复习一元函数导数微分的概念
第二章 一元函数的导数和微分
第二章 一元函数的导数和微分微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数值变化的近似值.第一节 导数的概念在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题。
例如，物体作匀速直线运动时，其速度为物体在时刻t 0到t 的位移差s (t )-s (t 0) 与相应的时间差t -t 0的商00()()--s t s t v =t t .如果物体作变速直线运动，则上面的公式就不能用来求物体在某一时刻的瞬时速度了.不过，我们可先求出物体从时刻t 0到t 的平均速度，然后假定t →t 0,求平均速度的极限00()()lim→--t t s t s t t t ，并以此极限作为物体在t 0时刻的瞬时速度.从数学角度来看，00()()--f x f x x x 叫做函数y =f (x )在x 0与x 的差商，而把x →x 0时，该差商的极限值(如果存在的话)叫做函数f (x )在x 0处的导数.一般说来，工程技术中一个变量相对于另一个变量的变化率问题，可以化成求导数的问题进行处理.一、导数的定义定义 设函数y =f (x )在U (x 0)内有定义.如果极限00()()lim→--x x f x f x x x存在，则称该极限值为f (x )在点x 0处的导数，记为000()()()lim→-'=-x x f x f x f x x x ， (2-3-1)此时也称函数f (x )在点x 0可导.函数f (x )在点x 0处的导数还可记为0d d =y x x x ；0d ()d =f x x x x ；0'=y x x .导数f ′(x 0)可以表示为下面的增量形式00000()()()limlim ∆→∆→+∆-∆'==∆∆x x f x x f x yf x x x. (2-3-2)如果(2-3-1)式和式(2-3-2)中右边的极限不存在，则称f (x )在点x 0不可导.当00()()lim→--x x f x f x x x = ∞时，我们通常说函数y = f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都可导，则称f (x )在此开区间(a ，b )内可导.这时，∀x ∈(a ，b )，对应着f (x )的一个确定的导数值，这是一个新的函数关系，称该函数为原来函数f (x )的导函数，记为f ′(x )，y ′，d ()d f x x ，d d yx等，此时 0()()()lim ∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x, x ∈(a ,b ).显然，f (x )在点x 0∈(a ，b )的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x =x 0处的函数值：00()()''==f x f x x x .为方便起见，我们简称函数的导函数为导数.由函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的定义可知，它是一种极限：000()()()lim→-'=-x x f x f x f x x x ，而极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等.因此f ′(x 0)存在(即f (x )在点x 0可导)的充要条件应是下面的左、右极限00()()lim -→--x x f x f x x x ，000()()lim +→--x x f x f x x x 都存在且相等.我们将这两个极限分别称为函数f (x )在x 0处的左导数和右导数，记为f ′-(x 0)和f ′+(x 0)，即000()()()lim --→-'=-x x f x f x f x x x ，000()()()lim ++→-'=-x x f x f x f x x x或写成增量形式：0000()()()lim --∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x，0000()()()lim ++∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x.定理1 函数y =f (x )在点x 0可导的充要条件是f ′-(x 0)及f ′+(x 0)存在且相等.该定理实际上是第一章第四节中定理2的推论. 例1 函数f (x )=｜x ｜在点x =0处是否可导？ 解 因为(0)(0)sgn()∆-+∆-==∆∆∆x f x f x x x，所以0(0)lim sgn()1++∆→'=∆=x f x ,0(0)lim sgn()1--∆→'=∆=-x f x ，由于f ′+(0)≠f ′-(0),因此f (x )=｜x ｜在x =0处不可导.例2 研究函数,0,()ln(1),0<⎧=⎨+≥⎩x x f x x x 在点x =0处的可导性.解 易知f (x )在点x =0处连续，而0()(0)(0)lim ++→-'=x f x f f x0ln(1)0lim +→+-=x x x1lim ln(1)1+→=+=xx x , 00()(0)0(0)lim lim 1---→→--'===x x f x f x f x x， 由于f ′+(0)=f ′-(0)=1，故f (x )在点x =0处可导，且f ′(0)=1.例3 求函数f (x )=C ，x ∈(-∞，+∞)的导数，其中C 为常数.解 00()()()limlim 0∆→∆→+∆--'===∆∆x x f x x f x C Cf x x x， 即(C )′=0.通常说成：常数的导数等于零.例4 设y =x n ，n 为正整数，求y ′.解 0()lim ∆→+∆-'∆n nx x x x y =x12210lim(C ()())---∆→+∆++∆ n n n n x =nxxx x 1-=n nx ,即 (x n )′=nx n -1.特别地，n =1时，有(x )′=1. 例5 设y =sin x ，求y ′.解 0sin()sin limx x x xy x∆→+∆-'=∆022cos sin22limx x x x x∆→+∆=∆ 022cos 22lim cos x x x x x x∆→∆+∆⋅==∆即 (sin x )′=cos x .例6 设y =cos x ，x ∈(-∞，+∞)，求y ′.解 0cos()cos limx x x xy x∆→+∆-'=∆02sin()sin 22limx x x x x∆→∆∆-+=∆ 02sin()22limsin x x x x x x∆→∆∆-⋅+==-∆， 即 (cos x )′=-sin x .例7 设y =a x ，x ∈(-∞，+∞)，a ＞0，求y ′. 解 注意到u →0时，e u -1~u ，从而00(1)lim lim x x x x x x x a a a a y x x+∆∆∆→∆→--'==∆∆ln 00e 1ln limlim ln x a xx x x x x aa a a a x x∆∆→∆→-∆===∆∆， 即(a x )′=a x ln a (a ＞0).特别地 (e x )′=e x . 例8 设y =log a x ，x ∈(0，+∞)，a ＞0且a ≠1，求y ′.解 00log (1)log ()log limlima a a x x xx x xx y xx∆→∆→∆++∆-'==∆∆00111lim log (1)lim log e =ln x x a a x x x x x x x a∆∆→∆→∆=+=，即 (log a x )′=1ln x a. 特别地 1(ln )x x'=.例9 设y =x 3，求y ′｜x =2.解 因为 y ′=(x 3)′=3x 3-1=3x 2， 所以 y ′｜x =2 =3x 2｜x =2 =3×22=12.下面我们讨论可导与连续的关系.定理2 若y =f (x )在点x 0可导，则f (x )在点x 0必连续. 证 因为f (x )在点x 0可导，即000()()lim()x x f x f x f x x x →-'=-存在.由无穷小量与函数极限的关系得000()()()f x f x f x x x α-'=+-,其中α→0(x →x 0)，于是0000()()()()()f x f x f x x x x x α'-=-+-故 [][]00000lim ()()lim ()()()0x x x x f x f x f x x x x x α→→'-=-+-=.即f (x )在点x 0连续.例10 研究函数1sin ,0,()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在点x =0处的连续性和可导性.解 因为1lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→===， 所以f (x )在点x =0处连续，但是0001sin 0()(0)1lim lim limsin 0x x x x f x f x x x x→→→--==- 不存在,故f (x )在点x =0处不可导.此例说明“连续不一定可导”，连续只是可导的必要条件. 二、导数的几何意义连续函数y =f (x )的图形在直角坐标系中表示一条曲线，如图2-1所示.