磁偶极矩的场和磁标势
电动力学课件33磁多极矩
1 (x )2
f
(x)
2
1 1 (x ) 1 1 (x )2 1
rR
r x0 2
r x0
1 (x ) 1 1 (x )2 1
R
R2
R
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1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
R
R2
R
其中 ( 1 1 1 , aa : bb (a b)2 )
J (x')x'
1
dV '
4
R
处理：
将恒定电流看成许多闭合电流管：
J(x')dV' Idl
电流源的坐标矢量均在流管上面：
利用A全(1微) 分闭合0回路m线积分R为零： 4 R3
dx' dl '
(
x'R)dl '
1 2
(x'dl '
)
R
物理意义：第2项代
表磁偶极炬产生的失
I
势
m
2
r x0
r x0
R
3. 小区域电流分布产生的矢势
A
J (x)dV
4 V r
A(x)
0 4
v
J (x')[
1
R
x'
1 R
1 2!
i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
]dV'
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二、磁多极矩
第1项：
A(0)
(x)
0
J (x')dV '
（1）计算磁炬：
电荷密度
电动力学教学大纲
XX《电动力学》教学大纲课程编号： 3407课程名称:电动力学英文名称:学分／学时:４/64课程性质: 必修适用专业: 应用物理建议开设学期:５先修课程: 电磁学,数学物理方法,场论与复变函数开课单位：物理与光电工程学院一、课程的教学目标与任务(１）理解电磁运动的基本规律，理解电磁场基本性质；（2）获得分析和处理一些电磁基本规律问题的能力；(3)通过学习狭义相对论理论，掌握相对论的时空观及有关的基本理论；(４)为后续课程的学习和独力解决实际问题打下必要的基础。
二、课程具体内容及基本要求（一）引言（4学时）１。
基本要求了解《电动力学》的主要内容、熟悉研究对象等电磁场理论的史2.重点、难点掌握数学知识补充（矢量分析和算符运算）３。
作业及课外学习要求：课后及课本XX中的补充内容,掌握基本的矢量分析及算符运算法则（二)第一章电磁现象的普遍规律（８学时）１.基本要求第一节电荷和电场一、库仑定律(电荷连续分布带电体的电场）二、高斯定理，静电场的散度（矢量场的两个基本性质）三、静电场的旋度第二节电流和磁场一、电荷守恒定律（微分形式和积分形式)二、用毕—萨定律证明磁场旋度和散度公式第三节麦克斯韦方程组一、电磁感应定律二、位移电流三、麦克斯韦方程组四、洛伦兹力公式第四节介质的电磁性质一、极化和磁化的物理图象及描述二、极化强度的散度和磁化强度的旋度三、物质方程四、介质中的方程第五节电磁场的边值关系一、方程的积分形式二、法向分量的跃变三、切向分量的跃变第六节电磁场的能量和能流一、场和电荷系统的能量转化和守恒定律的一般形式二、电磁场能量密度和能流密度表示式三、电磁能量的传输2.重点、难点本章重点:方程及其物理根据，电磁场的边值关系，电磁场能量.难点:电磁场的矢量运算，电磁场及边值关系的物理图像。
３．作业及课外学习要求:课后题的部分内容，掌握电磁场的基本边值关系及方程.（三）第二章静电场（13学时）1.基本要求第一节静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系三、静电场的能量第二节唯一性定理一、静电问题的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理第三节拉普拉斯方程分离变量法一、分离变量法二、边界条件的使用第四节电像法一、电像法的物理原理二、电像法的适用区域第五节格林函数法（选讲)一、点电荷密度二、格林函数三、格林公式和边值问题的解第六节电多极矩一、电势的多极展开二、电多极矩三、电荷体系在外电场中的能量２。
电动力学三三(磁多极矩)
A(1)可写为
(1) A
0 I ' ' 0 m R ( x d l ) R 3 3 4R 2 4R
9
I ' ' 电流线圈的磁矩 m x dl 2
因
' ' Idl JdV
(R 0)
所以
(1) B
0 R (m ) 3 4 R
13
在电流分布以外的空间中，磁场应可以 用标势描述，因此再把上式化为磁标势 的梯度形式。m为常矢量。
(f g) f ( g) (f )g g f (g )f (1) 0 R B (m ) 3 m为常矢量 4 R
������
前面讨论的都是通过求解微分方程，来
得到磁场的分布;
如果电流分布在一个有限的小区域内，
而感兴趣的是远离源区的磁场分布情况，
则将磁场作多极展开而获得。
1
本节研究空间局部范围内的电流分 布所激发的磁场在远处的展开式。与电 多极矩对应，引入磁多极概念，并讨论 这种电流分布在外磁场中的能量问题。
