组合数学(第3章3.3)
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第三章 排列与组合
多重集的排列及组合
主要内容
多重集排列应用 多重集的组合及应用
回顾：多重集排列计数
定理3.4.2：令S是多重集，它有k个不同的 元素，每个元素的重复数分别为n1，n2，…， nk，那么，S的排列数等于 n! n1! n 2 !… n k ! 其中n= n1+n2+…+nk
多重集排列与集合划分
6 = 84
解：（1）方程x1+x2+x3+x4=10 （B）的正整数
例
3. 方程x1+x2+x3+x4=20的整数解的个数是多少？其中 x1≥3, x2≥1, x3≥0, x4≥5. 解：作变量代换：y1=x13， y2=x21， y3=x3， y4=x45，那么，得到方程： y1+y2+y3+y4=11。原 方程的解个数与该方程的非负整数解个数相同。 故为：
r + k - 1 r + k - 1 = r k -1
定理的证明
(1) 令S＝{∞a1, ∞a2,…, ∞ak}，那么S的一个r-组合 具有形式{x1a1, x2a2,…, xkak}，其中 x1+x2+…+xk=r （A） A xi是非负整数。 (2) 方程（A）的任何一个解确定S的一个r-组合，因 此，S的r-组合个数等于方程（A）解的个数。
11 + 4 1 14 11 = 11
问题？
令多重集S={n1a1, n2a2, …, nkak}，n= n1+n2+…+nk ，求S的r-组合数，其中0≤r≤n. 方程： x1+x2+…+xk=r 满足条件 0≤x1≤n1，0≤x2≤n2，…, 0≤xk≤nk 的整数解的个数。
的盒子B1和B2, 这两个盒子分别装2个元素（即集 合划分为两个有标号的部分），共有6中方法。
定理3.4.3 设n=n1+ n2+…+ nk, 将n个元素集合 定理 划分为做了标签的k个盒子B1, B1,…, Bk, 其 中Bi盒子含有ni个元素，方法数为 n! n1! n 2 !… n k ! 若盒子无标号，划分数为 n! k ! n1! n 2 !… n k !
8! 1!3!4 !
因此，由乘法原理，这种情况下的方法：
8! ( 8! ) 2 8! = 1!3!4! 3!4!
定理3.4.3：有n个车共k种颜色，其中第一 种颜色的车有n1个，第二种颜色的车有n2 个, …,第k种颜色的车有nk个，那么，把这 些车放到n×n的棋盘上，使得没有车能相互 攻击的摆放方法数为：
（3）方程（A）解的个数等于多重集T={r1, (k1)*} 的排列数（这是一个巧妙的构思）。 首先，T的任一个排列中k-1个*把r个1分成k组，即 将*的左边和两个*之间看作一个盒子，那么共有k * * k 个盒子，如下图所示： * x1 x2 * x3 … … * xk-1 xk
令第i个盒子的1的个数为xi，那么确定了 方程（A）的一个解；反之，方程（A） 的任意一个解，将xi个1放入第i个盒子， 也构造出多重集T的一个排列。这样在T 的排列和方程（A）的解集建立了一个一 一对应。 （4）根据多重集排列计数公式得到：
小结
多重集的排列计数问题 多重集的组合计数
不定方程整数解个数
作业
3.6 练习题 30, 32，38, 47
典型应用
例：在8×8的棋盘上，对于8个非攻击型车 有多少种可能的摆放法？
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
8个车各占一行(列)，具有坐标 (1, j1)，(2, j2)，… (8, j8) 其中， j1, j2,…, j8互不相同，即是{1,2,…,8}的 一个排列，因此，总数为8!。 {1,2,…,8}的排列非攻击型车的摆法 … 的排列
8! 4c}： !2 !4 ! = 420 2
2）除去1个b即{3a, 1b, 4c}：
8! = 280 3!1!4! 3c}： 8! = 560 3!2!3!