设曲线y =f (x )上某一点A 的坐标是(x 0，y 0)，当自变量由x 0变到x 0+Δx 时，点A 沿曲线移动到点B (x 0+Δx ，y 0+Δy )，直线AB 是曲线y =f (x )的割线，它的倾角记作β.从图形可知，在直角三角形AB C 中，tan CB y AC x β∆==∆，所以yx∆∆的几何意义是表示割线AB 的斜率.图2-1当Δx →0时，B 点沿着曲线趋向于A 点，这时割线AB 将绕着A 点转动，它的极限位置为直线AT ，这条直线AT 就是曲线在A 点的切线，它的倾角记作α.当Δx →0时，既然割线趋近于切线，所以割线的斜率yx∆∆=tan β必然趋近于切线的斜率tan α，即 00()lim tan x yf x xα∆→∆'==∆.由此可知，函数y =f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y =f (x )在对应点A (x 0，y 0)处的切线的斜率.曲线y =f (x )在点A (x 0，y 0)的切线方程可写成：(1) f ′(x 0)存在，切线方程为y -f (x 0)= f ′(x 0)(x -x 0)；(2) f (x )在点x 0处连续，f ′(x 0)=∞，则切线方程为x =x 0.例11 求过点(2，0)且与曲线y =1x 相切的直线方程. 解 显然点(2，0)不在曲线y =1x上.由导数的几何意义可知，若设切点为(x 0，y 0)，则y 0=1x ，且所求切线的斜率k 为 02011()x x k xx ='==-， 故所求切线方程为020011(2)y x x x -=--. 又切线过点(2，0)，所以有020011(2)x x x -=--. 于是得x 0=1，y 0=1，从而所求切线方程为y -1= -(x -1)，即y =2-x .例12 在曲线32y x =上求一点，使该点处的曲线的切线与直线y =3x -1平行. 解 在32y x =上的任一点M (x ，y )处切线的斜率k 为32()k y x ''===而已知直线y =3x -1的斜率k 1=3.令k =k 13=，解之得x =4，代入曲线方程得 3248y ==.故所求点为(4，8).三、函数四则运算的求导法定理3设函数u =u (x )，v =v (x )在点x 处可导，k 1，k 2为常数，则下列各等式成立： (1) ［k 1u (x )+k 2v (x )］′=k 1u ′(x )+k 2v ′(x ); (2) ［(u (x )v (x )］′=u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x );(3) 2()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦［v (x )≠0］. 证 仅以(3)为例进行证明.记g (x )=()()u x v x ，且v (x )≠0，则01()()()lim()()x u x x u x g x x v x x v x ∆→⎡⎤+∆'=-⎢⎥∆+∆⎣⎦ 01()()()()lim()()()()x u x x u x v x x v x v x u x v x v x x x x ∆→+∆-+∆-⎡⎤=-⎢⎥+∆∆∆⎣⎦ 0001()()()()lim()lim ()lim ()()x x x u x x u x v x x v x v x u x v x v x x x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-⎡⎤=-⎢⎥+∆∆∆⎣⎦ 2()()()()()u x v x u x v x v x ''-=.定理中的(1)式和(2)式均可推广至有限多个函数的情形.读者不难自行完成. 例13 设52434y x x =-+,求y ′.解 52(434)y x x ''=-+52(4)(3)(4)x x '''=-+4206x x =-.例14 设y =x 3cos x sin x ,求y ′.解 3(c o s s i n )y x x x''= 333()cos sin (cos )sin cos (sin )x x x x x x x x x '''=++232323cos sin sin cos x x x x x x x =-+.例15 设y =tan x ，求y ′.解 sin (tan )()cos xy x x'''== 2(sin )cos sin (cos )cos x x x x x''-=2222cos sin 1cos cos x x x x+==,即 (tan x )′=21cos x=sec 2x =1+tan 2x . 类似可得2221(cot )csc (1cot )sin x x x x'=-=-=-+. 例16 设y =sec x ,求y ′.解 在定理3的(3)中,取u (x )≡1,则有21()()()v x v x v x ''⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 于是y ′=(sec x )′=21(cos )cos cos x x x ''⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin sec tan cos xx x x==,即 (sec x )′=sec x tan x .类似可得 (csc x )′=-csc x cot x .第二节 求导法则一、复合函数求导法定理1(链导法) 若u =φ(x )在点x 处可导，而y =f (u )在相应点u =φ(x )处可导，则复合函数y =f (φ(x ))在点x 处可导，且d d d d d d y y u x u x=⋅，或记为 ［f (φ(x ))］′=f ′(φ(x ))·φ′(x ). (2-2-1)证 因为y =f (u )在u 的导数0()limu yf u x∆→∆'=∆存在，所以()yf u xα∆'=+∆，其中α→0(Δu →0)， 故 ()y f u x x α'∆=∆+∆，从而 00limlim ()x x y u u f u x x x α∆→∆→∆∆∆⎛⎫'=+ ⎪∆∆∆⎝⎭000()limlim lim x x x u uf u x xα∆→∆→∆→∆∆'=+∆∆.又u =φ(x )在点x 处可导，故φ(x )必在点x 处连续，因此Δx →0时必有Δu →0.于是000lim()()lim lim x u x y uf u x x xϕα∆→∆→∆→∆∆''=+∆∆()()(())()f u x f x x ϕϕϕ''''==，而[]0lim(())x yf x xϕ∆→∆'=∆，定理证毕.例1 设f (x )=x μ，μ ∈R ，x ＞0，求f ′(x ). 解 由于x μ=e μln x ，x ＞0.令u =μln x ，则x μ系由y =e u 及u =μln x 复合而成.d(e )d(ln )()d d u x f x u xμ'=⋅ln 11e e u x x x xμμμμμ-===， 即 (x μ)′=μx μ-1，μ∈R ，x ＞0.例2 设y =e -x ，求y ′.解 令u = -x ，则y =e u ，从而d d d d(e )d()d d d d d u y y u x x u x u x-=⋅=⋅ e (1)e u x -=-=-.即 (e -x )′= -e -x .对复合函数的分解熟练后，就不必再写出中间变量，而可按下列各题的方式进行计算.例3 设1sin1y x=+，求y ′. 解 21111cos()cos 11(1)1y x x x x''==++++. 例4设y =y ′.解2)x y '''==22(e )x x '=222e ()x x x '=⋅22e 2x x x =⋅22x x=.例5设ln(y x =,求y ′. 解ln(y x x '⎡⎤''==+⎣⎦21⎡⎤'==⎢⎢⎣=.二、反函数求导法定理2 设函数y =f (x )与x =φ(y )互为反函数，f (x )在点x 可导，φ(y )在相应点y 处可导，且d ()0d xy yϕ'=≠,则 d 1d d d x y yx=，或1()()f x y ϕ'='. 简单地说成：反函数的导数是其直接函数导数的倒数.证 由x ＝φ(y )=φ(f (x ))及y =f (x )，x =φ(y )的可导性，利用复合函数的求导法，得1=φ′(f (x ))f ′(x )=φ′(y )f ′(x )，故 1(),()0()f x y y ϕϕ''=≠'. 例6 设y =arcsin x ，求y ′. 解 由定理2及x =sin y 可知11(sin )cos y y y y '====' 这里记号(sin )y y '表示求导是对变量y 进行的.由上式得(arcsin )x '=.同理可得：(arccos )x '=，21(arctan )1x x '=+，21(arccot )1x x-'=+. 三、参数方程求导法若方程x =φ(t )和y =ψ(t )确定y 与x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t ∈(α，β) (2-2-2) 所确定的函数.下面我们来讨论由参数方程所确定的函数的导数.设t =φ-1(x )为x =φ(t )的反函数，在t ∈(α，β)中，函数x =φ(t )，y =ψ(t )均可导，这时由复合函数的导数和反函数的导数公式，有111d (())(())(())d y x x x x ψϕψϕϕ---'''⎡⎤==⎣⎦ 11()(())()()t x t t ψψϕϕϕ-''=='' (φ′(t )≠0). 