第十一章：无穷级数、第一节

n =1
∞
∴ lim σ n = lim k s n = k s
n→ ∞
∞
n→ ∞
即 ∑ k un = k s = k ∑ un
n =1 n =1ห้องสมุดไป่ตู้
∞
注意： 注意：由于 σ n = k s n , 所以当 k ≠ 0 时，
若 lim sn 不存在， 则 lim σ n 也不存在 不存在，
n→ ∞
发散时， 即当 级数 ∑ un 发散时， 级数
例1：级数 ∑ ：
∞
n =1
n +1 n +1 2 3 4 = + + +⋯ + +⋯ n 1 2 3 n
1 n +1 = lim ( 1+ ) = 1 ≠ 0 发散 由于 lim un = lim n n→∞ n→∞ n n→∞
（2） ）
称（2）为级数（1）的第 n 次部分和 ）为级数（ ） 当 n 依次取 1，2，3，… 时，构成一新数列 ， ， ，
s1 = u1, s 2 = u1 + u2 , s3 = u1 + u2 + u3 , …… sn = u1 + u2 + ⋯+ un ……
数列 {sn} 称为级数
n =1
aq n = a + aq + aq 2 + ⋯+ aq n−1 + ⋯ 例1：无穷级数 ∑ ：
称为几何级数（或等比级数），其中 称为几何级数（或等比级数），其中 a ≠ 0 ）， n−1 q 称为级数的公比， 它的一般项 un = aq 称为级数的公比， 解：由于当 q ≠ 1 时，其部分和数列为
第十一章 无穷级数 第一节： 第一节： 常数项级数的概念和性质 （一） 常数项级数的概念
设已给数列 u1 , u2 , ⋯, un , ⋯, 则下列式子
n =1 ∞
∑ un = u1 + u2 + ⋯+ un + ⋯
（1） ）
（1）称为（常数项）无穷级数，简称级数。 ）称为（常数项）无穷级数，简称级数。
n =1
∑ un
∞
发散。 发散。
rn = s − sn = un+1 + un+2 +⋯
称为近似误差。 | rn | 称为近似误差。
对于（常数项） 对于（常数项）级数
n =1
∑ un
∞
一般要解答以下三个问题： 一般要解答以下三个问题： （1）判断它的收敛性； ）判断它的收敛性； （2）在收敛的条件下，求它的和 s ； ）在收敛的条件下， （3）在收敛的条件下，求它的余项 rn . ）在收敛的条件下，
n +1 例3：判定级数 ∑ ln ： n n =1 2 3 4 n+1 = ln +ln + ln + ⋯ + ln +⋯ 的收敛性 1 2 3 n n +1 解： ∵ ln = ln(n +1) − ln n n 2 3 4 n+1 ∴ s n = ln +ln + ln + ⋯ + ln = (ln2 − ln1) n 1 2 3 +(ln3 − ln2) + (ln4 − ln3) +⋯ + ( ln(n +1) − lnn ) = ln(n+1)
(a − a) + (a − a) +⋯+(a − a) + ⋯
∞
v1
v 2 ……
vn
……
即新级数为
n =1
∑ v m = v1 + v2 +v3 +⋯+ vm +⋯
= 0 +0 +⋯+0 + ⋯ = 0
即加括号后的新级数收敛于 0
推论2：如果加括号以后的级数发散， 推论 ：如果加括号以后的级数发散，则原级数 也发散。 也发散。 ），无 推论3： 推论 ：正项级数 ∑ un （一般项 un ≥0 ），无
的部分和数列。 ∑ un 的部分和数列。
∞
定义： 定义：若级数
∞
n =1
∑ un 的部分和数列 { sn } 有极限 , 即
n→ ∞
∞
∞
lim s n = s
则称级数
n =1
∑ un
收敛 , 并称 s 是它的和 ，记为
s = ∑ un = u1 + u2 + ⋯+ un + ⋯
n =1
没有极限， 如果 { s n } 没有极限， 则称级数 当级数收敛时， 当级数收敛时，称 为级数的余项。 为级数的余项。
n =0
a （1）当 | q | < 1 时，几何级数收敛，其和为 ） 几何级数收敛， 1− q n n a a aq aq rn = s − sn = )= −( − 1− q 1− q 1− q 1− q
几何级数发散。 （2）当 | q | > 1 时，几何级数发散。 ）
