MP MC ===︒．过点M 作BC 的平行线，交AB 于点N ．AMN ∴为等边三角形，MN AM =．10083cm MN AM AC MC ∴==-=-．838.310=， ∴在下层，底面直径为10cm ，高为15cm 的圆柱形茶叶盒最多能摆放8盒．23．(1)证明见解析(2)1AB =【分析】（1）连接AF ，先证得90AFB ︒∠=，再证得ABE ABF ≌，即可得到90AEB ︒∠=，即可证得BE 是A 的切线；（2）先证得AFG BAF △∽△，设AB x =，表示出FG ，再由GF AFAF AB=求解即可. （1）证明：如图，连接AF ．BF 是A 的切线，90AFB ︒∴∠=．四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥．BAE D ∴∠=∠，BAF AFD ∠=∠．AD AF =，D AFD ∴∠=∠．BAE BAF ∴∠=∠．在ABE △和ABF 中，AE AF BAE BAF AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ABF ∴△≌△． 90AEB AFB ︒∴∠=∠=．BE AE ∴⊥．AE ∴是A 的切线；（2）如图，过点A 作AG CD ⊥于G ．AD AF =，12DG DF ∴=．AFG FAB ∠=∠，90AGF AFB ︒∠=∠=．AFG BAF ∴△∽△．设AB x =．四边形ABCD 是平行四边形，2FC =，CD AB x ∴==，22x FG -=．A的半径为5，即5AF =．∴由AFG BAF △∽△可得GF AFAF AB=，即2525x x -=．解得1x =，即1AB =． 24．(1),k F m m ⎛⎫⎪⎝⎭，,k G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,k H m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)(3)11225【分析】（1）结合图形求点的坐标；（2）先求反比例函数解析式，再求相应点的坐标，进而求GF 的长；（3）结合图形利用三角形相似求解AK ，确定点A 的坐标求k 的值． （1）,k F m m ⎛⎫⎪⎝⎭，,k G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,k H m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当(2,5)E 时，则2510k =⨯= ①(5,2)F ，(2,5)G --，(5,5)C -，7CF ∴=，7CG =．GF ∴（3）如图，过点O 作ON AB ⊥，垂足为N ，连接OA ．O 为正方形ABCD 的中心，8AB =，4BN AN ON ∴===，OA = 1AM =，413MN AN AM ∴=-=-=．5OM ∴．过点A 作y 轴的垂线，垂足为K ， 则有MAK MON △∽△． 145AK AM AK ON OM ∴===． 则45AK =．285OK ∴==，即428,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 在反比例函数ky x=的图象上， 4281125525k AK OK ∴=⨯=⨯=．25．(1)3；等腰三角形 (2)cos 2n m ︒⋅【分析】(1)根据三角形的“等分周线”的定义可求解；(2)延长BA 至点F ，构造等腰三角形，利用中位线及“等分周线”的定义可求解；(3)根据题中的条件，取BC 的中点H ，连接EH ，可得HE 为ABC 的一条“等分周线”，再利用（2）中的结论可求解. （1）根据三角形的“等分周线”的定义可知，任意三角形的“等分周线”有3条， 若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，根据三角形的“等分周线”的定义可知这个三角形是等腰三角形. （2） 如图所示，延长BA 至点F ，使得AF AC =， 连接FC ，作AG CF ⊥于点G ， AF AC =，A n ∠=︒，2n ACG ︒∴∠=． cos2n CG m ︒∴=⋅． AF AC =，AG CF ⊥，1cos 22n CF CG m ︒∴==⋅． DE 为ABC 的一条等分周线，BD BE CD AC AE ∴+=++． D 点是BC 的中点，BD CD ∴=．BE AC AE ∴=+．AF AC =，BE AF AE EF ∴=+=．E ∴点是BF 的中点．DE ∴为BCF △的中位线． 1cos 22n DE CF CG m ︒∴===⋅．（3）BA AC ⊥，120∠=︒BEC ，AB =60BEA ∴∠=︒．1tan 60AB AE ∴===︒．取BC 的中点H ，连接EH ，2BC CD =，CH CD ∴=．AC 平分BCD ∠，ECD ECH ∠=∠，EC EC =，EDC EHC ∴△≌△．ED EH ∴=．31EC =，AB =1AE =，AB AE BH EC CH ∴++=+．HE ∴为ABC 的一条“等分周线”．90cos2ED EH AB ︒∴==⋅==． 26．(1)22y x x =--+；44y x =-+ (2)2mn mx n+=-(3)71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,217⎛⎫- ⎪⎝⎭．