微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图
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第2章(4)传递函数方块图及其化简
G(s) 1 G(s)H (s)
G(s) 1 Gk (s)
B(s)
H(s)
前向通道传递函数、
反馈通道传递函数、
开环传递函数、
正反馈、负反馈；
2.方框图的变换与化简:(1)串、并联的化简； (2)分支点跨过环节的移动规则； (3)相加点的拆并及跨过环节的移动规则； (4)反馈与并联交错的化简
Xo(s)
G1(S)
G2(S)
Xi(s) G1(S) G2(S)
Xo(s)
G(s)
X X
o(s) i(s)
X o(s) X (s)
X (s) Xi(s)
G2
(
s)G1(
s
)
n
G(s) Gi (s) i 1
负载效应问题
i1 R1 i2 R2
G1(s)
1 R1C1s
1
G2 (s)
Xo(s)
C
略
H1
jik 04
16
X (s) 0 求 Xo(s) 。令
Xi2(s)
i1
Xi 1(s)
H3
+
-
-
G1 B +
G2
,
Xi
2(
Xi1(s)处的相加点取消，
H1 变成(-H1)。原图改画成：
s)
Xi 2(s) +
G3
Xo(s)
+
+
-A +
+
-
G3 Xo(s) A +
H2
C
H2
G2
+
-
B G1
复习：
1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t)
2.第二章方框图及简化(new)
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：
• 只考虑干扰输入时：
• 系统总的输出量
扰动的影响将被抑制!!!
若 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) >> 1 且 G1 ( s) H ( s ) >> 1 ，则：
X o ( s) ≈ 1 X i ( s) H ( s)
• 上式表明，采用反馈控制的系统，适当选 上式表明，采用反馈控制的系统， 择元部件的结构参数， 择元部件的结构参数，可以增强系统抑制 干扰的能力。 干扰的能力。
• 结论 • 闭环系统具有抑制干扰的能力； • 闭环系统输入、输出的取法不同时，其传 递函数不同，但传递函数的分母不变，而 开环系统则不然。
反馈连接及其等效原则前向通道传递函数反馈回路传递函开环传递函数闭环传递函数前向通道反馈通道开环传递函数都只只是闭环系统部分环节或环节组合的传递函数而闭环传递函数才是系统的传递函数
第二章 系统的数学模型
2.3 系统的传递函数方框图及其简化
• 将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变 量按信息流向连接起来，就构成系统的传递函数方框图
• 例2-10
• 一定要注意梅逊公式的两个条件； • 若系统不满足两个条件，可先将其方框图 化成满足使用条件的形式，然后再利用梅 逊公式。
多个输入同时作用于线性系统时，分别考虑 每个输入的影响
• 如考虑扰动的反馈控制系统：
• 只考虑给定输入时：ຫໍສະໝຸດ • 只考虑干扰输入时：• 如考虑扰动的反馈控制系统：
2.2典型环节的传递函数
所以， 所以，延迟环节在一定条件下可近似为惯性环节
惯性环节与延迟环节的区别： 惯性环节与延迟环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻就已有输出， 惯性环节从输入开始时刻就已有输出， 仅由于惯性， 仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所 要求的输出值； 要求的输出值； 延迟环节从输入开始后在0 时间内 延迟环节从输入开始后在 ~ τ时间内 没有输出， 之后， 没有输出，但t =τ之后，输出完全等于输入 之后 。
2.2
典型环节的传递函数
控制系统通常由若干个基本部件组合而成， 控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基 本部件称为典型环节。 本部件称为典型环节。 1. 比例环节（又叫放大环节） 比例环节（又叫放大环节） 定义:具有比例运算关系的元部件称为比例环节。 定义:具有比例运算关系的元部件称为比例环节。 特点:输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真 特点:输出量按一定比例复现输入量，无滞后、 现象。 现象。 方块图为: 方块图为: 运动方程: 运动方程: 传递函数： 传递函数：
C (s) = τs 传递函数为： 传递函数为： R ( s) 其中， ---微分环节的时间常数， ---微分环节的时间常数 其中，τ---微分环节的时间常数，表示微分速率的 大小。 大小。 G ( s) =
在测速发电机中， 在测速发电机中，其输出电压为
ϕ (t )
ud (t )
Uf = K eω
U ( s) = E = G(s) = Kp Θ(s) θmax
2.
