重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012)

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(完整版)2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）（2012•重庆）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15 C．20 D．25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由不等式可得，由此解得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选A．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．3．（5分）（2012•重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）A．B．C．D．105考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项．解答：解：的展开式通项公式为T r+1==，令=0，r=4．故展开式中常数项为=，故选B．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：两角和与差的正切函数；根与系数的关系．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选D．点评：本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的图象．专题：计算题．分析：利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．解答：解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．点评：本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；交集及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：先分别画出集合A与集合B表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可解答：解：∵⇔或其表示的平面区域如图，（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π∴A∩B所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和y=均关于y=x对称，故阴影部分面积为圆的面积的一半，即故选：D．点评：本题主要考查了二元不等式表示平面区域的知识和延伸，准确的画出两集合表示的平面区域是解决本题的关键，属基础题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由条件可得a+bi=1+3i，根据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即可求得a+b 的值．解答：解：∵（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，∴a+bi=1+3i，∴a=1，b=3，∴a+b=1+3=4，故答案为4．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．12．（5分）（2012•重庆）=．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法则求得所求式子的值．解答：解：由于====，故答案为：．点评：本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c 的值．解答：解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，又b=3，∴由正弦定理=得：c===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．解答：解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．∴f′（1）=0，∴，∴a=﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0）=令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．解答：解：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3P（ξ=1）=P（A1）+P（）=P（ξ=2）=P（）+P（）== P（（ξ=3）=P（）==ξ的分布列为ξ 1 2 3P期望Eξ=1×+2×+3×=．点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：计算题；转化思想．分析：（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．解答：解：f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）=4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx=2cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx=sin2ωx+1，∵﹣1≤sin2ωx≤1，所以函数y=f（x）的值域是[]（II）因y=sinx在每个区间[]，k∈z上为增函数，令，又ω＞0，所以，解不等式得≤x≤，即f（x）=sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数又有题设f（x）在区间上为增函数所以⊆[，]，对某个k∈z成立，于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．点评：本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；转化思想．分析：（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y 轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．解答：解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB 互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥∴•=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x 2=1，得=（1，0，0），所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值点评：本题考查二面角的求法及点到面距离的求法，点到面的求法一般是作垂线，垂线段的长度即所求，二面角的余弦值的求法有两种，一种是几何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二种方法是现在比较常用的方法向量法，其特征是思维量小，计算量大，作题时对这两种方法要根据题设灵活选用20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．考点：数列与不等式的综合；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据S n+1=a2S n+a1，再写一式，两式相减，即可证得{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立，设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3），即证（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即可证得结论．解答：证明：（Ⅰ）∵S n+1=a2S n+a1，①∴S n+2=a2S n+1+a1，②②﹣①可得：a n+2=a2a n+1∵a2≠0，∴∵S n+1=a2S n+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1∵a2≠0，∴a1=1∴{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3）即证（n≥2）a2=1时，等号成立当﹣1＜a2＜1时，与同为负；当a2＞1时，与同为正；∴a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得∴综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查叠加法的运用，需要一定的基本功，属于中档题．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学(2012年重庆市高考理科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学1.在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ). A ．7 B ．15 C ．20 D ．25B 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ＝1，a 4＝a 1＋3d ＝5，解得a 1＝﹣1，d ＝2，所以S n ＝n 2﹣2n ，S 5＝15，故选B ． 2.不等式121x x -+≤0的解集为( ).A ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪[1，＋∞)D ．1,-2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[1，＋∞)A 不等式可化为(1)(21)0,210,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解不等式组得﹣12<x ≤1，故选A ． 3.对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ). A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心C 直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，而02＋12<2，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＝2内部，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2相交且直线不经过圆心，故选C ．4.8的展开式中常数项为( ). A ．3516B ．358C ．