等差数列第二课时
第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
4.2.1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)
例5：
证明：
aq a1 (q 1)d,
as a1 (s 1)d, at a1 (t 1)d,
所以 ap aq 2a1 (p q 2)d,
as at 2a1 (s t 2)d,
(2)d= - .
-
跟踪训练：.若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差d为( )
A.35
B.53
C.-35
D.-53
解析:∵a7-a2=5d, ∴5d=3,d= 35. 答案:A
跟踪训练：在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )
A.-9
B.-8
C.-7
D.-4
解法二:根据已知条件a2+a3+a23+a24=48及a2+a24=a3+a23=2a13, 得4a13=48,故a13=12.
跟踪训练3： 在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=( )
A.100
B.90
C.95
D.20
解析:在等差数列{an}中, ∵a2+a8=10, ∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5. ∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90. 答案:B
③
④ ank ank 2an
跟踪训练1.(多选题)在等差数列{an}中,下列关系式不成立的是( )
A.a1+a8=a3+a5
B.a2+a7=2a5
3.2等差数列(第二课时)
等差数列(第二课时)【学习目标】1．认识和理解等差数列的性质，掌握运用等差数列性质进行各种运算的技巧．2．掌握如何处理等差数列的公共项问题．3．会用等差数列的知识解决简单的实际应用问题．【学习障碍】1．如何通过等差数列的运算性质，深刻认识等差数列的规律和特点，进而灵活快捷地进行运算是学生普遍感到困难的地方．2．公共项问题是数列的难点问题．由于解决该问题所涉及的知识学生相对薄弱，对能力的要求相对较高，学生往往不得要领或产生错误解法．【学习策略】Ⅰ．学习导引深入研究等差数列的性质，就能从不同角度分析有关等差数列的解题思路，“深入”才能“浅出”．下面是等差数列常用的性质：如果{a n }是公差为d 的等差数列，那么(1)a n ＝a m ＋(n －m )d ．(d ＝m n a a mn --)．(2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；反之不一定成立．特别地，当m ＋n ＝2p 时，a m ＋a n ＝2a p ，即在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．(3)公差为d 的等差数列{a n }，其子数列a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(m ∈N *)也成等差数列，公差为md ．(4)公差为d 的等差数列{a n }中，任意等间距的截取项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列，若每段含m 项，每段间距(每段对应项的项数差)为k ，则新公差为原公差的km 倍．即新的等差数列公差为kmd ．当k ＝m 时，新数列为连续相同个数的项的和构成的等差数列，其公差为m 2d ．(5)数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)是公差为λd 的等差数列．证明：(1)∵a m ＝a 1＋(m －1)d ，a n ＝a 1＋(n －1)d ．∴a n －a m ＝(n －m )d ，即a n ＝a m ＋(n －m )d ．(2)∵a m ＋a n ＝［a 1＋(m －1)d ］＋［a 1＋(n －1)d ］＝2a 1＋(m ＋n －2)d ．同理，a p ＋a q ＝2a 1＋(p ＋q －2)d ．∴a m ＋a n ＝a p ＋a q ．反之，a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔(m ＋n －2)d ＝(p ＋q －2)d ．在d ≠0时，应该有m ＋n ＝p ＋q ；在d ＝0时，不一定有m ＋n ＝p ＋q ．(3)该条性质是第(4)条性质的特例．(4)设相邻两段间距为k ，每段含m 项，则相邻两段的对应项的差为kd ，m 个对应项的差的和为mkd ．(5)(λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd ．∴{λa n ＋b }是公差为λd 的等差数列．Ⅱ．知识拓宽等差数列的计算问题是数学中最古老的问题之一，它的历史可以追溯到三四千年以前的古埃及．约在公元前1700年成书的莱因德(Rhi nd )《纸草算书》中已载录了两个等差数列问题．一个问题是，今有10袋麦子分给10个人，使每个人依次递减81袋，那么第一个人分得多少？在《纸草算书》上不仅有正确的答案，而且还有一个非常巧妙的解法：假设最后1人分得1袋，则各人所得依次为,813,814,815,816,817,89,810,811,8121．其总和为8125，此问题中的总数10多845．于是，为保证相邻两项的差仍为81，只须所设数列的第一项减少845÷10(＝169)，这样求得第一个人分得1169袋．类似这样按级递减分物的等差数列问题，在巴比伦晚期泥板中也有出现．我国古代数学专著很早就涉及了等差数列问题．除了《周髀算经》中记载的等差数列在研究和制定节气方面的应用之外，约在公元前50年成书的《九章算术》中也有几个关于等差数列的问题．如均输章的第19题：今有竹九节，下三节容4升，上四节容3升，中间三节均容(容积自上而下的均匀增加)，问是多少．书中给出了准确的解答．对等差数列问题的深入研究是从《张丘建算经》(约5世纪)开始的．在张丘建之后，天文学家把等差数列计算应用到了历法计算方面．唐代天文学家一行(683～727)在《大衍历》中计算行星在n 天内运行的弧长S n ，应用的公式是S n ＝n (a 1＋21-n d )，其中a 1是第一天行星运行的弧长，d 是逐日多行的弧长．而在已知a 1，d ，S n ，求天数n 时，一行的算法是n ＝]28)2([21121d d a d S d d a n --+-，这是关于n 的二次方程n 2＋d S n d d a n 221=⋅-的一个根．Ⅲ．障碍分析1．怎样用等差数列的性质解答等差数列问题？