14
磁矩的磁势
(1) m
mR 4R 3
电偶极子的电势
(1) e
p R 4π 0 R 3
也正是根据这一点，我们把一个载流线圈比作 一对正负磁荷组成的磁偶极子。
15
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组 成的磁偶极子,磁偶极矩m=IS由决定。 电流分布区域以外的空间用磁标势m 来描述磁场
x R
P
1 ' ' 得磁矩 m x J ( x' )dV 2
电动力学总结1-3
第一章 电磁现象的普遍规律§1电荷和静电场1.库伦定律（真空中静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力）r r Q Q F 304πε'= ；两种解释：1）超距作用：一个电荷的作用力直接施加于另一电荷；2）场传递：两电荷的作用通过电场传递——实践证明为正确的。
2.电场的描述1).点电荷电场强度30()4F Q r E x Q r πε=='；与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，是一个矢量场——静电场。
2)．场的叠加原理 n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4n ni i i i i iQ r E x E r πε====∑∑。
3).连续分布电荷激发的电场强度()30()4Vx rE x dV rρπε''=⎰3. 高斯定理和散度 1)0SQ E dS ε⋅=⎰；微分形式： 0E ρε∇⋅=2)旋度()01SVV E d S E d V x d V ρε'⋅=∇⋅=⎰⎰⎰⇒0E ρε∇⋅=。
4. 静电场的旋度(场的环流性质） 由环路定理()0LSE dl E dS ⋅=∇⨯⋅=⎰⎰⇒0E ∇⨯=§2.电流和静磁场1.电荷守恒定律1）电流强度和电流密度（矢量）I ：单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）；Q I t=∆；若是一个小面元，则用dI 表示，dQdI t=∆J：方向：沿导体内一点电荷流动方向；大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
cos dQ J tdS θ=∆ c o s dIJ dS θ=，cos J dI J dS J dS θ==⋅I 与J 的关系 S S I dI J dS ==⋅⎰⎰，2）电荷守恒的实验定律 积分形式： SVJ dS dV t ρ∂⋅=-∂⎰⎰；微分形式： 0J tρ∂∇⋅+=∂（恒定电流：0=∙∇J ）2.毕—萨定律闭合导线：034L Idl r B r μπ⨯=⎰；闭合导体: 034VJ rB dV r μπ⨯=⎰3.安培环路定理和磁场的旋度 1)环路定理0LB d l I μ⋅=⎰（SI J dS =⋅⎰为L 中所环连的电流强度()J J x =）。
电动力学 郭硕鸿 第三版 第15次课(磁多极矩)
R R3
2
1 R
=0,
(R 0)
B(1) 0 (m ) R
4
R3
在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，
因此再把上式化为磁标势的梯度形式。m为常矢量。
B(1)
0 4
(m )
R R3
R
R
R
R
(m ) m ( ) (m ) (m )
R3
R3
R3
R3
( f g) f ( g) ( f )g g ( f ) (g ) f
m I S
A(1) (x)表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，
一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。
2．磁偶极矩的场和磁标势 由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
A1
0m R 4 R3
B(1)
A(1)
0 4
(m
R R3
)
0 4
(
R R3
)m
(m
)
R R3
因为 所以
( f g) (g ) f ( g) f ( f )g ( f )g
A(1)
0 I 4 R3
1 2
(x'
dl
')
R
0 4 R3
I 2
(x' dl ' ) R
0m R 4 R3
m I x' dl ' 电流线圈的磁矩
2
Idl ' JdV '
得磁矩
m 1 x' J (x ')dV ' 2
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S ，有
dl
O x'
S 1 x' dl ' 2
磁偶极矩
磁偶极矩(magnetic moment )房增科（2007-11-20）1定义]1[载流平面线圈的电流强度I 和线圈面积S 的乘积叫做载流线圈的磁矩。