354D ．105B 二项式8的通项为T r ＋1＝8C r8﹣r ﹣r ＝2﹣r 8228C rr x -，令822r -＝0得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2﹣448C ＝358，故选B ．5.设tanα，tanβ是方程x 2﹣3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ). A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．3A 因为tanα，tanβ是方程x 2﹣3x ＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝tan tan 1tan ?tan αβαβ+-＝312-＝﹣3，故选A ．6.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，﹣4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ).AB C ．D ．10B 由a ⊥c ，得a·c ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2.由b ∥c 得12＝y 4-，解得y ＝﹣2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，﹣2)，a ＋b ＝(3，﹣1)，|a ＋b|，故选B ．7.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的( ).A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件D 若f(x)为[0，1]上的增函数，则f(x)在[﹣1，0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3，4]上的减函数;若f(x)为[3，4]上的减函数，则f(x)在[﹣1，0]上也为减函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数，故选D ．8.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f '(x )，且函数y ＝(1﹣x )f '(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ).A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(﹣2)D ．函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(2)D 由图可得函数y ＝(1﹣x)f'(x)的零点为﹣2，1，2，则当x<1时，1﹣x>0，此时在(﹣∞，﹣2)上f(x)>0，f'(x)>0，在(﹣2，1)上f(x)<0，f'(x)<0;当x>1时，1﹣x<0，此时在(1，2)上f(x)>0，f'(x)<0，在(2，＋∞)上f(x)<0，f'(x)>0.所以f(x)在(﹣∞，﹣2)为增函数，在(﹣2，2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(﹣2)，极小值f(2)，故选D ．9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a a 的取值范围是( ).A ．(0B ．(0C ．(1D ．(1A 四面体如图1所示，设AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，AD BC ＝a ，则a>0.当A ，B ，C ，D 四点共面时，BC 如图2所示).而此时A ，B ，C ，D 四点不能构成四面体，所以A ．图1图210.设平面点集A ＝1(x,y)(y x)y 0x ⎧⎫⎛⎫--≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，B ＝{(x ，y)|(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2≤1}，则A∩B 所表示的平面图形的面积为( ). A ．34πB ．35πC ．47πD ．2πD 不等式(y ﹣x)1y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0可化为y x 0,1y 0x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩或y x 0,1y 0.x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩集合B 表示圆(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B 所表示的平面区域如图所示.由线y ＝1x，圆(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D ．11.若(1＋i )(2＋i )＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________. 4 (1＋i )(2＋i )＝1＋3i ＝a ＋b i ，所以a ＝1，b ＝3，a ＋b ＝4.12.n ＝__________.25n limn →∞＝n lim→∞115+＝25. 13.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝__________.145 由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b Bsin ＝c Csin 得c ＝145.14.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|＝2512，|AF|<|BF|，则|AF|＝__________.56 F 点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2.因|AF|<|BF|，故直线AB 不垂直于x 轴.设直线AB 为y ＝k 1x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2﹣(k 2＋2)x ＋2k 4＝0 ①，则x 1＋x 2＝22k 2k +，又|AB|＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2﹣13x ＋3＝0，即(3x ﹣1)(4x ﹣3)＝0.而|AF|<|BF|，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF|＝x 1＋12＝56. 15.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答).35基本事件总数为66A ＝720，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有3334A A ＝144;第二类：有两节艺术课相邻有3221133223A C A C C ＝216;第三类：三节艺术课相邻有133233C A A ＝72.由古典概型概率公式得概率为14421672720++＝35. 16.设f(x)＝a ln x ＋12x＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a 的值;(2)求函数f(x)的极值.解：(1)因f(x)＝a ln x ＋12x＋32x ＋1，故f'(x)＝a x﹣212x ＋32.由于曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f'(1)＝0，从而a ﹣12＋32＝0，解得a ＝﹣1.(2)由(1)知f(x)＝﹣ln x ＋12x＋32x ＋1(x>0)，f'(x)＝﹣1x ﹣212x ＋32＝223x 2x 12x --＝2(3x 1)(x 1)2x +-. 令f'(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣211x ,33⎛⎫=- ⎪⎝⎭因不在定义域内舍去.当x ∈(0，1)时，f'(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数;当x ∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数. 故f(x)在x ＝1处取得极小值f(1)＝3.17.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望.解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P(A k )＝13，P(B k )＝12(k ＝1，2，3).(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A 1)＋P(11A B A A 2)＋P(1122A B A B A A 3)＝P(A 1)＋P(1A A )P(1B A )P(A 2)＋P(1A A )P(1B A )P(2A A )P(2B A )P(A 3)＝13＋23×12×13＋223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1，2，3.由独立性知P(ξ＝1)＝P(A 1)＋P(1A B 1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(11A B A 2)＋P(112A B A B 2)＝23×12×13＋223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝29，P(ξ＝3)＝P(1122A B ?A ?B )＝223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝19.综上知，ξ有分布列从而，Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次).18.设f(x)＝4cos ωx 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin ωx ﹣cos (2ωx ＋π)，其中ω>0.(1)求函数y ＝f(x)的值域;(2)若f(x)在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.解：(1)f(x)＝41ωx ωx 2sin ⎫+⎪⎪⎝⎭sin ωx ＋cos 2ωx ＝ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ﹣sin 2ωx2ωx ＋1.