积分环节
定义:符合积分运算关系的环节称为积分环节。 定义:符合积分运算关系的环节称为积分环节。 特点：动态过程中，输出量的变化速度 变化速度和输入量成正比 特点：动态过程中，输出量的变化速度和输入量成正比 方块图为: 方块图为: 运动方程： 运动方程： 传递函数： 传递函数：
第2章 微分方程+传递函数
dx
(x x0 )
x x0
写成增量形式:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 )
y k x
9
2.2.3 微分方程的线性化
例2-15 微分方程线性化
f (h) h
A dh(t) a dt
h(t) qi (t)
其中包含非线性项 h(t) ，单独将其线性化:
df f (x) f (x0 ) dx xx0 (x x0 ) f (x) k x
b1
dr(t) dt
b0r(t)
式中nm, n是系统阶次, r(t), c(t)是系统输入量和输出量。
例2-12 RC无源网络，输入电压ei(t)和输出电压eo(t)
R
解：由基尔霍夫定律
标准式： 左出右入降阶
ei (t) i C
eo (t)
ei (t) i(t)R eo (t)
eo
(t)
1 C
16
知识巩固
传递函数和微分方程一样, 也是用于描述系统的( ); 本课程使用的三种数学模型是( ), 其中( )是最主要的; 传递函数的定义是( ); 传递函数是代数表达式吗? 传递函数的求取方法一般有二种,分别是( ); 传递函数的成立条件是( ); 系统的阶次符号为( ), 它是传递函数的( )多项式的次数; 使传递函数分子为零的点, 称为传递函数的( ); 使传递函数分母为零的点, 称为传递函数的( ), 数学上称为( ),
2
a h0
h(t)
qi (t)
线性化方程已经把系统的工作坐标
从原点移至平衡工作点(h0 , qi0 ) 10
2.2.3 微分方程的线性化
具有两个自变量x、y的非线性函数 z=f (x, y)小偏差线性化的方法:
第二章 自动控制系统原理的数学模型分析
c(t ) a n1
d n1
c(t ) ... a1
d c (t ) a 0 c (t ) dt d r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得
C ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 M ( s) G ( s) （2-25） n n 1 R( s ) N ( s) a n s a n 1 s a1 s a 0
一阶常系数线性微分方程
RC
duc uc ur dt
(2-4)
微分方程建立举例(2)
【例2-2】机械位移系统 （1）确定输入、输出量
设外作用力F (t ) 为输入量，质量 物体的位移 y (t )为输出量。
（2）建立微分方程组
根据牛顿第二定律可得:
F (t ) FB (t ) FK (t ) ma
初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才 作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤时的值也均为零。
传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为 r (t ) ，输出量为 c(t ) ，并 由下列微分方程描述
an
bm
dn dt n dm
dt m
dt n1 d m 1 r (t ) bm 1d m 1 dt
c (t ) 1
式中
<1时
(2-44)
1 2
e n t 1 2
4.应用实例 例2-2机械位 移系统等。
sin( d t )
，
arctan
d n 1 2
R 将 R1 1 K 、 2 1 K 代入上式得： 2 1
传递函数
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2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。
2.4.1 比例环节
如果一个环节的输出与输入成正比例 成正比例， 不失真也 如果一个环节的输出与输入 成正比例 ， 既 不失真 也 不延 则称此环节为比例环节，也称放大环节。 时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为
N o (t ) z1 G (s) = = =K N i (t ) z 2
比例环节： 比例环节 ： 性的 、 (输入为转速、输出为 输入为转速、 )、 、 输入为转速
大 动
齿轮副的传动比
为 大
的 ，
速
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.2 惯性环节
凡运动方程为一节微分方程： 凡运动方程为一节微分方程：
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K1 T= R
L T= R
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.3 微分环节
理想微分环节的输出量正比于输入量的微分， 理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即
因此， 因此，理想微分环节的传递函数为
微分环节的 时间常数
dxi (t ) xo (t ) = T dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益， 形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益 ，
表征环节的惯 性，与环节结 构参数有关
dxo (t ) T + xo (t ) = K xi (t ) dt
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1相加点c前移再相加点交换第二章传递函数2内环简化3内环简化1g1g2h1图2321g1g2h1g2g3h2图2334总传递函数1g1g2h1g2g3h2g1g2g3图2341分支点e前移h2g3h1图230第二章传递函数2内环简化3内环简化g2图236第二章传递函数4总传递函数图238含有多个局部反馈的闭环系统中当满足下面条件时1只有一条前向通道2各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块递函数之和每一反馈回路的开环传结论
i
式中：a n…a 0, b m…b 0 均为常系数
x 0 (t)为系统输出量，x i(t)为系统输入量
第二章 传递函数 若输入、输出的初始条件为零，即 (K ) x 0 (0 ) 0 K = 0, 1 ,…, n－1
