导数在中学数学中的应用毕业论文
数学论文导数及应用
数学论文导数及应用导数作为微积分知识的一个重要组成部分，在人们的生活中占据着举足轻重的地位。
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数学论文导数及应用篇一【摘要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。
因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。
【关键词】导数;新课程;应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。
选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。
在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
(一)利用导数解决函数问题利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最(极)值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为(0，d)，又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。
2019年陈雨涵《浅谈导数在高中数学课程中的应用》毕业论文[1].doc
![2019年陈雨涵《浅谈导数在高中数学课程中的应用》毕业论文[1].doc](https://img.taocdn.com/s3/m/ac5d9cead15abe23492f4d0a.png)
浅谈导数在高中数学教学中的应用陈雨涵[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力．一、 导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．（一）有利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如1223-+-=x x x y ，1--=x e y x 等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面．（二）有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题．（三）有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道)(x f 在点0x x =的切线斜率k ，正是割线斜率在0x x →时的极限，即0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→． 由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-．这就是说：函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率[1]．从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C 及C 上的一点P ，在点P 外另取曲线C 上一点Q ，作割线PQ ，当点Q 沿曲线C 趋向点P 时，如果割线PQ 绕点P 旋转而趋向极限位置PT ，那么直线PT 就称为曲线C 在点P 处的切线． （四）有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于)(x f y =，导数)(x f '可以解释为y 关于x 的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：)(t S S =，算出物体的瞬时速度：dt ds t V =)(、瞬时加速度：22)(dt s d t A =；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．（五）有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学．这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担．而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力[2]．再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的[2]．总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上．在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力．二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ， 可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值．分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值．解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间．又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，89)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f 的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，．（二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错．例5 求曲线x e y =在原点处的切线方程．分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．解 显然点)0,0(不在曲线x e y =上，由于x e y ='，则设切点坐标为),(00y x P ，所以00x e y =，则过P 点的切线方程为)(000x x e e y x x -=-．因为点)0,0(在切线上，所以)(000x e e x x -=-，即10=x ，所以),1(e P ，故切线方程为)1(-=-x e e y ，即0=-y ex ．⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是 ))(22()2(11121x x x x x y -+=+-，即211)22(x x x y -+=． (1) 由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是 )(2)(2222x x x a x y --=+--，即a x x x y ++-=2222．(2) 若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222消去2x ，得0122121=+++a x x ，由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ． （三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则 01111)(21>+=+-+='x x x x x f ． 得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ．得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立． 综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n --=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n nn n n n nC C C C )1(32321---+- ． 解 因为n n n n n n n n x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ．上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ． 总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )． 又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．[参考文献][1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版．北京：高等教育出版社，2001．91[2]祁丽娟．谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性．甘肃教育，2006（4）．48[3]李秋凤．导数在函数问题中的应用．中国科技信息，2006（3）．133–153[4]陈斌．弹好用导数证不等式的前奏．数理化学习（高中版），2006（4）．13–15[5]邓亚轩．利用导数巧求和．数理化学习（高中版），2006（4）．24 A B C Dx 图1A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior SchoolMathematics CurriculumXu Chunhua[Abstract]Derivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics. In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve’s tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability. Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving, we may use the derivative thought to solve some problems, such as function problem (algebra, the value territory, (extremely) value, monotonous sector and so on), tangent problem, inequality problem, sequence problem as well as practical application problem, and so on.[Key words]derivative, new curriculum, application。
高中数学论文集导数在三次函数中的应用
导数在三次函数中的应用新课程的高考增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法，近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。
本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。
一、 关于三次函数的切线问题函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。
也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0'x f ，相应的，切线的方程为))((00'0x x x f y y -=-例1：已知曲线13:23--=x x y S ，过原点作S 的切线，求切线方程。
误解：x x y 63'2-=，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/'0===x y k ，所以所求的切线方程为0=y分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线S 上，所以本题应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程。
正解：设切点为)13,(20300--x x x ，则切线的斜率02063x x k -=所以切线方程为：))(63()13(00202030x x x x x x y --=---因为原点在切线上，得到0)12()1(020=+-x x所以10=x 或210-=x 所以所求的切线方程为x y 3-=或x y 415= 例2：已知曲线233:x x y S -=，求过原点O （0，0）的切线方程。
误解：x x y 63'2-=，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/'0===x y k ，所以所求的切线方程为0=y分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点O处的切线”与“过点O 的切线”。
导数定义及其在中学数学中的应用 毕业论文
导数定义及其在中学数学中的应用毕业论文一、导数的定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。
更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为：lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0)如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。
其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。
二、导数在中学数学中的应用1. 切线与法线导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。
在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。
例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。
解法：首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数：f'(x0)=2x0然后代入点(x0, y0)得：y-y0=f'(x0)(x-x0)化简后得：y-y0=2x0(x-x0)这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。
同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。
理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。
2. 最值的求解另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。
因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。
导数在高考中应用论文
浅谈导数在高考中的应用自从高中数学中加入导数，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。
当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性与最值；3、三次函数的综合题；4、三角函数和导数。
1 对导数几何意义的考查例1.已知函数2 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
例2.已知。
（1）求的单调增区间；（2）若在定义域r内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。
函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。
解：（1）令，得当时，有在r上恒成立；当时，有。
综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。
（2）在r上单调递增，（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即，恒成立。
时，，。
（3）由已知在上单调递减，在区间上单调递增可知，是的极值。
，存在满足条件。
3 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
数学论文导数及应用范文
数学论文导数及应用范文导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径.下面是店铺为你整理的数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一一. 利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率函数y=f(x)在点的导数表示曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义。
我们通过例题看一下,如何利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。
解:由导函数定义应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1)即2x-y-1=0 .二. 利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。
例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。
下面我们看一个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义有运动物体运动路程对时间的物理意义可知将t=2,带入上式,得三. 利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
具体例题如下:例题3 讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。
例题4 证明当x>0时,解:设则 , 在x=0时为零,在内均大于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即所以四. 利用导数研究函数的极值根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。
毕业论文答辩导数在中学数学中的应用
4、导数在解决实际问题中的应用 一些以函数为背景的实际问题，可通过函
数建立模型转化为利用倒数法解决最值问题。
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四、总结
前面我们以导数为主要工具,很容易解决了有 关求切线方程及曲线的相切问题、判断函数的单 调性及凹凸性,同时也提出了一些不等式的证明方 法和基本思路. 总之,导数的应用涉及到很多方面, 以上仅仅讨论了其中的几个方面,现在我们在中学 阶段学习导数的有关知识,可以开阔学生的视野, 今后导数的应用领域会越来越广泛,如导数在经济 领域、医学领域、以及在力学、物理、水力、控 制、生物工程、土木工程等的相关领域的应用.