于是由参数方程(2-2-2)所确定的函数y =y (x )的导数为d d ()d d d ()d yy t t x x t tψϕ'=='(φ′(t )≠0). (2-2-3) 例7 设33cos ,sin ,x a t y a t ⎧=⎨=⎩求d d yx .解 3232(cos )d 3sin cos tan d (sin )3cos (sin )t t a t y a t tt x a t a t t '===-'-(2n t π≠,n 为整数).例8 设2223,13,1at x t aty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ -∞＜t ＜+∞,求d d yx.解 222222223()d 6(1)6213d 3(1)61()1t taty at t at tt at x a t at t t '+-+===+--'+ (t ≠±1).例9 求极坐标方程r =e a θ(0＜θ＜π/4,a ＞1)所确定的函数y =y (x )的导数.解 由极坐标与直角坐标的关系，得cos e cos ,sin e sin ,a a x r y r θθθθθθ⎧==⎨==⎩故 (e cos )d e sin +e cos sin cos d (e sin )e cos e sin cos sin a a a a a a y a a x a a θθθθθθθθθθθθθθθθθθ'+==='--.例10 求椭圆cos ,sin x a t y bt =⎧⎨=⎩在t =π/4处的切线方程和法线方程.解 d (sin )cot d (cos )yb t bt x a t a '==-',所以在椭圆上对应于t =π/4的点处的切线和法线的斜率为4d cot d 4t=ybbk x a a ππ==-=-切，a kb =法.切线方程和法线方程分别为bx +ay =和ax -by =a 2-b 2).四、隐函数求导法如果在含变量x 和y 的关系式F (x ，y )= 0中，当x 取某区间I 内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值与之对应，那么就说方程F (x ，y )=0在该区间内确定了一个隐函数y =y (x ).这时y (x )不一定都能用关于x 的表达式表示.例如方程e y +xy -e -x =0和y =cos(x +y )都能确定隐函数y =y (x ).如果F (x ，y )=0确定的隐函数y =y (x )能用关于x 的表达式表示，则称该隐函数可显化.例如x 3+y 5-1=0，解出y =，就把隐函数化成了显函数.若方程F (x ，y )=0确定了隐函数y =y (x )，则将它代入方程中，得F (x ，y (x ))≡0.对上式两边关于x 求导(若可导)，并注意运用复合函数求导法则，就可以求出y ′(x )来. 例11 求方程y =cos(x +y )所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 将方程两边关于x 求导，注意y 是x 的函数，得y ′= -sin(x +y )(1+y ′)，即 sin()1sin()x y y x y -+'=++ ， 1+sin(x +y )≠0. 例12 求由方程e y +xy -e -x = 0所确定的隐函数y = y (x )的导数.解 将方程两边关于x 求导，得e y y ′+y +xy ′+e -x =0，故 e exy y y x -+'=-+ (x +e y ≠0). 在计算幂指函数的导数以及某些乘幂、连乘积、带根号函数的导数时，可以采用先取对数再求导的方法，简称对数求导法.它的运算过程如下：在y =f (x )(f (x )＞0)的两边取对数，得ln y =ln f (x ).上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得y ′=y (ln f (x ))′.例13 求2242(2)(1)(1)x y x x +=+++的导数. 解 先在两边取对数，得242ln 2ln(2)ln(1)ln(1)y x x x =+-+-+.上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得3242442211y x x x y x x x '=--+++， 于是 3242442211x x x y y x x x ⎛⎫'=-- ⎪+++⎝⎭，即22342242(2)442(1)(1)211x x x x y x x x x x ⎛⎫+'=-- ⎪+++++⎝⎭.例14 设()()v x y u x =，u (x )＞0，其中u (x )，v (x )均可导，求y ′.解 两边取对数得ln y =v (x )ln u (x )，两边对x 求导，得()()ln ()()()y u x v x u x v x y u x '''=+， 于是 ()()()()()ln ()()v x v x u x y u x v x u x u x '⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭. 特别地，当()()u x v x x ==时，()(1ln )x x x x x '=+.例15 求y =x sin x (x ＞0)的导数.解 两边取对数得ln y =sin x ln x .两边对x 求导，得sin cos ln y x x x y x'=+. 于是 sin sin cos ln x x y x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭. 第三节 函数的微分一、微分的概念定义1 设函数y =f (x )在U (x 0)内有定义，若∃A ∈R ，使Δy =A Δx +o (Δx ) (2-3-1)成立，则称函数y =f (x )在点x 0处可微分(简称可微)，线性部分A Δx 称为f (x )在x 0处的微分，记为d y =A Δx (其中Δx =x -x 0)，A 称为微分系数.定义中的式(2-3-1)可写为0000000()()()()()lim lim 0x x x x f x f x A x x f x f x A x x x x →→⎛⎫----=-= ⎪--⎝⎭， (2-3-2) 即式(2-3-1)成立的充要条件为 000()()limx x f x f x A x x →-=-. 于是便有下面的定理.定理1 函数y =f (x )在点x 0可微的充要条件是函数y =f (x )在点x 0可导.当f (x )在点x 0处可微时，必有d y =f ′(x 0)Δx . 该定理说明函数的可微性与可导性是等价的.函数y =f (x )在任意点x 的微分，称为函数的微分，记为d y =f ′(x )Δx . (2-3-3)例1 设y =x ，求d y .解 因为y ′=(x )′=1，所以d y =1×Δx =Δx .为方便起见,我们规定:自变量的增量称为自变量的微分,记为d x =Δx .于是式(2-3-3)可记为d y =f ′(x )d x . (2-3-4)例2 求y =sin x 当x =π/4，d x =0.1时的微分.解 d y =(sin x )′d x =cos x d x .当x =π/4,d x =0.1时，有d cos 0.10.07074y π=⨯=≈. 在几何上，y =f (x )在x 0处的微分d y =f ′(x 0)d x 表示曲线y =f (x )在点M (x 0，f (x 0))处切线MT 的纵坐标相应于Δx 的改变量PQ (见图2-2)，因此d y =Δx tan α.图2-2二、微分的运算公式1.函数四则运算的微分设u =u (x )，v =v (x )在点x 处均可微，则有d(Cu )=C d u (C 为常数)，d(u +v )=d u +d v ，d(uv )=u d v +v d u ，2d()=,0u vdu udv v v v -≠. 这些公式由微分的定义及相应的求导公式立即可证得.2.复合函数的微分若y =f (u )及u =φ(x )均可导，则复合函数y =f (φ(x ))对x 的微分为d y =f ′(u )φ′(x )d x . (2-3-5)注意到d u =φ′(x )d x ，则函数y =f (u )对u 的微分为d y =f ′(u )d u . (2-3-6)将(2-3-6)式与(2-3-4)式比较可知，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式d y =f ′(u )d u 保持不变.此性质称为一阶微分的形式不变性.由此性质，我们可以把导数记号d d y x ，d d y u等理解为两个变量的微分之商了，因此，导数有时也称微商.用微商来理解复合函数的导数以及求复合函数的导数就方便多了.例3 设y =d y .解 记u =a 2+x 2，则yd du y y u u '==.又 d u =u ′x d x =2x d x ，故d 2d y x x x ==.为了读者使用的方便，我们将一些基本初等函数的导数和微分对应列表如下.表2-1第四节 高阶导数与高阶微分一、高阶导数若函数y =f (x )在U (x )内可导，其导函数为f ′(x )，且极限0()()lim x f x x f x x∆→''+∆-∆ 存在，则称该极限值为函数f (x )在点x 处的二阶导数，记为f ″(x ), 22d d y x,y ″等. 