高考数学复习选填题专项练习15---球(解析版)

高考数学复习选填题专项练习15---球

第I 卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·海南高三）四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，则球O 的表面积为（ ）

A ．14π

B ．7π

C ．143π

D ．4π 【答案】 A

【解析】

【分析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB ，

AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.

【详解】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，所以四面体ABCD 的体积11123132

V =⨯⨯⨯⨯=，该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，直径为该

球O 的表面积为2

414ππ⨯=⎝⎭.故答案为：①1，②14π 【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍.

2．（2018·黑龙江高三期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为斜边长为2的直角三角形，顶点A ，B ，C ，1A ，1B ，1C 都在球O 的球面上，若球O 的表面积为8π，则三棱柱111ABC A B C -体积的最大值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．1

D ．2

【答案】D

【解析】

【分析】设2AB =，BC a =，AC b =，可得2ab …，设球的半径为R ，可求得22R =，进而求得12AA =，由此得出答案． 【详解】不妨设2AB =，BC a =，AC b =，有22

4a b +=，可得22

22a b ab +=…，当且仅当“a b =”

时取等号，设球的半径为R ，则248R ππ=，故22R =，又221(2)4R AA =+，12AA ∴=，∴三棱锥的体积为1122

V ab AA ab ==g …．故答案为：2． 【点睛】本题考查球的表面积及三棱锥的体积求法，考查基本不等式的运用，属于基础题．

3．（2020·广东高三期末）在三棱锥P ABC -

中，PA PB PC ===

，AB AC BC ===三棱锥P ABC -外接球的体积是（ ）

A ．36π

B ．125π6

C ．32π3

D ．50π

【答案】B

【解析】

【分析】三棱锥P ABC -是正三棱锥，取O '为ABC V 外接圆的圆心，连结PO '，则PO '⊥平面ABC ，设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，外接球的半径为R ，可求出O A PO ''，，然后由2222OO O A OA R ''+==可求出半径，进而求出外接球的体积.

【详解】由题意，易知三棱锥P ABC -是正三棱锥，

取O '为ABC V 外接圆的圆心，连结PO '，则PO '⊥平面ABC ，设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心.

因为AB AC BC ===

122

O A '==.

因为PA PB PC ===

4PO '==.设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则()2244R R -+=，解得52

R =，故三棱锥P ABC -外接球的体积是34125ππ36

R =.故选B. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

4. （2020·广西师大附属外国语学校高三）在平面四边形ABCD 中，ΔBCD 是边长为2的等边三角形，ΔBAD 为等腰三角形，且∠BAD =90︒，以BD 为折痕，将四边形折成一个120︒的二面角A BD C --

，并且这个

二面角的顶点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则这个球的球面面积为（ ）

A ．36π

B ．

13π9 C ．52π3

D ．529π 【答案】D

【解析】

【分析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积.

【详解】

折成的立体图形如图所示，O 为球心，E 为BD 的中点，∠CEH =60︒，CE 32CH HE =

=，，所

以由222OC OF CF =+得222231329⎫=+⋅=⎪⎭⎝⎭R R ，所以，球面积为25249S R ππ==。 【点睛】此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.

5．（2020·山西大同一中高三月考）已知等边ABC ∆的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，将AMN

∆沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为（ ）

A ．

12 B ．12+ C ．3 D ．3【答案】A

【解析】

【分析】由题意可确定当平面AMN ⊥平面NMBC 时，四棱锥A MNCB -的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径R 及球心到平面MNCB 的距离OE ，由此可知所求最大值为R OE +.

【详解】如图，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面NMBC ，如图所示：