［例1］已知具有20项的等差数列(1)如果奇数项的和为100，偶数项的和为140，求公差d ；(2)如果前3项的和是20，末3项的和是60，求它的公差d ．解：(1)由已知a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝100， ①又a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝140 ②②－①：(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 20－a 19)＝10d ＝40，∴d ＝4．(2)a 1＋a 2＋a 3＝20，a 18＋a 19＋a 20＝60，∴(a 20－a 3)＋(a 19－a 2)＋(a 18－a 1)＝40．17d ＋17d ＋17d ＝40，∴d ＝5140．点评：本题应用了上面的性质(1)．［例2］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式．思路一：利用等差数列的通项公式求解．解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎨⎧=+⋅+⋅+=+++++.28)12()7()2(,12)12()7()2(111111d a d a d a d a d a d a当d ＝53时，a 1＝－51，a n ＝－51＋(n －1)·;545353-=n 当d ＝－53时，a 1＝541，a n ＝541＋(n －1)·(－53)＝－53n ＋544思路二：把a 3，a 8，a 13看作一个整体，再利用性质(2)解题．解法二：由于a 3＋a 13＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故可得a 8＝4．代入已知得⎩⎨⎧=⋅=+,17,8133133a a a a 解得⎩⎨⎧==,7,1133a a 或⎩⎨⎧==.1,7133a a 由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝531017313313=-=--a a ． 故a n ＝a 3＋(n －3)·53＝5453-n ． 由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得a n ＝－54453+n ． 误区点评：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 13＝12及a 3·a 8·a 13＝28是无法算出a 3，a 8，a 13的具体值的．［例3］已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：c b a b c a a c b +++,,也成等差数列． 思路：由于等差数列各项乘以或加上一个常数所得数列仍成等差数列(性质(5))，结合本题特征，可考虑用据此性质证明．证明：∵c b a 1,1,1成等差数列， ∴),(1),(1),(1c b a c c b a b c b a a ++++++ 即1,1,1++++++c b a b c a a c b 成等差数列． ∴c b a b c a ac b +++,,成等差数列． 点评：在解决有关等差数列问题时，既要注意直接运用统一量法转化为a 、d ，同时也要注重对其性质的运用．2．怎样求解两个等差数列的公共项问题？［例4］已知两个等差数列：5，8，11，…； ①3，7，11，…． ②它们的项数均为100项，试问它们有多少个彼此具有相同数值的项．思路一：从分析两个数列共同项组成的新数列的特征入手进行解题．解法一：设两个数列共同项组成的新数列为{c n }，易知c 1＝11，又数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，公差为3；而数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1，公差为4．∴数列{c n }仍为等差数列，且公差为d ＝12．故数列{c n }的通项公式为c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1．又a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1≤302，得n ≤25.25所以已知两数列有25个共同的项．思路二：由数列①易得a n ＝3n ＋2．由数列②易知a m ＝4m －1，其中1≤n ，m ≤100．依题意有a n ＝a m ，即3n ＋2＝4m －1．∴n ＝34m －1．由于n 、m 均为自然数，必有m ＝3t ，t ∈N *，即n ＝4t －1．∴⎩⎨⎧≤-≤≤≤10014110031t t 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤41013100t t 也即1≤t ≤4101． 由于t 是正整数，故最大的t 值是25，所以两数列共有25个数值相同的项．误区点评：本题易出现的误解是：令a n ＝b n ，也即3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3，故两数列中具有相同数值的项只有一项(即11)．上述错误在于误认为，两个数列相同数值的项数也应当相同，而这是题中没有要求的．Ⅳ．思维拓展［例5］已知数列a n 为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ．(p ≠q )，求a p ＋q ．思路：本题可先转化为a 1和d 去探索，也可利用等差数列中任2项a n 和a m 的关系a n＝a m ＋(n －m )d 进行求解，还可利用一次函数图象解答．解法一：∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d∴⎩⎨⎧=-+=-+p d q a q d p a )1()1(11 ① 两式相减，得(p －q )d ＝q －p ，∵p ≠q ，∴d ＝－1．代入①，有a 1＋(p －1)(－1)＝q ．∴a 1＝p ＋q －1故a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)·(－1)＝0．解法二：∵a p ＝a q ＋(p －q )d ，∴q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，∵p ≠q ，∴d ＝－1故a p ＋q ＝a p ＋［(p ＋q )－p ］d ＝q ＋q (－1)＝0．