用m表示线圈的磁矩，n表示线圈平面法线方向的单位矢量，则n IS m=。
（1）磁矩是一个矢量，它的方向与线圈平面法线方向一致。
载流线圈的磁矩一般计算方法为⎰⨯=l d r I m 21（2）2磁偶极矩产生的场和磁标势（1）利用磁势法来求解]2[如图1所示，建立坐标系，与x 轴对称的两个电流元Idl 在考察点()0,,θr P 产生的合成矢位只有ϕ分量。
则该环形电流 所产生的矢势为θππμϕϕϕsin 4220rI a e e =A =A （3）考虑到2a I e S I m z π ==得r m r e m A r 144020∇⨯-=⨯=πμπμ （4）则磁偶极子m产生的磁感应强度B 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⨯⨯∇-=⨯∇=r m A B 140πμm r r m ϕμπμ∇-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅∇-=0304 （5）其中34rrm m πϕ⋅= 称为磁标势。
（2）利用毕—萨定律来求解]4,3[建立如图3所示直角坐标系，半径为a ，通有稳定电流I 的带电圆环平放在xoy 平面，由对称性可知空间各点的磁感应强度关于Z 轴对称。
若求得在XOZ 平面上的磁场分布就可求得空间任意点的磁感应强度。
设),,(z y x P 为XOZ 平面上任意点在圆环上任一点(P 图 1图 2处的)0,,(y x Q ''取电流元l Id为ϕϕϕd j i a l Id )cos sin (+-= （6）电流元到P 的矢径r为k R j a i a R rθϕϕθcos )sin ()cos sin (+-+-= （7）将这（6）和（7）式代入毕—萨定律得到P 点的磁感应强度kB j B i B Ra a R d k Ra a j Ra i Ra r r l Id B z y x O++=-+-++=⨯=⎰⎰πϕθϕϕθϕθϕθπμπμ202322203)cos sin 2(])cos sin (sin cos cos cos [44 （8）式中的10cos 2A Ra IB x θπμ=，0=y B ，10020sin 22A Ra I A Ia B z θπμπμ-= （9）其中 ⎰-+++++=-+=πϕθϕ2222/122223220)2()2(2)cos sin 2(ax a x z ax a x z ERa a R d A（10）]2[)2(1)cos sin 2(cos 2222222/1222023221E axa x z a x z K ax a x z ax Ra a R d A -+++++-+++=-+=⎰πϕθϕϕ （11） 根据文献[4]最后的计算结果为])([])([22222221220E a x z a x z K a x z x zIB x -++++-⋅++⋅=πμ])([])([122222221220E a x z a x z K a x z I B z -+-+-⋅++⋅=πμ （12）其中E K ,分别为第一，二类完全椭圆积分axa z x axk k k E k k K 24]64341[2]64941[222224242+++=---=+++= ππ(13)对于0A ，我们若忽略4k 及其高级项，则得图3),,(z y x P)0,,y x ''2/32220)(a x z A ++≈π（14）对于1A ，因为2k 项相互抵消，故保留4k 项，忽略6k 及其高级项，得2/12221)(138a x z A ++⋅≈π （15）我们将(14)式和(15)代入（9）式有2/522220)(43a z x xzIa B x ++⋅=μ 2/52222202/322220)(43)(12a z x x Ia a z x Ia B z ++⋅-++⋅=μμ （16）（12）式和（16）式都是我们所求得的载流线圈外任意一点处的磁感应强度。
磁标势法与静电场的比较束缚电荷密度泊松方程边值关系例2求磁化
d
在原点的泰勒展开为：
r
1 1 x 1 1 xx : 1
(B2 B1) (H2 H1)
0
对于 J 0的单H连 通区m域，0
H 0
边值关系：
m1 S m2 S
2
m 2
n
S
1
m1
n
S
m
m 磁化面电荷密度
m 0 M
m
0nˆ
n S n S
0
m
0nˆ
(M
2
M1)
静磁场的能量
磁场的总能量
W
1 2
B
HdV
能量密度：
1
H
B
2
相互作用能 Wi J AedV
W
1 2
A
JdV
§3.3 磁多极矩
电荷连续分布体的电势：
1
p
1
4 0
V
( x) r
)
pn (cos )
由（3）式 由（4）式
n
cnR0n Pn (cos )
n
bn R0n1
Pn
(cos
)
＝
1 R0
2 R0
(n 1)bn
n
R0n 2
当n=1时，
Pn (cos )
c1R0
b1 R02