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二、研究意义、研究方法
1、研究意义： 导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学
数学的各个方面。导数是我们研究中学数学的一 个有力工具，它使各个章节的内容联系得更紧密 ，有助于我们对中学数学的深入学习。
2、研究方法： 参考文献及经验总结法。
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三、研究内容
2.导数在函 数中的应用
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1.导数在解决
论文题目
导数在中学数学中的应用
答 辩 人：侯翔巧 专 业：数学与应用数学
指导教师：李友君 日 期：2012年6月2日
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一、研究背景
今天，导数作为研究函数性态的有力工具， 是对学生进行理性思维训练的良好素材，同时也 是我国高考命题的热点，高考中主要考察利用导 数求函数的单调性、单调区间、极值点、凹凸性 、画图像等许多性质。除此之外，导数在现实中 的重要性，也越来越得到人们的认肯，如在物理 运动学中和微观经济学中边值问题的应用。特别 的在中学利用导数建立数学模型解决优化设计问 题，有利于培养学生创新意识，提高学生分析问 题、解决问题的能力。
y-y0=f’(x0)(x-x0) 法线方程：
导数应用论文
导数的应用目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (2)三．导数的求法 (3)1．显函数导数 (3)1．1导数的四则运算： (3)1．2复合函数与反函数求导法则 (3)1．3基本初等函数求导公式 (3)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (4)4．分段函数的导数 (4)四．导数的性质 (4)五．导数的应用 (5)1．导数在函数中的应用 (5)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7)1．3利用导数求函数的极值和最值 (8)1．4利用导数知识描绘函数图形 (13)1．5利用导数求参数问题 (15)2．导数在曲线中的应用 (16)3．利用导数研究方程的根 (17)4．应用导数证明不等式 (17)5．导数在数列中的应用 (18)6．利用导数求极限——洛必达法则 (19)6．1“0”型和“∞∞”型 (19)6．2其他形式 (20)7．物理学中的导数 (20)8．经济学中的导数应用 (21)结束语： (22)参考文献： (22)[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。
它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。
由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用导数在高中数学中的应用学生姓名院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2008级班学号指导教师四川师范大学教务处二?一一年五月导数在中学数学中的应用学生: 指导老师:内容摘要:导数的思想方法在中学数学中是非常重要的, 在解决许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用.本文着重运用导数的基本知识和理论, 来解决中学数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题;在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图像;应用导数解题的一般方法证明某些不等式或等式的成立问题;解决数列的有关问题;再根据导数所具有的几何意义在解析几何中切线相关问题及求夹角问题等几何问题进行了一些探讨.关键字:导数函数不等式解析几何Derivatives in high school mathematics teaching Abstract: the thinking method of derivative in middle school mathematics is very important, except the guiding role in solve many problems as commandingand to simplify the numerous role. In this paper the basic knowledge and using derivatives, to solve the middle school mathematics theory of the function of image, monotonicity and most value function problem,Inmaster derivative based on the concept of application related to make a special function of images of derivative,The general method of solving application derivative to prove some inequality or equation established problem, Solve problems related series, Again according to thegeometrical meaning which derivative in analytic geometry in tangent related problems and geometric problems for Angle problems are analyzed .Key words: derivative function inequality Analytic geometry目录1 引言 (1)2.1 函数连续的定义 (2)2.2 导数的定义 ....................................... 2 3 导数在函数问题中的应用 (3)3.1 利用导数作函数的图像 (3)3.2 利用导数求参数的值 (4)3.3 判断函数的单调性 (5)3.4 研究方程的根 (5)3.5 求函数极值或最值 ................................. 6 4 导数在证明等式和不等式问题中的应用 (8)4.1导数在不等式证明中的应用 (8)4.2 在恒等式证明方面的应用 ........................... 9 5 导数在数列问题中的应用 ................................ 9 6 导数在解析几何问题中的应用 (10)6.1 利用导数求解切线方程 (10)6.2 求中点弦方程 (11)6.3 证明与中点弦有关的不等式 (11)6.4 求与中点弦有关的轨迹问题 ........................ 11 参考文献 (12)导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 引言导数的思想有着悠久的历史, 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思.到了十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献.十七世纪下半叶, 在前人工作的基础上, 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作, 虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起, 一个是切线问题(微分学的中心问题), 一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》, 这本书直到1736年才出版, 它在这本书里指出, 变量是由点、线、面的连续运动产生的, 否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量, 把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径, 求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者, 1684年, 他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献, 这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章, 却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年, 莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是1历史上最伟大的符号学者之一, 他所创设的微积分符号, 远远优于牛顿的符号, 这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.2 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式.2.1 函数连续的定义定义1 若函数在的附近包括点本身有定义, 并且xxfx()00. 