数值分析笔记
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。
数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。
下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。
常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。
一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。
3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。
四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。
它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。
条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。
5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。
常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。
常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。
可以通过理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。
(参考资料)数值分析笔记
常用的矩阵范数
n
矩阵的 1-范数:
A
1
max
1 jn
i 1
aij
矩阵的 2-范数:
A 2
max (AT A)
n
矩阵的-范数:
A
max 1in
j 1
aij
n
矩阵的 F-范数: A F
ai2j
i, j1
,也称矩阵的列范数. ,也称为谱范数. ,也称为行范数.
1, 2, …, n 为矩阵 A 的 n 个特征值,
向量的 1-范数:
向量的 2-范数:
向量的-范数:
x 1 x1 x2 xn
x 2
x12 x22 xn2
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn
x
max
1in
|
xi
|
常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x n x ,x Rn
2
x x n x ,x Rn
凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半
个单位。
2.设近似值 x 的相对误差限位 10-5，则 x 至少具有（5）为有效数字。
第二章 解线性方程组的直接法
1、Gauss 消去法
是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。
顺序 Gauss 消去法(简称为 Gauss 消去法):
a11 U
a12 a22 l21u12
a13
a23 l21u13
a33 l31u13 l32u23
（2）平方根法
u11
LDM 分解 和 Cholesky 分解(GGT) D u22
数值分析考点整理
（1） 基函数为二次多项式。 （2） 函数值满足：
22
数值分析知识点
23
数值分析知识点
设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函数，
则
n
( xk x)m lk ( x) 0
m=1,2,…,n
k0
24
17 ＝0.4…10, a1=4, r 1 10-(n-1)< 0.1%,故可取 n3.097, 即 4 位有效数字。 2a1
3
数值分析知识点
数值算法设计主要是处理好计算精度和计算速度问题 a.避免相近二数相减（易减小有效数字） b.避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 c.避免大数吃小数.在浮点运算中，要对阶操作，可能造成小数有 效数字溢出，影响结果。 d.简化计算步骤，减少运算次数(运算量)，避免误差积累。 e.选用稳定的算法 2.高斯消元法——（由消元过程和回代过程构成了高斯消元法。） 解线性方程组几种数值解法：
零,是方阵 A 能进行 LU 分解的充分条件；严格行对角占优阵
5
数值分析知识点
能进行 LU 分解；非奇异矩阵不一定能进行 LU 分解。
(2). 设 A 是正定矩阵，则 A 的 cholesky 的分解唯一 L——单位下三角矩阵 U——上三角矩阵
6
数值分析知识点
7
数值分析知识点
4.向量范数和矩阵范数 本章节只要理解范数的基本定义并会计算三种范数及谱半径就 行了！
平方误差： 2 2
f
p2
2 2
f
2 2
2 i0
ai (i ,
y)
2 3
2分
判断题： 1.最小二乘法拟合中得到的线性方程组总是数值稳定的 （X） 2. 互异的插值节点越多，使用 Lagrange 插值的结果误差就越小