函数y =f (x )的二阶导数f ″(x )仍是x 的函数，如果它可导，则f ″(x )的导数称为原函数f (x )的三阶导数，记为()f x ''',33d d y x，y '''等. 一般说来，函数y =f (x )的n -1阶导数仍是x 的函数，如果它可导，则它的导数称为原来函数f (x )的n 阶导数，记为()()n f x ，d d n n y x，()n y 等.通常四阶和四阶以上的导数都采用这套记号，而不用“′”.一阶、二阶和三阶导数则采用“′”的记号.由以上叙述可知，求一个函数的高阶导数，原则上是没有什么困难的，只需运用求一阶导数的法则按下列公式计算()(1)()n n y y -'= (n =1,2,…)或写成11d d d d d d n n-n n y y x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()(1)()(())n n f x f x -'=. 如果函数y =f (x )在区间I 上有直到n 阶的连续的导数，我们使用记号f (x )∈C n (I )来表示. 例1 设y =x n ，n 为正整数，求它的各阶导数.解 1()n n y x nx -''==,12()(1)n n y nx n n x --'''==-,……()(1)(1)k n k y n n n k x -=--+ ,……()(1)321!n y n n n =⨯-⨯⨯⨯⨯= ，(1)()()(!)0n n y y n +''===.显然，y =x n 的n +1阶以上的各阶导数均为0.例2 设y =sin x ，求它的n 阶导数()n y .解 cos sin()2y x x π'==+，()cos()sin(2)22y y x x ππ''''==+=+⨯，设 ()sin()2k y x k π=+⋅，则 (1)()()cos()sin (1)22k k y y x k x k +ππ⎡⎤'==+=++⎢⎥⎣⎦.由数学归纳法，知()(sin )sin()2n nx x =+π，n =1，2，….由此式我们可得到y =cos x 的高阶导数公式：()(1)1(cos )(sin )sin()cos()22n n n nx x x x --=-=-+π=+π，即 ()(cos )cos()2n nx x =+π，n =1，2，….例3 设y =ln(1+x )，求()n y .解 11y x '=+，211()()1(1)y y x x '''''===-++，2312()(1)(1)y y x x '⎡⎤''''''==-=⎢⎥++⎣⎦,运用数学归纳法可知()1(1)!(1)(1)n n n n y x --=-+，n =1，2，3，….例4 设y =a x (a ＞0)，求()n y .解 ()ln x x y a a a ''==，2(ln )ln x x y a a a a '''==.设 ()ln k x k y a a =，则 ()(1)1ln ln k x k x k+y a a a a +'==.故 ()()ln x n x n a a a =, n =1,2,….特别地,有 ()(e )e x n x =, n =1,2,….对于高阶导数,有下面的运算法则:设函数u =u (x )和v =v (x )在点x 处都具有直到n 阶的导数, 则u (x )±v (x ),u (x )v (x )在点x 处也具有n 阶导数,且(u ±v )(n )=u (n )±v (n ), (2-4-1)()()(1)(2)(1)()2!n n n n n n u v u v n u v u v ---'''⋅=⋅+⋅⋅++ ()(1)(1)!n n n n k uv k --++ =()()0C n i n i i ni u v -=⋅⋅∑， (2-4-2) 其中u (0)=u ，v (0)= v ，(1)(1)C !i n n n n i i --+= .(2- 4-2)式称为莱布尼茨(Leibniz)公式，将它与二项展开式对比，就很容易记住. (2-4-1)式由数学归纳法易证.(2-4-2)式证明如下：当n =1时，由(uv )′=u ′v +uv ′知公式成立.设当n =k 时公式成立，即()()()()(1)(2)()(1)C 2!kk i k i i k k k k k i k k y u v u v ku v u v uv ---=-'''=⋅⋅=++++∑ .两边求导，得(1)(1)()()(1)k k k k k y u v u v k u v u v ++-''''⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦(1)(2)()(1)(1)2!k k k k k k u v u v u v uv --++''''''⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦1(1)()10C k i k i i k i u v ++-+==⋅⋅∑，即n =k +1时公式(2-4-2)也成立，从而(2-4-2)成立.例5 设y =x 2·e 2x ，求y (20).解 设u =e 2x ，v =x 2，则u (i )=2i ·e 2x (i =1，2，…，20)，v ′=2x ，v ″=2,v (i )=0 (i =3,4,…,20).代入莱布尼茨公式,得y (20)=(x 2·e 2x )(20)202219218220192e 202e 22e 22!x x x x x ⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅20222e (2095)x x x =⋅⋅++.例6 设e x +y -xy =1，求y ″(0).解 方程两边对x 求导，得(1+y ′)e x +y -y -xy ′=0.上式两边再对x 求导，得(1+y ′)2e x +y +y ″e x +y -2y ′-xy ″=0.令x =0，可得y =0，y ′(0)= -1，将这些值代入上式得y ″(0)= -2.例7已知cos,sin,x a ty b t=⎧⎨=⎩求22ddyx.解d(sin)coscot d(cos)siny b t b t bt x a t a t a'==-=-'.注意dcotdy btx a=-，x=a cos t仍是参数方程，所以仍须用参数方程求导法则，从而22d d cot()d d ddd(cos)dby ty at xxx a tt'⎛⎫- ⎪⎝⎭=='2321csc cscsinb bt ta a t a=⋅⋅=-⋅-.*二、高阶微分对于函数y=f(x)，类似于高阶导数可以定义高阶微分.设f(x)有直至n阶的导数，自变量的增量仍为d x，则二阶微分定义为d2y=d(d y)=d(f′(x)d x)=d(f′(x))d x=f″(x)d x·d x=f″(x)d x2；三阶微分定义为d3y=d(d2y)=d(f″(x)d x2)=d(f″(x))d x2=f'''(x)d x d x2=f'''(x)d x3;一般地，定义n阶微分为d n y=d(d n-1y)=f(n)(x)d x n. (2-4-3) 以上公式中的x都是自变量，d x n表示n个d x的乘积(n=2,3,4,…).对于复合函数来说，二阶及二阶以上的微分已不再具有公式(2-4-3)的形式了.例如,设y=f(u)，u=φ(x)，且都具有相应的可微性，则d y=f′(u)d u，而d2y=d(f′(u)d u)=d(f′(u))d u+f′(u)d(d u)=f″(u)d u2+f′(u)d2u. (2-4-4)这是因为d u不再是固定的了，它依赖于自变量x，即d u=φ′(x)d x.(2-4-4)式说明高阶微分已不再具有形式不变性了.这是高阶微分与一阶微分的重要区别之一.例8 设y=x sin x，求d2y.解d y=(x sin x)′d x=(sin x+x cos x)d x;d2y=d(d y)=(sin x+x cos x)′d x2=(cos x+cos x-x sin x)d x2=(2cos x-x sin x)d x2.例9设u=u(x),v=v(x)均有二阶导数,y=u(x)v(x),求d2y.解d y=y′d x=［u(x)v(x)］′d x=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］d xd 2y =d(d y )=d ［(u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x ))d x ］=［u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x )］′d x 2=［u ″(x )v (x )+2u ′(x )v ′(x )+ u (x )v ″(x )］d x 2.第五节 微分中值定理本节介绍微分学中有重要应用的反映导数更深刻性质的微分中值定理.定理1 [罗尔(Ro lle)定理] 若f (x )∈C (［a ,b ］),f (x )在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则∃ξ∈(a ，b )使得f ′(ξ)=0.证 由f (x )∈C (［a ，b ］)知f (x )在［a ，b ］上必取得最大值M 与最小值m .若M ＞m ，则M 与m 中至少有一个不等于f (x )在区间端点的值.不妨设M ≠f (a ).由最值定理，∃ξ∈(a ,b ),使f (ξ)=M .