则称在连续, 或称点是 f (x)的连续点. xxfx()limfxfx,，，，，000xx,02.2 导数的定义定义2 设函数y=在点的某个邻域内有定义, 若极限 xfx()0fxfx,，，，，,y0 limlim,xxx,,,00xxx,,0存在, 则称函数在x处可导, 并称该极限为函数 y =在点x处的导数,fx()fx() 00,记作. ，，fx注:(1) 函数应在点x的附近有定义, 否则导数不存在. 0x(2) 在定义导数的极限式中, 趋近于0可正、可负、但不为0, 可能为0. ,y,x,y(3) 是函数y=f (x) 对自变量x在,x范围内的平均变化率, 它的几何意义是,x过曲线上点(x, 及点(x+, 的割线斜率. y,f(x)f(x)f(x，,x),x00000fxxfx，,,，，，，00,x(4) 导数lim是函数y,f(x)在点的处瞬时变化率, fx,，，00,,x0,xx它反映的函数y,f(x)在点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线y,f(x)0 上点(x, )处的切线的斜率. f(x)002fxxfx()()，,,00(5) 若极限不存在, 则称函数y=f (x)在点处不可导.xlim0,,x0,x(6) 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都有导数, 则称函数在开区y,f(x),间内可导;此时对于每一个, 都对应着一个确定的导数, 从,，，(a,b)(a,b)xfx,而构成了一个新的函数, 称这个函数. ，，fx3 导数在函数问题中的应用3.1 利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤:(1) 求出函数的定义域;(2)考察函数的奇偶性、周期性;(3)求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表);(4)确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表); (5)考察渐进线;(6)画图.32例1 作函数的图像. y,x，6x,15x,20解:(1) 函数的定义域 (,,,，,)51055105，,，(2) 曲线与x, y轴交点分别为.(,0),(1,0),(,0),(0,20),,,222,(3) 令解得 x,,5,1y,3x，12x,15,3(x，5)(x,1),0,,令解得 y,6x，12,6(x，2),0x,,2(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点:x (,,,,5)(,5,,2)(,2,1)(1,，,)-5 -2 1, y+ 0 ——— 0 +,,y ——— 0 + + +y ?凹 80 极大 ?凸 26 拐点 ?凹 -28极小 ?凹(5) 无渐进线3(6) 作图:X(-5，80)(-2,26)(-1，0)Y(1，-28)图1 3.2 利用导数求参数的值在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.2xa,例 2 已知函数在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数的取值afxxR(),,，，2x，2所组成的集合A.224，2ax,2x,2(x,ax,2),f(x),,解 2222(x，2)(x，2)又在[-1, 1]上是增函数 fx()2, ,,f(x),0对恒成立, 即对,,恒成立. x,,1,1x,,1,1x,ax,2,02 设, 那么问题就等价于 ,(x),x,ax,21,a,2,0,(1),0,,,, 即故 ,1,a,1(,1),0,,1，a,2,0,所以 A=aa|11,,,. ,,43.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断正负较困f(x),f(x)12 ,,难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出, 再考虑的正负即可.f(x)f(x)此方法简单快捷而且适用面广.32例 3 已知是定义在R上的函数, 其图像交轴于f(x),x，bx，cx，dx三点, 点的坐标为(2,0),且在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. Bf(x)A、B、C(1)求的值. C(2)若函数)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, 的图像上是否存在f(x)f(x)一点, 使得在点的切线斜率为? 若存在, 求出点的坐标. 若不MMMf(x)3b 存在, 说明理由.2,解分析:(1), ？在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ，，f(x)fx,3x，2bx，c,？ =0是的一个极值点, 故. ？=0 ，，，，fxf0,0xc22, (2)得,, ，，fx,0x,0x,,b3x，2bx,0123因为在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, f(x),？，，在[0,2]和[4,5] 有相反的符号. fx2 故,. 2,,b,4,6,b,,33, 假设存在点M使得在点M的切线斜率为,则. f(x)(x,y)fxb()3,3b00022,，，即.,而. 3x，2bx,3b,0fx,3b？,,4b,4，3，(,3b),4b(b，9)000？,, 0.故不存在点M使得在点M的切线斜率为. f(x)(x,y)3b003.4 研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.532例4 若, 则方程在上有多少根, 0,2m,3x,mxx，1,0,,32解设, 则，，fx,x,mx，12, ，，fx,3x,2mx,且时, , 当，，，，x,0,2fx,0m,3故在上单调递减, 而在与处都连续, 且, f(x)0,2f(x)f(0)10,,x,0x,2，，fm(2)940,,,在上只有一个根. 故 f(x)0,2,,导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.3.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体性概念.利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:(1)根据求导法则对函数求出导数.(2)令导数等于0,解出导函数的零点.(3)分区间讨论,得数的单调区间.(4)判断极值点,求出极值.(5)求出区间端点值与极值进行比较,求出最值.出函322例 5 设是函数，，的两个极值点. x、xf(x),ax，bx,axa,012(1)若=-1,=2,求函数的解析式; xf(x)x12x (2)若+=22,求)的最大值; xf(x)21322？解分析: (1) ，，, f(x),ax，bx,axa,022,，，，，？fx,3ax，2bx,aa,02,,？依题意有，，, ，，, f,1,0f2,03a,2b,a,02 12a，4b,a,0解得 a,6622 ,. ？f(x),6x，9x,36xb,,9'22 (2), ？f(x),3ax，2bx,a(a,0)' 依题意, 是方程的两个根,且+=22, xxx、xf(x),021122 . ？(x，x),2xx，x，x,812121223322 ,. ？(,2b3a)，(,a)，2a,8？b,3a(6,a)2 . ？b,0,？