直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修(1)
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2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)-文档资料81页
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
(B)(6,6π )
(C)(6,-12π )
(D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
二、填空题（每小题8分，共24分）
x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
(B)(6,6π )
(C)(6,-12π )
(D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
二、填空题（每小题8分，共24分）
x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
人教版高中数学选修2.4-渐开线与摆线ppt课件
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
uuur 动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)．
所以xy＝ ＝221α－ －csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
[悟一法] (1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点 的轨迹． (2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ唯一确定．
φ＋φsin φ－φcos
φ φ
上对应的点 A、
B，并求出 A、B 间的距离．
解：将
φ＝π2代入xy＝ ＝scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ，
得 x＝cos π2＋π2·sin π2＝0＋π2＝π2，
轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
曲线的对称轴为三角函数的性质有类似的地 方．
[通一类]
3．当
φ＝π2、π
时，求出渐开线xy＝ ＝scions
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的 参数方程．(如图所示，开始时定 点M在原点O处，取圆滚动时转过 的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线 的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可． 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示， ∠ABM＝α.
度为单位)，则
|AM|＝ ¼ AM0 ＝4θ
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知
uuur 识，得OA＝(4cos θ，4sin θ)，
2019版数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
-3-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
四
渐开线与摆线
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HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
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四
渐开线与摆线
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【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程
3π x＝ ， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ， 应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】 当φ＝ ，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ， 给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ， 将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，
课件高中数学人教A版选修-节直线的参数方程PPT课件_优秀版
t表示有向线段M0P的数量。
求这条直线的方程.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2. 求这条直线的方程.
x x at 0 若t=0,则M与点M0重合.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
(t为参数） 此时,若t>0,则 的方向向上;
直线的参数方程可以写成这样的形式:
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
B
· y
· A M（x，y）x x0 t cos
·· M0（x0，y0）
y
y0
t
sin
(t是参数）
O
x
若M
为
0
中
点,
t
0
t1＋t2
0
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
普通方程为y y k ( x x )或x x 。 3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
若t<0,则 的点方向向下;
直线方程后,符合直线方程,
0
0
0
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
t表示几何意义： 把它代入抛物线y=x2的方程,得
求这条直线的方程.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2. 求这条直线的方程.
x x at 0 若t=0,则M与点M0重合.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
(t为参数） 此时,若t>0,则 的方向向上;
直线的参数方程可以写成这样的形式:
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
B
· y
· A M（x，y）x x0 t cos
·· M0（x0，y0）
y
y0
t
sin
(t是参数）
O
x
若M
为
0
中
点,
t
0
t1＋t2
0
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
普通方程为y y k ( x x )或x x 。 3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
若t<0,则 的点方向向下;
直线方程后,符合直线方程,
0
0
0
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
t表示几何意义： 把它代入抛物线y=x2的方程,得
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
摆线和渐开线课件
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对 应的曲线上两点A，B对应的参数分别是π2和32π，求A，B两点间 的距离．
[思路点拨] 渐开线的参数方程 ―代 参―入 数→ A，B两点的坐标 ―距 公―离 式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ ____y＝___r_s_in_φ__－__φ_c_o_s_φ______ (φ是参数)
2．摆线及其参数方程 ( 1 ) 当 一 个 圆 沿 着 一 条 定 直 线 _ _ _ _无_ _滑_ _动_ 地_ 滚 动 时 ， 圆 周 上 的
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开 线，我们以基圆圆心O为原点，一条直径所在直线为X轴建立 直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得
到，圆的渐开线的参数方程为
X＝RCOSΦ＋ΦSINΦ， Y＝RSINΦ－ΦCOSΦ
参数)．
(Φ为
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大 时该摆线的参数方程． [思路点拨]
[解题过程] 令y＝0，可得a(1－cosφ)＝0， 由于a＞0，所以cosφ＝1， 所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝a(φ－sinφ)， 得x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2， 解得a＝k1π(k∈Z)．
又由实际可知a＞0， 所以a＝k1π(k∈N＋)， 易知当k＝1时，a取最大值1π代入，
得圆的摆线的参数方程yx＝＝1π1πφ1－－csionsφφ，
(φ为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4渐开线课件1
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是32π，3. 答案：3 32π，3
例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆 线的参数方程．
解析：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， ∵r≠0，∴cos φ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)．
半径为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ， 所以基圆半径 r＝3. 把 φ＝π2代入方程，可得
x＝3cos
π2＋π2sin
π2，
y＝3sin
π2－π2cos
π2，
即x＝32π， y＝3.