又0()()()lim 0x f x f f xξξξ++∆→+∆-'=≤∆，0()()()lim 0x f x f f x ξξξ--∆→+∆-'=≥∆， 故 f ′(ξ)=0.若M =m ，则f (x )在［a ，b ］上为常数，故(a ，b )内任一点都可成为ξ，使f ′(ξ)=0. 罗尔定理的几何意义是：若y =f (x )满足定理的条件，则其图像在［a ，b ］上对应的曲线弧AB 上一定存在一点具有水平切线，如图2-3所示.图2-3定理2［拉格朗日(L ag r ang e)中值定理］ 若f (x )∈C (［a ，b ］)，f (x )在(a ，b )内可导，则∃ξ∈(a ，b )使得f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a ). (2-5-1)证 考虑辅助函数Φ(x )=f (x )-λx (其中λ待定)，为了使Φ(x )满足定理1的条件，令Φ(a )=Φ(b )得 λ=()()f b f a b a--， 即 Φ(x )=f (x )-()()f b f a b a --x . 于是由定理1,∃ξ∈(a ，b )，使Φ′(ξ)=0，即f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a ).如图2-4所示，连结曲线弧 AB 两端的弦AB ，其斜率为()()f b f a b a--.因此，定理的几何意义是：满足定理条件的曲线弧 AB 上一定存在一点具有平行于弦AB 的切线.图2-4显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.式(2-5-1)称为拉格朗日中值公式，显然，当b ＜a 时，式(2-5-1)也成立.设x 和x +Δx 是(a ，b )内的两点，其中Δx 可正可负，于是在以x 及x +Δx 为端点的闭区间上有f (x +Δx )-f (x )=f ′(ξ)Δx ，其中ξ为x 与x +Δx 之间的某值，记ξ = x +θΔx ，0＜θ＜1，则f (x +Δx )-f (x )=f ′(x +θΔx )Δx (0＜θ＜1). (2-5-2)(2-5-2) 式称为有限增量公式.推论1 若函数f (x )在区间I 上的导数恒为零，则f (x )在区间I 上为一常数. 证 x 1，x 2∈I ，x 1＜x 2，在［x 1,x 2］上应用定理2,得f (x 2)-f (x 1) =f ′(ξ)(x 2-x 1),ξ∈(x 1,x 2).由于f ′(ξ)=0,故f (x 2)=f (x 1).由x 1,x 2的任意性可知,函数f (x )在区间I 上为一常数.在第一节我们知“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论. 推论2 若∀x ∈I ，f ′(x )=g ′(x )，则在I 上f (x )=g (x )+C (C 为常数).例1 求证arcsin x +arccos x =π2，x ∈［-1，1］. 证 令f (x )=arcsin x +arccos x ，则f ′(x )=，x ∈(-1，1).由推论1得f (x )=C ，x ∈(-1，1).又 因f (0)=π2，且f (±1)= π2. 故 f (x )=arcsin x +arccos x =π2,x ∈［-1,1］.例2 证明不等式arc tan x 2-arc tan x 1≤x 2-x 1(其中x 1＜x 2).证 设f (x )=arc tan x ，在［x 1，x 2］上利用拉格朗日中值定理， 得 arc tan x 2-arc tan x 1=211ξ+(x 2-x 1)，x 1＜ξ＜x 2. 因为211ξ+≤1，所以 arc tan x 2-arc tan x 1≤x 2-x 1.例3 设函数f (x )=x (x -2)(x -4)(x -6)，说明方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内有几个实根，并指出它们所属区间.解 因为f ′(x )是三次多项式，所以方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内最多有3个实根.又由于f (0)=f (2)=f (4)=f (6)=0，f (x )在区间［0，2］，［2，4］，［4，6］上满足罗尔定理的条件.故 ξ1∈(0，2)，ξ2∈(2，4)，ξ3∈(4，6)，使f ′(ξ1)=0，f ′(ξ2)=0，f ′(ξ3)=0.即方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内有3个实根，分别属于区间(0，2)，(2，4)，(4，6).例4 若f (x )＞0在［a ，b ］上连续，在(a ,b )内可导，则∃ξ∈(a ，b )，使得()()ln()()()f b f b a f a f ξξ'=-. 证 原式即()ln ()ln ()()()f f b f a b a f ξξ'-=-. 令φ(x )=ln f (x ),有 φ′(x )=()()f x f x '.显然φ(x )在［a ，b ］上满足拉格朗日中值定理的条件，在［a ，b ］上应用定理可得所证. 下面再考虑由参数方程x =g (t )，y =f (t )，t ∈［a ，b ］给出的曲线段，其两端点分别为A (g (a )，f (a ))，B (g (b )，f (b )).连结A ，B 的弦AB 的斜率为()()()()f b f ag b g a -- (见图2-5)，而曲线上任何一点处的切线斜率为d ()d ()x f t y g t '='.图2-5若曲线上存在一点C ［对应参数t =ξ∈(a ，b )］，在该点曲线的切线与弦AB 平行，则可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.定理3［柯西(CaUchy )中值定理］ 若f (x )，g (x )∈C (［a ，b ］)均在(a ，b )内可导，且g ′(x )≠0，则∃ξ∈(a ，b )使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.证 由g ′(x )≠0和拉格朗日中值定理得g (b )-g (a )=g ′(η)(b -a )≠0, η∈(a ,b ).由此有g (b )≠g (a )，考虑辅助函数Φ(x )=f (x )-λg (x )(λ待定).为使Φ(x )满足罗尔中值定理的条件，令Φ(a )=Φ(b )，得λ=()()()()f b f ag b g a --.取λ的值如上，由罗尔定理知∃ξ∈(a ，b )，使Φ′(ξ)=0，即()()()()0()()f b f a fg g b g a ξξ-''-=-，即()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 由此定理得证.显而易见,若取g (x )≡x ,则定理3成为定理2,因此定理3是定理1,2的推广,它是这三个中值定理中最一般的形式.例5 设函数f (x )在［x 1,x 2］上连续，在(a ,b )内可导,且x 1·x 2＞0，证明∃ξ∈(x 1，x 2)，使112212()()()()x f x x f x f f x x ξξξ-'=--.证 原式可写成122121()()()()11f x f x x x f f x x ξξξ-'=--. 令φ(x )=()f x x ，ψ(x )=1x.它们在［x 1，x 2］上满足柯西中值定理的条件，且有 ()()x x ϕψ''=f (x )-xf ′(x ). 应用柯西中值定理即得所证.第六节 泰勒公式在本章前面已知道，如果f (x )在点x 0处可微，则f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0).此式表明：对于任何在x 0处有一阶导数的函数，在U (x 0)内能用关于(x -x 0)的一个一次多项式来近似表示它，多项式的系数就是该函数在x 0处的函数值和一阶导数值，这种近似表示的误差是比(x -x 0)高阶的无穷小.于是，人们猜想：如果函数f (x )在点x 0处有n 阶导数，则可以用一个关于(x -x 0)的n 次多项式来近似表示f (x )，该多项式的系数仅与函数f (x )在点x 0的函数值和各阶导数值有关，这种近似表示的误差是比(x -x 0)n 高阶的无穷小.泰勒(Tayl o r)对这个猜想进行了研究，并得到了下面的结论.定理1(泰勒中值定理) 若f (x )在U (x 0)内具有n +1阶导数，则∀x ∈U (x 0)，有f (x )=()000()()()!k nk n k f x x x R x k =-+∑, (2-6-1) 其中R n (x )=o ((x -x 0)n )，且(1)1000(())()()(1)!n n n f x x x R x x x n θ+++-=-+, 0＜θ＜1. (2-6-2)公式(2-6-1)称为f (x )在点x 0的n 阶泰勒公式，式中R n (x )称为余项.式(2-6-2)表示的余项称为拉格朗日余项，而R n (x )=o ((x -x 0)n )称为皮亚诺(Peano)余项.()000()()()!k nk n k f x P x x x k ==-∑称为n 阶泰勒多项式.运用泰勒多项式近似表示函数f (x )的误差可由余项进行估计.例如，若∀x ∈U (x 0)，有｜f (n +1)(x )｜≤M ，则可得误差估计式10()()()(1)!n n n M R x f x P x x x n +=-≤-+.