(4)2184y x x =--+【分析】（1）由直线l 求出()(),1,0,20A B ，()2,0D -，进而求出抛物线P 的解析式；由抛物线P 求出()()()1,0,0,4,4,0A B D -，进而求出直线l 的解析式；（2）由直线:l y mx n =+求出,0n A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,)B n ，(,0)D n -，再利用对称轴的性质易得抛物线P 的对称轴为2mn mx n+=-； （3）由直线:24l y x =-+易得(2,0)A ，(0,4)B ，(0,2)C ，(4,0)D -，再由FQ CE ∥得到FQ 为12y x b =+，接着利用点E ，点C 的横坐标相差1得到(1)11F F x x --=+=，求出点F 坐标后，易得点Q 的坐标；（4）通过平面几何的性质推导出OMG 为等腰直角三角形，即OG =，进而得到2AB OG =，再由勾股定理求得2m =-，故直线l ，抛物线P 可求.（1）由直线:22l y x =-+，易得()(),1,0,20A B ，故()2,0D -，故设抛物线P 为()()12y a x x =-+，代入()0,2B ，得()()01022a -+=，即1a =-，故抛物线P 为()()2122y x x x x =--+=--+；由抛物线2P :34y x x =--+，易得()()()1,0,0,4,4,0A B D -，故04410l k -==--，故直线l 为()4144y x x =--=-+；（2）直线:(0,0)l y mx n m n =+<>， 令0y =，即0mx n +=，得n x m=-． 令0x =，得y n =， ,0n A m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，(0,)B n ，(,0)D n ∴-．设抛物线对称轴与x 轴的交点为(,0)N x ，DN AN =，()nx x n m∴--=--， 2n x n m∴=--， P ∴的对称轴为直线2mn mx n+=-． （3）:24l y x =-+，(2,0)A ∴，(0,4)B ， (0,2)C ∴，(4,0)D -．∴直线CD 的解析式为122y x =+．P 的对称轴为直线1x =-． 以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形，FQ CE ∴∥，且FQ CE =．设直线FQ 的解析式为12y x b =+．点E ，点C 的横坐标相差1， 则(1)11F F x x --=+=，解得0F x =或2F x =-．点F 在直线24y x =-+上，∴点F 坐标为(0,4)或(2,8)-． 若(0,4)F ，则直线FQ 的解析式为142y x =+， 当1x =-时，72y =， 171,2Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 若(2,8)F -，则直线FQ 的解析式为192y x =+， 当1x =-时，172y =， 2171,2Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭． ∴满足条件的点Q 有2个，点Q 坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,217⎛⎫- ⎪⎝⎭． （4）如图所示，连接OG ，OH ．点G 为Rt AOB △斜边中点，点H 为Rt COD 斜边中点，12OG AB ∴=，12OH CD =． 由旋转性质可知，AB CD =，OG OH ⊥，OG OH =，OGH ∴为等腰直角三角形．点M 为GH 中点，OMG ∴△为等腰直角三角形，OG ∴===2AB OG ∴==4y mx m =-，(4,0)A ∴，(0,4)B m -．在Rt AOB △中，由勾股定理得222OA OB AB +=，即：2224(4)m +-=，解得2m =-或2m =．点B 在y 轴正半轴，2m ∴=-．l ∴表示的函数解析式为28y x =-+．(0,8)B ∴， (8,0)D -．又(4,0)A ，P ∴表示的函数解析式为2184y x x =--+． 【点睛】关键点点睛：此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，考查了抛物线与直线的交点问题，考查了几何图像旋转问题，考查利用勾股定理求两点间的距离，解题的关键是根据图形，利用数形结合的思想解题.。
2019-2020学年湖南省长沙一中高一(上)第一次段考数学试卷
（x≠0），
2
∴f（1﹣2x） =
1 ― 2
，
2
1
1
令 1﹣2x = ，得 x = ，
2
4
1 2
15
1―( )
1
4
16
= 1 = 15．
∴f（ ） =
1
2
( )2
4
16
故选：C．
12．【分析】由已知可得 f（x） +
2
1
= a 恒成立，且 f（a） = ，求出 a＝1 后，将 x＝log23
17，
则 f（7）＝a•73+7b+7＝﹣（﹣a•73﹣7b+7）+14＝17+14＝31．
故选：A．
9．【分析】对任意 x1，x2∈R 有 f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研
究函数的奇偶性，故对所给的 x1，x2∈R 有 f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1 进行赋值研究
A．{2}
B．{2，﹣2}
C．{2，0}
D．{2，﹣2，0}
5．（3 分）函数 f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．
（2，1）
D．（2，2）
6．（3 分）已知函数 f（x）＝x2﹣2x+3 在区间[0，t]上的最大值为 3，最小值为 2，则实数 t
或者直接使用子集的公式，
因为集合元素个数有 2 个，所以子集的个数为 22＝4 个．
故选：D．