因﹣1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[11(2)因y ＝sin x 在每个闭区间2k ,2k 22ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )上为增函数，故f(x)2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间k k ,ω4ωω4ωππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )上为增函数.依题意知3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⊆k k ,ω4ωω4ωππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是3,24ω.24ωππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 解得ω≤16，故ω的最大值为16.19.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点. (1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离;(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1﹣CD ﹣C 1的平面角的余弦值.解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ．又CD ⊥AA 1.故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD(2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1﹣CD ﹣C 1的平面角.因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ．因此1AA AD＝111A B AA ，即A 21A ＝AD·A 1B 1＝8，得AA 1＝从而A 1D所以，在Rt △A 1DD 1中，AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ．因此1AA AD＝111A B AA ，即A 21A ＝AD·A 1B 1＝8，得AA 1＝从而A 1D所以，在Rt △A 1DD 1中， cos ∠A 1DD 1＝11DD A D＝11AA A D.解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直.以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz.设直三棱柱的高为h ，则A(﹣2，0，0)，A 1(﹣2，0，h)，B 1(2，0，h)，C(00)，C 1(0h)，从而1AB ＝(4，0，h)，1A C ＝(2h).由11AB A C ⊥，有8﹣h 2＝0，h ＝故1DA ＝(﹣2，0，，1CC ＝(0，0，，DC ＝(00). 设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC ，m ⊥1DA，即1110,2x 0.⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z 1＝1，得m ＝0，1).设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC ，n ⊥1C C，即220,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取x 2＝1，得n ＝(1，0，0)，所以cos <m ，n>＝m?n |m||n |所以二面角A 1﹣CD ﹣C 120.如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程.解：(1)如图所示，设所求椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a>b>0)，右焦点为F 2(c ，0).因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA|＝|OB 2|，得b ＝c 2，结合c 2＝a 2﹣b 2得4b 2＝a 2﹣b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故12AB B S ＝12·|B 1B 2|·|OA|＝|OB 2|·|OA|＝c 2·b ＝b 2.由题设条件12AB B S＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20，因此所求椭圆的标准方程为2x 20＋2y 4＝1.(2)由(1)知B 1(﹣2，0)，B 2(2，0).由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my ﹣2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2﹣4my ﹣16＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝24m m 5+，y 1·y 2＝﹣216m 5+，又2B P ＝(x 1﹣2，y 1)，2B Q ＝(x 2﹣2，y 2)，所以2B P A ·2B Q ＝(x 1﹣2)(x 2﹣2)＋y 1y 2＝(my 1﹣4)(my 2﹣4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2﹣4m(y 1＋y 2)＋16＝﹣2216(m 1)m 5++＝2216m m 5+＋16＝﹣2216m 64m 5-+. 由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0，即16m 2﹣64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x ﹣2y ＋2＝0. 21.设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0， (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列;(2)若a 2>﹣1，求证：S n ≤n 2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件.(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，因a 2≠0，故a 1＝1，得21a a ＝a 2，又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，两式相减得S n ＋2﹣S n ＋1＝a 2(S n ＋1﹣S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此n 2n 1a a ++＝a 2，综上，n 1na a +＝a 2对所有n ∈N *成立.从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列.证法二：用数学归纳法证明a n ＝n 12a -，n ∈N *. 当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，所以结论成立.假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k 12a -，那么a k ＋1＝S k ＋1﹣S k ＝(a 2S k ＋a 1)﹣(a 2S k ﹣1＋a 1)＝a 2(S k ﹣S k ﹣1)＝a 2a k ＝k 2a . 这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立.综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝n 12a -.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列. (2)证法一：当n ＝1或2时，显然S n ＝n 2(a 1＋a n )，等号成立.设n ≥3，a 2>﹣1且a 2≠0.由(1)知a 1＝1，a n ＝n 12a -，所以要证的不等式化为1＋a 2＋22a ＋…＋n 12n a 2-≤(1＋n 12a -)(n ≥3)，即证：1＋a 2＋22a ＋…＋n 2n 1a 2+≤(1＋n 2a )(n ≥2). 当a 2＝1时，上面不等式的等号成立.当﹣1<a 2<1时，r 2a ﹣1与n r2a +﹣1(r ＝1，2，…，n ﹣1)同为负; 当a 2>1时，r 2a ﹣1与n r 2a +﹣1(r ＝1，2，…，n ﹣1)同为正. 因此当a 2>﹣1且a 2≠1时，总有(r 2a ﹣1)(n r 2a +﹣1)>0，即r 2a ＋n r 2a -<1＋n 2a (r ＝1，2，…，n ﹣1). 上面不等式对r 从1到n ﹣1求和得2(a 2＋22a ＋…＋n 12a -)<(n ﹣1)(1＋n 2a )，由此得1＋a 2＋22a ＋…＋n 2a <n 12+(1＋n 2a ). 综上，当a 2>﹣1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1，2或a 2＝1时等号成立.证法二：当n ＝1或2时，显然S n ＝n 2(a 1＋a n )，等号成立.当a 2＝1时，S n ＝n ＝n 2(a 1＋a n )，等号也成立.当a 2≠1时，由(1)知S n ＝n221a 1a --，a n ＝n 12a -.下证： n 221a 1a --<n 2(1＋n 12a -)(n ≥3，a 2>﹣1且a 2≠1). 当﹣1<a 2<1时，上面不等式化为(n ﹣2)n 2a ＋na 2﹣n n 12a -<n ﹣2(n ≥3).令f(a 2)＝(n ﹣2)n 2a ＋na 2﹣n n 12a -. 当﹣1<a 2<0时，1﹣n 22a ->0，故f(a 2)＝(n ﹣2)n 2a ＋na 2(1﹣n 22a -)<(n ﹣2)|a 2|n <n ﹣2，即所要证的不等式成立.当0<a 2<1时，对a 2求导得f'(a 2)＝n[(n ﹣2)n 12a -﹣(n ﹣1)n 22a -＋1]＝ng(a 2). 其中g(a 2)＝(n ﹣2)n 12a -﹣(n ﹣1)n 22a -＋1，则g'(a 2)＝(n ﹣2)(n ﹣1)(a 2﹣1)n 32a -<0，即g(a 2)是(0，1)上的减函数，故g(a 2)>g(1)＝0，从而f'(a 2)＝ng(a 2)>0，进而f(a 2)是(0，1)上的增函数，因此f(a 2)<f(1)＝n ﹣2，所要证的不等式成立.当a 2>1时，令b ＝21a ，则0<b<1，由已证的结论知n2211a 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<n 12n 112a -⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以n 12a -得所要证的不等式. 综上，当a 2>﹣1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1，2或a 2＝1时等号成立.。

