(整理)东南大学高等数学期中期末试卷.

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(A)

∑

∞

=1

21

n n

(B) ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n (C) ()n

n n n n ⎪⎭⎫

⎝⎛+-∑∞

=111 (D) ∑⎰∞=+1

1

04

d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有

()()⎰⎰≤b

a

d c

x x f x x f d d .

(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T

a a

x x f x x f 0

d d .

(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

1. ()()30

2

0d cos ln lim x t

t t x

x ⎰+→. 2. 判断级数∑∞

=-13

54n n n n

的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π

. 4. ⎰∞+13d arctan x x

x . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩

⎪

⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x

x y y 的解.

四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕

x 轴旋转所得旋转体的体积最小

五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b

a a

b a b +->

2ln

. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件

()()()0d 110

=+-+'⎰x

t t f x x f x f

且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e

≤≤-x f x

成立.

七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且

()()0d tan d 1

1

1

1

==⎰⎰

--x x x f x x f ,

x

ln

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证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .

04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14

一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.

2

1x Cx +; 3. 1

e 4-; 4. 1; 5. 3

4

3

. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=

()分分分26

1

)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 202

20 =-+=

+→→x x x x x x x

2. 分515453153154lim 354354lim lim

1111

1

<=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⎪

⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n n

n n n n n n n n n

n n a a

由比值法知原级数收敛. 分2

3. 原式 =

()()分分分22

2d cos sin 3d cos sin 220

0 π

ππ

π

π

=

=⎰⎰

x x x x x x

4. 原式()分31d arctan 211

221

2

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+--

=⎰

∞

+∞

+x x x x

x

=()分分22

1

2d 111218122 =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+⎰∞+x x x π

5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 x

C x C y +=

非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为

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()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x x

x x C x C y cos 2sin cos 21-++=

)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为

分2cos 2

sin cos x

x

x x x y -+-=

四.(8分)

()()()()()

()(

)()(

)

[]

()()

()()()0e

),1(e

2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 2

12

1

2

2

e

2

12

e

2

12

>⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t t

x

x x x x x x x x x x x x x t V t

t

t

t 且分得分

令分分 πππππ

因此2

1

e

=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故

2

1

e

=ξ是最小值点.

分1

五.(7分) 设

t a b =,原不等式等价于()1,1

12ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31

,012ln 1 >>--+=t t t t t f

()()()分101,11

ln ,

01 ='-+='=f t

t t f f

()1,01

12≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1

因此()t f '单增,()()1,

01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.

分2

六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-

++'+x

t t f x f x x f x 0

0d 11

两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x