高中数学必修四第一章复习课

第一种变换:
>0
)
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或

0 ) 平移| | 个单位
y sin(x )
1
倍
横坐标伸长( 0 1 )或缩短(
纵坐标不变
1 )到原来的
y sin(x )
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
第一章
三角函数复习
（1.1.1）知识小结
y
1、角的概念的推广
的终边
正角
(,)
的终边
2、在坐标系中讨论角 3、终边相同的角
o
x 零角
负角
象限角
结论：所有与α终边相同的角的集合： S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
练习：
1、写出终边落在y轴上的角的集合。
解：在0°～360°范围内,在终边在ｙ轴上的角有两个,90°,270° ∴与90°角终边相同的角构成的集合
1、 弧度的定义：我们把等于半径长的圆弧所对
的圆心角叫做1弧度的角。
︱ α︱ =
2、弧度与角度的换算: 360°= 2π rad π 1°= —— rad
180
l r
180°= π rad
3、弧长公式： 扇形面积公式：
l r
180 1rad =（——）° π
1 1 2 S lr r 2 2
练习8:
已知函数
y sin x 2 sin x cos x 3 cos x, x R,
2 2
求：⑴函数的最小正周期；
⑵函数的单增区间； ⑶函数的最大值 及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数
y 2 sin 2x, x R
的图象经过怎样的变换得到。
解：y sin x 2sin x cos x 3cos x

A
3 3 3 4 A. B. C . D. 5 5 5 5
（1.4）知识小结
1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y
y=cosx
1
y o
2
图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性
1


2 -1
o
2

3 2
2 x

2 -1

3 2
2 x
R [-1，1] T=2
0
sin( k 360 ) sin
0
tan( k 360 )
0
tan
4、三角函数线
y
y P A T x O y
T M
T
P
M O
M A x
y
M
A x
O P
A x
O
P
练习 已知角
的终边过点 P12,5 ，
求
的三个三角函数值.
12 2 52
13
2 +2k， 2k 3 3
k Z
2 、 求下列函数的定义域: y cos( x ) 6 y y=cosx
2
2
2
2
2
1 2
O -1
2
2
2
2
2
x
2
1.5、函数 y A sin(x ) 的图象（A>0,
8 1 2 2 2 2 解：由sin cos 1得 cos 1 sin 1 9 3
又是第二象限角， cos 0
2 2 cos 3
2
1 sin 2 3 t an cos 4 2 2 3
例2、已知t an 2，求下面式子的值。
2 cos cos 方法1 : 将 sin 2 cos 代入原式 4 cos 2 cos 2
2 2 cos2 3 3 cos2
sin cos sin 2 cos2
sin cos 2 2 cos 方法2 : 分子分母同除以 cos 原式 sin 2 cos2 2 cos cos2
x 12 cos r 13
解：由已知可得：
r x2 y2
y 5 于是， sin r 13
tan y 5 x 12
（1.2.2）知识小结
1.同角三角函数的基本关系
sin cos 1
2 2
sin tan cos
1 例1、已知 sin ，并且 是第二象限角，求 cos , tan 的值。 3
• • • •
2.如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是 第几象限的角？
90°＋k· 360°<α<180°＋k· 360°
180°＋k· 720°<2α<360°＋k· 720°
2α为第三或第四象限角 45°＋k· 180°<α/2<90°＋k· 180° α/2为第一或第三象限角
（1.1.2）知识小结
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
化简：
cos 2 1 sin 2 cos 2 ; 5 sin 2
cos 2 sin cos 1 原式= sin 2
注：1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要
熟记。
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360
°
弧 度
π 0 6
π 4
π 3
π 2
π
3π 2
2π
2、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省 略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。
诱导公式四
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
sin( ) x cos sin( ) cos 2 2 cos( ) y sin cos( ) sin 2 2
tan 2 2 2 2 tan 1 2 - 1 3
（1.3）知识小结
一.六个诱导公式
诱导公式一
sin( 2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan(2k ) tan 。
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
2 2
1 sin 2 x 2cos x
2
1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin(2 x
思考2：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何 表示？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：S={α|α=90°＋k· 180°, k∈Z}.
思考3：第一、二、三、四象限的角的集合 分别如何表示？
• • • • 第一象限： S={α|k· 360°<α<90°＋k· 360°,k∈Z}； 第二象限： S={α|90°＋k· 360°<α<180°+k· 360°， k∈Z}； 第三象限： S={α | 180°＋k· 360°<α< 270°＋ k· 360°，k∈Z}； 第四象限： S={α | 270°＋k· 360°<α<360 ° +k· 360°，k∈Z}.
3、 将函数y sin x的图象作如下哪种变换, 可得 1 函数y sin( x )的图象 ( D ) 2 3 ( A)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不 变 ), 再向右平移 个单位. 3 ( B )先把各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不 变 ), 再向右平移 个单位 . 3 (C )先向右平移 个单位 , 再使所有点的横坐标缩短 3 到原来的一半(纵坐标不变 ). ( D )先向右平移 个单位 , 再使所有点的横坐标伸长 3 到原来的两倍(纵坐标不变 ).
R


