数值分析笔记

第一章

1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。ε*=|e*|叫做近似值的误差限，

e ∗x

=

x ∗−x x

为相对误差，

εr

∗=ε∗

|x ∗| 为相对误差限。

2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取

3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.

ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗

) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗

)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗

)|x 2∗|

2

4.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。

T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。

解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ

=d,ðs

ðd =Ɩ.

故 ε(s

∗)

≈|(ðs ðl

)∗|ε(l ∗)

+

|(ðs ðd

)∗

|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðs

ðd

)∗

=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m

得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)

相对误差限

εr

∗=

ε(s ∗)|s ∗|

=

ε(s ∗)l ∗d ∗

≈0.31%

T3. 计算I n =e −1∫x n e x

dx(n =0,1,…)1

并估计误差。 解：由分部积分可得

I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1

)1

=1−e −1n ∫x n−11

e x

dx =1−nI n−1 I 0=e

−1

∫e x

10

dx =1−e −1

得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)

I 0=1−e −1

(1)

为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数

计算。由 e −1

≈1+(−1)+

(−1)22!

+⋯+

(−1)k k!

, e −1≈0.3679 ,

截断误差R 7=|e -1-0.3679|≤ 18! < 1

4 * 10-4

当初值取I 0≈0.6321=I

̃0时,用式(1)递推计算公式为 A ={I

̃0=0.6321I ̃n =1−nI ̃n−1,n =1,2,…

计算结果见表1-1

表1-1

从表中n=8时，出现负值，这与I n 大于0矛盾。由积分估值得：

e −1n+1

=e −1(min 0≤x≤1

e x )∫x n dx 1

0

e x )∫x n

dx =1n+1

1

(2)

当n 较大时，使用I

̃n 近似I n 显然是不正确的，计算公式和计算过程是

正确的，计算结果错误额原因主要是初值I ̃0有误差E 0=I 0−I ̃0，由此导致以后各步计算误差 E n =I n −I

̃n 满足关系 E n =−nE n−1=(−1)n n!E 0 ,n =1,2,…

这就说明I

̃0有误差E 0，则I ̃n 就是E 0的n ！倍误差。当n=8时， 若|E 0|=1

2*10-4,则|E 8|=8！*|E 0|>2，这说明I ̃8完全不能近似I 8了.它表明计算公式(A)是不稳定的。

可以通过另一种计算方案.由式(2)取n=9，得

e −110

1

10

,粗略的

取I 9≈1

2(

1

10+

e −1

10

)=0.0684=I 9∗

,然后将公式(1)倒过来算，即由

I 9∗算出I 8∗,I 7∗,…I 0∗,公式为

B ={I 9∗=0.0684

I n−1∗

=1n

(1−I n ∗

), n =9,8,…,1

计算结果如表1-2

表1-2

可以看出I 0∗与I 0的误差不超过10-4.记 E n ∗=I n −I n ∗,则 |E 0∗|=

1n!

|E n ∗

|,

|E 0∗|比|E n ∗|缩小了n!倍，因此，尽管|E 9∗|较大，但由于误差逐步缩小，故可以用I n ∗近似I n .反之，当使用方案(A)计算时，尽管初值I

̃0相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果并不可靠。 故方案(A)是数值不稳定算法，方案(B)是数值稳定算法。

第二章

1.插值问题：对于给定的函数(上的点)，构造简单插值函数逼近原函数，保证在所给点的位置插值函数值等于原函数值。

2.拉格朗日插值多项式：L n (x )

=∑y k l k (x)n 0其中y k 为各个插值

节点的函数值，l k (x)是插值函数的基函数。并满足

l k (x j )={1 k =j

0 k ≠j

满足此条件的l k (x k )通式为

l k (x k )=(x −x 0)···(x −x k−1)(x −x k+1)···(x −x n )

(x k −x 0)···(x k −x k−1)(x k −x k+1)···(x k −x n )

引入记号 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)···(x −x n ) 误差R n (x )=f (x )−L n (x )=

f (n+1)(δ)

(n+1)!

ωn+1(x ) δ∈[x 0,x n ]

通常只需求出f (n+1)(δ)的最大值即可

3.牛顿插值公式：牛顿插值公式在得出插值函数后，即使再添加新的节点，也无需重新计算之前的参数。只需将新参数添加到多项式上即可。通式为 P n (x )=a 0+a 1(x −x 0)+···+a n (x −x 0)···(x −

x n−1)

定义均差: f [x 0x k ]

=

f (x k )−f(x 0)x k −x 0

f [x 0,x 1,···,x n ]=f [x 1,x 2,···,x n ]−f [x 0,x 1,···,x n−1]

x n −x 0

即n+1项的均差为后n 项的均差减去前n 项的均差再除以首尾之差

P n (x )=f (x 0)+f [x 0,x 1](x −x 0)+··

·+f [x 0,x 1,···,x n ](x −x 0)···(x −x n−1)