2．【分析】求函数的定义域化简集合 P，求函数的值域化简集合 Q，再根据补集与交集的定
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)
ax 1,x 1
A ． ( ,2)
B ． (0,2)
C． (0, 1 ] 2
4．下列函数既是偶函数，又在 (0, ) 上为增函数的是 (
)
A． y x
B ． y x2
C． y | x |
5．函数 y x2 x 1 ， x [ 1， 1]的最大值与最小值之和为 (
D． [ 1 ,2) 2
D． y 1 x
．
17．已知函数 f (2 x 2) 3 x 2 ，且 f （ a） 4 ，则 a
．
18．已知 f ( x) x3 3x ， x R ，且 f (a 2) f (a2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是
．
19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质
36% ，若要使水
中杂质减少到原来的 5% 以下，则至少需要过滤
)
A ． a 1或 a 1 B． 1 a 1
2
2
C． a 1 2
D． a 1
15．函数 g ( x) 的图象如图所示，则方程 g( g( x3 )) 0 的实数根个数为 (
)
A ．3
B．6
C． 9
D． 12
二、填空题：本大题共 5 个小题．每小题 3 分，共 15 分，将答案填在答题纸上．
16．设集合 A {1 ， 2} ，则满足 A B {1 ， 2， 3} ， A B {2} 的集合 B
2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 15 个小题，每小题 3 分， 共 45 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知 A { x | 1 x 2} ， B { x | x2 2x 0} ，则 A B (
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2019-2020长郡中学高一上开学考试数学卷2019.08一. 选择题1.9的算术平方根是（）A. 3B. 3-C. 3±D.812.2019年4月23日是中国海军70华诞的日子，我国宣布中国海军现役海军人数约为24万人，舰船300余艘，现役舰艇总吨位仅次于美国，将24万用科学计数法表示为（）A. 42410⨯ B. 52.410⨯ C. 42.410⨯ D.72.410⨯3.过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示,它的俯视图为（）A B C D4.下列运算中正确的是（）A. 666422n n n--=- B. ()326327n n-=C. 22(4)416n n n-=-+ D. 2(2)(2)4n n n+-=-5. 下列事件中，是必然事件是（）A. 买一张电影票，座位号一定是偶数B. 随时打开电视机，正在播新闻C. 将△ACB绕点C旋转50°得到△A′C′B′，这两个三角形全等D. 阴天就一定会下雨6. 不等式组2233(51)72xxx x-⎧-⎪⎨⎪--<-⎩…，的整数解得个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 27. 如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是()()()()0,,3,2,,,,,a b m c m-则点E的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (2,3)-D. (3,2)-8. 如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是（）A B C D9. 《九章算术》记载了一个方程的问题,译为:今有上禾6束,减损其中之“实”十八升,与下禾10束之“实”相当;下禾15束,减损其中之"实"五升,与上禾5束之“实”相当.问上,下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x升和y升，则可列方程组为（）A.618101555x yy x+=⎧⎨+=⎩B.618101555x yy x-=⎧⎨-=⎩C.6181515510x yy x-=⎧⎨-=⎩D.6181515510x yy x+=⎧⎨+=⎩10. 如图,△ABC中, 90,3,4,BAC AB AC∠===o点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于（）A. 2B.54C.53D.7511. 如图,边长为4cm的正方形ABCD,点F为正方形的中点,点E在F A的延长线上,EA=4cm,⊙O的半径为1cm,圆心O从点E出发向点F运动,小明发现：当EO满足35EO<<①;35;42;432EO EO EO=+=+②③④剟,⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点,你认为小明探究的结论中正确的有（） A. ①③B. ②③C. ②④D. ①③④12. 已知二次函数22y x mx =- (m 为常数),当12x -剟时,函数值y 的最小值为−2,则m 的值是（ ）A. 32B.2C.32或2 D. -32或2二. 填空题13. 因式分解2288a a -+=14. 已知a ，b 是一元二次方程25+0x x k +=的两个实数根，且2a ab b -+=，则实数k 的值是15. 已知220,3a b a b ab >>+=，则22a b ab-的值为16. 