数值分析笔记（2）——有效数字
数值分析笔记（2）——有效数字有效数字
下⾯有解答，这⾥读者可以先⾃⼰想想。
有效数字与绝对误差限的关系
即任何⼀种数字我们都可以转换成标准浮点数的形式。
上图的m就是上上图中浮点数⾥⾯的m次幂的m。
我们尽量保留尽可能多的有效数字就是为了减⼩绝对误差。
例题：
回到⼀开始的例题：
Processing math: 100%
上⾯这3个数字，对于π来说，他们的有效数字的位数分别是多少？
答案分别是：2位有效数字，3位有效数字，2位有效数字（因为π=3.14159…，所以5不算）。
有效数字与相对误差限的关系
a1就是写成标准浮点数之后的第⼀位有效数字，n就是有效数字的位数。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析笔记
2
βk +1 ( x=)
(x
−
)
xk +1
Hale Waihona Puke x − xk xk +1 − xk
2
插值多项式： H3 (x) = ykαk (x) + yk+1αk+1(x) + mk βk (x) + mk+1βk+1(x)
3、三次样条
三、数值积分
∫ 1、梯形公式： I ( f ) = b f (x)dx ≈ b − a [ f (a) + f (b)] 代数精确度为 1
xi−1)(x − xi+1)(x − xn ) xi−1)(xi − xi+1)(xi − xn )
ωn+1(x) =(x − x0 )(x − x1)(x − xn )
li
(x)
=
(x
ωn +1 ( x) − xi )ωn′+1(x)
4）插值余项与误差估计
插值余项： Rn (x=)
f (x) − Ln (x=)
b
− ε
a
−1
计算器：
log2
x
=
ln ln
x 2
方程 f (x) = 0 改为等价形式 x = g(x) ，若 x* = g(x*) ，称 x* 为 g(x) 的一个不动点，
此时 x* 也是 f (x) = 0 的一个根。 ⇒ xk+1 = g(xk ) ， g(x) 为迭代函数。
全局收敛：从任何初始值出发都收敛
k
=0,1,
2,
（k
表示迭代次数）
2、判断迭代法收敛：
①迭代阵
《数值分析》复习笔记
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )
10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90
1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分
3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
数值分析老师划重点(个人记录)
解线性方程组的直接法高斯消去法：与线性代数做法相同。
高斯列主元消去法，在高斯消去法的基础上每一步之前把绝对值最大的数调上来。
Doolittle分解，选列主元的Doolittle分解。
条件数的性质填空cond(kA)=cond(A)。
考试一般二阶的计算，三阶略麻烦解线性方程组的迭代法Jacobi&Gauss-Seidel迭代法，记住迭代公式。
Jacobi口诀（去心变负保常除）高斯迭代法更容易出现在考试中。
首先，求出Jacobi迭代公式，然后，改写口诀：第一行不动，第二行改1，第三行到2……以此类推。
考试中以掌握方法为主，不要死套公式。
插值法（考试重点章）牛顿均差考到二阶就截止，3阶计算量有点多。
关于余项，还要看看书上的讲解。
第五章数值逼近要求掌握例5.2.1，考试就是这种。
Legendre多项式例题5.2.1，要求用Chebyshev定理做。
例题5.3.1，要么考一致逼近，要么考平方逼近，都有例题。
正交多项式的性质（根，重）。
legendre多项式首项系数等于多少。
legendre多项式性质1&2&4（尤其是性质4）。
定义5.4.3会出填空题。
Chebyshev性质1、首项系数、性质4。
例题5.4.1两边首项系数要相同另外，5.5和5.6节不考。
第六章数值积分与数值微分Simpson公式梯形公式与Simpson公式书上都有余项的表达式（这个余项是不是就是截断误差的意思呢）。
考梯形公式，要记住余项。
考Simpson公式，余项比较长，所以不考。
考试证明题不多，注意6.2.1定理的证明以及定理6.2.2的证明。
几次代数精度和几阶收敛怎么区别。
各种复化求积公式分别是几阶收敛（考填空）Romberg（考计算）。
Romberg公式如何构造要考，记忆方法：半新半旧。
考试题目类似于例题6.4.1，考试时先写后面的公式，再按需要求T0，不要全部T0都求出来，有时会浪费。
证明高斯公式系数为正，加起来为1的那个定理6.5.2。
【数值分析】-条件数性质证明笔记
【数值分析】 -条件数性质证明笔记
① 任意算子范数下的条件数均≥1 由矩阵乘法不等式可知