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的（2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）．．．．由不等式可得，解得﹣的解集为224．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）B的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=0=5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为==6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）B，以及|=，==）且⊥，∥，则有，故|=7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的，，，AE=ED=．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集B∵或y=故阴影部分面积为圆的面积的一半，即二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．12．（5分）（2012•重庆）=．把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法===，故答案为：．把要求的式子化为13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．cosA=，cosB==，sinB===sinAcosB+cosAsinB=×+×==得：==故答案为：14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．，+x|BF|=，所以）x+|AF|==故答案为：15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．节艺术课，则排法种数为（）=216三门文化课中相邻排列，则排法种数为=720解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有••=144而所有的排法共有=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．由（Ⅰ）知，（，确定函数的单调性，即可求得函，∴由（Ⅰ）知，（17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．=（（（=（（（×+；（）（=（=×+2×+3×=．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．）在区间﹣cos sin[][所以，解不等式得=[）在区间上为增函数⊆[．解得，故的最大值是19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．CD===2D==2，，从而，，h=2=，=2，的法向量为，则有⊥，⊥••，即，取=，的法向量为，则⊥，⊥，即=0=＜，＞=，20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．，为直角，从而|B||OA|=（Ⅰ）设椭圆的方程为，∴S=∴椭圆标准方程为；=，∴21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．时，等号成立，设（，∴等号成立，，所以要证的不等式可化为（时，时，与（即，等号成立的充要条件是。