x i(
K)
(0 ) 0
K = 0, 1 ,…, m－1
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t ) 对微分方程两边取拉氏变换得： bm x(i m)( t ) + bm 1 x( m 1)( t ) + L + b0 xi( t )
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
自动控制原理课件第4次课 传递函数、结构图
• 一阶微分环节: G ( s ) s 1 • 振荡环节 : • 延迟环节
2 n 1 G( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n 2
G ( s ) e s
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20
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
注意： 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理 装置或元件。 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同 组成。
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12
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-2 传递函数的零点和极点
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm an 1s an M (s) N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm
系统(或环节) 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X r ( s)
X c ( s) X r ( s)G( s)
X c (s)
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7
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
系统传递函数的一般形式 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：
d d d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) dt dt dt m m 1 d d d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
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6
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-1 传递函数的定义和性质
定义：在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于
典型环节的传递函数
21
一、典型输入信号
1. 阶跃函数：
r(t)
a t 0
a
r(t) 0 t 0
t
单位阶跃函数：
1 t 0 r(t) 1(t) 0 t 0
单位阶跃函数的拉氏变换
R(s) L[1(t)] 1 s
22
2. 速度函数(斜坡函数)：
r(t)
at t 0
r(t)
0
t0
at
t
单位速度函数(斜坡函数)：
传递函数为： G(s)
1
s
积分环节原理图为：
U2(s) 1/ Cf s 1 1 U1(s) R1 R1C f s Tis
4
空载油缸
流量：
Q
f
(t)
A
dx(t) dt
X (s) 1/ A K Q f (s) s s
小惯性电动机
m(s) Km
Ua(s) s
三、理想微分环节 微分方程为：c(t) dr(t)
4. 调节时间ts:整个过渡过程所经历的时间，有时也叫过渡过 程时间。
30
5. 超调量σ%: 响应过程中，输出量
超出稳态值的最大偏差值， 一般用它与稳态值的比值 的百分数表示，即
% h(t p ) h() 100%
h()
6. 振荡次数N:单位阶跃响应曲线在0→ts时间内，穿越稳态 值次数的一半称为振荡次数。
31
7.稳态误差ess:对单位 负反馈系统，当时间t 趋于无穷时，系统单 位阶跃响应的期望值 [即输入量1(t)] 与实际值 (即稳态值)之差，定义为 稳态误差:
ess =1 - h(∞)
当h(∞) =1时，系统的稳态误差为零。
32
注意： σ%
2.2 传递函数
(3)其它微分环节
一阶微分环节
微分方程：
y(t)
Td
dr(t) dt
r(t)
传递函数： G(s) Td s 1
G(s) Uo(s)
Ui (s)
R1
R2 // 1
Cs
R2 R1
(R1Cs
1)
K
(Td
s
1)
其中， K R2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程：
(s) Gu (s)Ua (s) Gm (s)Mc (s) Gu (s) Gm(s)UMac((ss))
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
说明：
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
(1) 理想微分环节
纯微分环节
微分方程： 传递函数：
dr(t)
y(t) Td dt
t0
G(s) Td s 式中，Td 为微分时间常数
纯微分电路
G(s) Uo(s) R
Ui (s)
1
RCs Ts
(T =RC)
Cs
特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化 的激烈程度
(2)实际微分环节 微分方程：
n
(n为自然角频率，为阻尼比，0 1表示振荡环节)
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
2.7.12.7典型环节及传递函数
典型环节及传递函数
惯性环节实例
G(s)= 1 = 1 ，T=RC RCs+1 Ts+1
R
+
+
i
ur
C uc
-
-
典型环节及传递函数
3、积分环节
1 微分方程: c t = T න r t dt
传递函数:
G(s)=
C(s)= R(s)
1 Ts
方框图: R(s)
1
C(s)
Ts
特点：输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作 用和记忆功能.