Cond（A）r = ||A|| . ||A-1|| ≥ ||A-1 A|| = ||E|| = 1 故Cond（A）r ≥ 1 ② 正交矩阵A在“2”范数下的条件数 Cond（A）2=1 A为正交矩阵 PS：A为正交矩阵时 ，ATA=AAT=E ； 所以 AT = A-1 可证得 CondA）2 = √（λmax ATA / λmin ATA ）= √（λmax A-1A / λmin A-1A ）= 1 PS：矩阵特征值 用 |A-λE| =0 求解 /----------------------------------分割线---------------------------------/ 下面证明的正确性有待商榷 !!! 关于证明Q是酉矩阵，A,Q都是n×n阶矩阵，cond2（QA）=cond2（AQ）=cond2（A）如下： 已知Q为酉矩阵，则Q-1=QT ； 而且Q-1也是酉矩阵。 cond2（QA）= || (QA)-1 || 2 || QA ||2 =|| A-1Q-1 ||2 || QA ||2 ->由于2-范数为酉不变范数-> =||A-1 ||2 || A ||2 = Cond（A）2 =cond（AQ）2，此处和cond2（QA）同理，也是转换后利用酉不变范数特性
数值分析4.21笔记
数值分析笔记4.21
笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！只看笔记是很枯燥的，而听老师上课时很有趣的。
前半小时复习上次所学，（此处省略300字）
把zuotu1 改成如下
再新建一个文件myfun 作为子程序，以便被zuotu1调用。
双击打开写入
含义如下 1. 输入量为x 输出量为y
回到zuotu1 继续写
保存，运行
第二节插值
一、插值的定义（老师讲的时候没记下来，此处省略100字）
二、插值的方法
三、用matlab解决插值问题
下面详细介绍
二插值方法
一维插值
1.拉格朗日插值（略，老师说了解一下，我就没记定义）结论，用拉格朗日插值与原曲线有很大差异
黑色是原曲线其他颜色是 n取不同值拉格朗日插值的图形
2.分段线性插值（略定义）
3. 三次样条插值 （略定义）
（老师在黑板上 讲解了用三次样条曲线 插值的原理，我的高数学的太差，复述不明白，略） 三种插值的比较 （取自老师课件）
例题1
打开软件命名 chazhi.m
程序如下：
保存运行
结果如下：
例题2
打开老师的文件夹，找到双击打开运行
老师用三种插值方法做了图（程序老师解释了，可惜我没完全记下来）
二维插值的定义
这里 z0 表示一个矩阵以x0为列数以y0 为行数例题3
打开老师程序里 wendu.m
运行后
老师把步长改为 0.01
运行结果如下
例题4
打开 HD1
11
运行
（当然程序内容更多不懂了，老师说以后多练习就好了。
）。
岩土工程数值分析学习笔记
岩土工程数值分析读书笔记摘要：阅读笔记分为两部分：理论学习和plaxis模拟相关问题。
理论部分0岩土工程数值分析简介岩土工程问题解析分析是以弹塑性力学理论和结构力学作为理论依据，适用于解决连续介质、各向同性材料、未知量少、边界条件简单的工程问题，存在很大的局限性。
岩土工程问题数值分析是借助于计算机的计算能力，适用于解决材料复杂、边界条件复杂、任意荷载、任意几何形状，适用范围广。
岩土工程数值分析发展过程：20世纪40年代，使用差分法解决了土工中的渗流及固结问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。
20世纪60年代，使用有限元法成解决了土石坝的静力问题的求解。
20世纪70年代，使用有限元法解决了土石坝及高楼(包括地基)的抗震分析。
20世纪80年代，边界元法异军突起，解决了半无限域的边界问题；地基的静力及动力问题都使用边界元法得到了有效地解决。
岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。
另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法，不连续变形分析，流形元法，颗粒流等数值计算方法。
1数值分析过程中存在的问题及解决措施问题：(1)对岩土工程数值分析方法缺乏系统的知识和深入的理解，出现问题时不知道在什么情况下属于理论问题或数学模型问题；在什么情况下是属于计算方法问题或本构模型问题；在什么情况下是参数的确定问题或计算本身的问题等。
(2)各种本构模型固有的局限性。
具有多相性土的物理力学性质太复杂，难以准确地用数学模型和本构模型描述。
例如邓肯一张模型不能反映剪胀性，不能反映压缩与剪切的交叉影响；(3)现有的试验手段和设备不能提供适当、合理和精确的参数。
靠少数样本点所获得的参数难以准确地描述整个空间场地的物理力学性能；土的参数因土样扰动难以高质量的获取，其精度很差。
数值分析4.14笔记
数值分析笔记4.14笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！只看笔记是很枯燥的，而听老师上课时很有趣的。
安装软件matlab 2007一．研究算法的意义：数学分析应用于生活的方方面面。
老师举例全国数学建模大赛的几个试题。
写了三个练习题，分析数学方法很重要。