高考重庆卷理科数学试题及谜底

A –3
B． ( 2 ,) 3
B3
3.圆 x2 y2 2x 4 y 3 0 的圆心到直线 x y 1的距离为：（
A2
4．不等式 x 2 2 的解集是：（ x 1
A (1, 0) (1, )
C (1, 0) (0,1)
5． sin163 sin 223 sin 253 sin 313 (

x y

1
3
2 cos 4 sin
P2
P4
(0

2
)
恰有
18．（本小题满分 12 分）
设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概
3
率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为新疆假定汽车只在遇到红灯或到达
4
目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：
2004 年高考重庆卷（理工类）数学试题
本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共 150 分考试时间 120 分钟.
第Ⅰ部分（选择题共 60 分）
参考公式：如果事件 A、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那幺 n 次独立重复试验中恰好发
掉半圆的半径）得圆形 P3、P4、…..Pn…,记纸板 Pn 的面积为 Sn ，则
lim
x
Sn
16．对任意实数

______
P1
P3
K，直线：
y

kx

b
与椭圆：
一个公共点，则 b 取值范围是_______________ 三、解答题：本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x （）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．设复数ωω++-=1,2321则i =（）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．函数x e y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ=''A O e ，其中λ= （）A ．511 B ．511-C ．2D ．－2 10．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{nS n是等比数列；（Ⅱ）.41n n a S =+ 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2012年高考真题——数学理(重庆卷)word版含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（文史类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则{}n a 的前5项和5S = （A ）7 （B ）15 （C ）20 （D ）25 （2）不等式0121≤+-x x 的解集为（A ）1(,1]2-（B ）1[,1]2- （C ）1(,)[1,)2-∞-+∞ （D ）1(,][1,)2-∞-+∞ （3）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A ）相离（B ）相切（C ）相交但直线不过圆心（D ）相交且直线过圆心（4）8的展开式中常数项为（A ）1635 （B ）835 （C ）435 （D ）105 （5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3（6）设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-，且a c ⊥，//b c ，则||a b +=（A （B （C ）（D ）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）充要条件（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图象如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1a ，且长为a 则a 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）（10）设平面点集1{(,)|()()0}A x y y x y x=--≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上（11）若(1)(2)i i a bi ++=+，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += （12）n = 。

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(重庆卷)及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =（）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1] 2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -=（） A ．–3 B ．3 C ．－3i D ．3i3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2B ．2C ．1D 4．不等式221x x +>+的解集是（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C ．2-D ．26．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（）A ．2B ．4C ．6D ．127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．9．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（） A ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A ．110B ．120C ．140 D ．112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（）（C ）（D ）第Ⅱ部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =.14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答） 15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞=.16．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

全国高考理科数学试题及答案重庆卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 则}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.252.不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 2.321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为 A.1635 B.835 C.435 D.105（5）设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，则a b +=（A （B （C ）（D ）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）充要条件（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数,(1)()y x f x =-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a的棱异面，则a 的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上（11）若1+i 2+i （）（）=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ；（12）0= 。

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析一、选择题1. A2. C3. A4. B5. D6. D7. C8. B9. C 10. A 11. D 12. B 13. A 14.D 15. C二、填空题16. 10 17. 2 18. 9 19. 1 20. 5 21. 0.8 22. 45 23. √2/2 24. π/3 25. 7三、解答题26. 解：由题意可知，四个数字的和是50，假设这四个数字分别为a、b、c、d，则有a + b + c + d = 50。

不失一般性，假设a ≤ b ≤ c ≤ d。

由于a、b、c、d都是正整数且连续，所以a + b + c + d最小值为1 + 2 + 3 + 4 = 10，最大值为11 + 12 + 13 + 14 = 50。

显然10 ≤ a + b + c + d ≤ 50。

因此，10 ≤ 50，所以四个数字的和至少为10。

而11 + 12 + 13 + 14 = 50，所以四个数字的和至多为50。

综上所述，四个数字的和的取值范围为10 ≤ a + b + c + d ≤ 50。

27. 解：设梯形的面积为S，边长分别为a、b、c、d。

根据题意，有a + b = c + d。

由此可以得到a + d = c + b。

根据梯形面积的公式，可得到S = (a + b) × h / 2 = (c + d) × h / 2。

结合上述两个等式，可以得到S = (a + d) × h / 2。

因此，当梯形的上底和下底的和固定时，其面积与高成正比。

28. 解：由题意可知，小明将自己的奖学金分配给了四个人，第一个人得到了全额奖学金；第二个人得到了全额奖学金的1/2；第三个人得到了全额奖学金的1/3；第四个人得到了全额奖学金的1/4。

设小明的奖学金为x元，则根据题意可以得到以下等式：x = 1 + 1/2x + 1/3x + 1/4x求解以上方程，可以得到x = 24。

重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012)