解法三：不妨设p ＜q ，由于等差数列中，a n 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p ，a p )，(q ，a q )，(p ＋q ，a p ＋q )共线．设△ABE ∽△BCF ，得FC BF EB AE =， ∴q q p m p p q p q -+-=--)(．∴1＝p mp -，得m ＝0，即a p ＋q ＝0．点评：在解决有关等差数列问题时，既要注意直接运用其定义，转化为求a 、d ，同时也要注重对其有关简单性质的使用，因为这往往有助于解题过程的简化．一般地有，设等差数列{a n }中，a m ＝p ，a n ＝q ，(m ≠n )，则a k ＝n m k m q n k p --+-)()(．对此，有兴趣的读者不妨给予证明．Ⅴ．探究学习在等差数列{a n }中对于任意的m ，n ∈N *，若a n ＋a m ＝a n ＋m 且a 1＝1问数列{a n }是一个怎样的数列？答案：解：∵a n ＋a m ＝a n ＋m∴a 1＋(n －1)d ＋a 1＋(m －1)d ＝a 1＋(n ＋m －1)d又∵a 1＝1，代入上式化简得d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ．【同步达纲练习】一、选择题1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于A ．0B ．37C ．100D ．－372．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39．则a 3＋a 6＋a 9的值是A ．39B ．20C ．19.5D ．333．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450．则a 2＋a 8的值等于A ．45B ．75C ．180D ．3004．设x ≠y ，若数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，b 3，…，b n ，y 都是等差数列，则1212b b a a --为A ．n mB ．11++n mC ．m nD ．11++m n二、填空题5．一个等差数列中，a 15＝33，a 25＝66，a 35＝______________．6．设{a n }是等差数列，则+⋅+⋅322111a a a a …＋n n a a ⋅-11可化简为______________．7．已知数列{a n }中，a 1＝3，111--n n a a ＝5(n ≥2)，则a n ＝______________．三、解答题8．已知：lo g a b 、－1、lo g b a 成等差数列，且a ，b 为一元二次方程：x 2－cx ＋d ＝0的两根，求c ，d 的取值范围．参考答案【同步达纲练习】一、1．C 提示：设{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2， ∵(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列．又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100．2．D 提示：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 3＝2a 2，a 4＋a 6＝2a 5，a 7＋a 9＝2a 8．∴(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)∴a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33．3．C 提示：∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5 ∴由已知可得：a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180．4．D 提示：设前一等差数列公差为d 1，后一等差数列公差为d 2，则：y ＝x ＋(m ＋1)d 1，y ＝x ＋(n ＋1)d 2， 于是：)1()1(21++n d m d ＝1．∴1121++=m n d d 即：111212++=--m n b b a a二、5．99 提示：∵a 25是a 15和a 35的等差中项．∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99． 6．n a a n ⋅-11提示：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵)11(1111n n nn a a d a a -=⋅-- ∴n n a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅-13221111 ＝)]11()11()11[(113221n n a a a a a a d -+⋅⋅⋅+-+-- ＝n n na a n a a d n d a a d ⋅-=⋅-⋅=-1111)1(1)11(1 7．14153-n 提示：由已知：{n a 1}是等差数列， ∴314155)1(311-=⋅-+=n n a n ，∴a n ＝14153-n三、8．由已知得：log a b ＋log b a ＝－2． 即b a a b lg lg lg lg +＝－2．从而有(l ga ＋l gb )2＝0，l ga ＝－l gb ＝l g b 1． ∴a ·b ＝1，而c ＝a ＋b ，d ＝ab ＝1， 因a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1． a ＋b ≥2ab ＝2．又a ≠1，b ≠1． 故不等式不取等号，所以，c ＞2，d ＝1．。
高中数学 2.2等差数列(第2课时)课件1 新人教A版必修5
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信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
，
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
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12
反思小结，观点提炼
求数列{ a n } 的通项公式.
解： a1a7 2a4
a1a4a73a415
， 由此得到
a4 5
又 a2a4a6 45 a2a6 9
即（ a42d)a (42d)9 （ 52d)5 (2d)9
得 d2