典型环节及传递函数
实例：
ur (t)
R1
R2 uc (t)
其中，比例系数 K= R2 R 1+R 2
典型环节及传递函数
例1 如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节， 当输入量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的 变化如图b所示
典型环节及传递函数
2、惯性环节
微分方程: T dc(t)+c(t)=r(t) dt
c(t)=1-e-
t T
典型环节及传递函数
单位阶跃信号作用下的响应:
1.0 r(t)
0.8
c(t)
0.95 0.98 0.99
0.6
0.87
0.4
0.63
0.2
T 2T 3T 4T 5T t
在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出信号是指 数函数。当时间t=(3~4)T时，输出量才接近其稳态值。
G(s)=
Y(s) F(s)
=
1 ms2+fs+k
特点： 1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转
换。如动能与位能、电能与磁能间转换。
传递函数
拉氏反变换
传递函数的定义
输入
设一控制系统
输入拉氏 变换
传递函数的定义：
r(t)
R(S)
系统 G(S)
c(t)
C(S)
输出 输出拉氏 变换
线性定常系统在零初始条件下，系统输
出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。
C(s) 将微分方程拉氏变换便 表示为： G(s) = R(s) 可求得传递函数。
设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值为零，对微分方程
R
ur
C
∞ - +
uc
x(t) y(t) y(t)
+
G(s) =RC s
T = RC 为电路时间常 数。当T足够小时，可
近似为纯微分环节。
Δ
x(t)
0
理想微分环节 单位阶跃响应曲线
t
理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用 含有惯性的实用微分环节。
+
ui
-
RC电路构成的实用微分环节 C + G(s)= u R
4。阶跃响应 当输入信号x(t)为单位阶跃信号1(t)时，输出为 y(t)=1(1-τ） 阶跃响应曲线
x(t) y(t)
1 0
y(t) x(t)
τ
t
U 2 ( s) 1 U1 ( s ) RCs 1
U o (s)
1 LS R Cs
1 Cs
U i (s)
1 U i (s) LCs RCs 1
2
• 用复阻抗的概念求RLC电路的传递函数。 • 解：根据基尔霍夫定律，有
U o (s) 1 Cs LS R 1 Cs U i (s) 1 U i (s) LCs 2 RCs 1
自动控制原理第二章方框图
X 3 (s)
X (s)
G(s)
X (s)
X 2 (s)
X 3 (s)
G(s)
X 2 (s)
故：一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动
注： （1） 结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，使之分开或 形成大环套小环的形式。 （2）解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。 （3）当分支点与综合点相邻时，它们的位置就不能作简单的交 换。
R(s) G1(S)
G2(S) G3(S)
C(s) G4(S)
R(s)
C(s)
G1(S)
G2(S)
G3(S)
G4(S)
U1(s)＋
－ U3(s)
I2(s) 1 I1(s) －
R1 ＋
1 U3(s) C1s ＋ －
1
1 U2(s)
R2 I2(s) C2 s
U2(s)
考虑移动某些信号的相加点和分支点
环节的并联：
和
G1 ( s )
X (s)
Gn (s)
Y (s)
G(s)
Y (s) X (s)
n i 1
Gi (s)
反馈联接：
X (s) E(s) G(s) Y (s)
B(s)
H (s)
Y (s) E(s)G(s)
E(s) X (s) H (s)Y (s),
G(s)
Y (s) X (s)
1
G(s) G(s)H (s)
U c (s) I (s)R2
U r (s)
1 I1(s)
U c (s)
R1
I 2 (s)C
I1 (s) R1Cs I 2 (s)
I (s)
传递函数方块图
X o ( s ) G( s ) E ( s ) G( s)[ X i ( s) H ( s) X o ( s)] G( s ) X i ( s ) G( s ) H ( s ) X o ( s )
X o (s)[1 G(s) H (s)] H (s) X i (s)
X o ( s) G( s) G( s) GB ( s) X i (s) 1 G(s) H (s) 1 Gk ( s)
复习：
1.微分方程的拉氏变换解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 3.传函的的定义（零初始条件）
X o (s) L[ xo (t )] G( s) X i (s) L[ xi (t )]
4.由微分方程求传递函数的方法： p s
Ce
( s) ( ( s) )
M l ( s) M ( s) ( s) ( s) 1 I a ( s) + 1 1 Cm Ls +R s Js+c Ce
直流电动机自身是一闭环系统，反电动势起 负反馈作用，它和粘性阻尼系数c一起构成 所谓“电摩擦”，可以帮助改善电动机的稳定性。
U a ( s ) - E ( s ) ( Ls R ) I a ( s )
பைடு நூலகம்
ML Mq
U a (s) ；输出∶I a (s) 输入∶
（2）电磁转矩:
Ua ( s) + E ( s)
1 Ls +R
I a ( s)
M (t ) Cmia (t ) M ( s) C m I a ( s) 输入∶I a ( s ) ；输出∶M ( s )
第二章5典型环节
当从 0—→∞变化时，频率特性曲线在第 三、四象限。
