电磁场与电磁波 第 版 部分习题参考解答

4.1 证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程222210E

E c t

∂∇−∂G =G ，其中

2

00

1c με=

，为常数。(1) 0E 0cos()x E e E t z c ωω=−G G ；(2) 0sin()cos()x E e E z t c ωω=G G ； (3) 0cos()y E e E t z c

ω

ω=+G G 。

证：(1) 22

2

002cos()cos()x x E e E t z e E t z c

z c ωωωω∂∇=∇−=−∂G G G

20()cos()x e E t c c

z ω

ωω=−−G

2

22

0022cos()cos()x x E e E t z e E t z t t c c

ωωωωω∂∂=−=−∂∂G

G G − 22220022211()cos()cos()0x x E E e E t z e E t z c t c c c c ω

ωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−−−=⎢⎥∂⎣⎦

G G G G

即矢量函数0cos()x E e E t z c

ωω=−G G 满足波动方程222210E

E c t ∂∇−=∂G G 。

(2) 22

2002

sin()cos()sin()cos()x x E e E z t e E z t c z c ωωωω∂⎡⎤⎡⎤

∇=∇=⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦

⎣⎦

G G G 20()sin()cos()x e E z c c

t ω

ωω=−G

2

220022sin()cos()sin()cos()x x E e E z t e E z t t t c c ωωωωω∂∂⎡⎤⎡⎤

==−⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦

G

G G 22220022211()sin()cos()sin()cos()0x x E E e E z t e E z t c t c c c c ωωωωωω∂⎡⎤

∇−=−−−=⎢⎥∂⎣⎦

G G G G

即矢量函数0sin()cos()x E e E z t c

ωω=G G 满足波动方程222210E

E c t ∂∇−=∂G G 。

(3) 22

2

002cos()cos()y y E e E t z e E t z c

z c ωωωω∂∇=∇+=+∂G G G

20()cos()y e E t c c

z ω

ωω=−+G

222

0022cos()cos()y y E e E t z e E t z t t c c

ωωωωω∂∂=+=−∂∂G

G G + 22220022211()cos()cos()0y y E E e E t z e E t z c t c c c c ω

ωωωωω∂⎡⎤∇−=−+−−+=⎢⎥∂⎣⎦

G G G G

即矢量函数0cos()y E e E t z c

ωω=+G G 满足波动方程222210E

E c t ∂∇−=∂G G 。

4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度()E r G G

的波动方程为

22

()()0E r E r ωμε∇+=G G G G

已知矢量函数j 0()e k r E r E −⋅=G G G G G ，其中0E G

和k G 是常矢量。试证明()E r G G 满足波动方程

的条件是22

k ωμε=，这里k k =G 。

证：在直角坐标系中x y z r e x e y e z =++G G G G

设x x y y z k e k e k e k =++G G G G z

则()()x x y y z z x y z x y z k r e k e k e k e x e y e z k x k y k z ⋅=++⋅++=++G G G G G G G G

故

j()j 00()e e x y z k x k y k z k r E r E E −++−⋅==G G G G G G j()

2

2j 200222j()

0222j()2222

0()e e

e ()e x y z x y z x y z k x k y k z k r k x k y k z k x k y k z x y z E r E E E x y z k k k E k E r −++−⋅−++−++∇=∇=∇⎛⎞∂∂∂=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠

=−−−=−G G G G G G G G G ()

G

代入方程，得

2

2

()()0E r E r ωμε∇+=G G G G 22

0k E E ωμε−+=G G

故22k ωμε=

4.3 已知无源的空气中的磁场强度为

90.1sin(10π)cos(6π10) A/m y H e x t kz =×G G

− 利用波动方程求常数k 的值。

解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程22002(,)(,)0H r t H r t t με∂∇−=∂G G G G

而

2

29229

(,)[0.1sin(10π)cos(6π10)]

[(10π)]0.1sin(10π)cos(6π10)]

y y H r t e x t kz e k x t ∇=∇×−=−−×−G kz G G

G 2

29

22

929(,)0.1sin(10π)cos(6π10)(6π10)0.1sin(10π)cos(6π10)]

y y H r t e x t kz t t

e x ∂∂=×−∂∂=−××−G G

G G

t kz