当 d 2 时， a n a 4 (n 4 )d 2 n 3
当 d-2 时，a n a 4 (n 4 )d 1 3 2 n
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4.2.1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)
B [由条件可设an＝dn＋b，则2an＝2dn＋2b，∴数列{2an}的公 差为2d．]
学以致用：
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10， ∴a5＝5．]
学以致用：
所以等差数列通项公式也可以表示为：
等差数列的图象为相应直线上的点。
等差数列中的主要方法： 1．等差数列的判定方法
(1)定义法: an1 an d(常数) (n N)
(2)中项法: 2an1 an an2
(3)通项公式判定: an a1 (n 1)d 等差数列的通项公式是关于n的一次函数
2、在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,
则a2+a8 =（ ）
3、在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=117,
则a3+a15=（ ）
学以致用：
1．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列{2an}是( ) A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确
例3、已知数列的通项公式为 an pn，其q 中 p，q是常数，那么这种数列是否一定是等 差数列？
4.2.1等差数列的性质(第二课时)课件(人教版)
解：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7， ∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20,
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
等差数列的公共项问题
例5：两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11,又等差数列 5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
性质4：若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m ，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成 公差为md的等差数列
等差数列的性质
性质5：若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质6：在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两 项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
RART 04
课堂总结
课堂总结
1.等差数列的性质； 2.等差数列的性质的应用； 3.等差数列的公共项问题； 4.等差数列的综合应用。
感谢您的观看
我们必须知道，我们必将知道 --希尔伯特
性质7：当d>0时，数列{an}为单调递增数列； 当d<0时，数列{an}为单调递减数列； 当d＝0时，数列{an}为常数列．
等差数列的性质
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有：
（1）新数列{c＋an}是公差为d的等差数列(c为任一常数) （2）新数列{c·an}是公差为cd的等差数列(c为任一常数)
第四章数列
4.2.1等差数列的性质（第二课时）
李思
CONTENTS
01 02 03 04
RART 01
知识回顾
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
等差数列_第2课时_课件
a13的值．
解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2) 由 a3 ＋ a5 ＋ a7 ＋ a9 ＋ a11 ＝ 5a7 ＝ 100 得 a7 ＝ 20.∴3a9 － a13 ＝ 3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
是运用“对称设项法”，是三个解法中最简捷的． (2)除用对称设项方法外，也可以用“设基本量法”，即设出 a1 、 d ，运用通项公式表示所需的项，它也能起到化多为少的作 用．
人 教 A 版 ·数
第二章 数列
迁移变式3
(1)有三个数成等差数列，它们的和为9，积为－
21，求这三个数．
(2)已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 这5个数． ，求
人 教 A 版 ·数
第二章 数列
[点评]
本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应注意
题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．
人 教 A 版 ·数
第二章 数列
迁移变式 1
(1) 设 {an}为等差数列，若 a3 ＋ a4＋ a5 ＋ a6 ＋ a7 ＝
450，求a2＋a8；
(2) 在等差数列 {an} 中， a3 ＋ a5 ＋ a7 ＋ a9 ＋ a11 ＝ 100 ，求 3a9 －
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
人 教 A 版 ·数
第二章 数列
解法3：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根 据题意，得
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
a＝13， 2 4a＝26， 化简，得 2 解得 2 3 a － d ＝ 40 ， d＝± . 2
(完整版)等差数列(第二课时)
探究
已知数列{an} 通项公式为an=pn+q (p、q是
常数),那么这个数列一定是等差数列吗？
若把条件和结论互换， 此说法是否仍然成立？
结论 : 数列an为等差数列 an pn q
其中p为公差.