0,a,622, 设),则. ，，p(a),3a(6,a)pa,,9a，36a,, 由得,由得. ，，，，pa,0pa,00,a,4a,4即:函数在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数, p(a)？当=4时, 有极大值为96,？)在(0,6]上的最大值是96, p(a)p(a)a？的最大值为46. b从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类考试中方能得心应手.32例6 (2005年山东卷)已知函数是函数的一个fxmxmxnx()3(1)1,,，，，x,1 极值点, 其中, . mnR,,m,0(1)求与的关系表达式; mn(2)求的单调区间; fx()(3)当时, 函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于, x,,[1,1]yfx,()3m求的取值范围. m分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根mn 据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.2,解 (1) fxmxmxmn()36(1)3,,，，，, 由是的一个极值点, 知, 即, fx()f(1)0,36(1)0mmn,，，,x,1？,，nm36722,(2) 由(1), 得 fxmxmxm()36(1)35,,，，，,,,，3(1)[(1)]mxxm2, 由知, , 当变化时, 与的变化如下: fx()fx()xm,011,，xmx2221 (1,)，, (1,1)，1，(,1),,，mmm,0,0,00 0 gx'()递减极小值递增极大值递减 gx()22由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增. fx()(1,)，,(1,1)，(,1),,，mm2,(3) 由已知得,即,即当时,有fxm()3,mxm,，，,2(1)20,,,11x122.? xx,，，,2(1)0mm122 设,其函数开口向上,由题意?式恒成立,所以gxxx()2(1),,，，mm22,g(1)0,,,120，，，,,4,即解之得, ,又,,mmm,g(1)0,3,,,,10,44,所以.即的取值范围为. mm,0(,0),,,,m0334 导数在证明等式和不等式问题中的应用4.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等.x例 7 求证: exx,，,1(0)分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一x起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数;再对fxex()1,,, 进行求导, 得到;然后观察得到当时, fx'()0,, 即在fx()fx'()fx()x,0x,08x时是增函数;最后可得当时, , 即. fxf()(0)0,,x,0ex,，1x解:令则 fxex()1,,,x fxe'()10,,,在上是增函数. ？fx()(0,)，,当时, ？fxf()(0)0,,x,0x即. exx,，,1(0)4.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利用函数的导数达到解决问题的目的.,例 8 求证: arctanarccotxx，,2证明:设则 arctanx，arccotx,f(x)11, f(x),,,0221，x1，x从而令得 f(x),c(c为常数)x,1,,,(), 于是 fx,，,442,arctancot x，arcx,25 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.2*例 9 已知数列,,的通项, 求数列,,的最大项. a，，aa,n(10,n)n,,nnn 22,解作辅助函数, 则. f(x),x(10,x)(x,0)f(x),20x,3x20, 令f(x),0 得0,x,; 320,x, 令f(x),0 得或. x,0392020在区间上是增函数, 在区间是减函数. f(x)(0,)(,，,)3320因此, 当x,时函数取到最大值. f(x)3*2对, , f(n),n(10,n)n,,f(7),147,f(6),144f(n),147max所以数列的最大项为. ,,aa,147n76 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.6.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y是x的函数, 利用复合函数222求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆xaxbR,，,,, 两边对求导, x，，，，,则有，，，，, 所以在切点处的切线斜率mn,2x,a，2y,by,0，，xm,a2,k,y,,.从而求出切线方程是.xamaybnbR,,，,,,|，，，，，，，，xx,m,y,nn,b类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程. 如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如22xy222xaxbtR,，,,, , 两边对求导, 可发现并不改变原程，,1x，，，，，，22tatb，，，，,求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是y在中点处的值. xB A M图2106.2 求中点弦方程22例 10 已知双曲线方程, (1)求以为中点的双曲线的弦所在的，，22xy,,A2,1直线方程;(2)过点, 能否作直线, 使与所给双曲线交于两点, 且LL，，P、QB1,1点是弦的中点,这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明BPQ理由.22,解对两边求导, 得 4x,2yy,022xy,,x,(1) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2A2,1xx,2,y,1为 yx,,,12(1),(2) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2B1,1xx,2,y,122为, 即,但与双曲线方程联立消去得yx,,,12(1)210xy,,,y22xy,,2, 无实根.因此直线与双曲线无交点, 所以满足条件的2430,80xx,，,,,,,l直线不存在. l 点评:(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.6.3 证明与中点弦有关的不等式22xy例11 已知椭圆, A、B是椭圆上两点, 线段的垂直平，，AB，,1a,b,022ab2222abab,,分线与轴交于点P, 求证:x. (x,0)x,,,00aa P证明: 设AB的中点是, 则中点在椭圆内, ，，Pm,n所以 (1)22xy对椭圆两边求导，,122ab2xb2x2y,,有, 得 y，y,0,,xx222yaab2mb,故中点弦AB的斜率, 所以线段AB的垂直平分线斜率满k,y|,,xx,my,n.2na22xan,ona0足:, 得m,. ,222a,bm,xmb02222abab,,x代入(1)式得. ,,,0aa6.4 求与中点弦有关的轨迹问题122AA例 12 已知定点(0, 2), 椭圆, 过任意引直线与椭圆交于两点x，y,12 , 求线段中点的轨迹方程. P、QPQ解设线段的中点为. PQ，，Mx,y122对椭圆两边求导, 得 x，y,12,=0 x，2yyx11x所以PQ的斜率为.又, k,,k,kAMPQ2yy,2x,,所以. x,12y12222化简即得(在椭圆内的部分). x，2y,4y,0x，y,12综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.参考文献[1]郭金芝. 导数的应用[J]. 中学生数理化(教与学教研版), 2006(2):38-40 .[2]王淑茂吴永清. 例谈导数应用中的几个误区[J]. 数学教学研究,2006(1):35-36.[3]陈应昌. 导数中的一个重要定理的应用[J] . 高中数学教与学 ,2006(2):27-28.[4]肖志向. 例说导数法证明不等式[J]. 中学数学研究, 2006(2):38-39.[5] 李汉云. 导数的基本应用举例[J]. 高中数学教与学. 2005(10):15-17[6] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M](上册, 第三版).北京: 高等教育出版社, 2001-6:87-103.[7]秦学锋. 微积分在数列求和中的应用[J] .数学通报, 2001(2):36 [8]周国球 .运用导数解题应注意几个方面[J].中学数学教学, 2006(1):24-25.[9] 华东师范大学数学系(数学分析(上册)[M](北京:高等教育出版社,2001([10] 杜忠芬.浅谈微积分在初等数学中的应用[J],同仁学院学报,2007, 1(6): 40-43.[11] 杜明华.新增内容导数在解题中的几点应用[J], 新课程改革与实践,2009, 4(5):85-86.[12] 张丽娟.导数的应用浅析[J], 自然科学, 2009,26(3):44-48. [13] 周晓渝.高等数学在初等数学中的应用[J], 科技信息, 2009, 30: 499-499.[14] 窦宝泉.导数在中学数学中的应用[J].数学通讯, 2003(12):12-13 [15]张红. 数学简史[M].科学出版社.2006(6):190-203.12。