特别地，当公式(2-6-1)中的x 0=0时，通常称为麦克劳林(MaclaUrin)公式，即f (x )=∑nk =0f (k )(0)k ！xk +Rn (x )， (2-6-3)其中 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+，0＜θ＜1.很显然，拉格朗日中值公式是带拉格朗日余项的零阶泰勒公式，泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推广.例1 求f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式.解 f (k )(x )=e x ，f (k )(0)=1(k =0，1，2，…).e x=21()2!!nn x x x o x n +++++. 其拉格朗日余项为1e ()(1)!xn n R x x n θ+=+,θ∈(0,1).例2 求f (x )=sin x 的n 阶麦克劳林公式.解 f (k )(x )=πsin()2x k +⋅ (k =0，1，2，…)，故()0,2(0)(1),21k jk jf k j =⎧=⎨-=+⎩ (j=0，1，2，…). 取n =2m ，得sin x =352112(1)()3!5!(21)!m m m x x x x o x m ---+-+-+- .其拉格朗日余项为212(21)πsin 2()(21)!m m m x R x x m θ++⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=+21cos (1)(21)!mm x xm θ+=-+， θ∈(0，1). 类似地有cos x =242211(1)()2!4!(2)!mm m x x x o x m +-+-+-+ ， 其拉格朗日余项为12221cos ()(1)(22)!m m m x R x x m θ+++=-+, θ∈(0,1).例3 求f (x )=ln(1+x )的n 阶麦克劳林展开式. 解 ()1(1)!()(1)(1)k k kk fx x --=-+ ，(k =1,2,…), 故f (k )(0)=(-1)k -1(k -1)! (k =1,2,…,n ).又 f (0)=0,f (n +1)(ξ)1!(1)(1)n n ξ+=-+, 其中，ξ在0与x 之间.于是,当x ∈(-1,+∞)时,ln(1+x )=234111(1)(1)2!3!4!(1)(1)nn n nn x x x x x x n n ξ+-+-+-++-+-++ , 其中ξ在0与x 之间.利用泰勒公式可以求极限.例4 求极限2240cos e limx x x x -→-.解 利用泰勒公式,有cos x =2441()2!4!x x o x -++, 2222421e1()2!2!2!x x x o x -⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是 24421cos e ()12x x x o x --=-+. 所以244244001()cos e 112limlim 12x x x x o x x x x -→→-+-==-. 第七节 洛必达法则本节我们将利用微分中值定理来考虑某些重要类型的极限.由第二章我们知道在某一极限过程中,f (x )和g (x )都是无穷小量或都是无穷大量时,f (x )/g (x )的极限可能存在,也可能不存在.通常称这种极限为不定式(或待定型),并分别简记为00或∞∞. 洛必达(L’H ospital)法则是处理不定式极限的重要工具，是计算00型、∞∞型极限的简单而有效的法则.该法则的理论依据是柯西中值定理.一、型不定式 定理1设f (x )，g (x )满足： (1) 0lim x x →f (x )=0，0lim x x →g (x )=0；(2)在U ︒(x 0)内可导，且g ′(x )≠0; (3) 0limx x →()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 0limx x →()()f xg x = 0lim x x →()()f x g x ''. 证 由于极限0limx x →()()f xg x 与f (x )和g (x )在x =x 0处有无定义没有关系，不妨设f (x 0)=g (x 0)=0.这样，由条件(1)、(2)知f (x )及g (x )在U (x 0)连续.设x ∈U (x 0)，则在［x ，x 0］或［x 0，x ］上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有00()()()()()()()()f x f x f x fg x g x g x g ξξ'-=='-, 其中ξ在x 与x 0之间.令x →x 0(从而ξ→x 0)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到limx x →()()f x g x =0lim x ξ→()()f g ξξ''= 0lim x x →()()f xg x ''， 对于当x →∞时的型不定式，洛必达法则也成立. 推论1 f (x )，g (x )满足 (1)lim x →∞f (x )=0，lim x →∞g (x )=0；(2) 当｜x ｜＞X 时可导，且g ′(x )≠0; (3) limx →∞()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 ()()limlim()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='. 证 令t =1x，则x →∞时t →0，从而 01lim ()lim ()0t x f f x t →→∞==，1lim ()lim ()0x x g g x t→∞→∞==. 由定理1，得2002111()()()()()lim lim lim lim 111()()()()()x t t x f f f x f x t t t g x g x g g t t t→∞→→→∞'-'===''-. 显然，若lim ()()f xg x ''仍为00型不定式，且f ′(x )，g ′(x )满足定理条件，则可继续使用洛必达法则而得到()()()limlim lim ()()()f x f x f xg x g x g x '''==''',且仍然可以依此类推.例1 求33221216lim 248x x x x x x →-+--+.解 32322222121631263lim lim lim 248344642x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===--+---.例2 求πarctan 2lim x x x→+∞-. 解 2221πa r c t a n 12l i m l i m l i m 1111x x x x xx x x x→+∞→+∞→+∞--+===+-. 二、∞∞型不定式定理2设f (x )，g (x )满足 (1) 0lim x x →f (x )=∞，0lim x x →g (x )=∞；(2) 在U ︒(x 0)内可导，且g ′(x )≠0;(3) 0limx x →()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 00()()limlim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 该定理也是应用柯西中值定理来证明的，因过程较繁，故略. 推论2若f (x )，g (x )满足 (1) lim x →∞f (x )=∞，lim x →∞g (x )=∞；(2) 当｜x ｜＞X 时可导，且g ′(x )≠0； (3) limx →∞()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 ()()limlim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='. 例3 求ln limax xx →+∞ (α＞0).解 11l n 1l i m l i m l i m 0a a a x x xxx x a x a x-→+∞→+∞→+∞===. 例4 求lim eax x x →+∞ (α＞0).解 1lim lim e e a a x xx x x ax -→+∞→+∞=.若0＜α≤1，则上式右端极限为0；若α＞1，则上式右端仍是∞∞型不定式，这时总存在自然数n 使n -1＜α≤n ，逐次应用洛必达法则直到第n 次有1lim lim e ea a x x x x x ax -→+∞→+∞== (1)(1)lim 0e a nxx a a a n x n -→+∞--+= （次）. 故 lim 0eax x x →+∞= (α＞0).例5 求π2tan limtan 3x xx →.。
一元函数的导数和微分
一元函数的导数和微分一元函数的导数和微分是微积分的基本概念之一，对于任意给定的一元函数，导数和微分是描述其变化率、斜率和局部线性近似的重要工具。
本文将介绍一元函数导数的定义、性质，以及如何求导和求微分的方法。