2004年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =的定义域是：（）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1] 2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -=（） A ．–3B ．3C ．－3iD ．3i3．圆222430xy x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2B ．2C ．1D 4．不等式221x x +>+的解集是（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C ．D 6．若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（）A ．2B ．4C ．6D ．127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A ．0a<B ．0a> C ．1a <- D ．1a>8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．9．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（） A ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（）A ．43B ．53C ．2D ．7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A ．110B ．120C ．140D ．112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（）（C ）（D ）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =.14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答） 15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______nx S →∞=.16．对任意实数Kkx b+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是______________ 三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

重庆卷2004年理科

2004年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2004▪重庆▪理）函数y =的定义域是 A.[1，)+∞ B.2(3，)+∞ C.2[3，1] D.2(3，1]2. （2004▪重庆▪理）设复数1z =，则22z z -=A.3-B.3C.3i -D.3i3. （2004▪重庆▪理）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为A.2B.2C.1 4. （2004▪重庆▪理）不等式221x x +>+的解集是 A.(1-，0)(1，)+∞ B.(-∞，1)(0-，1)C.(1-，0)(0，1)D.(-∞，1)(1-，)+∞5. （2004▪重庆▪理）sin163sin 223sin 253sin 313︒︒+︒︒=A.12-B.12C.-6. （2004▪重庆▪理）若向量a 与b 的夹角为60︒，4b =，(2)a b +▪(3)72a b -=-，则向量a 的模为A.2B.4C.6D.12 7. （2004▪重庆▪理）一元二次方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是A.0a <B.0a >C.1a <-D.1a >8. （2004▪重庆▪理）设P 是60︒的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 分别为垂足，4PA =，2PB =，则AB 的长为A. B. C. D.9. （2004▪重庆▪理）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>，2003a ▪ 20040a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是A.4005B.4006C.4007D.400810. （2004▪重庆▪理）已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为A.43B.53C.2D.7311. （2004▪重庆▪理）某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 A.110B.120C.140D.112012. （2004▪重庆▪理）若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成的图形可能是A. B.C. D. 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2004▪重庆▪理）若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则a =_________.14. （2004▪重庆▪理）曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线夹角是_______（以弧度数作答）.15. （2004▪重庆▪理）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形3P ，4P ，…、n P ，…，记纸板n P 的面积为n S ，则l i m n n S →∞=_____.…16. （2004▪重庆▪理）对任意实数k ，直线y kx b =+与椭圆2cos (014sin x y θθθ⎧=⎪≤⎨=+⎪⎩ 2)π<恒有公共点，则b 的取值范围是__________.三、解答题（共6小题，满分12×5＋14＝74分）17. （2004▪重庆▪理）求函数44sin cos cos y x x x x =-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，]π上的单调递增区间.18. （2004▪重庆▪理）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：⑴ξ的概率的分布列及期望E ξ； ⑵停车时最多已通过3个路口的概率.19. （2004▪重庆▪理）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，EF ∥CD ，AM EF =.⑴证明：MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；⑵若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值.20. （2004▪重庆▪理）设函数()(1)()(1)f x x x x a a =-->.⑴求导数()f x '，并证明()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ；⑵若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围.21. （2004▪重庆▪理）设0p >是一常数，过点(2Q p ，0)的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆(H H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.22. （2004▪重庆▪理）设数列{}n a 满足：12a =，*11()n n n a a n N a +=+∈.⑴证明：n a >*n N ∈恒成立； ⑵令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由.2004年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2004•重庆）函数的定义域是：（）A．[1，+∞）B．C． D．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义：≥0，即：可得 0＜3x﹣2≤1解得x∈故选D．【点评】本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．2．（5分）（2004•重庆）设复数，则Z2﹣2Z=（）A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i【分析】首先进行复数的乘方运算，再进行复数的乘法运算，去掉括号，合并同类项，得到最简形式，选出正确答案．【解答】解：∵复数，∴Z2﹣2Z==﹣1+2i﹣2﹣2i=﹣3故选A．【点评】本题考查复数的乘法和乘方运算，是一个基础题，这种题目经常出现在一套题目的前几个题目中，是一个送分题目．3．（5分）（2004•重庆）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心到直线x﹣y=1的距离为：（）A．2 B．C．1 D．【分析】先求圆心坐标，然后用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心（1，﹣2），它到直线x﹣y=1的距离：故选D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，圆的一般方程，是基础题．4．（5分）（2004•重庆）不等式x+＞2的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】直接化简为分式不等式，求解即可，或者特值验证即可．【解答】解：法一：x+＞2 得x﹣2+＞0 即＞0可得 x（x﹣1）（x+1）＞0可得﹣1＜x＜0或x＞1．法二：验证，x=﹣2、不满足不等式，排除B、C、D．故选A．【点评】本题考查分式不等式的解法，特值验证法的应用，是基础题．5．（5分）（2004•重庆）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解答】解：原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°﹣223°）=cos（﹣60°）=．故答案选B【点评】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．（5分）（2004•重庆）若向量的夹角为60°，，6．则向量的模为（）A．2 B．4 C．6 D．12【分析】分解（a+2b）•（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，因为向量的夹角、已知，代入可得关于的方程，解方程可得．【解答】解：（a+2b）•（a﹣3b）=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．∴（|a|﹣6）•（|a|+4）=0．∴|a|=6．故选C【点评】求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．7．（5分）（2004•重庆）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞1【分析】求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，即a＜0，而a＜0的一个充分不必要条件是a＜﹣1故应选 C【点评】本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件．8．（5分）（2004•重庆）设P是60°的二面角α﹣l﹣β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为：（）A．B．C．D．【分析】利用线面垂直作出二面角的平面角，然后在平面PAB中利用互补求出∠APB=120度，最后利用余弦定理解三角形PAB，得出AB的长为．【解答】解：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连接AQ、BQ可得直线l⊥平面PAQB，所以∠AQB是二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AQB=60°，故△PAB中，∠APB=180°﹣60°=120°，PA=4，PB=2，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2﹣2PA•PBcos120°，，所以，故选C．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角平面的定义，属于中档题，在做题时应该注意利用正、余弦定理解三角形所起的作用．9．（5分）（2004•重庆）若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003．a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）A．4005 B．4006 C．4007 D．4008【分析】对于首项大于零的递减的等差数列，第2003项与2004项的和大于零，积小于零，说明第2003项大于零且2004项小于零，且2003项的绝对值比2004项的要大，由等差数列前n项和公式可判断结论．【解答】解：解法1：由a2003+a2004＞0，a2003•a2004＜0，知a2003和a2004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003＞a2004，即a2003＞0，a2004＜0．∴S4006==＞0，∴S4007=•（a1+a4007）=4007•a2004＜0，故4006为Sn＞0的最大自然数．选B．解法2：由a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003•a2004＜0，同解法1的分析得a2003＞0，a2004＜0，∴S2003为Sn中的最大值．∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，∴在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4006．【点评】本题没有具体的数字运算，它考查的是等差数列的性质，有数列的等差中项，等差数列的前n项和，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，对同学们来说有些抽象．10．（5分）（2004•重庆）已知双曲线=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．B．C．2 D．【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，根据|PF1|=4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式．根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围．【解答】解：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，∴ex+a=4（ex﹣a），化简得e=，∵p在双曲线的右支上，∴x≥a，∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．11．（5分）（2004•重庆）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选B．【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．12．（5分）（2004•重庆）若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：（）A．B．C．D．【分析】设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，作PR⊥面BCD于R，PQ⊥BC于Q，PC⊥AB于T，则∠PQR=θ，由题设条件知=sinθ为小于1的常数．【解答】解：设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，如图．作PR⊥面BCD于R，PQ⊥BC于Q，PC⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ•sinθ，∴=sinθ为小于1的常数，故选D．【点评】本题考查轨迹方程问题，数形结合是最有效的解题方法．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2004•重庆）若在（1+ax）5的展开式中x3的系数为﹣80，则a= ﹣2 ．【分析】利用展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得x3的系数，列出方程解得．【解答】解：（1+ax）5展开式的通项为Tr+1=C5r（ax）r=arC5rxr令x=3的展开式中x3的系数为a3C53=10a3∵展开式中x3的系数为﹣80∴10a3=﹣80∴a=﹣2故答案为﹣2【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．（2004•重庆）曲线y=2﹣x2与y=x3﹣2在交点处的切线夹角是．（以（4分）14．弧度数作答）【分析】先求出曲线y=2﹣x2与y=x3﹣2在交点坐标，然后分别求出两个函数在切点处的导数得到两切线的斜率，最后利用夹角公式求出两切线的夹角即可．【解答】解：由得x3+2x2﹣16=0，（x﹣2）（x2+4x+8）=0，∴x=2．∴两曲线只有一个交点．∵y′=（2﹣x2）′=﹣x，∴y′|x=2=﹣2．又y′=（﹣2）′=x2，∴当x=2时，y′=3．∴两曲线在交点处的切线斜率分别为﹣2、3，||=1．∴夹角为．故答案为：【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及夹角公式的运用等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．（4分）（2004•重庆）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则= ．【分析】由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板Pn的面积．【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则a1+a2+…+an==故：==故答案为：【点评】本题考查的知识点其实是一种极限思想，当一个等比数列的|q|＜1时，=0，则a1+a2+…+an=．16．（4分）（2004•重庆）直线：y=k（x﹣）+5与椭圆：恰有一个公共点，则k取值是0 ．【分析】先将椭圆的参数方程化成直角坐标方程，再根据直线恒过定点，而该定点又是椭圆的顶点，很快问题得以解决．【解答】解：椭圆：化成标准方程为直线y=k（x﹣）+5恒过（，5）而点（，5）在椭圆上且为上定点，则直线：y=k（x﹣）+5与椭圆：恰有一个公共点即k=0，故答案为0．【点评】本题主要考查了椭圆的参数方程，以及直线与圆锥曲线的综合问题，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2004•重庆）求函数y=sin4x+2sinxcosx﹣cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．【分析】先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及两角差的余弦，化为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，最小值以及函数的单调增区间．【解答】解：y=sin4x+2sinxcosx﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）+sin2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．故该函数的最小正周期是π；最小值是﹣2；单调递增区间是[0，]，[，π]．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函数的单调性，三角函数的最值，把三角函数式化简为y=Asin （ωx+φ）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法．18．（12分）（2004•重庆）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）ξ的概率的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率．【分析】（I）由题意知ξ表示停车时已经通过的路口数，因为共有4个路口，ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，根据条件所给的在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为，做出变量对应不同数值时的概率，得到分布列和期望．（II）停车时最多已通过3个路口的对立事件是停车时已经通过4个路口，根据上一问做出的通过4个路口的概率和对立事件的概率，得到结果．【解答】解：（I）由题意知ξ的所有可能值为0，1，2，3，4用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=独立．故，，，从而ζ有分布列：（II）即停车时最多已通过3个路口的概率为．【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，对立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一个近几年经常出现的概率问题，解题时注意分清事件的关系．19．（12分）（2004•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE ⊥PD，EF∥CD，AM=EF（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．【分析】（I）利用矩形，以及直线与直线的判定定理证明AM⊥MF，MF⊥PC，推出MF是AB与PC的公垂线．（II）连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上．推出OH⊥面MAE．连接AH，说明∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，在Rt△AHO中，求出sin∠HAO．即可．【解答】（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF．又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，因此MF是AB与PC的公垂线．（II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上．易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH∥DE，因此OH⊥面MAE．连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，．因Rt△ADE～Rt△PDA，故，．从而在Rt△AHO中．【点评】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．（12分）（2004•重庆）设函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣a），（a＞1）（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f（x1）+f（x2）≤0成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用求导法则求出f（x）的导函数，令f'（x）=0考虑到判别式大于零得到两个极值点，设x1＜x2，讨论函数的增减性得到x1是极大值点，x2是极小值点；（2）把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）f'（x）=3x2﹣2（1+a）x+a．令f'（x）=0得方程3x2﹣2（1+a）x+a=0．因△=4（a2﹣a+1）≥4a＞0，故方程有两个不同实根x1，x2不妨设x1＜x2，由f'（x）=3（x﹣x1）（x﹣x2）可判断f'（x）的符号如下：当x＜x1时，f'（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0因此x1是极大值点，x2是极小值点．（2）因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23﹣（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0．即（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]﹣（1+a）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+a（x1+x2）≤0．又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得2a2﹣5a+2≥0．解不等式得a≥2或a≤（舍去）因此，当a≥2时，不等式f（x1）+f（x2）≤0成立．【点评】考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．21．（12分）（2004•重庆）设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px 交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）．试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程．【分析】先设出A，B的坐标，把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理可分别求得y1+y2和y1y2及x1+x2和x1x2的从而求得•的值，结果为0，可推断出OA⊥OB，进而可知O必在圆H的圆周上，又根据H是AB的中点，进而可表示出圆心的坐标，求得|OH|的表达式，进而根据二次函数的性质求得|OH|即圆的半径的最小值，即进而可知当a=0时，圆的面积最小．【解答】解：由题意，设直线AB的方程为ay=x﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则其坐标满足消去x的y2﹣2apy﹣4p2=0，则因此•=x1x2+y1y2=0∴OA⊥OB，故O必在圆H的圆周上，又由题意圆心H是AB的中点，故，由前已证OH应是圆H的半径，且|OH|=p；从而当a=0时，圆H的半径最小，也使圆H的面积最小．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．22．（14分）（2004•重庆）设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+．（Ⅰ）证明：an＞对n∈N*恒成立；（Ⅱ）令bn=，判断bn与bn+1的大小，并说明理由．【分析】（1）证法一：用数学归纳法进行证明．证法二：由递推公式得，，由此可知．（2）解法一：由=可知bn+1＜bn成立．解法二：由===，可知bn+1＜bn．【解答】解：（1）证法一：当n=1时，，不等式成立，假设n=k时，成立（2分），当n=k+1时，．（5分）∴n=k+1时，时成立综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立（6分）证法二：由递推公式得，（2分）上述各式相加并化简得=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）又n=1时，显然成立，故（6分）（2）解法一：（8分）=（10分）又显然bn＞0（n∈N*），故bn+1＜bn成立（12分）解法二：=（8分）=（10分）=故bn+12＜bn2，因此bn+1＜bn（12分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式有灵活运用．。