导数的应用(论文)
导 数 的 应 用武夷山一中张俊玲《导数》位于高中数学第三册（选修Ⅱ）的第三章，内容不多，但应用却十分灵活。
近几年的高考 中出现了大量考查导数的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握导数的有关应用是十分必 的。
一、预备知识1、导数的定义：若函数f(x)在x=x 0处及附近有定义，则函数f （x ）在x=x 0处的导数为00000()()()limlim x x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P （x 0 ，f(x 0)）处的切线的斜率为'f (x 0) 二、导数的应用 1、利用导数求极限 由0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 令x 0＋△x 为x则△x=x －x 0 且当△x →0时，x →x 0 故0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-例1：求极限 2sin sin 22limx x x →--解：设f(x)=sinx ，则'f (x)=cosx故原式='f (2)=cos2 2、利用导数求瞬时速度和加速度 若质点的运动方程为()s s t = 则质点的瞬时速度方程为()v s t '= 质点的瞬时加速度方程为()()a v t s t '''==例2：质点的运动方程为s=t 3，（s 的单位:m ，t 的单位：s ） 求质点在t=3时的速度和加速度。
解：∵s=t 3∴s ′=3t 2，s ″=6t∴质点在t=3时的速度为v=s ′/t=3=27m/s ， 加速度为a=s ″/t=3=18m/s 23、利用导数求和例3：当n ↔N*时，求证：1321232-⋅=++++n nn n n n n nC C C C 证明：由n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1(两边分别对x 求导得 12321132)1(--++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n 令x=1得 1321232-⋅=+++n n n n n n n nC C C C4、利用导数求切线曲线y=f(x)在点p(x 0 , f(x 0))处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 例4：已知曲线1y x=（1）求曲线在点p （1，1）处的切线方程 （2）求曲线在点Q （1，0）处的切线方程 （3）求满足斜率为－31的曲线的切线方程和切点坐标 解：（1）设x x f y 1)(== 则2'1)(xx f -= ∵p 在曲线上 ∴p 为切点 ∴所求切线斜率k =1)1('-=f 故曲线在点p 处的切线方程为y -1 = -(x-1) 即y = - x ＋2 （2）显然Q 不在曲线上设过点Q 且与曲线相切的切线的切点为A （a ,a1） 则该切线的斜率2'1)(aa f k -== 从而切线方程为)(112a x aa y --=-将Q （1、0）代入方程得a =21故所求切线方程为y = －4x ＋4（3）设切点为A(a ,a 1)，则切线的斜率 3112-=-=ak 解得3±=a 即A （3 ，33）或（－3，－33）故切线方程为)3(3133--=-x y 或 )3(3133+-=+x y 即0323=-+y x 或 0323=++y x[归纳总结] 有关曲线在某一点处的切线问题，满足以下三个关系：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
《导数及其应用》论文
导数及其应用一、 方法概述1、 导数是一个知识独特、应用广泛，与初、高等数学衔接紧密的重要内容，因此成为高考的热点，并且在大题和小题中都有相关试题。
其中选择、填空题主要是考查导数的基本概念、基本运算和基本方法；解答题一般是考查导数与函数、方程、不等式的综合应用。
2、 要特别关注对某些不等式的证明、方程根的存在范围或个数讨论问题。
其基本方法是构造函数，然后利用导数分析其单调性和极值、最值，概括其函数值分布，进而推出相应结论。
最好画出其单调性示意图，以加强直观理解。
这是一种函数思想，导数是研究函数性质的工具和手段。
3、 理科要加强数列的极限、函数的极限、函数的连续的概念的理解和简单应用。
二、 范例剖析例1．已知函数f (x )=ln 2(1+x)－21x x +。
(I) 求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若不等式1(1)n e n+α+≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求α的最大值。
练习1：设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且。
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
例2．已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
练习2：设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．例3．已知函数()()0≠++=x b xa x x f ，其中Rb a ∈,. （Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性； （Ⅲ）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围. 练习3：设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。
导数在中学数学中应用
导数在中学数学中的应用摘要:本文通过举例说明了导数在求函数的切线、不等式证明、函数的极值中的运用以及在实际中的应用。
通过实例充分说明了导数在中学数学中所发挥的重要作用。
关键词:导数函数的切线单调性极值参数的范围导数是微积分中一个非常重要的概念,它建立在极限的基础上。
本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨,并举例说明。
阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法,以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。
同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。
一、用导数求函数的切线问题例1:求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程。
解:设想p(x0,y0)为切点,则切线的斜率为y|x=x■=3x■■-2。
∴切线方程为y-y0=(3x■■-2)(x-x0)。
y-(x■■-2x0)=(3x■■-2)(x-x0)。
又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得-1-(x■■-2x0)=(3x ■■-2)(1-x0)。
解得x0=1,或x0=-■。
故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1),或y--■+1=■-2x+■,即x-y-2=0,或5x+4y-1=0。