如图，在Rt ACB ∆，90ACB ︒∠=，AC BC =，点O 是Rt ACB ∆内部一点，ABO BCO CAO ∠=∠=∠.设,,OA a OB b OC c ===，则a bc+= 17. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为 .18. 已知矩形OABC 中,O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,B 的坐标为(10,5)，点P 在边BC 上，点A 关于OP 的对称点为A'，若点A ′到直线BC 的距离为4，则点A ′的坐标可能为 .三. 解答题19.计算2201912cos 45|(1)2-︒⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭．20. 先化简22242mm m m m m ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从-2，0，1，2中选取一个符合要求的数代入求值。
21. 某校为了提髙学生的阅读能力，准备出台一项计划，为使计划更具针对性，对全校九年级学生进行了“1分钟默读速度”测试，现随机抽取20名学生的成绩进行分析，过程如下： 收集数据 20名学生的“1分钟默读速度”成绩如下(单位：个)：210 225 234 235 315 246 248 324 253 316 258 260 262 262 305 318 272 228 327 230整理数据 请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整（说明：1分钟默读字数达到300个及以上者为达标）分析数据 请将下列表格补充完整：得出结论(1)用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为 ； (2)估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数。
22. 如图1是—种客厅放置创意书架，共分三层，忽略其厚度，其基本结构可简化为图2。
量得ABC ∆为等边三角形100AB cm =，DE FG BC P P ，AD DF BF ==.EGD F BA图1图2⑴求书架的高度；(2)现有一种圆柱形茶叶盒的底面直径为10cm ，高为15cm ，若要将此茶叶盒按图中所示方式自然摆放在下层，一排可摆放多少个这样的茶叶盒？（结果精确到整数。
参考数据：3 1.7≈)23. 如图，A e 与ABCD Y 的CD 边交于点F ，DE 是A e 的直径，BF 与A e 相切于点F . （1）求证：BE 是A e 的切线；（2）若A e 的面积为5，2FC =，求AB 的长。
CFEDAB24.如图，以原点O 为中心的正方形ABCD 与反比例函数2104k y k AB x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的图像交于点,,,E F G H ，双曲线在正方形内部被截出两段曲线.xx图1图2(1)如图1，AB y P 轴，若点E 的横坐标是m ,则点,,,E F G H 的坐标可用含,m k 的代数式表示为 ， ， ；(2)在图1中，AB y P 轴，若点E 的坐标为()2,5，求GF 的长；(3)在图2中，若8AB =，点A 与点E 重合，AB 与x 轴交于点M ，1AM =求k 得值.25.我们定义：如果三角形上两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”.如图1，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，若BDBE CD AC AE +=++，则DE 为ABC ∆的一条“等分周线”BC图1图2概念理解(1)任意三角的“等分周线”有 条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是 。
规律探究(2)如图1，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，DE 为的一条“等分周线”。
若AB AC >，设,A n AC m ∠=︒=，求DE 得长（用含,m n 的代数式表示） 拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD 中，2BC CD =，AC 平分BCD ∠，BA AC ⊥点E 在AC 上，连接ED ，EB ，3AB =，31EC =+，120BEC ∠=︒，求ED 得长。
26.如图①,直线():0,0l y mx n m n =+<>与,x y 轴分别相交于,A B 两点,将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90∘得到COD ∆，过点A B D ，，的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线。
(1)若:22l y x =-+则P 表示的函数解析式为___；若234y x x =--+，则l 表示的函数解析式为___.(2)求P 的对称轴(用含,m n 的代数式表示)；(3)如图②，若:24l y x =-+，P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上。
当以点C E Q F ，，，为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；(4)如图③,若:4l y mx m =-，G 为AB 中点，H 为CD 中点,连接GH ，M 为GH 中点，连接OM 。
若10OM =，直接写出l ，P 表示的函数解析式。