2012重庆高考数学理科

2012重庆理一、选择题1 ．在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =（）A ．7B ．15C ．20D ．252 ．不等式0121≤+-x x 的解集为（）A ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 3 ．对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222xy +=的位置关系一定是（）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心4 ．321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为（）A ．1635 B ．835 C ．435 D ．1055 ．设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．36 ．设,x y ∈R,向量(,1),(1,),(2,4)x y ===-a b c 且,⊥ a c b c ,则+=a b （）ABC．D ．107 ．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件8 ．设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f9 ．设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a ,则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10．设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（）A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π 二、填空题11．若1+i 2+i （）（）=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=__________ 12．=-++∞→nn n n 51lim2________________ .13．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =_________________14．过抛物线22yx =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则 AF =_________________.15．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).三、解答题16．设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.(Ⅰ) 求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的极值.17．甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望18．(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设)2cos(sin )6cos(4)(x x x x x f +--=⎰ωωπω,其中.0>ω(Ⅰ)求函数)(x f y = 的值域;(Ⅱ)若)(x f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23πx 上为增函数,求ω的最大值. 19．(本小题满分12分(Ⅰ)小问4分(Ⅱ)小问8分)如图,在直三棱柱111C B A ABC - 中,AB=4,AC=BC=3,D 为AB 的中点 (Ⅰ)求点C 到平面11BB AA 的距离;(Ⅱ)若C A AB 11⊥求二面角11C CD A --的平面角的余弦值.20．(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左右焦点分别为21,F F ,线段的中点分别为21,B B ,且△21B AB 是面积为4的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过做直线l 交椭圆于P,Q 两点,使22QB PB ⊥,求直线l 的方程21．(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列n a 的前n 项和nS 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠.(I)求证:n a 是首项为1的等比数列; (II)若21a >-,求证:12()2n nS a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.2012重庆理参考答案一、选择题 1. B 2. A 3. C 4. B 5. . A 6. B 7. D 8. D 9. Aa 的端点,B C ；则2AB AC a BC ==⇒=< 10. D【解析】选D 由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x ≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤ 围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤ 围成的面积既2122R ππ⨯=二、填空题 11. 412. 5213. 51414. 6515. 53三、解答题 16. (Ⅰ) ,2321)(2+-='x x a x f 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴, .1,02321,0)1(-=∴=+-='∴a a f(Ⅱ)当a=-1时,),0(212323211)(222>--=+--='x x x x x x x f 当0)(='x f 时,解得 31,121-==x x (舍去),因为当)1,0(∈x 时,,0)(<'x f ),1(+∞∈x 时,,0)(>'x f 所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.17.由于甲、乙的各次投篮互不影响,所以属于相互独立事件,而投篮结束时的各种类型之间互斥的,据此可以用加法与乘法公式求解.设k k B A ,分别表示甲、乙在第k 次投篮中投中,则).3,2,1(21)(,31)(===k B p A p k k (1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件由一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式知)()()()(322112111A B A B A p A B A p A p C p ++=.2713)()()()()()()()()(322112111=++=A p B p A p B p A p A p B p A p A p (Ⅱ)ξ的可能取值为1,2,3,则,91)()3(,92)()()2(,32)()()1(22112211211111====+===+==B A B A p p B A B A p A B A p p B A p A p p ξξξ所以,.9139********)(=⨯+⨯+⨯=ξE 18. (Ⅰ)],31,31[12sin 3)(,12sin 112sin 3sin 21sin 2sin cos 322cos sin )sin 21cos 23(42cos sin )6sin sin 6cos (cos 4)(22+-∈+=∴≤≤-+=-++=++=++=x x f x x x x x x x x x x xx x x x f ωωωωωωωωωωωωωπωπω 即函数)(x f y =的值域为].31,31[+- (Ⅱ)由)(22222Z k k x k ∈+≤≤+-ππωππ得]4,4[)(),(44ωπωπωπωπωπωπωπωπk k x f Z k k x k ++-∴∈+≤≤+-在上为增函数, ]2,23[ππ-∈x 时,f(x)为增函数, ]4,4[]2,23[ωπωπωπωπππk k ++-⊆-∴对某个整数K 成立,易知必有k=0,ωωπωππωπωπωπππ∴≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-∴-⊆-∴,61,24234],4,4[]2,23[的最大值为.6119. (Ⅰ)，面面ABC CD ABDAA AB CD DB DA BC AC ⊂⊥⊥∴==,,,,1 ,,,,,111111111A ABB CD A ABB AB A ABB AA A AB AA CD AA ⊥∴⊂⊂=⋂⊥∴面面所以点C 到面11A ABB 的距离为.522=-=BD BC CD(Ⅱ)如图,过点D 作11//AA DD 交11B A 于D,由(1)知1,,DD DC DB 两两垂直,以D 为原点,射线1,,DD DC DB 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,设直棱柱的侧棱,1a AA =则),0,5,0(),,5,0(),,0,2(),,0,2(),0,0,2(11C a C a B a A A --,22,08,0,),,0,4(),,5,2(2111111=∴=-=⋅∴⊥=-=∴a a AC AB C A AB a AB a AC),22,0,0(),22,0,2(),0,5,0(11=-==∴CC DA DC设平面CD A 1的法向量,022205,00),,,(1111111⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴=∴z x y DA n DC n z y x 令),0,0,1(),1,0,2(,0111=⊥=∴=n D CC D CC AB n Z 的法向量，故可取面面.36||||2121==∴n n n n 由图知,二面角11C CD A --的平面角的余弦值为.3620. (Ⅰ)设所求椭圆的标准方程为),0(12222>>=+b a by a x21B AB ∆ 是直角三角形且2121|,|||AB B AB AB ∠∴=为直角,从而,552,4,5,4,,2|,|||22222222222=∴==-=∴-==∴=e b c b a b a b b a c c b OB OA在21B AB Rt ∆中,,||||||||21,22212121b OA OB OA B B S B B OA B AB ===∴⊥∆ 由题设条件得,20,422=∴=a b 所以椭圆的标准方程为.142022=+y x (Ⅱ)由(Ⅰ)知),0,2(),0,2(21B B -据题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my-2,带入椭圆方程(*)0164)5(22=--+my y m ,设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是上面方程的两根,因此1224,5my y m +=+ 122165y y m -⋅=+,又111222(2,),(2,)B P x y B P x y =-=-,所以121(2)(2)B P B P x x ⋅=--12y y +1212(4)(4)my my y y =--+212(1)m y y =+124()16m y y -++222216(1)161655m m m m -+=-+++2216645m m -=-+, 由22PB QB ⊥,知220B P B Q ⋅= ,即216640m -=,解得2m =±.所以满足条件的直线方程为.022022,22=+-=++-±=y x y x y x 或即21. (Ⅰ)证明:),,2(,*112121N n n a S a S a S a S n n n n ∈≥+=∴+=-+是等比数列。

2012年重庆高考数学卷(含详细解析和答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.252.不等式0121≤+-x x 的解集为A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121.D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 【答案】 A【解析】【考点定位】本题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C4.321⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635 B.835 C.435 D.105（5）设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥ ，则a b +=（A ）（B （C ）（D ）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）充要条件【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考察函数的奇偶性，进而来考察函数的周期性，根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键。

（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数,(1)()y x f x =-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ）（B ）(0, （C ）（D ）（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上（11）若1+i 2+i （）（）=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ；（12）0lim→∞= 。