方法提升:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点p(x0,y=f(x0))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x0)在点p(x0,y=f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)。
二、用导数证明不等式问题例2:证明:当x>1时,有ln2(x+1)>lnx·ln(x+2)分析:只要把要证的不等式变形为■>■,然后把x相对固定看作常数,并选取辅助函数f(x)=■。
则只要证明f(x)在(0,+∞)是单调减函数即可。
证明:作辅助函数f(x)=■(x>1)于是有f′(x)=■=■因为1f(x+1)即■-■>0,所以ln2(x+1)>lnx·ln(x+2)方法提升:利用导数证明不等式的步骤:(1)确定f(x)的定义区间(非常的重要);(2)求导数f′(x);(3)由单调性得到不等式。
导数在函数中的应用[论文]
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导数在函数中的应用【内容摘要】新课标下，随着导数学习的不断深入，高考要求的不断的提高，导数在高考中显得越来越重要，它已经是高考必考内容之一，尤其在曲线切线方程，函数单调性，极值最值，不等式的证明中发挥重要作用。
【关键词】导数；单调性；切线；几何意义；最值。
导数是高中数学中一个重要内容，导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强。
一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运输、导数的几何意义、导数的应用为主，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，这是主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线例题1：已知曲线y=13x3+43.（1）求曲线在点p（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点p（2，4）的切线方程；分析：根据导数的几何意义求解。
【解析】（1）∵y′=x2，∴在点p（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4，∴曲线在点p（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；（2）设曲线y=13x3+43与过点p（2，4）的切线相切于点a（x0，13x30+43），则切线的斜率k=y′| x=x0=x20.∴切线方程为y-（13x30+43）=x20（x-x0），即y=x20·x-23x30+43.∵点p（2，4）在切线上，∴4=2x20-23x30+43，即x30-3x20+4=0，解得x0=-1或x0=2.故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0；方法提升：①在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点p处的切线方程和求曲线过点p的切线方程，在点p处的切线，一定是以点p为切点，过点p的切线，不论点p在不在曲线上，点p不一定是切点.②求过点p的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为（x0，y0），然后写出切线方程y-y0=f′（x0）·（x-x0），最后代入点p的坐标，求出（x0，y0）.注意：在解三次关于x0的方程时，学生困难很大，主要不知如何解。
浅谈导数的应用论文-V1
浅谈导数的应用论文-V1正文内容：导数是微积分的重要概念之一，具有广泛的应用场景。
本文通过对导数的应用进行讨论，旨在向读者展示导数在数学和实际应用中的重要性。
一、导数的定义和基本性质导数可以简单地理解为函数在某个点处的切线斜率，它的具体定义如下：$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$f(x)$表示函数，$f'(x)$表示函数在$x$处的导数。
导数具有一些基本性质，包括加法法则、倍法法则、链式法则等。
加法法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$；倍法法则表示若$f(x)$可导，则$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$；链式法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f\circg)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
二、导数的应用1. 极值问题导数可以用于判断函数在某个点处的值是否为局部极值，即是否为最大值或最小值。
具体地，若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个局部最小值（或最大值）。
2. 函数图像的性质导数可以反映函数图像的一些性质，如函数的单调性、凸凹性等。
具体地，若$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处单调增加；若$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处单调减少；若$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处凹上；若$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处凸上。
3. 最优化问题导数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，在求解函数$f(x)$的最小值时，可以通过求解$f'(x)=0$来找到函数的驻点，然后通过计算二阶导数$f''(x)$来判断是否为最小值。
导数在中学数学中的应用
导数在中学数学中的应用摘要：本文首先对函数相关知识进行简要阐述,介绍了导数的定义、几何意义及导数四则运算,其次分别从函数图像分析、求参数值、函数单调性判断、切线斜率判断及函数极限五个方面介绍了函数在数学中的运用,文章最后归纳总结了导数与其他知识点的联系并将导数与实际生活中的问题相结合,以数学思维解决实际问题,用函数表达式将具体事情进行抽象化,最终求得利润最大化、效率最高等问题.关键词：导数、单调性、斜率、函数极限引言在中学导数公式的运用过程中,需始终坚持函数思想的运用,这样能够更加快捷的解决数学问题,高中理科的学习中会经常用导数来表示一些重要的数学概念,同时在高中物理学科中,可以用导数来表示加速度和瞬时速度等概念.导数公式实在函数的基础上进行推导的,因此对导数公式的推导过程应用的同时,也可以进一步加强数学思维,将导数知识运用到函数求解问题中,此外导数还可以解决生活中实际问题,例如求效率最高、利润最大等问题,这一类型的题目,可以有效将问题转化为求解函数最大值.要充分掌握和运用导数概念和公式,要熟练掌握导数公式及运用方法,巧妙地将数学导数和其他知识进行结合,在解决问题中找到简单有效的办法.1 导数预备知识1.1 导数的定义和几何意义定义：设函数在包含的某个区间上有定义,若在d趋于0时趋于确定的极限值,则称这个极限值是函数在处的导数,记作.注：几何意义：函数在点处导数的几何意义为曲线在点处的切线斜率,即斜率为过点p的切线方程为：1.2 按照定义求导数的方法（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限,得导数1.3 导数的运算1.3.1 几种常见函数的导数(C为常数)；;；；；；；.1.3.2导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若,,则2 导数在中学数学中的应用导数是分析解决函数问题的最有效工具,合理利用导数可以解决函数最值求解、不同区间函数单调性判断以及函数图像分析等问题,将复杂的问题进行简单化处理.2.1 函数图像分析例1：设函数在定义域内可导,图像如图所示,则下面是的图像的是（）.解：根据图像显然可以看出,当时,为增函数,所以可以得出.当时,函数先增加再减少,因此在区间上呈现出先大于0,再小于0的趋势,综上所述,导函数的图像应为D.2.2 求参数的值例2：设函数过曲线上的点的切线方程为,若函数在区间[-2,1]上单调递增,求的取值范围？解：通过对求导可得：过上点的切线方程为：也即而过上点的切线方程为因此综合可得：即又因为所以我们易知在区间[-2,1]上单调递增,所以在区间[-2,1]上均有恒成立,即在[-2,1]上恒成立.