（由于我的数学比较差，没抄，此处省略300字）二、软件介绍改字号方法File →preferencs →fonts →改字号主界面介绍三软件特点：1.向量和矩阵运算及其方便2.作图功能优异3.科学计算四、演示软件功能例题1 变量x 可以是矩阵在命令中输入如下回车单击workspace 可以查询到x 相关信息双击x前，可以显示x 值例题2变量y 可以是矩阵查询例题3 可以是零矩阵不敲；回车可以显示答案例题4 可以是1矩阵例题5与例题4类似略例题6 可以是单位阵例题7、8 与例题6类似略提示：在历时命令中双击命令可以再次输入按键盘上↑可以重复上个命令。
五．软件保存方法：1 。
新建文件夹在路径卡片下空白处右键new→folder文件名建议使用拼音，不能以数字开头。
2.新建文件双击文件夹空白处右键new→m-file例题1 例题2 例题3 逐步加深，由于例题3包括了前两个的知识点。
就只把例题3详细解释了。
例题3双击文件名以便进入编程文件删除前3行写入程序对前4行解释一下1.擦除变量值2.清空窗口3.让x= 从0到2π每隔0.1取一个数4.n= x 变量的长度，也就是x 的个数然后保存运行可以看到：继续写第5到7行的解释然后保存运行可以看到：继续写然后保存运行可以看到：解释8.略9. 出x 和z 关系的图形r 代表红色linewidth 线宽补充：y- 黄色b-蓝色k-黑色g-绿色课后预习作业下次讲插值和拟合。
数值分析4.30笔记
数值分析笔记4.30笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！本次课程比较难，可能复述的不太明白。
新课导入由于数据测量存在误差，所以测量的点不一定完全正确。
插值的方法，可以通过这些点，但由于这些点存在误差，所以在生产实际中插值未必是最好的办法，从而引入拟合的概念。
找一条合适的曲线，让它到每个测量点的距离的平方和最小。
这条曲线就是我们要的拟合曲线。
曲线的类型往往通过我们的经验来取得。
常见的有以下几种类型一、 线性拟合若给定数组（i i y x ,） 其中 i =1,2,…… n 把各个点放到坐标系里，得到如果得到以下点，我们根据点的分布，推断可能有一条直线，可以最接近每个点，设直线为 y=a 1 +a 2 x图形中 a 1 为截距，a2 为斜率，若a1 a2 可知，则直线可求。
那么如何得到一个合适的曲线呢。
对应相同的x 测量点的值为1y ，曲线上的点为 121x a a + 这两距离就是第一个误差。
即 误差=1121y x a a -+ 对于2x 点，道理一样。
如果简单把这些误差累加，由于方向不同，可能使部分误差抵消。
比如有4个点误差分别为1,5，-3，-3.如果简单做和，为0.数值上显示没有误差，与实际不符。
因此对每一个误差做平方，使其符号一致再求和。
可以真实显示出曲线和各个点的位置关系是否最好。
设关于21,a a 的方程为),(21a a S 则有：∑=-+niiiyxaa1221])[(=),(21aaS误差平方和最小的直线，就是与原数据拟合最好的。
利用matlab软件进行线性拟合有两种函数“\”“polyfit()”老师证明了一下函数的合理性，我的高数、线数基本忘光，复述有困难，此处省略500字。
介绍matlab 使用中函数的格式例题一：具体步骤：打开MATLAB软件：新建文件夹disanke 双击右键新建文件quxnh.m 双击打开删除前三行写入程序如下分别用“\”“polyfit”编程运行后结果二、 非线型拟合 方法1. 线性化 例题：y=x ae b 该曲线 为非线型曲线， 可以两端同时去对数y l n =a ln +bx取 z=lny A=lna则 z= a+bx z 与x 间 为线型 2. 直接法用matlab 解决非线性拟合的方法：这两个函数所需信息量比较多，老师上课时候逐条介绍了，我复述不清楚，此处省略300字。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
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第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。
ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。
解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。
由 e −1≈1+(−1)+(−1)22!+⋯+(−1)k k!, e −1≈0.3679 ,截断误差R 7=|e -1-0.3679|≤ 18! < 14 * 10-4当初值取I 0≈0.6321=Ĩ0时,用式(1)递推计算公式为 A ={Ĩ0=0.6321I ̃n =1−nI ̃n−1,n =1,2,…计算结果见表1-1表1-1从表中n=8时，出现负值，这与I n 大于0矛盾。