aq n = a + aq + aq 2 + ⋯+ aq n−1 + ⋯ 例1：无穷级数 ∑ ：
第n 项 un 称为一般项
问题： 上述级数的定义只是一个形式上的定义， 问题： 上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎 样理解无穷多个数相加的含义呢？ 样理解无穷多个数相加的含义呢？
n =1
） ∑ un = u1 + u2 + ⋯+ un + ⋯ （1）
sn = u1 + u2 + ⋯+ un
∞
取级数（ ） 取级数（1）的前 n 项的和
例如，考察级数 例如，
∞
n =1
∑
(−1) n−1 2 n−1
1 1 1 (−1) = 1− + − +⋯+ n−1 + ⋯ 2 4 8 2
n−1
1 q= − , 2
所以该级数收敛。 所以该级数收敛。
2 例2：判定级数 ∑ ： n =1 (2n −1) (2n +1)
∞
2 2 2 2 = + + +⋯ + +⋯ 的收敛性 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1) (2n + 1) 2 1 1 1 1 ∵ rn = s − s n = 1= (1 − − ) = 解： − (2n −1) (2n +1) 2n −1 + 12n +1 + 1 2n 2n 2 2 2 2 + + +⋯ + ∴ sn = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1) (2n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = ( − ) + ( − ) +( − ) +⋯+( − 1 3 3 5 5 7 2n −1 2n +1 1 1 lim s n = lim (1− ) = 1 收敛 =1− n→ ∞ 2n +1 2n +1 n→ ∞
n =1 ∞
∑ k un 的前 n 项部分和为 σ n , 则
n→ ∞
σ n = k u1 +k u2 + ⋯+ k un = k ( u1 + u2 + ⋯+ un) = k sn
∴ lim σ n = lim k s n = k s
n→ ∞
∞
n→ ∞
即
n =1
∑ k un = k s = k ∑ un
∞
n=1
∑un = u1 + u2 + ⋯+ un +⋯ = s
（1） ）
将其加括号后所成的级数，不失一般性设为： 将其加括号后所成的级数，不失一般性设为：
u1 + (u2 +u3 ) + (u4 +u5+ u6) +⋯
若记 则得新级数
（2） ）
v1
m= 1
∑ vm = v1 + v2 +v3 +⋯+ vm +⋯
∞
, 且 lim s n = s
n→ ∞
σ n = v1 + v 2 + ⋯+ v n , 且 lim σ n = σ
n→ ∞
又设
τ n = (u1 ± v1) +(u2 ± v2 ) +⋯+ (un ± vn)
= (u1 + u2 + ⋯+ un ) ± (v1 + v2 + ⋯+ vn ) = sn ±σ n
uk+1 + uk+2 +⋯+ uk+m +⋯
（2） ）
则性质3表明：级数（ ） 则性质 表明：级数（1）与（2）有相同的收敛性。 表明 ）有相同的收敛性。 但在收敛时，级数（ ） 但在收敛时，级数（1）与（2）的和一般会不同。 ）的和一般会不同。
性质4：如果一个级数收敛，则任意加括号后所 性质 ：如果一个级数收敛， 成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。 成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。 说明： 说明： 设
n =0
∞
解： （3）当 q = 1 时，则原级数成为 ）
a + a+ a + ⋯+ a + ⋯
sn = a + a+ a + ⋯+ a = na , lim s n = ∞ 发散
n→ ∞
（4）当 q = − 1 时，则原级数成为 ）
a − a+ a − a + ⋯+ a − a + ⋯
a n为奇数 sn = 0 n为偶数
n =1
∞
n→ ∞
n =1
∑ k un也发散
∞
