磁偶极矩的场和磁标势
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
磁偶极矩的场和磁标势
给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
v v' v v µ0 J ( x ) ' A( x ) = ∫ r dV 4π V
矢势的多级展开式：
' v v µ0 v v ' 1 v 1 1 ∂2 1 A( x ) = ∫ J ( x ) R − x′ ⋅∇ R + 2! ∑ xi ' x j ' ∂xi ∂x j R + ... dV 4π V ij
u (0) r u (0) r B = ∇× A = 0
u r u (1) µ r ur R = ∇ × A = 0 ∇ × (m × 3 ) 4π R
u (1) r B
根据附录Ⅰ.22 Ⅰ
r r r r r r r r r r ∇×( f × g) = (g ⋅ ∇) f + (∇⋅ g) f − ( f ⋅ ∇)g − (∇⋅ f )g
展开式第一项：
v (0) v µ0 v v A ( x) = ∫ J ( x′)dV ' = 0 4π R V
展开式第二项：
v (1) µ0 v v v 1 A =− ∫ J ( x′) x′ ⋅∇ R dV ' 4π V v v µ0 m × R = 4π R 3
ur ur B = ∇× A
代入，得
v R 2 1 Q ∇ ⋅ 3 = −∇ =0 R R
v (1) ∴B v µ 0 2 1 v v R = −∇ R m − ( m ⋅∇ ) R 3 4π
即
v v(1) µ0 v R B = − (m⋅ ∇) 3 4π R
在电流分布以外的空间中，磁场可以用标势来表示
∫
S2
由此可得对于任意曲面， 的值只与边界有关，对于曲面的选取无关。 m
v
r (1) H =−∇ϕm(1)
根据附录Ⅰ.23，有 Ⅰ
r r r r r r r r r r ∇( f ⋅ g) = f ×(∇× g) + ( f ⋅ ∇)g + g ×(∇× f ) + (g ⋅ ∇) f
则有如下公式推导：
v v v v v R R R R R v v v v ∇(m⋅ 3 ) = m×(∇× 3 ) + (m⋅∇) 3 + 3 ×(∇×m) + ( 3 ⋅∇)m R R R R R v v v R R R v v v = m×(∇× 3 ) + (m⋅∇) 3 = (m⋅∇) 3 R R R
无旋性
磁偶极矩的磁感应强度
u (1) r B = −µ0∇ϕm(1)
v v m⋅ R ϕm(1) = 4π R3
磁偶极矩的磁标势
联系之前电偶极矩的电势，将两者公式进行比较
电偶极势
ϕ
(1 )
ur ur p⋅R = 4π ε 0 R 3
v v m ⋅R = 4π R 3
磁偶极势
ϕ m (1 )
由上两式可知，磁偶极势与电偶极势相似。一个小电流线圈可以看 v ur u r m由 m = I ∆ S 确 作由一对正负磁荷组成的磁偶极子，其磁偶极矩 定。在电流分布区域以外的空间可以用磁标势 ϕ m 来描述磁场，这 点是和上节所讨论的一般理论相符的。
一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S上许多小 电流线圈组合而成
总磁偶极矩
ur u r m = I∫dS
S
设S1和S2为两个以该线圈为边界的曲面，则S1和－S2合起来 为闭合曲面S
S1
电流线圈
S2
-S2
r r ∫ ds − ∫ d s =
S1 S2
r ∫ ds = 0
r ds
Βιβλιοθήκη Baidu
即
∫
S1
r ds =
给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
v v' v v µ0 J ( x ) ' A( x ) = ∫ r dV 4π V
矢势的多级展开式：
' v v µ0 v v ' 1 v 1 1 ∂2 1 A( x ) = ∫ J ( x ) R − x′ ⋅∇ R + 2! ∑ xi ' x j ' ∂xi ∂x j R + ... dV 4π V ij
u (0) r u (0) r B = ∇× A = 0
u r u (1) µ r ur R = ∇ × A = 0 ∇ × (m × 3 ) 4π R
u (1) r B
根据附录Ⅰ.22 Ⅰ
r r r r r r r r r r ∇×( f × g) = (g ⋅ ∇) f + (∇⋅ g) f − ( f ⋅ ∇)g − (∇⋅ f )g
展开式第一项：
v (0) v µ0 v v A ( x) = ∫ J ( x′)dV ' = 0 4π R V
展开式第二项：
v (1) µ0 v v v 1 A =− ∫ J ( x′) x′ ⋅∇ R dV ' 4π V v v µ0 m × R = 4π R 3
ur ur B = ∇× A
代入，得
v R 2 1 Q ∇ ⋅ 3 = −∇ =0 R R
v (1) ∴B v µ 0 2 1 v v R = −∇ R m − ( m ⋅∇ ) R 3 4π
即
v v(1) µ0 v R B = − (m⋅ ∇) 3 4π R
在电流分布以外的空间中，磁场可以用标势来表示
∫
S2
由此可得对于任意曲面， 的值只与边界有关，对于曲面的选取无关。 m
v
r (1) H =−∇ϕm(1)
根据附录Ⅰ.23，有 Ⅰ
r r r r r r r r r r ∇( f ⋅ g) = f ×(∇× g) + ( f ⋅ ∇)g + g ×(∇× f ) + (g ⋅ ∇) f
则有如下公式推导：
v v v v v R R R R R v v v v ∇(m⋅ 3 ) = m×(∇× 3 ) + (m⋅∇) 3 + 3 ×(∇×m) + ( 3 ⋅∇)m R R R R R v v v R R R v v v = m×(∇× 3 ) + (m⋅∇) 3 = (m⋅∇) 3 R R R
无旋性
磁偶极矩的磁感应强度
u (1) r B = −µ0∇ϕm(1)
v v m⋅ R ϕm(1) = 4π R3
磁偶极矩的磁标势
联系之前电偶极矩的电势，将两者公式进行比较
电偶极势
ϕ
(1 )
ur ur p⋅R = 4π ε 0 R 3
v v m ⋅R = 4π R 3
磁偶极势
ϕ m (1 )
由上两式可知，磁偶极势与电偶极势相似。一个小电流线圈可以看 v ur u r m由 m = I ∆ S 确 作由一对正负磁荷组成的磁偶极子，其磁偶极矩 定。在电流分布区域以外的空间可以用磁标势 ϕ m 来描述磁场，这 点是和上节所讨论的一般理论相符的。
一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S上许多小 电流线圈组合而成
总磁偶极矩
ur u r m = I∫dS
S
设S1和S2为两个以该线圈为边界的曲面，则S1和－S2合起来 为闭合曲面S
S1
电流线圈
S2
-S2
r r ∫ ds − ∫ d s =
S1 S2
r ∫ ds = 0
r ds
Βιβλιοθήκη Baidu
即
∫
S1
r ds =