由积分估值得：e −1n+1=e −1(min 0≤x≤1e x )∫x n dx 10<I n <e −1(max 0≤x≤1e x )∫x ndx =1n+11(2)当n 较大时，使用Ĩn 近似I n 显然是不正确的，计算公式和计算过程是正确的，计算结果错误额原因主要是初值I ̃0有误差E 0=I 0−I ̃0，由此导致以后各步计算误差 E n =I n −Ĩn 满足关系 E n =−nE n−1=(−1)n n!E 0 ,n =1,2,…这就说明Ĩ0有误差E 0，则I ̃n 就是E 0的n ！倍误差。
当n=8时， 若|E 0|=12*10-4,则|E 8|=8！*|E 0|>2，这说明I ̃8完全不能近似I 8了.它表明计算公式(A)是不稳定的。
可以通过另一种计算方案.由式(2)取n=9，得e −110<I 9<110,粗略的取I 9≈12(110+e −110)=0.0684=I 9∗,然后将公式(1)倒过来算，即由I 9∗算出I 8∗,I 7∗,…I 0∗,公式为B ={I 9∗=0.0684I n−1∗=1n(1−I n ∗), n =9,8,…,1计算结果如表1-2表1-2可以看出I 0∗与I 0的误差不超过10-4.记 E n ∗=I n −I n ∗,则 |E 0∗|=1n!|E n ∗|,|E 0∗|比|E n ∗|缩小了n!倍，因此，尽管|E 9∗|较大，但由于误差逐步缩小，故可以用I n ∗近似I n .反之，当使用方案(A)计算时，尽管初值Ĩ0相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果并不可靠。
故方案(A)是数值不稳定算法，方案(B)是数值稳定算法。
第二章1.插值问题：对于给定的函数(上的点)，构造简单插值函数逼近原函数，保证在所给点的位置插值函数值等于原函数值。
2.拉格朗日插值多项式：L n (x )=∑y k l k (x)n 0其中y k 为各个插值节点的函数值，l k (x)是插值函数的基函数。
并满足l k (x j )={1 k =j0 k ≠j满足此条件的l k (x k )通式为l k (x k )=(x −x 0)···(x −x k−1)(x −x k+1)···(x −x n )(x k −x 0)···(x k −x k−1)(x k −x k+1)···(x k −x n )引入记号 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)···(x −x n ) 误差R n (x )=f (x )−L n (x )=f (n+1)(δ)(n+1)!ωn+1(x ) δ∈[x 0,x n ]通常只需求出f (n+1)(δ)的最大值即可3.牛顿插值公式：牛顿插值公式在得出插值函数后，即使再添加新的节点，也无需重新计算之前的参数。
只需将新参数添加到多项式上即可。
通式为 P n (x )=a 0+a 1(x −x 0)+···+a n (x −x 0)···(x −x n−1)定义均差: f [x 0x k ]=f (x k )−f(x 0)x k −x 0f [x 0,x 1,···,x n ]=f [x 1,x 2,···,x n ]−f [x 0,x 1,···,x n−1]x n −x 0即n+1项的均差为后n 项的均差减去前n 项的均差再除以首尾之差P n (x )=f (x 0)+f [x 0,x 1](x −x 0)+···+f [x 0,x 1,···,x n ](x −x 0)···(x −x n−1)误差为R n(x)=f(x)−P n(x)=f[x,x0,···,x n]ωn+1(x)通常使用 f[x,x0,···,x n]≈f[x0,x1,···,x n+1]来近似计算均差表X k f(X k)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差X0f(X0)X1f(X1)f[x0,x1]X2f(X2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]X3f(X3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]X4f(X4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4] 4.差分形式的牛顿插值公式：在遇到等距节点时，使用差分牛顿公式。
x k=x0+kℎ ℎ为步长定义差分：x k处的一阶差分：∆f k=f k+1−f k,二阶差分：∆2f k=∆f k+1−∆f k；n阶差分：∆n f k=∆n−1f k+1−∆n−1f k 令x=x0+th得P n(x)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+···+t(t−1)···(t−n+1)n!∆n f0余项R n(x)=t(t−1)···(t−n)(n+1)!ℎn+1f(n+1)(δ) δ∈(x0,x n)差分表5.埃尔米特插值：满足在某些点上的导数值相等。
①三点一导。
求满足P(x i)=f(x i) i=(0,1,2)以及P′(x1)=f′(x1)的插值多项式与余项。