半径)． 2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点
M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设 圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
____xy_＝＝__rr__1φ_－－__c_so_in_s_φφ__，____(_φ__为__参___数__)_______.
预习 思考
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0， 又 0≤t≤2π， ∴t1＝π2，t2＝32π. 当 t1＝π2时，
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
高二数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1
2
3
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程:
x
= r(������������������φ + φ������������������φ), y = r(������������������φ-φ������������������φ) (φ
x y
= =
���1���1������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数);
所求圆的渐开线的参数方程为
x
=
1 ������
y=
(������������������φ + φ������������������φ),
1 ������
x y
= =
221k1k������������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数,k∈N*).
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
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Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
四 渐开线与摆线
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Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标 1.借助教具或计算机软件,观察圆在直 线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、 直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹 (渐开线).知道平摆线和渐开线的生成 过程,以及它们的参数方程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、内摆线 的生成过程;学会摆线在实际应用中的 实例.
高二数学,人教A版 ,渐开线与摆线 , 第1课时 课件
新知初探思维启动
1.直线的参数方程 经过点 M0(x0,yபைடு நூலகம்),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋ tcos α (t 为参数) y＝y0＋ tsin α ________________________. 直线上的动点 M 到定点 M0 的
绝对值 距离为上式中参数 t 的 ________.
所以,摆线的参数方程是__________________________.
x＝ r φ－ sin φ (φ 是参数) y＝ r 1－ cos φ
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 直线参数方程几何意义的应用
例1 过 点 P( － 3,0) 且 倾 斜 角 为 30° 的直线和曲线
1 y＝t－ t
1 x＝ t＋ t
(t 为参数 )相交于 A、 B 两点 ,求线段 AB 的长 .
【解】
直线的参数方程为 1 y＝2s
3 x＝－ 3＋ s 2
(s 为参数 ),
曲线 1 y＝t－ t
1 x＝ t＋ t
(t 为参数 )可以化为 x2－ y2＝4.将直线的参
由于直线的参数方程为标准参数方程 , 即 s 为直线上的点
到定点的距离,所以可以直接通过求两点的参数之差求得
弦长 . 在解题时要注意应用参数的几何意义 , 还要注意是
否为标准方程.
变式训练
x＝1－ 3t 1.已知直线的参数方程是 (t 为参数 ),求直线上 y＝3t
到定点 A(1,0)的距离等于 3的点 M 的坐标 ,并求出此直线 的倾斜角 .
x＝1＋ cos α， (2)圆 C 的参数方程为 (α 为参数 ),试判断直 y＝ sin α
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线
思维辨析
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直径 ������ = sin������-������cos������ π 是 ,当参数 φ= 时对应的曲线上的点的坐标 为 .
√2
四
渐开线与摆线
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.
1.渐开线 (1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支 铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的 曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)圆的渐开线的参数方程: ������ = ������(cos������ + ������sin������), (φ 为参数). ������ = ������(sin������-������cos������) 2.摆线 (1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上 一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线. (2)圆的摆线的参数方程: ������ = ������(������-sin������), (φ 为参数). ������ = ������(1-cos������)
)
做一做2 半径为2的圆的摆线的参数方程为( ������ = 2cos������, A. (φ 为参数) ������ = 2sin������ ������ = -2cos������, B. (φ 为参数) ������ = -2sin������ ������ = 2(������-sin������), C. (φ 为参数) ������ = 2(1-cos������) ������ = 2(1-sin������), D. (φ 为参数) ������ = 2(������-cos������) 答案：C
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x
=
3
-
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ= 2 5 sinθ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
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2
答案:(x+1)2+y2=2
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9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
-t +t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
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【解析】
答案：
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(D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可 知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选D.
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3.当φ=2π时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
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【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 s5inθ，得x2+y2- y2 =50， 即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
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77
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
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一、选择题（每小题6分，共36分）
x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
2t 2
【解析】∵直线
x
=
2t
的普通方程为x-
y =
2t 2
y=2 0，2
∴点(-3,0)到直线的距离为d= 答案：1
|-3 -=0 |1.
1+(-2 2 )2
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63
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
(A)(6,0)
(B)(6,6π)
(C)(6,-12π)
(D)(-π,12π)
【解析】选C.当φ=2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
故点(6,-12π)为所求.
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4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
x y
= =
t 1
+
（t为参数）
t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___
_______.
【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0.
由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
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【解析】
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59
5.以t为参数的方程
x
Hale Waihona Puke =1-1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
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【解析】
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80
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
3
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【解析】
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6.直线
x=-1+tsin10(t为参数)的倾斜角为(
y=2-tcos10
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
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二、填空题（每小题8分，共24分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
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55
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
(t为参数)，下列命题中错误的是(
t
)
(A)直线经过点（7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
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71
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72
三、解答题（共40分）
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
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【解析】
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74
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为