复习一元函数导数微分的概念

M

y
y f ( x)
T
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
在点 x0处可导, 并称这个极限为函数 y f ( x)
在点 x0处的导数,
记为f ( x0 ), y
x x0
dy , dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
,
f ( x0 x) f ( x0 ) y 即 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
★ 右导数:
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 )
和右导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是
函数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.单侧导数
★ 左导数:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
x0 x在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在
点 x0可微, 并且称A x为函数y f ( x)在点 x0相应于自
变量增量 x的微分, 记作 dy 即dy A x.
导Βιβλιοθήκη Baidu的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
定义：设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点
x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取得
增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与x之
比当x 0时的极限存在, 则称函数y f ( x)
的快慢程度.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
★ 这时，对于任一 x I , 都对应着 f ( x) 的一个确定
的导数值这个函数叫做原来函数 . f ( x) 的导函数.
dy df ( x) 记作 y, f ( x), 或 . dx dx
★ 如果 f ( x )在开区间a , b 内可导，且 f ( a ) 及
f (b) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a , b上可导.
导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
证
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及
其它形式
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
关于导数的说明： ★ 点导数是因变量在点 x 处的变化率, 0
它反映了因变量随自变量的变化而变化