判断一个数列是等差数列的常用方法 证明一个数列是等差数列常用的方法有： (1)定义法：利用 an－an－1＝d(常数)(n≥2 且 n∈N＋)等价 于{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N＋)等价于 {an}是等差数列． (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数 列．
等差数列an中，若m n p q,那么
am an与ap aq间存在什么样的关系？
等差数列的性质：
数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p，则am+an=2ap。
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋
数列an是等差数列 ， an pn q(其中p为公差)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
小试牛刀
(1)设 c, b 为常数，若数列{an} 为等差数列，则数 列{an b} 及{c an b} 为等差数列.
(2) 设 p, q 为常数，若数列 {an}、{bn}均为等差数列， 则数列 { p an q bn } 为等差数列.
第二课时：等差数列
第二课时（两小时）教学内容: 等差数列教学目标:1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2.会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题3.明确等差中项的概念.4.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式. 教学重难点:1. 等差数列的概念，等差数列的通项公式2. 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用一、基本知识点梳理1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m n a a mn --4. 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项5. 性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+二、典型例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则 ⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列n u 中，设数列的第s 项和第t 项分别为s u 和t u ，计算ts u u ts --的值，你能发现什么结论？并证明你的结论 解：通过计算发现ts u u ts --的值恒等于公差证明：设等差数列{n u }的首项为1u ，末项为n u ，公差为d ，⎩⎨⎧-+=-+=)2()1()1()1(11dt u u d s u u t s⑴-⑵得d t s u u t s )(-=- d ts u u ts =--∴小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设{}n a 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：1a =33, 12a =110，n=12∴d a a )112(112-+=,即10=33+11d 解得：7=d 因此，,61,54,47740,407335432===+==+=a a a a,103,96,89,82,75,6811109876======a a a a a a答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm.例5 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个 例6在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列 ∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =32例7等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来解：1a +5a =23a⎩⎨⎧-=+-=⇒⎭⎬⎫=-=⇒-=⇒-=++82080412321a a a 515153133531a a a a a a a a a ⇒1a =－10, 5a =2 或 1a =2, 5a =－10 ∵ d=1515--a a ∴ d=3 或－3∴ n a =－10+3 (n －1) = 3n － 13 或 n a =2 －3 (n －1) = －3n+5例8在等差数列{n a }中, 已知3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 求2a ＋8a 及前9项和9S . 解：由等差中项公式：3a ＋7a ＝25a ， 4a ＋6a ＝25a由条件3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 得 55a ＝450, 5a ＝90, ∴2a ＋8a ＝25a ＝180.9S ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＋8a ＋9a＝(1a ＋9a )＋(2a ＋8a )＋(3a ＋7a )＋(4a ＋6a )＋5a ＝95a ＝810.例9已知a 、b 、c 的倒数成等差数列，求证：a cb a -+，b ac b -+，cb a c-+的倒数也成等差数列分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x 、y 、z 成等差数列的充要条件：x+y=2z证明：因为a 、b 、c 的倒数成等差数列∴ca b 112+=，即2ac=b(a+c) 又a a c b -++c c b a -+=acb a ac b c )()(+++-2=ac c a b a c )(22+++-2=acac a c 222++-2=ac c a 2)(+-2=)()(22c a b c a ++-2=b c a )(2+-2=b b a c )(2-+ 所以a c b a -+，b a c b -+，cb a c-+的倒数也成等差数列三、课堂练习 （一）基础训练1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项. 解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *） ∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39. 