2b1 R03
c1
ncn R0n1Pn (cos ) M 0 cos
电动力学三三(磁多极矩)_2023年学习资料
线圈运动时，若保-持电流和不变，-则磁能的改变为-6y=2u80.+1.0y-由于磁通量改变，在线圈上产生 应电动势，它-对电流作功，就会改变和的值。为了保持和-不变，必须由电源提供能量，以抵抗感应电动势-所作的功 在线圈L和Le上的感应电动势分别为-dΦ -￡=-e=-dt-21
oW=2I0.+1,0-在时间6内感应电动势所作的功为-aH&+6eI&=-I还。-Ie西-电源为抵抗此感 电动势必须提供能量-δ W=IΦ 。+I6Φ =2δ W-在这样的条件下才能保持和。不变。-因此总磁场能-量的改变 于相互作用磁能的改变6W
=0ae发r+vR-第二项为-"=-Jirv是av-先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流-为I,有-f 如于是
A=-在被积式中，刊8为固定矢量，与积分变量无关。-X为线圈上各点的坐标，因此-dx dl-利用全微分绕闭 回路的线积分等于零-0=手（元·RE1=f在·Rdl'+fa'·R
A四=-是0-则有-f6r.Ri-于xRan-aiiF-c×axb=eb五-eab-A1可写为-ex床-" 于exax及-Lom x R-4R3-电流线圈的电偶极子的电势-D.R-4π enR3-也正是根据这一点，我们把一个载流线圈比 -一对正负磁荷组成的磁偶极子。
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组-成的磁偶极子，磁偶极矩F么S由决定。-电流分布区域以外的空间用磁标势 m-来描述磁场-一个任意电流线圈可以看作-由它所围的一个曲面S上许-多小电流线圈组合而成，因此-m=1fd -它的总磁偶极矩为-16
现在体系包括有相互作用的三个方面：外电-源，电磁场，以及两个线圈上的电流。必须把-这三个方面包括在内，才能 用能量守恒定律。-设线圈移动时场对它作功6A。能量守恒要求：-电源提供的能量6W应等于总磁能的改变6W加对线圈所作的功6A:-ow,oW +a-23
【电动力学课件】3-2-3 磁标势-磁多极矩
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS ,
L S
其中L为S的边界。如果回路L连环着电流，即 有电流穿过L所围曲面S，则
∫ H ⋅ dl ≠ 0,
L
2
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，因而 不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守场相 似，即在求解区域内
∫ H ⋅ dl = 0,
µ1
µ2
∆l
n
ϕ m1
h
H1
ϕm2
H2
n ⋅ ( H 2 + M 2 ) = n ⋅ ( H1 + M1 )
σm ∂ϕ m1 ∂ϕ m 2 − = n ⋅ ( M1 − M 2 ) = ∂n ∂n µ0
σ m = µ 0 n ⋅ ( M1 − M 2 ) 为（束缚）磁荷面密度
9
对于线性介质： B = µH
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
∫ H ⋅ dl = 0,
L
3
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标 势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入 磁标势。
4
例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁场， 在这个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的， 没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至在空 间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。 总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条件是 该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说 该区域是没有自由电流分布的单连通区域。
13
(n + 1)b n n −1 = − P (cos θ ) na R ∑ ∑ n n 0 Pn (cos θ ) + M 0 P 1 (cos θ ) n+2 R0 n n
普通物探_第2-1节_磁法勘探的理论基础
• 磁极间的相互作用力是通过磁场传递的，磁场是磁 力作用的物质空间，在磁量为 qm 的点磁极的磁场 中，单位磁荷 qm0 在场中某一点所受的力就是该点 的磁场强度：