一、导数的定义与性质导数是描述函数变化率的概念，定义如下：对于函数f(x)，若极限lim┬(h→0)(f(x+h)-f(x))/h存在，则称其为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写作dy/dx或df(x)/dx。
导数具有以下性质：1. 常数导数为零：若c为常数，则导数d(c)/dx=0。
2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有dy/dx=nx^(n-1)。
3. 基本初等函数导数：对于常见的基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等），都有相应的求导公式。
4. 导数的线性性：若f(x)和g(x)都是可导函数，a和b为常数，则有导数d(af(x)+bg(x))/dx=ad(f(x))/dx+bd(g(x))/dx。
二、求导的方法求导是根据导数的定义和性质，通过运用一系列的求导法则来求得函数的导数。
下面介绍几种常用的求导法则：1. 基本导数法则：- 常数法则：d(c)/dx=0，其中c为常数。
- 幂函数法则：d(x^n)/dx=nx^(n-1)，其中n为常数。
- 指数函数法则：d(e^x)/dx=e^x。
- 对数函数法则：d(ln(x))/dx=1/x。
- 三角函数法则：d(sin(x))/dx=cos(x)，d(cos(x))/dx=-sin(x)，d(tan(x))/dx=sec^2(x)，其中sec(x)为secant函数等。
2. 导数的四则运算法则：- 和差法则：对于可导函数f(x)和g(x)，有d(f(x)+g(x))/dx=df(x)/dx+dg(x)/dx。
- 积法则：对于可导函数f(x)和g(x)，有d(f(x)g(x))/dx=f(x)dg(x)/dx+g(x)df(x)/dx。
9.第三章一元函数微分学(微分的概念)
特别注意：
(1)微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的；
(2)导数是函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由
自变量增量所引起的函数增量的主要部分； (3)导数的值只与 x 有关,而微分的值一般与x 和x 都有关. 例 2 求函数 y x2 1在 x=1,x=0.1 时的改变量 y和 dy.
A (x x)2 x 2 2x x (x)2
0
0
0
A 由两部分组成,第一部分是2x x 0
是x的线性函数,当x 0时,
x0 x
x0 x0
x
第二部分(x)2是比x 高阶的无穷小,
由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A可近
似地用第一部分代替.
2 微分的概念
定义 如果函数 y f (x) 在点 x 处的改变量 y可以表示为
0
0
dy f (x)x
例 1 求 y x2在 x 1和 x 3处的微分
解 函数 y x2在 x 1处的微分为 dy (x2 ) x 2x
x1
函数 y x2在 x 3处的微分 dy (x2 ) x 6x
x3
3 可微的充要条件
定理 2 函数 y f (x) 在点 x 处可微的充要条件是 f (x) 在点 x 处可导,且
解 y f x x f x x x2 1 x2 1 2xx x2,
y x1 21 0.1 (0.1)2 0.21
x0.1
dy f xx x2 1x 2xx,
dy 21 0.1 0.2 x 1 x 0.1
4 复合函数的微分
复合函数的微分法则
设函数 y f (u),u (x)都可微,则复合函数 y f [ (x)]的微分为
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
高等数学2-1
(1) y ( x 1) x2 x 2 不可导点个数（ ）
外：非零点 内：零点
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）y cos x sin 2x 的不可导点是（ ）
（A）
4
（B）
2
外：非零点
（C） （D）3
2
内：零点
③抽象函数求极限 大思路：洛必达法则或导数定义 细节：不能超越题目条件书写符号！
lim
h0
h
存在，其值一定为 f ( x)
双侧 真导数定义！
动点
lim f ( x 2h) f ( x h) 存在，其值未必 f ( x)
h0
h
双侧 假导数定义！
【注解】真假导数的极限有下面关系
真
假
lim f ( x h) f ( x) A
h0
h
lim f ( x 2h) f ( x h) A
【注解1】上述结论的图形解读
纯绝对值
y x a : （书上重点例题）
在 x a 处连续但不可导
( x )（绝对值外）
y (x a) x a :
在 x a 处连续 且可导！
y y xa
oa
x
y
oa
x
【注解2】利用上结论可快速判断某些带
绝对值 函数在 x a 处的可导性。
【练习】
1， 2 2 处不可导！
lim y x0 x
研究 y 的近似计算—— 微分
y ？
幂低
（1）微分定义： 线性主部！ 幂高 若函数增量 y A( x ) x o( x ), 称 y 在 x 处可微。记 dy A( x )x 为微分。即 y dy o(x), y dy
【注解】若 y 是自变量时，
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§ 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
、导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' <设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
一元函数微分学公式
一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。
在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。
本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。
一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。
下面我们逐一介绍这些内容。
1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。
导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。
以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。
通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。
3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
大学高等数学第二册复习资料
大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。
为此，引入了极限的概念。
在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。
1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。
1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。
这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。
2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。
这些都是导数计算的一些扩展应用。
3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。
3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。
第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。
1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。
2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。
2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。
3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。
(专升本)一元函数微分学复习
求曲线上一点处的切线方程与 法线方程
掌 握
导数公式及四则运算法则
复合函数的求导方法 隐函数的求导方法
参数方程的一阶导数求导法
初等函数的二阶导数求法 微分的运算法则
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知识回顾
1．回忆函数的基本导数公式 公式1 公式2
C 0（C 为常数）
n n1 ( x ) n x ( n Q)
2
1 3
ln( x 1 ),
y
1 2
1 x 1
2
2x
1 x
1 3( x 1)
x x 1
2
1 3( x 1)
例12 求函数 y e 解
y e
sin 1 x
sin
的导数.