多重集的组合
方程： x1+x2+…+xk=r 的非负整数解的个数？ 满足条件 0≤x1≤n1，0≤x2≤n2，…, 0≤xk≤nk 的整数解的个数？
多重集排列的另一种解释：对n个元素集合 划分为指定大小的多个部分，每个部分指 派标号。 例如：S={n1a1, n2a2}, 集合S的排列数是 S={n S
n n! n! = = n1! n2 ! n1!( n n2 )! n1
也是n元素集合的n1-组合数。
例：集合{a, b, c, d}将其中元素放入两个具有标号
设上例设8各车互相不同，用不同颜色标记。 设上例设 各车互相不同，用不同颜色标记。 各车互相不同 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
注意到区分8种颜色，实质上考虑8个车的 有序排列，那么，共有8!种；由乘法原理共 有8!2种。
假设1个红车，3个蓝车和4个黄车，即是多 重集{1R, 3B, 4Y}的排列，共有
多重集的组合
多重集S的一个r-组合是S的子多重集 子多重集。 子多重集 如S＝{2a, 1b, 3c}的3-组合包括： {2a, 1b}, {2a, 1c}, {1a, 1b, 1c}… 等。
无限重数的多重集组合
定理3.5.1：令S是多重集，它有k个不同的 定理 元素，每个元素都有无限重复次数，那么， S的r-组合个数为
“一一对应”概念是一个在计数中极为基 本的概念。一一对应既是单射又是满射。 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非是建 立了将A中元与[1,n]元一一对应的关系。 在组合计数时往往借助于一一对应实现模 型转换。 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A与 B一一对应。
r + k 1 r
S的任何一个 组合可以唯一确定一个长为 的排列。 的任何一个r-组合可以唯一确定一个长为 的排列。 的任何一个 组合可以唯一确定一个长为r的排列
例
2. 令S＝{∞a, ∞b, ∞c, ∞d}求S的使得4个元素都 至少出现一次的10-组合个数。 解的个数，x1表示a的在组合出现次数，… x a … （2）变量代换：yi=xi1（i=1,2,3,4），得到方程 y1+y2+y3+y4=6（C），方程（C）的非负整数解 的个数等于方程（A）的正整数解的个数。由 定理的证明得到： 6 + 4 1
n! n! n1! n 2 !… n k !
特别的，若颜色互不相同，则为(n!)2
一个问题
多重集S={n1a1, n2a2,…, nkak}，令n= n1+n2+…+nk ，求S的r-排列数？其中r<n.
例
多重集S ={3a, 2b, 4c}，求S的8-排列的 个数。 解： S的8-排列是S除去一个元素的子集的 排列。可分为三种情况： 1）除去1个a即{2a, 2b, 3）除去1个c即{3a, 2b,
( r + k 1)! r + k 1 = r r! ( k 1)!
模型转换
多重集组合 不定方程解集 多重集排列
例
1. 取自1，2，…，k的长为r的非减序列个数是多少？ （允许重复） 解：注意到：取自1，2，…，k的长为r的任一个非 减序列一一对应多重集S＝{∞1, ∞2,…, ∞k}的一 个r-组合。那么，个数为
多重集的排列及组合
主要内容
多重集排列应用 多重集的组合及应用
回顾：多重集排列计数
定理3.4.2：令S是多重集，它有k个不同的 元素，每个元素的重复数分别为n1，n2，…， nk，那么，S的排列数等于 n! n1! n 2 !… n k ! 其中n= n1+n2+…+nk
多重集排列与集合划分
6 = 84
解：（1）方程x1+x2+x3+x4=10 （B）的正整数
例
3. 方程x1+x2+x3+x4=20的整数解的个数是多少？其中 x1≥3, x2≥1, x3≥0, x4≥5. 解：作变量代换：y1=x13， y2=x21， y3=x3， y4=x45，那么，得到方程： y1+y2+y3+y4=11。原 方程的解个数与该方程的非负整数解个数相同。 故为：
r + k - 1 r + k - 1 = r k -1
定理的证明
(1) 令S＝{∞a1, ∞a2,…, ∞ak}，那么S的一个r-组合 具有形式{x1a1, x2a2,…, xkak}，其中 x1+x2+…+xk=r （A） A xi是非负整数。 (2) 方程（A）的任何一个解确定S的一个r-组合，因 此，S的r-组合个数等于方程（A）解的个数。
11 + 4 1 14 11 = 11
问题？
令多重集S={n1a1, n2a2, …, nkak}，n= n1+n2+…+nk ，求S的r-组合数，其中0≤r≤n. 方程： x1+x2+…+xk=r 满足条件 0≤x1≤n1，0≤x2≤n2，…, 0≤xk≤nk 的整数解的个数。
的盒子B1和B2, 这两个盒子分别装2个元素（即集 合划分为两个有标号的部分），共有6中方法。
定理3.4.3 设n=n1+ n2+…+ nk, 将n个元素集合 定理 划分为做了标签的k个盒子B1, B1,…, Bk, 其 中Bi盒子含有ni个元素，方法数为 n! n1! n 2 !… n k ! 若盒子无标号，划分数为 n! k ! n1! n 2 !… n k !
8! 1!3!4 !
因此，由乘法原理，这种情况下的方法：
8! ( 8! ) 2 8! = 1!3!4! 3!4!