H F qm0
1 qmr
40 r2 r
式中 r 是从源磁荷到场点的矢径。
SI单位制中，磁场强度的单位是安培/米。
（华东）
• 由于磁场强度是一个矢量，而磁场 又是一个矢量场，我们为了描述场 的性质，一般采用磁力线的方法， 形象的表示磁场空间的分布，这种 磁力线处处与磁场强度矢量相切， 其疏密的程度正比于磁场强度。
• 人类在对磁性的来源及其本质取得正确认识之前， 根据静磁现象与静电现象的类比引入了“磁荷”的 概念，磁荷也有正负，“正磁荷”聚集在N极， “负磁荷”聚集在S极，描述磁荷多少的概念是
（华东）
磁库仑定律
• 基于磁荷的概念，根据实验结果，建立了与静电库 仑定律类似的磁库仑定律。
磁库仑定律指出：两个点磁极间磁力的大小与它们 磁量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。SI 单位制中，点磁极 qm1 对点磁极 qm2 的作用力为：
F 1 qm1qm2 r12
40 r122 r12 式中 qm1 和 qm2 分别表示两个磁极的磁量，r12 为从 qm1 到 qm2 的矢径，r12 = |r12|，常数0=4πx10-7N/A2。
（华东）
磁场强度
SI单位制规定：真空中两个磁量相等的磁荷相距1m 时，如果其间的相互作用力为4πx10-7牛顿，则它们 的磁量各为1单位磁量，磁量的单位是韦伯。
（华东）
磁法勘探的发展简史
– 1936年，前苏联人阿.阿.罗加乔夫试制成感应式航空 磁力仪，使磁法工作进入了一个新的阶段；
– 50年代末和80年代初，苏联和美国又相继把质子旋 进式磁力仪移装于船上，开展了海上海洋磁测。
恒稳磁场的矢势和磁多极矩
恒稳磁场的矢势和磁多极距Part 1. 矢势及其微分方程我们考察恒定电流分布所激发的静磁场。
在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。
磁化电流和磁场是互相制约的。
因此解决这类问题的方法也象解静电学问题一样，即求微分方程边值问题的解。
下面我们先引入磁场的矢势，然后导出矢势所满足的微分方程。
1. 矢势恒定电流磁场的基本方程是（1.1）（1.2）式是J是自由电流密度.（1.1）和（1.2）式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。
磁场的特点和电场不同。
静电场是有源无旋场,电场线从正电荷出发而止于负电荷,静电场线永不闭合。
静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。
由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。
静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。
磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述，但是由于磁场的无源性，我们可以引入，另一个矢量来描述它。
根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）,若则 B 可表为另一矢量的旋度（1.3）A称为磁场的矢势。
为了看出矢势A的意义，我们考察（1.3）的积分形式。
把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得（1.4）式中左边是通过曲面S的磁通量。
由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L有关，而和曲面的具体形状无关。
如图3-1，设S1和S2矢量个共同边界L的曲面，则这正是B的无源性的表示，因为B是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。
这磁通量由矢势A对S1或S2的边界L的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。
只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）至没有直接的物理意义。
由矢势A可以确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A。
电动力学》理论证明集锦
《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。
在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明容，有的是基础理论，但大部分是扩展容。
第一章 电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。