评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项. 解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12, ∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7.∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5. 令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项. （4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：1a =0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +27,令－27n +27=－20,解得n =747因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ; （2）已知3a =9, 9a =3,求12a .解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a .（2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1 又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3×（－1）=0.3.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d解：由题意可知⎩⎨⎧=+==+=(2) 3111(1)10411215d a a d a a解之得123a d =-⎧⎨=⎩即这个数列的首项是-2，公差是3或由题意可得：d a a )512(512-+=即：31=10+7d 可求得d=3，再由d a a 415+=求得1a =-2 4. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a 解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d 从而 33396)514(514=⨯+=-+=d a a5.在等差数列{}n a 中若 30521=+++a a a ，801076=+++a a a ， 求151211a a a +++解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……∴ 11162a a a += 12272a a a += ……∴)(151211a a a +++ +=+++)(521a a a 2)(1076a a a +++ ∴151211a a a +++ =2)(1076a a a +++ -)(521a a a +++=2×80-30=130（二）培养能力1. （08陕西）．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1202. (03北京春)在等差数列}{n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，则3a =（ ）.A 4 .B 5.C 6 .D 73.设数列{}n a 的前n 项和为n S )(*N n ∈,关于数列{}n a 有下列四个命题：①若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(*1N n a a n n ∈=+； ②若),(2R b a bn an S n ∈+=，则{}n a 是等差数列； ③,,a b c 成等差数列的充要条件是2a cb +=。
4.2.2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)
n n1
290 ,解得n 261
10，∴an
29.
∴该数列的项数为210 1 19，数列中间一项是29.
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2 排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
解：由题意可知,该报告厅各排的座位数构成一个等差数列{an }.
和之比为 32∶27，则该数列的公差为________．
解 1：设该等差数列的首项为 a1，公差为 d，由题意可得 12a1＋12×2 11d＝354， 6(a61a＋1＋d)6＋×265×2×52×d2d＝3227， 解得 d＝5.
解 2： 由已知条件，得SS奇 偶＋ ∶SS偶 奇＝ ＝3325∶4，27， 解得SS偶 奇＝ ＝119622，. 又 S 偶－S 奇＝6d，∴ d＝192－6 162 ＝5.
练习：项数是偶数的等差数列{an}的公差为2, 所有奇数项之和是15, 所有
偶数项之和为25,则这个数列的项数是__1_0__.
析 : 设项数为2n项, S偶 S奇 nd,25 15 2n, n 5.
练习：等差数列{an }的前12项和是354, 其中偶数项之和与奇数项之和
的比是32 : 27,则该数列的通项公式an __5_n__－__3______.
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第二课时)
等差数列的判定方法 ①定义法：an1 an d (n N * ) {an}为等差数列
②等差中项法：an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法：an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列
④前n项和公式法：Sn An2 Bn( A, B为常数) {an}为等差数列
等差数列 第二课时
6.2 等差数列
a a 例5 已知等差数列 an 中，1 8， 20 106, 求 S 20．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解
由已知条件得
20 8 106 S20 980. 2
你用对公 式了吗？
6.2 等差数列
例6 等差数列 13, 9, 5, 1,3, 的前多少项的和等于50？
第1题图 2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1 天存入银行200元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本 利和总额是多少（精确到0.01元）?