与虚轴交于(
1
2
)。
Nyquist图：
特点：
0.5
0
∞ Im
0
1
Re
-0.5
2
越小，曲线与横轴 -1
围成的面积越大；
谐振频率r
-1.5
越接近固有频率n
-2 -1
1 － 2
-0.5
jik 06
0.7 0.5
Nyquist图：
趋势：当从 0—→∞变化时，G( j) 逐渐减
小到 0 ，相位从0o逐渐变到－ 90o。Im
特点：半圆，园心为 (K ，j0)，半径为 K 。
2
2
∵ν(ω)总是小于零，∴曲线是下半圆。
Page: 10
G ( j ) K Re
K2
思考∶若图形为上半圆，其频率特性应是怎样的?
G
180 90
- 90
(s -1 )
超前90o
jik 06
3
L(ω)
40db 20db 0db -20db --40db
Page: 4
微分环节L(ω)
G(s)=10s
0.1 0.2
12
[+20]
ω
10 20
100
G(s)= s
G(s)=0.1s
jik 06
4
Page: 5
实例：永磁式测速发电机
jik 06
dB 20 lg G
40
20
20 dB dec
T
G
(s-1)
10 T
90
45
0
(s-1 )
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
第三节 传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
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出量有关的各项放在方程的左边；
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
传递函数。
例1，试求R L C网络的传递函数 解：
由前面知（LCP 2 RCP 1）U 2（t） U1（t） 求该微分方程在零初始条件下的拉氏变换有
（LCP
GS
2
UUR12CSSS1）LUCS2（2S）1RCUS1S1
第二章 控制系统数学模型
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5
系统数学模型 微分方程 传递函数 典型环节传递函数 系统方框图
§2-1 系统数学模型
控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压
的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统 的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系 统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的 基本定律。
微分方程是描述控制系统时域动态特性
的最基本模型，微分方程又称之为控制 系统时域内的运动方程。
一、列写微分方程的步骤
确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各
元件的运动方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的标准
形式
二、微分方程标准形式
将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输
设描述系统的微分方程为 :
n
n1
n2
( p a0 p
a1 p
a n1 p a n ) x 2 (t )
m
m1
(b0 p b1 p
bm1 p bm ) x1 (t )
则其传递函数为
GS
X2(S) X1(S)
b0 S m b1S m1 bm S n a1S n1 an1S an
输入量：外力F 根据牛顿定律
输出量：位移y
ma F F Fs Ff
Fs Ky
Ff
f
dy dt
m
d2y dt2
f
dy dt
Ky
F
m
记
P
d dt
P2
d2 dt2
则有：
（mP2 fP K）y F
f
dy dt
m 0
三、非线性微分方程的线性化
将非线性微分方程在一定的条件下转化为线
二、建模方法
建立合理的数学模型，对于系统的分析
研究是十分重要的。合理包括两条： （1）反映元件及系统的特性要正确； （2）写出的数学表达式要简明；
控制系统数学模型的要求可采用解析法和
实验法。
解析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来 建立数学模型的。用解析法建立数学模型时， 对其内部所体现的运动机理和科学规律要十分 清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求 所建立的数学模型要合理。
四、拉普拉斯变换
定义
Fs
Lf
t
0
f
t
e
stdt
f (t)：像原 F(s)：像
实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即 人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所 得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次 和参数，这种方法也成为系统辨识。
线性系统最重要的特性是可用叠加原理。
对非线性系统当非线性不严重或变量变
化范围不大时，可利用小偏差线性化的 方法使数学模型线性化。
§2-2 微分方程
如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，
则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数， 则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量 方程和向量的状态方程。
本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对
描述的线性定常微分方程进行积分变换，得出 传递函数，方框图，信号流图，频率特性等数 学描述。
线性系统实际上是忽略了系统中某些次要因素，
二、传递函数的性质
线性定常系统或元件的运动方程与传递