推论： 推论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数 后，其收敛性不变
性质2：如果 性质 ： 则
∞
n =1
、 ∑ un 和 ∑ vn 分别收敛于和 s、σ ,
n =1
∞
∞
n =1
也收敛， ∑ ( un ± vn ) 也收敛，且其和为 s ± σ
证明： 证明：设 s n = u1 + u2 + ⋯+ un
∞
∴ lim s n = lim ln(n +1) = ∞
n→ ∞ n→ ∞
级数发散 发散
类似地可验证： 类似地可验证：
n =1
∑ ( n +1− n)
∞
（二） 无穷级数的基本性质
性质1：如果 性质 ：
n =1
∑ un 收敛于和 s，则 ∑ k un 也收敛 ，
n =1
∞
∞
且其和为 k s 。 证明： 证明：设 s n = u1 + u2 + ⋯+ un , 且 lim s n = s 又设
∴ lim sn 不存在 , 发散
n→ ∞
aq n = a + aq + aq 2 + ⋯+ aq n−1 + ⋯ 例1：几何级数 ∑ ：
n =0
∞
a 结论： ） 结论：（1）当 | q | < 1 时收敛， 收敛和为 s = 时收敛， , 1− q n 时发散。 ） 余项为 rn = aq , （2）当 | q | ≥ 1 时发散。 1− q
∴ lim τ n = lim (s n ± σn ) = s ± σ
n→ ∞ n→ ∞
n =1
∑ ( un ± vn ) 的前 n 项部分和为 τ n , 则
成立。 所以性质 2 成立。
性质3：在一个级数的前面加上或去掉有限项， 性质 ：在一个级数的前面加上或去掉有限项，级数 的收敛性不变。 的收敛性不变。 考虑下面两个级数 ） u1 + u2 + ⋯+ uk + uk+1 + uk+2 +⋯+ uk+m +⋯ （1）
n =1 ∞
论加括号或去括号，都不影响它的收敛性。 论加括号或去括号，都不影响它的收敛性。
性质5（收敛的必要条件）：如果级数 性质 （收敛的必要条件）：如果级数 ）：
n =1
收敛， ∑ un = u1 + u2 + ⋯+ un + ⋯ 收敛，则 lim un = 0
n→ ∞
∞
证明： 证明：设 s n = u1 + u2 + ⋯+ un , 则
∞
v2
v3
⋯⋯
（3） ）
性质4表明：当级数（ ）收敛时，级数（ ）也收敛， 性质 表明：当级数（1）收敛时，级数（3）也收敛， 表明 且它们收敛的和相同。 且它们收敛的和相同。
推论1：性质 的逆命题不成立 的逆命题不成立， 推论 ：性质4的逆命题不成立，即加括号以后的级 数收敛，则不能断定原级数也收敛。 数收敛，则不能断定原级数也收敛。 例如： 例如： a − a+ a − a + ⋯+ a − a + ⋯ 是一个发散级数 但相邻两项加括号后的新级数成为
n =0
∞
sn = a + aq + aq + ⋯+ aq
2
n
n−1
a − aq n a aq n = = − 1− q 1− q 1− q
0 当 | q | < 1时 lim q = 并且 , 所以 n→ ∞ ∞ 当 | q | > 1时 a n 当 | q | < 1时 a aq lim s n = lim ( ) = 1− q − n→ ∞ n →∞ 1 − q 1 − q ∞ 当 | q | > 1时
aq n = a + aq + aq 2 + ⋯+ aq n−1 + ⋯ 例1：无穷级数 ∑ ：
∞
a aq n 解： s n = a + aq + aq 2 + ⋯+ aq n−1 = − 1− q 1− q a n 当 | q | < 1时 a aq lim s n = lim ( ) = 1− q − n→ ∞ n →∞ 1 − q 1 − q ∞ 当 | q | > 1时
sn−1 = u1 + u2 + ⋯+ un −1 ,
n→∞
un = sn − s n −1
n→∞
lim un = lim (s n − s n −1) = lim s n − lim s n −1 = s − s = 0 n→∞ n→∞
推论1：如果级数的一般项不趋于零，则它一定发散。 推论 ：如果级数的一般项不趋于零，则它一定发散。 推论2：一般项趋于零的级数，不一定收敛。 推论 ：一般项趋于零的级数，不一定收敛。