6.2 等差数列
等差数列的前n项和公式是什么？
理 论 升 华 整 体 建 构
.
sn
n a1 an
sn na1
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 设数列的前n项和是50，由于
a1 13, d 3 (1) 4,
故 即 解得
n(n 1) 50 13n 4, 2
2n2 15n 50 0，
为什么要 将其中的一 个答案舍去 呢？
5 n1 10, n2 （舍去）， 2
(6.3)
动 脑 思 考 探 索 新 知
知道了等差数列 an 中的
利用公式（6.3）可以直接计算 Sn． a1 、n和 an，
将等差数列的通项公式 an a1 n 1d 代入上面公式
Sn na1
n n 1 2
d (6.4)
知道了等差数列an 中的 a1 、 d、n和 Sn ，利用公式（6.4）可以直接计算．
2 n n 1 d 2
；
．
6.2 等差数列
自 我 反 思 目 标 检 测
高一数学最新课件-人教版浙教版等差数列(第二课时) 精品
(2). -2与6
例：已知数列的通项公式为an=pn+q， 其中p,q是常数且p≠0，那么这个数列 是否一定是等差数列？如果是，其首 项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定{an}
a 是不是等差数列，只要看 n an1(n 2)
是否是一个与n无关的常数
解：取数列{an}中任意相邻两项an与an-1,
2 由a, A,b成等差数列,得, A-反过来,如果
A
a
b
2
那么2A=a+b,A-a=b-A,
即a,A,b成等差数列
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
想一想
A a b 是a,A,b成等差数列的充要条件吗？ 2
练习：
求下列各题中两个数的等差中项：
(1).100与180
一次项系数
常数项
练习：（口答） 由下列等差数列的通项公式，求首项和公差
(1). an=3n+6
(2). an= -2n+7
例:已知数列{an}的通项公式为 an=pn2+q(p,q为常数), (1). 当p和q满足什么条件时, 数列{an}是等差数列? (2). 设bn=an+1-an,求证:对任意实 数p、q,数列{bn}都是等差数列。
ac
b
b c a b bc c2 a2 ab c2 a2 b(a c)
ac
ac
ac
又 1 , 1 , 1 成等差数列，2 1 1 a c
即2aacb
c b(a
c)
b a c ac
解：1. an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn) =2pn+p+q
4.2.1等差数列的概念课件(第二课时).pptx.
D.10
3.在等差数列{an }中，若 a5＝6，a8＝15，则 a14 等于( B )
A.32
B.33
C.－33
D.29
30
4.在等差数列{an }中，已知 a2＋2a8＋a14＝120，则 2a9－a10 =_____.
跟踪练习
5.在数列an 中a1 1, an an1 4, 则a10
中项？并找到它们满足的规律？
6 10 4 12 2 14
8
2
2
2
一般地，对于任一等差 数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 ,..., 有
a3 a5 a2 a6 a1 a 7
a4
2
2
2
即有 a3 a5 a2 a6 a1 a7 2a4
a10 220 5%, 220 10d 11,
由
即
解得19 d 20 .9,
a11 220 5%. 220 11d 11.
所以, d的取值范围为 19 d 20 .9.
例题小结
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘
客需要支付1.2元.
所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
等差数列第二课时PPT课件
61cm, 68cm, 75cm, 82cm, 89cm, 96cm, 103cm.
等差中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等差数列：
（1）2 ，3 ， 4 （3）-12， -6 ，0
（2）-1，2 ，5 （4）0， 0 ，0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
(5) 若 a1 a2 a5 30
a6 a7 a10 80
求 a11 a12 a15
等差数列的图象1
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
等差数列的图象2 10 9 （2）数列：7，4，1，-2，… 8
7
●
6
5
4
●
3
2●Biblioteka 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
等差数列的图象3
10 9 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 8
7 6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
4-2-2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)
当m=n时，公式变化？ 反之如何证明？
性质2（. 1）若等差数列的项数为2n，则
S2n n
an an1
， S偶
S奇
nd，
S偶 S奇
an1 . an
（2）若等差数列的项数为2n 1，则
S2n1
2n 1 an1， S偶 S奇 an1，
S偶 n . S奇 n 1
解:
当n=1时，a1
S1
12
1 2
1
3 2
当n≥2时，
an
Sn
Sn1
n2
1 2
n
[(n
1) 2
1 2
(n 1)]
2n
1 2
①
当n=1时也满足①式.