[证明]设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d P M fJ J J J 、、、,由麦克斯韦程之一(安培环路定理)给出)(0d P M f J J J J B +++=⨯∇μ对程两边作任意闭合曲面积分，得)()()(00d P M f Sd P M f SI I I I S d J J J J S d B +++=⋅+++=⋅⨯∇⎰⎰μμ即给出总电流为⎰⎰∑⨯∇⋅∇=⋅⨯∇=+++=VSd P M fdVB S d B I I I II )(1)(1μμ因为矢量场的旋度无散度:0)(=⨯∇⋅∇B，故 0∑=I--------------------------------------2. 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3R R m A ⨯=的旋度等于标量3R R m ⋅=ϕ的负梯度，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，向由原点指向场点。
[证明]在0≠R 的条件下，有)1(R m A ∇⨯⨯-∇=⨯∇R m R m m R m R 1)(1)()1()1(∇⋅∇+∇∇⋅+∇⋅∇-∇⋅∇-=R m 1)(∇∇⋅=另一面)1(R m ∇⋅-∇=∇ϕmR m R R m R m)1()(11)()1(∇⋅∇-⨯∇⨯∇-∇∇⋅-∇⨯∇⨯-=R m 1)(∇∇⋅-=经比较以上两式的右边，便可给出ϕ-∇=⨯∇A的答案。
注释:本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩P 激发的电势：3041R R P ⋅=πεϕ；（2）磁偶极矩m产生的磁标势：341R R m m ⋅=πϕ； （3）磁偶极矩m产生的磁矢势：304R Rm A ⨯=πμ。
Magnetic field analysis for magnetic dipoles
Magnetic field analysis for magneticdipoles磁偶极子的磁场分析磁偶极子是一种常见的物理现象，它是由两个相等而相反的磁单极子组成的系统。
在物理学中，我们经常需要对磁偶极子的磁场进行分析和计算。
本文将探讨磁偶极子的磁场分析，并介绍一些相关的理论和应用。
首先，我们来看一下磁偶极子的定义和性质。
磁偶极子可以看作是一个有两个磁单极子的系统，这两个磁单极子的磁矩大小相等，方向相反。
磁偶极子的磁矩可以表示为m = m0l，其中m0是磁矩的大小，l是磁矩的方向。
磁偶极子的磁矩方向通常被定义为从南极指向北极。
接下来，我们来研究磁偶极子的磁场分布。
根据电磁学的基本原理，磁偶极子在空间中产生的磁场可以用磁标势和磁矢势来描述。
磁标势是一个标量场，可以表示为V = (μ0/4π) * (m · r) / r^3，其中μ0是真空中的磁导率，m是磁偶极子的磁矩，r是观察点到磁偶极子的距离。
磁矢势是一个矢量场，可以表示为A = (μ0/4π) *(3(m · r)r - m * r^2) / r^5。
根据这两个场的定义，我们可以通过它们的梯度来计算磁场。
磁场的计算可以通过对磁标势和磁矢势取梯度得到。
磁标势的梯度可以表示为B = ∇ × A，其中∇是梯度算子，×表示向量叉乘。
通过对磁标势和磁矢势的梯度进行计算，我们可以得到磁场的表达式。
对于一个位于原点的磁偶极子，其磁场的表达式可以写为B = (μ0/4π) * (3(m · r)r - m * r^2) / r^5。
现在，我们来讨论一些磁偶极子的应用。
磁偶极子的磁场分布在许多领域都有重要的应用。
在物理学中，磁偶极子的磁场分布可以用于解释和分析磁性材料的性质。
在工程领域中，磁偶极子的磁场分布可以用于设计和优化磁体和电机等设备。
在医学领域中，磁偶极子的磁场分布可以用于磁共振成像（MRI）等医学诊断技术。
第三章 静磁场-3
2、磁偶子项
A(1)(x) 0 J (x)x 1 dV
4
R
(3.4)
一个闭合电流管就相当于一个线圈，设线圈中有电流I， J(x′)dV′=Idl′
A(1) (x) 0I
4
(x 1 ) dl 0I
R
4
x
R R3
dl
(3.5)
一、矢势的多级展开
场点P一旦选定， R 就是一个恒矢量，与积分变量无关。
Be(0)]
m
Be(0)
i
I
i
dS [x
S
Be(0)]
W (1) m Be (0)
(3.16)
与电偶极子在外电场中的能量公式比较
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
We(1) p Ee
负号说明，电场力矩的作用使pe转到外电场的方向上。
在 We(1) pe Ee 中的负号说明，电场力对电偶极 子做功，相互作用能要减少。
W
1 2
(Ie
I e)
(3.18)
其中Φ是线圈L上的电流I 产生的磁场对Le的磁通量；
Φe是线圈Le上的电流Ie产生的磁场对L的磁通量。
我们把Φ和Φe叫做互感磁通.
