如何计算π的值

1、蒙特卡罗（Monte Carlo ）法
思想：
取一正方形A ，以A 的一个顶点为圆心，A 的边长为半径画圆，取四分之一圆（正方形内的四分之一圆）为扇形B 。

已知A 的面积，只要求出B 的面积与A 的面积之比B A
S k S =，就能得出B S ，再由B 的面积为圆面积的四分之一，利用公式2=S R π圆即可求出π的值。

因此，我
们的目的就是要找出k 的值。

可以把A 和B 看成是由无限多个点组成，而B 内的所有点都在A 内。

随机产生n 个点，若落在B 内的有m 个点（假定A 的边长为1，以扇形圆心为坐标系原点。

则只要使随机产生横纵坐标x 、y 满足221x y +≤的点，就是落在B 内的点），则可近似得出k 的值，即m k n =，由此就可以求出π的值。

程序（1）：
i=1;m=0;n=1000;
for i=1:n
a=rand(1,2);
if a(1)^2+a(2)^2<=1
m=m+1;
end
end
p=vpa(4*m/n,30)
程序运行结果：
p =
2、泰勒级数法
思想：
反正切函数arctan x 的泰勒级数展开式为：
35
211arctan (1)3521
k k x x x x x k --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- 将1x =代入上式有
1
111arctan11(1)43521
n n π-==-+-⋅⋅⋅+--. 利用这个式子就可以求出π的值了。

程序（2）：
i=1;n=1000;s=0;
for i=1:n
s=s+(-1)^(i-1)/(2*i-1);
end
p=vpa(4*s,30)
程序运行结果：
p =
当取n 的值为10000时，就会花费很长时间，而且精度也不是很高。

原因是1x =时，arctan1的展开式收敛太慢。

因此就需要找出一个x 使得arctan x 收敛更快。

若取12x =，则我们只有找出α与4π的关系，才能求出π的值。

令1
arctan 2α=，4πβα=-， 根据公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=
-有1tan 3β=，则有11arctan arctan 423π=+。

所以可以用1
1arctan arctan 4
23π=+来计算π的值。

程序（'2）：
i=1;n=1000;s=0;s1=0;s2=0;
for i=1:n
s1=s1+(-1)^(i-1)*(1/2)^(2*i-1)/(2*i-1);
s2=s2+(-1)^(i-1)*(1/3)^(2*i-1)/(2*i-1);
end
s=s1+s2;
p=vpa(4*s,30)
程序运行结果：
p =
3.
显然，级数收敛越快，取同样的n 值可以得到更高的精度。

以同样的方法，能得出114arctan arctan 45239
π=+，程序和上面的一样。

这样π的近似值可以精确到几百位。

3、数值积分法
思想：
半径为1的圆的面积是π。

以圆心为原点建立直角坐标系，则
圆在第一象限的扇形是由y =与x 轴，y 轴所围成的图形，扇形的面积
4
s π
=。

只要求出扇形的面积，就可得出π的值。

而扇形面积可近似等于定积
分0⎰的值。

对于定积分()b
a f x dx ⎰的值，可以看做成曲线与x 轴，x a =，x
b =所
围的曲边梯形的面积S 。

把[],a b 分成n 等分，既得1n +个点x a =，1x ，⋅⋅⋅1n x -，x b =组成n 个小区间，每一个小区间与x 轴，x a =，x b =所围成的图形是一个小曲边梯形。

而梯形的面积计算公式是(+)2⨯÷上底下底高，对于第i 个小曲边梯形有上底为1()i f x -，下底为()i f x 。

所有小梯形的高都为()/h b a n =-。

所以第i 个小曲边梯形的面积为1(()+())2i i f x f x h -⨯÷。

曲边梯形的总面积即定积分()b
a f x dx ⎰的值就是
所有小梯形的面积总和。

为了避免根号，我们也可以利用积分
120114dx x π=+⎰ 得出π的值。

我们可以利用对求曲边梯形的面积来得出定积分120
11dx x
+⎰的值，从而得出π的值。

程序（3）：
a=0;b=1;s=0;n=1000;i=0;
h=(b-a)/n;
for i=0:(n-1)
xi=a+i*h;
yi=1/(1+(xi)^2);
xj=a+(i+1)*h;
yj=1/(1+(xj)^2);
s=s+(yi+yj)*h/2;
end
p=vpa(4*s,30)
程序运行结果：
p =
3.
对于数值积分法求π值，以上程序简洁明了。

我们也可以以x做循环，用一条语句求出π值。

程序（3’）：
s=0;n=1000;
for x=0:(1/n):(1-(1/n))
s=s+(1/(1+x^2)+1/(1+(x+(1/n))^2))*(1/n)/2;
end
p=vpa(4*s,30)
程序运行结果：
p =
3.
用以上三种方法求π，n都取1000时，泰勒级数法求π，得到的近似值精度最高。