数列{an}的通项公式为an
2n
1 2
,
an an1 2.
由此可知,数列{an}是以
3 2
为首项，公差为2的等差数列.
变式训练
分
已知数列{an}的前n项和为Sn
为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )
A． 28
B．29
C．30
D．31
（1）若r=0，则这个数列一定是等差数列. an 2 pn (q p)
（2）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
an
p q r 2 pn (q
p)
(n 1) (n 1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
常数项为0 的关于n的
结论：数列是等差数列等价于 Sn An2 Bn
二次型函数
当A 0即d 0时, Sn是关于n的二次函数式,即Sn An2 Bn的图象是
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4. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40 2 2 提示： d=5, 300< an=78+5n <500 44 n 84 5 5 n=45，46，…，84
3 ① 2，_____, 4 2 ② -1，____, 5
③
-6 -12，____,0
等差中项的定义：
如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b 的等差中项：
ab A 2
或 2A＝a+b
注：在一个等差数列中，从第2项起，每一项 （有穷数列的末项除外）都是它的前一项与 后一项的等差中项.
如：①1，3，5，7，9，11，…… ∴2×5＝3+7； 2×9＝7+11 。。。。
由此得到：
an a1 (n 1)d .
（通项公式）
结论：若一个等差数列{an}，它的首项为
公差是d，那么这个数列的通项公式是：
a1 ，
an a1 (n 1)d
an＝am+(n-m)d
an am d nm
已知数列的通项公式为an=An+B，其中A,B是 常数，那么这个数列一定是等差数列,首项 A+B , 公差 A.
2a1 ( m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
am an a p aq
m n p q
2a1 ( p q 2)d
例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 分析： a3+a11 =a6+a8 =2 a7，又已知 a3=5， ∴ a6+a7+a8= 3 a7=15 (3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. 分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ① 又 a4a7=187 ② ， a4= 17 a4= 11 a7= 11
2.2.1 等差数列
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常
用字母d表示。
定义式：
an1 an d 或an an 1 d
如果一个数列
a1 , a2 பைடு நூலகம் a3 , … an , …，
a+d
a-3d , a-d , a+d , a+3d
四个数怎么设？
P3911 等差数列的性质 例2. 在等差数列 a n 中， d 为公差，若 m, n, p, q N 且 m n p q 求证： a m a n a p a q 证明： 设首项为 a1 ，则 am an a1 ( m 1)d a1 ( n 1)d
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象1
●
●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
d=2
an 2n （n Z ) 4
●
●
1
●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
d=-3
●
an 3n - 10(n Z )
②等差数列： a1，a2，a3，…an-1，an， an+1…
即： 2an an1 an1
结论：等差数列{a n }中，任意连续的三项 a n1 , a n , a n1 都有：a n a n 1 a n 1 . 2
思考题:已知三个数成等差数列的和 是12，积是48，求这三个数.
判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出公差
(1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，… （2）数列：7，4，1，-2，… （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
d=2
d=-3
d=0
d 0 递增数列
d 0 递减数列
d 0 常数列
如果我们从函数的角 度去研究，那么公差 d是什么？它的几何 意义是什么?
解 : 设这三个数为 a d , a , a d . a d a a d 12 设数技巧 a d a a d 48 已知三个数成等差 a 4 a 4 数列，常利用对称性 或 设三数为：a-d , a , d 2 d 2
的通项公式为
an a1 (n 1)d
分析2：根据等差数列的定义：
a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d
（） 1
（2）
（3 ）
（n 1 ）
*
an an 1 d
将上面 n 1 个等式相加得：
an a1 (n 1)d ，n N
或
解 ①、 ② 得
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
a7= 17
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an= - 4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
由此可知，等差数列
a
n
a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
●
1
2
3
4
●
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象3
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
d=0
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
an 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的性质：
1、等差中项
在下列两数之间插入一个什么数，使三 数成等差数列。它和前后两数之间有什么 关系？
a101=154
d= -1, ap+q =0
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27 3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6