sin 1 x
(sin
sin
1 x
1 x
) e
cos
cos
1
1 ( ) x x
2
1 ln x
2
1 2 1 ln x
2
2 ln x ln x
ln x x 1 ln x
2
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例题讲解
例6 求 y ( x 1) 3 (3 x 1) ( x 2 ) 的导数．
2
解：
ln y ln x 1
1 y y 1 x 1 2
法则
dy d t y t . dx dx x t dy tx
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知识回顾
8．回顾微分的概念．
d y f ( x ) d x
9．回顾微分的运算法则．
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
一元函数微分学复习ppt
乘法法则与商的导数
乘法法则
如果y=f(u)，u=g(x)，则 y'=f'(u)g'(x)+f'(u)g'(x)
VS
商的导数
如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)f'(u)g'(x)/g(x)^2
减法法则
f'(x) = df(x)/dx = d(-f(x)) / dx = -f'(x)
除法法则
$f'(x) = df(cx) / dx = c \times d(f(x)) / dx = c \times f'(x)$
链式法则
概念
如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)
应用
定理的现代形式
如果f(x)和g(x)在[a,b]上可导，且对于任意的x∈[a,b], f'(x)g(x)-f(x)g'(x)≠0，则存在至少一个ξ使得 f''(ξ)g'(ξ)-f'(ξ)g''(ξ)=0。
05
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
总结词
原函数、反导数、可导函数、可积函数、微分学基本定理
导数的定义与性质
导数的定义
函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率，即函数 因变量相对于自变量变化的快慢程度。
导数的性质
包括运算法则、导数与函数单调性的关系、导数在曲线 中的应用等。
微分的定义与性质
一元函数的导数与微分
一元函数的导数与微分正文：一元函数的导数与微分是微积分的重要概念和工具。
在数学中，一元函数是指只含有一个自变量的函数，通常表示为 f(x)。
导数和微分则描述了函数在某一点上的变化率和局部线性近似。
一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点上的变化率。
对于一元函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数可用以下公式计算：f'(a)=lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，lim 表示极限，h 表示自变量 x 的增量。
导数有很多计算方法，常见的有：1. 基本导数公式：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。
2. 基本运算法则：包括和差法、积法和商法的导数法则。
3. 链式法则：用于求复合函数的导数，利用链式法则可以将复杂函数的导数分解为若干简单函数的导数。
4. 隐函数求导法则：用于求隐函数的导数。
5. 参数方程求导法则：用于求参数方程表示的函数的导数。
二、微分的概念与应用微分是函数在某一点上的线性近似。
对于一元函数 f(x)，它在点x=a 处的微分可用以下公式表示：df(a)=f'(a)dx其中，df(a) 表示函数 f(x) 在点 x=a 处的微分，f'(a) 表示函数 f(x) 在点 x=a 处的导数，dx 表示自变量 x 的增量。
微分在实际应用中有广泛的用途，其中包括：1. 切线与法线：微分可用于求函数图像上某一点处的切线与法线的方程。
2. 近似计算：利用微分，可以对函数进行近似计算，尤其在较小自变量变化范围内，近似计算可以简化运算过程。
3. 极值问题：微分可以用于求函数的最大值和最小值，其中极值点满足导数为零的条件。
4. 曲线拟合：利用微分，可以对一组数据点进行曲线拟合，找到最佳拟合曲线的参数。
5. 物理问题：微分在物理学中的应用非常广泛，如描述速度、加速度等物理量的变化率等。
综上所述，一元函数的导数与微分是微积分中的核心概念和工具。
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
数分：一元函数微分学习题课
y 1 cos x sin x ln sin x cos x y x sin x
所以
y x(sin x )
cos x
1 ( sin x ln sin x cos x cot x ) x
【例11】设 y 分析
x ( x 5) 2 3 ，求 y 。 ( x 1)
所以切点坐标为 1， 0
再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 x求导，得
e xy y xy 2 y 0
将 x 1 , y 0代入上式, 得 y 1 1
则所求切线方程为
y x 1
1 f ( x) f ( x) f (ln x) f (ln x) x
2
1 x
1 1 x2
所以
dy y dx
1 dx 2 1 x
y x(sin x )cos x ，求y 。 【例10】设
分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。
解：应用对数求导法。函数两边取对数得
ln y ln x cos x ln sin x
方程两边对 x 求导得
1 f ( y )
函数 y f
1
( x ) 在对应的 I x 内也可导，且 [ f 1 ( x )]
dy 1 或 。 dx dx dy
3．复合函数求导法则 设 y f (u) 及 u g( x )都是可导函数，则复合函数 y f ( g( x )) 也是可导函数且 y ( x ) f [ g( x ) ] g ( x ) 。 4．隐函数求导法则 由方程 F ( x, y ) 0 确定了y f ( x )，方程两端对 x 求导，在 求导过程中牢记 y 是 x 的函数 ( y f ( x )) ，方程中含有 y 的
一元函数的微分与微分公式
一元函数的微分与微分公式微积分是现代数学的重要分支，也是许多自然科学领域的基础理论。
微积分的两个核心概念是微分和积分。
其中，微分是对函数进行局部近似的一种方法。
在微分中，我们将一个函数在某一个点的斜率视为该函数在该点的变化程度。
因此，微分被视为对数学中的变化进行描述的一种工具。
微分的基本原理在于，任何可导函数在某一点的导数可以表示为该点函数的局部线性逼近斜率。
这就是微分的核心思想——近似。
在数学中，我们使用微分公式来计算函数的导数，从而得到函数在给定点的变化率。
了解微分公式是微积分学习中的关键，因此本文主要讨论一元函数的微分和微分公式。
一、微分的定义与微分公式微分是数学中的一个基本概念，其定义可以简单地解释为函数的变化量对自变量的变化量的极限。
对于一元函数$f(x)$而言，如果它在点$x_0$处可导，那么在这个点其微分定义为：$$df|_{x=x_0}=f'(x_0)dx$$其中，$dx$可以看成是自变量在$x_0$处的微小变化量。
$f'(x_0)$是函数在点$x_0$处的导数。
如此定义，微分可以被视为对函数$f(x)$在$x_0$处的局部线性逼近。
在微分公式的应用中，$dx$通常可以被视为一个数量接近于零的常数。
这种常数的概念在微积分中被称为“无穷小”，可以简单地理解为比任意小的值，但仍然大于零。
微分公式是计算函数导数的关键。
一切微分公式的推导都基于微分的定义。
下面是一元函数的微分公式：（1）常数函数的微分公式若$f(x)= C$（其中$C$为常数），则$f'(x)=0$。
（2）幂函数的微分公式若$f(x)=x^n$（其中$n$为正整数），则$f'(x)=nx^{n-1}$。
（3）指数函数的微分公式若$f(x)=a^x$（其中$a$为正数），则$f'(x)=a^x\cdot\ln a$。
（4）对数函数的微分公式若$f(x)=\log_a x$（其中$a$为正数且不等于$1$），则$f'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}$。
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证
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
函数 f ( x )在点 0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及
导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
定义：设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点
x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取得
增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与x之
比当x 0时的极限存在, 则称函数y f ( x)
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.单侧导数
★ 左导数:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
★ 右导数:
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 )
和右导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是
函数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
函数 y f ( x )在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy f ( x )x .
其它形式
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
关于导数的说明： ★ 点导数是因变量在点 x 处的变化率, 0
它反映了因变量随自变量的变化而变化
★ 如果 f ( x )在开区间a , b 内可导，且 f ( a ) 及
f (b) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a , b上可导.
导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
x0 x在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在
点 x0可微, 并且称A x为函数y f ( x)在点 x0相应于自
变量增量 x的微分, 记作 dy 即dy A x.
M
y
y f ( x)
T
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
在点 x0处可导, 并称这个极限为函数 y f ( x)
在点 x0处的导数,
记为f ( x0 ), y
x x0
dy , dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
,
f ( x0 x) f ( x0 ) y 即 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
的快慢程度.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点
处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
★ 这时，对于任一 x I , 都对应着 f ( x) 的一个确定
的导数值这个函数叫做原来函数 . f ( x) 的导函数.
dy df ( x) 记作 y, f ( x), 或 . dx dx