（1）当时,,因此；（2）当时,,所以（3）当时,,则综上所述可以得出,参数.2.3 判断函数切线的斜率例 3：设为可导函数且满足,问曲线在点处的切线斜率是否存在？如果存在求在该点的切线斜率；如果不存在,请说明理由.解：因为在定义区间内可导,且满足,所以,综上可得函数在点处的切线斜率存在,并且在该点处切线的斜率为-2.2.4 求函数极限极限通常用于探究变量变化趋势,高等数学中函数连续性、定积分等问题都和极限有着密不可分的关系,他们的研究都是建立在极限基础之上,那么通过不同的方法求函数极限是必须熟练掌握的技能,一般对于不同类型的函数,其求取极限的技巧也是不尽相同的,利用导数求取函数极限是一种较为常见的方法,可以将求解问题简单化.例 4：设,则等于（）.解析：本题表面是求函数极限问题,但是可以运用导数的定义其实为在处的导数.因此可以用两种方法求解,其一是利用极限求解,另一种方法是利用求导的方法解决.方法一：解：因为所以=因此选C.方法二：解：由导函数的定义可知,,因为,所以,可得,所以选C.以上两种方法是从不同角度来分析,方法一是从极限的角度考虑,方法二是从导数定义解决,综合可以得出方法二更加简便.例5：若,则的值为（）.1.-3 B.-6 C.-9 D.-12解析：本道题目可以利用导数定义进行求解,但是此题需要做适当的变形.解：由导数的定义可知,所以====.因此本题选择D.解决这类题目的关键在于巧妙地将极限和导数结合起来,同时需要注意导数定义中的不是一个确定的数值,可以视为任意的数.2.5 利用切线的几何意义解决问题例6：点p是曲线上任意一点,求p到直线的距离的最小值.解析：求解曲线上一点到直线的最小距离问题,等同于p点为曲线的一条与直线平行的切线的切点,因此解决该问题的关键在于选取切点,根据距离公式：.解：设切点,由题意得：所以,可以得出或者（舍）因此=.2.6 导数与不等式不等式是中学数学中经常面临的问题,优势会遇到看似较为简单的不等式,但是在求解过程中很难找到切入点,常用的解决该类问题的方法很难奏效,这就需要转换一个数学思维去进行分析和理解,遇到这种情况可以利用导数进行求解,首先运用导数求得单调性,其次在根据单调性的具体性质进行不等式问题求解和证明.分析不等式的特点,构造新的函数,通过单调性进行转化很容易就能解决,导数的运用为求解不等式问题寻找了注入了新的活力,将传统解决此类问题的方法从技巧性强转变到普遍适用,这进一步显示了导数的灵活性和普适性.例7：设任意函数在实数集R上可导,若满足,则必有（）.1. B.C D.解析：,与0的大小关系与有关,当时,；时,.因此函数在区间上的单调性存在两种情况：第一种情况是在区间单调递减,上单调递增；第二种特别容易被忽略掉的情况是, .因此可以得出,,所以,故选择C.3 讨论与分析（1）导数在数学学科中应用广泛,涉及的内容众多,它也是研究中学数学的有力工具,通过导数相关知识的学习可以开阔视野,深入体会导数的思想和丰富内涵,真正感受到数学在实际生活中的应用.（2）通过导数可以更加便捷判断函数单调性并确定单调区间,克服了通常运用定义判断单调性难掌握,技巧强的问题,通过导数解决问题具有操作简单,易于理解等优势.（3）导数在实际中的运用通常体现在求利润最大化、效率最高、加速度和费用最低等问题上,往往这类问题需要转化为数学中求取最（极）值问题,再按照一般的最（极）值问题求解三个步骤进行计算即可,有效运用转化的思想将实际问题抽象成函数,充分体现了生活中处处有数学和导数运用广泛.6 结语本文首先介绍了函数相关知识,对导数的定义、几何意义及导数运算等方面进行简要阐述,其次从函数图像分析、求参数值、函数单调性判断角度入手,分析了导数在函数中的应用最后归纳总结了导数与其他知识点的联系并将导数与实际生活中的问题相结合,以数学思维解决实际问题,用函数表达式将具体事情进行抽象化,最终求得利润最大化、效率最高.参考文献[1] 窦宝泉. 导数在中学数学中的应用[J]. 数学通讯:学生阅读, 2003,000(012):12-13.[2] 焦存德. 微分中值定理与导数在中学数学中的应用[J]. 延安职业技术学院学报, 2013(06):125-126+128.[3] 刘明波. 浅谈导数在高中数学中的应用[C]// 吉林省科学技术学术年会. 2008.[4] 姜才文. 导数在高中数学函数中的应用体会[J]. 文理导航(下旬), 2016, 000(007):28-28.。
浅谈导数的应用论文(1)
浅谈导数的应用论文(1)导数，指的是函数在变化过程中的趋势，是微积分中一个重要的概念。
导数的应用十分广泛，包括但不限于优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
本文将从以下几个方面浅谈导数的应用。
一、优化问题优化问题是导数的一种应用，它旨在获得最优解或最优答案，如最大值或最小值。
导数可以帮助我们确定函数的最值问题。
我们先来看一个例子，求解函数$f(x)=x^2-2x+1$的最小值。
通过对$x$求导数，得到$f'(x)=2x-2$。
然后令$f'(x)=0$，解得$x=1$。
最后将这个$x$值带入原函数中，即可得到$f(1)=0$，因此函数$f(x)$的最小值为0。
二、曲线拟合曲线拟合是导数在物理学和统计学中的一种应用。
在实际生活中，我们常常会遇到需要把某些数据点拟合成函数图形的情况，这就需要用到曲线拟合。
导数可以帮助我们拟合曲线，直观上，导数表示函数变化的速率，这可以用来评估不同点之间的函数斜率，因此我们可以利用导数来构建曲线拟合模型。
三、函数最大值函数最大值是导数在特定应用场景中的一种应用。
我们可以从导数的角度来推导出函数最大值。
求函数最大值时，需要对其求导，找到导数为0的点，然后检查这个点是否是局部最大值。
如果是，则该点就是函数的最大值。
同样的，求函数最小值时，只需找到导数为0的点，检查局部最小值即可。
四、极值问题求解极值问题是导数在微积分学中的一种应用。
极值问题指的是，在指定函数的范围内，如何找到函数的最大值和最小值。
导数可以帮助我们求解这类问题，因为导数能够快速地给出函数的变化趋势和变化率。
因此，可以通过计算导数来确定函数的最值问题，并将其用于求解极值问题。
总之，导数是微积分中的一个重要概念，它在实际问题中具有广泛的应用，如优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
掌握导数的应用可以帮助我们更好地理解微积分概念，并在解决实际问题时起到重要作用。
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学号：**********导数在中学数学中的应用专业名称：数学与应用数学年级班别： 08级1班*名：***指导教师：***2012年05月导数在中学数学中的应用摘要导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理中学数学问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的极值和最值问题,不等式问题,还可以与解析几何相联系,可以用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性。
因此导数是分析和解决中学数学问题的有效工具。
本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。
阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。
同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。
关键词导数;函数;切线;不等式;恒等式;数列;方程Derivative and its application in middle school mathematics Abstract This article focuses on the use of derivatives of the basic knowledge and theory, to solve the middle school mathematics in the function monotone, the function of the value, function and other functions of the image problem, and introduced a derivative of the inequality, identify, the series, and analytic geometry. The application of practical problems. Involved in the text of the main methods of comparison, analysis and synthesis method.Keywords derivative; function; tangent; inequality; identity; series; equation前言导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿函数思想. 导数是近代数学的基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决一些中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率等等的有力工具[1，14-16]。