[-1，1] T=2

奇函数
,2k ]增函数 质 单调性 2 2 3 [2k ,2k ]减函数 2 2
[2k

偶函数
[2k ,2k ]增函数 [2k ,2k ]减函数
2、正切函数的图象与性质 y=tanx
y 图 象
3 2

练习：
1. 将67.5°转化为弧度。 2.将 转化为角度。
3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心 角的弧度数是( C ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4
解析
设扇形半径为 r，中心角弧度数为 α，
r＝1 r＝2 ，∴ 或 . α＝4 α＝1
2r＋αr＝6 则由题意得1 2 2αr ＝2
第二种变换：
横坐标不变
y A sin(x )
1
倍
y sin x
横坐标伸长(0 1 )或缩短(
图象向左(
向右( 纵坐标不变 0 )或
1 )到原来的
y sin x

0 ) 平移 | | 个单位

y sin(x )
y A sin(x )
sin = sin cos cos
练习：
1 1、已知 sin( ) , ( ,0), 2 3 2 则 tan 2 2
2、 sin ( x) sin ( x) 3 6
2 2


1
4 在 第 四 象 限cos ， ( ) 2 5 3 则sin ( )的 值 是 2
O
2700+k∙3600
｛偶数｝∪｛奇数｝＝｛整数｝
思考1：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴 正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：{α|α= k·360°，k∈Z} ； x轴负半轴：{α|α= 180°＋k· 360°,k∈Z }； y轴正半轴：{α|α = 90°＋k· 360°,k∈Z} ； y轴负半轴：{α|α = 270°＋k· 360°,k∈Z} .
o
2
2

3 2
x
定义域
{x | xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k
R

2
, k N}
值域
周期性 奇偶性
T
奇函数
单调性
(k

, k )( k Z ) 2 2

练习6：
1、 求解不等式
y
1
sin x ³
y sin x
3 . 2
y = 3 2
O
3
p 2
2 3
π
3p 2
2π x
-1
S1={β| β=90 ° +K∙360 °,K∈Z}
∴与270°角终边相同的角构成的集合 S2={β| β=270 ° +K∙360 °,K∈Z}
900+K∙3600 Y X
={β| β=90 ° +180 ° +2K∙180 °,K∈Z}
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2={β| β=90 ° +2K∙180 °,K∈Z} ∪{β| β=90 ° +（2K+1）180 ° ，K∈Z} ={β| β=90 ° +K∙180 ° ，K∈Z}
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
横坐标不变
【0， 】 3、函数y=3sin(2x+ 6 )(x∈ ) 3
的值域是____________。
3 [ , 3] 2
练习7：
1、将函数 y= sin2x 的图象向左平移 π/ 6 得到的曲线 对应的解析式为（ ） C A. y=sin(2x+π/6) B. y=sin(2x－π/6) C. y=sin(2x+π/3) D. y=sin(2x－π/3) 2、要得到函数 y = cos3x 的图象, 只需将函数 y = cos (3x－π/ 6) 的图象（ ） A.向左平移π/ 6个单位 B.向右平移π/6个单位 C C.向左平移π/18个单位 D.向右平移π/18个单位
（1.2.1）知识小结
1、任意角的三角函数定义
y sin a r
sin a
y
x cos a r
cos a
y
y tan a x
tan a
2、任意角的三角函数在各个象限的符号
y
+
+
–
x
+
–
x
+
–
o
–
–
o
+
+
o
–
x
3、终边相同的角的三角函数值 （公式一）：
cos( k 360 ) cos