定理3.4.3：有n个车共k种颜色，其中第一 种颜色的车有n1个，第二种颜色的车有n2 个, …,第k种颜色的车有nk个，那么，把这 些车放到n×n的棋盘上，使得没有车能相互 攻击的摆放方法数为：
（3）方程（A）解的个数等于多重集T={r1, (k1)*} 的排列数（这是一个巧妙的构思）。 首先，T的任一个排列中k-1个*把r个1分成k组，即 将*的左边和两个*之间看作一个盒子，那么共有k * * k 个盒子，如下图所示： * x1 x2 * x3 … … * xk-1 xk
令第i个盒子的1的个数为xi，那么确定了 方程（A）的一个解；反之，方程（A） 的任意一个解，将xi个1放入第i个盒子， 也构造出多重集T的一个排列。这样在T 的排列和方程（A）的解集建立了一个一 一对应。 （4）根据多重集排列计数公式得到：
小结
多重集的排列计数问题 多重集的组合计数
不定方程整数解个数
作业
3.6 练习题 30, 32，38, 47
典型应用
例：在8×8的棋盘上，对于8个非攻击型车 有多少种可能的摆放法？
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
8个车各占一行(列)，具有坐标 (1, j1)，(2, j2)，… (8, j8) 其中， j1, j2,…, j8互不相同，即是{1,2,…,8}的 一个排列，因此，总数为8!。 {1,2,…,8}的排列非攻击型车的摆法 … 的排列
8! 4c}： !2 !4 ! = 420 2
2）除去1个b即{3a, 1b, 4c}：
8! = 280 3!1!4! 3c}： 8! = 560 3!2!3!
多重集的组合
方程： x1+x2+…+xk=r 的非负整数解的个数？ 满足条件 0≤x1≤n1，0≤x2≤n2，…, 0≤xk≤nk 的整数解的个数？
多重集排列的另一种解释：对n个元素集合 划分为指定大小的多个部分，每个部分指 派标号。 例如：S={n1a1, n2a2}, 集合S的排列数是 S={n S
n n! n! = = n1! n2 ! n1!( n n2 )! n1
也是n元素集合的n1-组合数。
例：集合{a, b, c, d}将其中元素放入两个具有标号
设上例设8各车互相不同，用不同颜色标记。 设上例设 各车互相不同，用不同颜色标记。 各车互相不同 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
注意到区分8种颜色，实质上考虑8个车的 有序排列，那么，共有8!种；由乘法原理共 有8!2种。
假设1个红车，3个蓝车和4个黄车，即是多 重集{1R, 3B, 4Y}的排列，共有
多重集的组合
多重集S的一个r-组合是S的子多重集 子多重集。 子多重集 如S＝{2a, 1b, 3c}的3-组合包括： {2a, 1b}, {2a, 1c}, {1a, 1b, 1c}… 等。
无限重数的多重集组合
定理3.5.1：令S是多重集，它有k个不同的 定理 元素，每个元素都有无限重复次数，那么， S的r-组合个数为
“一一对应”概念是一个在计数中极为基 本的概念。一一对应既是单射又是满射。 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非是建 立了将A中元与[1,n]元一一对应的关系。 在组合计数时往往借助于一一对应实现模 型转换。 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A与 B一一对应。
r + k 1 r
S的任何一个 组合可以唯一确定一个长为 的排列。 的任何一个r-组合可以唯一确定一个长为 的排列。 的任何一个 组合可以唯一确定一个长为r的排列
例
2. 令S＝{∞a, ∞b, ∞c, ∞d}求S的使得4个元素都 至少出现一次的10-组合个数。 解的个数，x1表示a的在组合出现次数，… x a … （2）变量代换：yi=xi1（i=1,2,3,4），得到方程 y1+y2+y3+y4=6（C），方程（C）的非负整数解 的个数等于方程（A）的正整数解的个数。由 定理的证明得到： 6 + 4 1
n! n! n1! n 2 !… n k !
特别的，若颜色互不相同，则为(n!)2
一个问题
多重集S={n1a1, n2a2,…, nkak}，令n= n1+n2+…+nk ，求S的r-排列数？其中r<n.
例
多重集S ={3a, 2b, 4c}，求S的8-排列的 个数。 解： S的8-排列是S除去一个元素的子集的 排列。可分为三种情况： 1）除去1个a即{2a, 2b, 3）除去1个c即{3a, 2b,
( r + k 1)! r + k 1 = r r! ( k 1)!
模型转换
多重集组合 不定方程解集 多重集排列
例
1. 取自1，2，…，k的长为r的非减序列个数是多少？ （允许重复） 解：注意到：取自1，2，…，k的长为r的任一个非 减序列一一对应多重集S＝{∞1, ∞2,…, ∞k}的一 个r-组合。那么，个数为