本文就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。
导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。
应用导数处理问题不需要很高的思维能力，突出了通法，淡化了技巧。
下面分类例析导数在中学数学中的具体应用。
1.导数在函数问题中的应用利用导数分析函数的性态是一种重要手段。
在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面，利用导数可使复杂问题简单化、程序化。
1.1分析函数的图象【例1】设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy=的图象如图所示，则导函数)(xfy'=的图象可能是A.B.C. D.解：当0<x时，函数()y f x=在对应的区间内均为增函数，∴0)(>'xf.0>x 时，函数()y f x=在对应的区间内先增后减再增，∴)(xfy'=先大于0，后小于0，再大于0.由此知)(xfy'=图象是D。
1.2 求参数的值【例2】函数cbxaxxxf+++=23)(过曲线()y f x=上的点p（1, )1(f）的切线方程为31y x=+，若函数()y f x=在区间[－2，１]上单调递增，求b的取值范围[2]。
解：由cbxaxxxf+++=23)(求导可得b ax x x f ++='23)(2过()y f x =上p （1, )1(f ）的切线方程为： )1)(1()1(-'=-x f f y即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y ， 而过()y f x =上p （1, )1(f ）的切线方程为 31y x =+。
故有3+2a +b=3 即02=+b a又b ax x x f ++='23)(2 ∴ b bx x x f +-='23)(∵ ()y f x =在区间]1,2[-上单调递增，∴ )(x f '在区间]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立。
（1） 当16bx =≥时，03)1(≥+-='b b f ，所以6≥b ； （2） 当26bx =≤时，0212)2(≥++=-'b b f ， 所以φ∈b ；（3） 当216b -≤≤时，212()0612b b b f -'=≥，则60≤≤b ； 综合上述讨论可知，所求参数b 的取值范围是：0≥b 1.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。
用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷，对于基本初等函数的单调性，大家都 比较熟悉，易找到它的单调区间。
当我们所讨论的函数是特殊基本初等函数(反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、幂函数等)时，一般情况可利用它们定义域上的单调性来求解；但对于较复杂的函数的单调性，必须利用复合函数的单调性的结论来进行分析与判定．这是一种复杂而又容易出错的运算，而借有导函数来解决函数的单调性会更简明[3]。
单调性，并循“同增异减”的法则来获得，若为比较复杂的复合函数时，利 用导数可化难为易，轻松求解。
利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定)(x f 的定义域； （2）求导数)(x f '；（3）在函数)(x f 的定义域内解不等式)(x f '>0和)(x f '<0[4]；确定)(x f 的单调区间时，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。
【例3】确定函数x x x f 3)(3-=在哪个区间是增函数，在哪个区间是减函数。
分析 ：对函数)(x f 求导，求不等式)(x f '>0和)(x f '<0的解，则)(x f '>0的解为单调增区间，)(x f '<0的解为单调减区间 。
解：∵x x x f 3)(3-= ∴)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f 令)(x f '>0，得x <1或x >1，所以)(x f 的单调增区间为)1,(--∞和),1(+∞ 令)(x f '<0，得-1<x <1所以)(x f 的单调减区间为)1,1(-【例4】设)(x f =x ax +3恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。
解：)(x f '=132+ax ，若a ≥0, )(x f '>0，对x ∈R 恒成立，此时)(x f 只有一个单调区间，矛盾。
若a <0，∵ )(x f '=132+ax ,此时)(x f 恰有三个单调区间。
令)(x f '=0得1x =a31-,2x =a31∴ a <0且单调减区间为（-∞，a31-）和（a31，+∞），单调增区间为（-a31，a31）。
评注：函数的驻点(导函数值等于0的点）和不可导的点（导数不存在的点）可能为函数的单调区间的分界点，分界点的确定取决于点两侧的导数是否异号。
1.4 应用导数研究有关方程的根的问题利用导数，结合根的存在定理及函数的单调性，能巧妙地解决有关方程的根的诸多问题。
【例6】若3m >，则方程0123=+-mx x 在[]0,2上有多少根？ 解：设32()1f x x mx =-+，则 mx x x f 23)(2-='当3m >且()0,2m ∈时，()0f x '<，故)(x f 在()0,2上单调递减，而)(x f 在0x =与2x =处都连续，且(0)10f =>，049)2(<-=m f故 )(x f 在[]0,2上只有一个根。
1.5求函数的极值利用导数求函数极值解答这类问题的方法是： （1）根据求导法则对函数求出导数；（2）令导数等于0,解出)(x f '= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如0x ）的左右侧，导函数)(x f '的符号如何变化，如果)(x f '的符号由正变负，则)(0x f 是极大值；如果)(x f '的符号由负变正，则)(0x f 是极小值。
（4）求出极值。
【例7】求 3211()33f x x x =-+的极值。
解：令()f x '=22x x -= x(x —2) = 0. 解方程，得120,2x x ==。
如图1.5所示。
由图可知 1(0)3f =为极大值；(2)1f =-为极小值。
注意：如果()f x '=0的根0x x =的左右侧符号不变，则)(0x f 不是极值[5]。
思考题：求 3211()33f x x x =-+在[-1，3]内的最大值和最小值。
1.6求函数的最值最值问题是中学数学中的重点、难点，它涉及到中学数学知识的各个方面，处理此类问题往往需要较高的思维能力和技能，而用导数处理这类问题使得解题过程程序化、简单化。
用求导方法求函数的最值问题，是简化用初等方法求最值的最佳手段，因为闭区间上函数的最大值、最小值只能在极值点或端点处取得，这样问题就化成求函数的极值点和各端点处的函数值问题.求值域、最值的方法很多,主要有：定义法、换元法、配方法、判别式法、不等式法、反函数法、三角代换法、数形结合法、单调性法、导数法等等[6]。
导数法通常是利用导数公式及运算法则，并结合函数的单调性来求得，一般来说，此法往往是较简捷的. 利用导数求函数求()f x 在[,]a b 上的最大（小）值的步骤如下： （1）求出()f x 的所有驻点和导数不存在的点12,,...,n x x x ；（2）比较12(),(),...,(),()n f x f x f x f a 及f(b)的大小，最大的就是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的为()f x 在[,]a b 上的最小值。