实验六-线性系统的根轨迹分析

《自动控制理论》

实验报告

专业：电气工程及其自动化班号：1406111

学号：1140610319

姓名：赵元胜

电气工程及其自动化实验中心

二〇一六年十二月

实验六线性系统的根轨迹分析

一、实验目的

1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法；

2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法；

二、实验设备

Pc 机一台，MA TLAB 软件。

三、实验举例

已知系统开环传递函数为

)

2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。

解：1、绘制控制系统的根轨迹图

MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den)

在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号↵表示回车）

>>k=[1]↵

>>z=[]↵

>>p=[0 -1 -2]↵

>>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)↵ 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)↵ 绘制控制系统的根轨迹图

>>grid ↵ 绘制坐标

屏幕显示系统的根轨迹图形

2.分析根轨迹的一般规律

1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。

2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。

3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。

4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。

5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点时一对纯虚根（±j1.41），阻尼ζ=0，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡，此时对应的增益K=5.92，称之为临界稳定增益。

四、实验内容及结果

1、已知一负反馈系统的开环传递函数为：

)

15.0)(11.0()()(++=s s s s s H s G 求： 1）绘制根轨迹

实验源程序如下：

>>num=[1]↵

>>den=[0.05 0.6 1 0]↵

>>rlocus(num ，den)↵

>>grid ↵ 根轨迹如下图所示：

2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K的范围。

由图像可知，根轨迹与虚轴的交点为（±j4.4），此时对应的增益K=11.6。

因此系统稳定时，应满足0

3）确定分离点的超调量M p及开环增益K

由图像可知，分离点超调量M p=0，开环增益K=0.451。

4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K的范围

时域分析源程序如下：

>>num=[0.05 0.6 1 0]↵

>>den=[0.05 0.6 1 1]↵

>>step(num,den)↵

>>grid↵

时域分析图像如下：

由图像可知：振荡频率ωn >4.4时，系统稳定，与根轨迹法得出的结论相同。

5）分析根轨迹的一般规律

根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。

2.已知系统的开环传递函数为： )

153()134()(22++++=s s s s s K s G 求：1）绘制系统的根轨迹

实验源程序如下：

>>num=[4 3 1]

>>den=[3 5 1 0]

>>rlocus(num,den)

>>grid

根轨迹图如下：

2）选择系统当阻尼比ζ=0.7时系统的闭环极点的坐标值及增益K值。

由图像可知，阻尼比ζ=0.7时，闭环极点的坐标值为（-0.164， j0.167）和

（-0.313，±j0.319），此时增益K=0.282和K=3.13。

3）分析系统性能

由图像可知，系统分离点为（-0.13，0），对应阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。且K →∞时，根轨迹位于图像左侧，因此系统为稳定系统。

3.已知开环系统传递函数

)2)(1()(++=s s s k s G 求：1）根轨迹及闭环单位阶跃响应曲线

根轨迹源程序如下：

>>num=[1]↵

>>den=[1 3 2 0]↵

>>rlocus(num,den)↵

>>grid ↵

根轨迹如下图所示：

阶跃响应源程序如下：>>num=[1 3 2 0]↵

>>den=[1 3 2 1]↵

>>step(num,den)↵

>>grid↵

阶跃响应如下图所示：