E
d e dt
,Ee
d dt
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
E与Ee的出现，将导致L 和Le 中的电流发生改变， 要想保持I 和Ie 不变，必须由电源提供能量，以抵抗 感应电动势所作的功。
在δt 时间内感应电动势所作的功为
EI
t
EeIe
t
I
d e dt
t
Ie
d
dt
t
I
e
Ie
三、小区域内电流分布在外磁场中的能量
磁偶极子在空间的磁标势
磁偶极子在空间的磁标势
磁偶极子在空间中的磁标势可以通过麦克斯韦方程组求得。
其中，磁场的散度为零，即：
∇·B=0
这意味着磁场B在空间中不存在源，因此它必须是由磁矢势A产生的。
根据磁场的定义，磁矢势可以表示为：
B=∇×A
其中，∇表示空间中的梯度运算符，这个表达式告诉我们，磁场的旋度与磁矢势的梯度成正比。
因此，我们可以得到磁矢势的表达式为：
A=(μ/4π)∫(JdV)/r
其中，μ是真空磁导率，J是磁偶极子的电流密度，dV是空间中的一个体积元，r是磁偶极子到空间中某点的距离。
该积分表示对空间中所有的电流密度积分，并将其除以距离r来计算磁矢势A。
对于一个磁偶极子，它的电流密度可以表示为：
J=m×δ(r)
其中，m是磁偶极矩，δ(r)是狄拉克函数。
狄拉克函数表示在r=0时的电流密度是一个无限大的脉冲。
代入到磁矢势的公式中，我们可以得到：
A=(μ/4π)∫(m×δ(r)dV)/r
该积分可以通过磁偶极子的几何形状来求解。
对于一个长为l、宽为w、高为h的长方体磁偶极子，其磁矢势
为：
A=(μ/4π)m[2lw/(l^2+w^2)^(3/2)+2lh/(l^2+h^2)^(3/2)+2wh /(w^2+h^2)^(3/2)]
其中，m是磁偶极矩。
这个公式可以通过对长方体的面积元进行积分得到。
在实际应用中，可以通过数值计算来求解该积分。
以上就是磁偶极子在空间中的磁标势的计算方法。
磁偶极子在磁场中的运动以及相互作用等问题也可以通过麦克斯韦方程组进行分析。
磁偶极子p点处的磁位的推导
磁偶极子p点处的磁位的推导在学习电磁学基础中，磁偶极子是一个比较重要的概念。
磁偶极子P点处的磁位是计算磁场的重要工具，下面将详细介绍磁偶极子P点处的磁位的推导。
一、定义磁偶极子磁偶极子是指一个磁场的分布具有对称性，并且在该分布的中心线上有一个点被称为“磁偶极子P点”。
在P点处，磁场由该点北极和南极构成，被称为磁偶极子磁场。
二、定义磁位势在电磁场中，磁场和电场是相互关联的，因此在研究磁场时同样有一个概念——磁位势。
磁位势是一种标量场，用A(r)表示，定义为在某点处单位磁单极子在该点产生的力场中的作用。
三、计算磁偶极子P点处的磁位1. 定义磁偶极子磁矩磁偶极子的磁矩是指一个磁偶极子的磁场的空间分布与偶极矩m的大小、方向有关，m的方向和磁场的轴线方向垂直，大小为2m，其中m可以表示为磁偶极子面积与磁易化系数的乘积。
2. 计算磁场根据磁场强度的定义，磁场强度H在任意点P处可以表示为：H(r) = (3μ0m·(r-r')·(r-r')·n) / 4π|r-r'|^5其中，μ0为真空磁导率，r'代表磁偶极子的位置矢量，n为单位矢量，其方向指向从磁偶极子指向P点的方向矢量，r为观测点到磁偶极子位置矢量。
3. 计算磁位根据磁位势的定义，磁位A(r)在任意点P处可以表示为：A(r) = (μ0m·n) / 4π|r-r'|其中，r和r'的含义和上文一致。
综上所述，我们可以得到磁偶极子P点处的磁位的计算公式。
该公式可以帮助我们准确地计算出磁偶极子P点处的磁位，为研究磁场的分布提供了重要的数据支持。
磁偶极矩的
磁偶极矩的
磁偶极矩，或称为磁偶极子，是磁学中一种特殊的现象，它指的是在受到外界磁场作用时，一个磁性物体内产生两个强烈的磁质，而这两个磁质的磁力线恰好相互相反，互不相抵消。
当磁场强度越大时，磁性物体的磁力也越大，磁性反应会增强。
磁力线分两种，即正磁力线和负磁力线，这两种磁力线各自形成一个磁力场，交叉点就是磁偶极矩。
磁偶极矩是由这两种磁力线组成的，它不仅具有两个磁力线的特性，而且可以极大地增强外界磁场的作用力。
磁偶极矩最典型的示例就是大家常见的台灯，在台灯上都有一个磁偶极矩。
台灯的磁偶极矩由两个磁铁组成，一个正磁铁，一个负磁铁。
正磁铁由南极面拱着中心部分，而负磁铁则由北极面拱着中心部分，这样就形成了一个磁偶极矩。
