实验六-线性系统的根轨迹分析

《自动控制理论》
实验报告
专业：电气工程及其自动化班号：1406111
学号：1140610319
姓名：赵元胜
电气工程及其自动化实验中心
二〇一六年十二月
实验六线性系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法；
2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法；
二、实验设备
Pc 机一台，MA TLAB 软件。

三、实验举例
已知系统开环传递函数为
)
2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。

解：1、绘制控制系统的根轨迹图
MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den)
在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号↵表示回车）
>>k=[1]↵
>>z=[]↵
>>p=[0 -1 -2]↵
>>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)↵ 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)↵ 绘制控制系统的根轨迹图
>>grid ↵ 绘制坐标
屏幕显示系统的根轨迹图形
2.分析根轨迹的一般规律
1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。

2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。

3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。

4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。

当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。

5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点时一对纯虚根（±j1.41），阻尼ζ=0，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡，此时对应的增益K=5.92，称之为临界稳定增益。

四、实验内容及结果
1、已知一负反馈系统的开环传递函数为：
)
15.0)(11.0()()(++=s s s s s H s G 求： 1）绘制根轨迹
实验源程序如下：
>>num=[1]↵
>>den=[0.05 0.6 1 0]↵
>>rlocus(num ，den)↵
>>grid ↵ 根轨迹如下图所示：
2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K的范围。

由图像可知，根轨迹与虚轴的交点为（±j4.4），此时对应的增益K=11.6。

因此系统稳定时，应满足0<K<11.6。

3）确定分离点的超调量M p及开环增益K
由图像可知，分离点超调量M p=0，开环增益K=0.451。

4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K的范围
时域分析源程序如下：
>>num=[0.05 0.6 1 0]↵
>>den=[0.05 0.6 1 1]↵
>>step(num,den)↵
>>grid↵
时域分析图像如下：
由图像可知：振荡频率ωn >4.4时，系统稳定，与根轨迹法得出的结论相同。

5）分析根轨迹的一般规律
根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。

当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。

2.已知系统的开环传递函数为： )
153()134()(22++++=s s s s s K s G 求：1）绘制系统的根轨迹
实验源程序如下：
>>num=[4 3 1]
>>den=[3 5 1 0]
>>rlocus(num,den)
>>grid
根轨迹图如下：
2）选择系统当阻尼比ζ=0.7时系统的闭环极点的坐标值及增益K值。

由图像可知，阻尼比ζ=0.7时，闭环极点的坐标值为（-0.164， j0.167）和
（-0.313，±j0.319），此时增益K=0.282和K=3.13。

3）分析系统性能
由图像可知，系统分离点为（-0.13，0），对应阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。

且K →∞时，根轨迹位于图像左侧，因此系统为稳定系统。

3.已知开环系统传递函数
)2)(1()(++=s s s k s G 求：1）根轨迹及闭环单位阶跃响应曲线
根轨迹源程序如下：
>>num=[1]↵
>>den=[1 3 2 0]↵
>>rlocus(num,den)↵
>>grid ↵
根轨迹如下图所示：
阶跃响应源程序如下：>>num=[1 3 2 0]↵
>>den=[1 3 2 1]↵
>>step(num,den)↵
>>grid↵
阶跃响应如下图所示：
2）比较增加一个开环极点s=-3后，观察根轨迹及其闭环单位阶跃相应的变化
增加开环极点s=-3后，根轨迹源程序如下：
>>k=[1]↵
>>z=[]↵
>>p=[0 -1 -2 -3]↵
>>[num，den]=zp2tf(z，p，k)↵
>>rlocus(num,den)↵
>>grid↵
根轨迹如下图所示：
阶跃响应源程序如下：>>num=[1 6 11 6 0]↵>>den=[1 6 11 6 1]↵>>step(num,den)↵
>>grid↵
阶跃响应如下图所示：
由图像可知，增加开环极点s=-3后，根轨迹由3条变为4条，系统临界稳定的K 值由6变为9.75。

阶跃响应由欠阻尼状态变为过阻尼状态。

4.已知开环传递函数
)
1()(+=s s k s G 求：1）根轨迹及其闭环单位阶跃相应曲线
根轨迹源程序如下：
>>num=[1]↵
>>den=[1 1 0]↵
>>rlocus(num,den)↵
>>grid ↵
根轨迹图像如下图所示：
阶跃响应源程序如下：
>>num=[1 1 0]↵
>>den=[1 1 1]↵
>>step(num,den)↵
>>grid ↵
阶跃响应图像如下图所示：
2）比较增加一个开环零点s=-2后，观察根轨迹及其闭环单位阶跃响应的变化。

增加一个零点s=-2后，根轨迹源程序如下：
>>num=[1 2]↵
>>den=[1 1 0]↵
>>rlocus(num,den)↵
>>grid↵
根轨迹如下图所示：
阶跃响应源程序如下：>>num=[1 1 0]↵
>>den=[1 2 2]↵
>>step(num,den)↵
>>grid↵
阶跃响应如下如所示：
由图像可知，增加一个开环零点s=-2后，根轨迹区间由(-1，0)变为(-∞,-2)和(-1，0)，分离点由一个增加为两个。

阶跃响应的超调量减小，调整时间也减小。

五、实验步骤
1）、运行MATLAB,(双击桌面图标)
2）、在MATLAB命令窗口提示符下键入：（符号↵表示回车）
〉〉num=[ ] ↵（传递函数分子系数）
〉〉den=[ ] ↵（传递函数分母系数）
〉〉rlocus↵（绘制根轨迹）
〉〉sgrid ↵（绘制阻尼比和自然角频率的栅格线）
〉〉[k，p]=rlofind(num,den)↵
执行最后一行命令后，根轨迹上出现一个十字可移动光标，将光标的交点对准根轨迹与等阻比线相交处，即可求出该点的坐标值p和对应的系统增益K。

3）在Figure图形窗口下，点击edit，选择copy Figure（拷贝图形），存档或直接粘贴在word文档上，以备写实验报告用。

六、实验报告要求
1、绘制系统的根轨迹；
2、确定在系统根轨迹上选点的系统闭环极点的位置值及增益值；
3、分析系统性能及稳定性；
4、用时域相应曲线验证系统稳定时的根轨迹增益K的范围。