函数一一对应，它们是在不同域对同一 系统或元件的描述。
传递函数是表征线性定常系统或元件自
身的固有特性，它与其输入信号的形式 无关 ，但和输入信号的作用位置及输出 信号的取出位置有关。
传递函数是复变量S的有理分式，且分子、
分母多项式的各项系数均为实数，分母多项
U1 UR UL UC UR Ri
（1）
R
L
UL
L
di dt
U2
U
Ri
L
di dt
U2
U1
（2） （3）
i
C U2
n（2）式求n 得
。 U2
1i C
即
i CU&2
代入（3）并整理得
LC
d2U2 dt2
RC
du2 dt
U2
U1
例2， 如图所示为一弹簧阻尼 系统，图中质量为m的 物体受到外力 作用产生位移Y，求该 系统的运动方程 解：
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
传递函数。
例1，试求R L C网络的传递函数 解：
由前面知（LCP 2 RCP 1）U 2（t） U1（t） 求该微分方程在零初始条件下的拉氏变换有
（LCP
GS
2
UUR12CSSS1）LUCS2（2S）1RCUS1S1
第二章 控制系统数学模型
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5
系统数学模型 微分方程 传递函数 典型环节传递函数 系统方框图
§2-1 系统数学模型
控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压
的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统 的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系 统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的 基本定律。
微分方程是描述控制系统时域动态特性
的最基本模型，微分方程又称之为控制 系统时域内的运动方程。
一、列写微分方程的步骤
确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各
元件的运动方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的标准
形式
二、微分方程标准形式
将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输
设描述系统的微分方程为 :
n
n1
n2
( p a0 p
a1 p
a n1 p a n ) x 2 (t )
m
m1
(b0 p b1 p
bm1 p bm ) x1 (t )
则其传递函数为
GS
X2(S) X1(S)
b0 S m b1S m1 bm S n a1S n1 an1S an
输入量：外力F 根据牛顿定律
输出量：位移y
ma F F Fs Ff
Fs Ky
Ff
f
dy dt
m
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f
dy dt
Ky
F
m
记
P
d dt
P2
d2 dt2
则有：
（mP2 fP K）y F
f
dy dt
m 0
三、非线性微分方程的线性化
将非线性微分方程在一定的条件下转化为线
二、建模方法
建立合理的数学模型，对于系统的分析
研究是十分重要的。合理包括两条： （1）反映元件及系统的特性要正确； （2）写出的数学表达式要简明；
控制系统数学模型的要求可采用解析法和
实验法。
解析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来 建立数学模型的。用解析法建立数学模型时， 对其内部所体现的运动机理和科学规律要十分 清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求 所建立的数学模型要合理。
四、拉普拉斯变换
定义
Fs
Lf
t
0
f
t
e
stdt
f (t)：像原 F(s)：像
实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即 人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所 得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次 和参数，这种方法也成为系统辨识。
线性系统最重要的特性是可用叠加原理。
对非线性系统当非线性不严重或变量变
化范围不大时，可利用小偏差线性化的 方法使数学模型线性化。
§2-2 微分方程
如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，
则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数， 则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量 方程和向量的状态方程。
本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对
描述的线性定常微分方程进行积分变换，得出 传递函数，方框图，信号流图，频率特性等数 学描述。
线性系统实际上是忽略了系统中某些次要因素，
二、传递函数的性质
线性定常系统或元件的运动方程与传递
函数一一对应，它们是在不同域对同一 系统或元件的描述。
传递函数是表征线性定常系统或元件自
身的固有特性，它与其输入信号的形式 无关 ，但和输入信号的作用位置及输出 信号的取出位置有关。
传递函数是复变量S的有理分式，且分子、
分母多项式的各项系数均为实数，分母多项
U1 UR UL UC UR Ri
（1）
R
L
UL
L
di dt
U2
U
Ri
L
di dt
U2
U1
（2） （3）
i
C U2
n（2）式求n 得
。 U2
1i C
即
i CU&2
代入（3）并整理得
LC
d2U2 dt2
RC
du2 dt
U2
U1
例2， 如图所示为一弹簧阻尼 系统，图中质量为m的 物体受到外力 作用产生位移Y，求该 系统的运动方程 解：