P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)由P’(x1)=f’(x1)得P′(x1)=0+ f[x0,x1]+f[x0,x1,x2](x1−x0)+f[x0,x1,x2](x1−x1) +A(x1−x0)(x1−x2)=f′(x1)得A=f′(x1)−f[x0,x1]−f[x0,x1,x2](x1−x0)(x1−x0)(x1−x2)余项为R(x)=14!f(4)(δ)(x−x0)(x−x1)2(x−x2)②两点及导数相等，插值条件为{H3(x k)=y k, H3(x k+1)=y k+1H′3(x k)=m k, H′3(x k+1)=m k+1构造 H3(x)=αk(x)y k+αk+1(x)y k+1+βk(x)m k+βk+1(x)m k+1有等式{αk(x k)=1,αk(x k+1)=0,α′k(x k)=α′k(x k+1)=0;αk+1(x k)=0,αk+1(x k+1)=1,α′k+1(x k)=α′k+1(x k+1)=0;以及{βk(x k)=βk(x k+1)=0, β′k(x k)=1,β′k(x k+1)=0;βk+1(x k)=βk+1(x k+1)=0, β′k+1(x k)=0,β′k+1(x k+1)=1;得αk(x)=(1+2x−x kx k+1−x k)(x−x k+1x k−x k+1)2.αk+1(x)=(1+2x−x k+1x k−x k+1)(x−x kx k+1−x k)2.βk(x)=(x−x k)(x−x k+1x k−x k+1)2.βk+1(x )=(x −x k+1)(x −x k x k+1−x k)2.误差为 R 3(x )=14!f (4)(δ)(x −x k )2(x −x k+1)2T1.已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。
解：由题意取x 0=0.32,y 0=0.314567; x 1=0.34,y 1=0.333487;x 2=0.36,y 2=0.352274用线性插值计算，取x0与x1，由公式有L 1(x )=x−x 1x0−x 1y 0+x−x 0x1−x 0y 1 或L 1(x )=y 0+y 1−y 0x1−x 0(x −x 0)得 L 1(x )=0.314567+0.946(x −0.32)sin (0.3367)≈L 1(0.3367)=0.330365其截断误差|R 1(x)|≤M 22!|(x −x 0)(x −x 1)|，M 2=max x 0≤x≤x 1|f ′′(x)|=max x 0≤x≤x 1|−sinx |=sinx 1≤0.3335 故 |R 1(0.3367)|=|sin0.3367−L 1(0.3367)|≤0.92∗10−5使用抛物插值计算，根据拉格朗日插值公式，L 2(x )=y 0l 0(x)+y 1l 1(x)+y 2l 2(x)其中l k (x)满足l k (x j )={0 k ≠j1 k =j , 代入数值，得插值函数 ···sin(0.3367)≈L 2(0.3367)=0.330374 其误差上限R 2(x)≤M 36|(x −x 0)(x −x 1)(x −x 2)|,其中M3=maxx0≤x≤x2|f′′′(x)|=cosx0<0.9493则 R2(0.3367)=|sin0.3367−L2(0.3367)|≤2.0316∗10−7T2.给定f(x)=x 32,x0=14,x1=1,x2=94,试求f(x)在[14,94]上的三次埃尔米特插值多项式P(x)使它满足P(x i)=f(x i)(i=0,1,2), P′(x1)= f′(x1).解：由题可得f(x0)=18,f(x1)=1,f(x2)=278,f′(x1)=32构造均差表如下：x i f(x i)1 41 811769 427819101130由埃尔米特插值通式得P(x)=18+76(x−14)+1130(x−14)(x−1)+A(x−14)(x−1)(x−94)由P′(x1)=f′(x1)得P′(1)=76+1130(1−14)+A(1−14)(1−94)=32得A=−14255，P(x)=−14255x3+263450x2+233450x−125R(x)=P(x)−f(x)=14!f(4)(δ)(x−14)(x−1)2(x−94)=14!·916δ−52(x−14)(x−1)2(x−94)δ∈(14,94)第三章1.范数：具有“长度”概念的函数对于多项式X=[x 1,x 2,….,x n ]：{||X ||∞=max 1≤i≤n|x i |, 无穷范数/最大范数||X||1=∑|x i |n i=1, 1−范数||X||2=(∑x i 2ni=1)12, 2−范数对于函数f (x ),x ∈[a,b]:{||f||∞=max a≤x≤b |f(x)|||f||1=∫|f (x )|dxba ||f||2=(∫f 2(x)dx b a)12其中无穷范数用于求最佳一致逼近，2-范数用于求最佳平方逼近 2.向量內积：定义两个向量X ∈[x 1,…,x n ],Y ∈[y 1,…,y n ]的內积为：(X,Y )=x 1y 1+⋯+x n y n3.勒让得多项式：在区间[-1,1]上，权函数ρ(x)=1,由{1,x,…,x n }正交化得到的多项式。