磁偶极矩的作用是使外界的磁场经由它而加强，我们可以在磁偶极矩的外部所看到的磁场强度比受磁体本身所受磁场更强。
磁偶极矩也可以用来生成电流，利用变磁力原理，把台灯的磁偶极矩绕上铜线，然后再绕上线圈，就可以产生电流。
另外，磁偶极矩也能用来控制磁性物体，由于它具备两个磁力线的作用，所以可以改变一个磁性物体的磁性活动，达到控制磁性物体的目的。
磁偶极矩的运用非常的广泛，在科学研究和实用方面都有着重要的意义，机械、电子、航空航天等都用到它，其中最重要的就是可以
用它来发电。
综上所述，磁偶极矩是一个重要的物理现象，它把动能转化为电能，或控制磁性物体，起到了重要的作用。
它为磁学的发展起到了重要的作用，并且在当今的社会中也发挥了重要的作用。
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给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
v v' v v µ0 J ( x ) ' A( x ) = ∫ r dV 4π V
矢势的多级展开式：
' v v µ0 v v ' 1 v 1 1 ∂2 1 A( x ) = ∫ J ( x ) R − x′ ⋅∇ R + 2! ∑ xi ' x j ' ∂xi ∂x j R + ... dV 4π V ij
代入，得
v R 2 1 Q ∇ ⋅ 3 = −∇ =0 R R
v (1) ∴B v µ 0 2 1 v v R = −∇ R m − ( m ⋅∇ ) R 3 4π
即
v v(1) µ0 v R B = − (m⋅ ∇) 3 4π R
在电流分布以外的空间中，磁场可以用标势来表示
无旋性
磁偶极矩的磁感应强度
u (1) r B = −µ0∇ϕm(1)
v v m⋅ R ϕm(1) = 4π R3
磁偶极矩的磁标势
联系之前电偶极矩的电势，将两者公式进行比较
电偶极势
ϕ
(1 )
ur ur p⋅R = 4π ε 0 R 3
v v m ⋅R = 4π R 3
磁偶极势
ϕ m (1 )
由上两式可知，磁偶极势与电偶极势相似。一个小电流线圈可以看 v ur u r m由 m = I ∆ S 确 作由一对正负磁荷组成的磁偶极子，其磁偶极矩 定。在电流分布区域以外的空间可以用磁标势 ϕ m 来描述磁场，这 点是和上节所讨论的一般理论相符的。
r (1) H =−∇ϕm(1)
根据附录Ⅰ.23，有 Ⅰ
r r r r r r r r r r ∇( f ⋅ g) = f ×(∇× g) + ( f ⋅ ∇)g + g ×(∇× f ) + (g ⋅ ∇) f
则有如下公式导：
v v v v v R R R R R v v v v ∇(m⋅ 3 ) = m×(∇× 3 ) + (m⋅∇) 3 + 3 ×(∇×m) + ( 3 ⋅∇)m R R R R R v v v R R R v v v = m×(∇× 3 ) + (m⋅∇) 3 = (m⋅∇) 3 R R R
一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S上许多小 电流线圈组合而成
总磁偶极矩
ur u r m = I∫dS
S
设S1和S2为两个以该线圈为边界的曲面，则S1和－S2合起来 为闭合曲面S
S1
电流线圈
S2
-S2
r r ∫ ds − ∫ d s =
S1 S2
r ∫ ds = 0
r ds
即
∫
S1
r ds =
展开式第一项：
v (0) v µ0 v v A ( x) = ∫ J ( x′)dV ' = 0 4π R V
展开式第二项：
v (1) µ0 v v v 1 A =− ∫ J ( x′) x′ ⋅∇ R dV ' 4π V v v µ0 m × R = 4π R 3
ur ur B = ∇× A
∫
S2
由此可得对于任意曲面， 的值只与边界有关，对于曲面的选取无关。 m
v
u (0) r u (0) r B = ∇× A = 0
u r u (1) µ r ur R = ∇ × A = 0 ∇ × (m × 3 ) 4π R
u (1) r B
根据附录Ⅰ.22 Ⅰ
r r r r r r r r r r ∇×( f × g) = (g ⋅ ∇) f + (∇⋅ g) f − ( f ⋅ ∇)g − (∇⋅ f )g