切比雪夫不等式证明(精选多篇)
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。
二项分布切比雪夫不等式
二项分布切比雪夫不等式
二项分布的切比雪夫不等式是指对于任意一个服从二项分布的随机变量X，其概率分布为B(n,p)，其均值为μ=np，方差为σ^2=np(1-p)，则对于任意一个正数ε，有以下不等式成立：
P(|X-μ|≥ε)≤σ^2/ε^2
其中，P(|X-μ|≥ε)表示随机变量X偏离均值μ超过ε的概率，σ^2表示X的方差。
这个不等式的含义是，对于任意一个二项分布，无论其具体参数是多少，只要给定一个正数ε，那么随机变量X偏离均值μ超过ε的概率都不会超过方差σ^2与ε^2之比。
也可以说，大多数的二项分布随机变量都会在均值附近波动，偏离均值的部分概率会随着偏离的增加而逐渐减小。
概率论第四章-切比雪夫不等式
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
P | X − µ |≥ε}≤σ /ε {
2
2
P | X −µ |<ε}≥1−σ /ε {
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε =3 , 2 , σ σ
2 2
9 2 3 2 P{| X −µ |< 2 } ≥1−σ / ( 2 ) = = 0.75 σ σ 4
P{| X −µ |< 3 } ≥1−σ / ( 3 ) = 8 = 0.89 σ σ
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
切比雪夫不等式应用示例讲解
切比雪夫不等式应用示例 ， 证：只证X 为连续型随机变量的情况
设ƒ(χ)为X 的概率密度，则有
例1 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数，并且λξηe =（0>λ），若ηE 存在，求证
对于任何实数a 都有λξλξEe e a P a ⋅≤≥-}{
证明：可用切贝晓夫不等式来证.
令y a ξ=-，则y 的取值是任意的.
因为e λξ的期望存在，所以()a e λξ-的期望存在，即y e λ存在.
当a ξ≥即0y a ξ=-≥时： 1y e
λ> 从而1y Ee λ>
所以()0y P a Ee λξ-≥≤
整理即得：()a P a e Ee λλξξ-≥≤⋅
例 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，
试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。
解: 令X 表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)
可用切贝晓夫不等式进行估计此概率。
5.1切比雪夫不等式
独立 不相关 ，但反之不然
Ch5 . 大数定律与中心极限定 理
§5.1 切比雪夫不等式
2 设随机变量X有期望μ和方差 ，则对于任 给 >0,
或
P (| X | ) 2 2 P (| X | ) 1 2
2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则 事件（|X-μ|<ε）的概率越大，即随机变量X集中 在期望μ 附近的可能性越大.
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，EX=7300,DX=7002 所求为 P(5200≤ X ≤9400) P(5200≤ X ≤9400) =P(5200-7300≤ X-7300 ≤9400-7300) =P(-2100≤ X-EX ≤2100)
700 2 8 DX 1( ) P (| X EX | 2100) 1 2 2100 ( 2100) 9
2 P (| X | ) 1 2
2 如取 3 ，P (| X | 3 ) 1 2 0.889 9
对比 3规则：若X ~ N ( , 2 )，则
P (| X | 3 ) 0.9973
例1 已知正常成人血液中，每一毫升白细胞数平 均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
方差
DX=E(X-EX)2 =E(X2)-(EX)2 （若X与Y独立， D(X±Y)= DX+DY ）
协方差 Cov ( X ,Y ) E ( X EX )(Y EY )
=E(XY) -EXEY
（若X与Y独立， Cov(X,Y ( X ,Y ) DXDY
切比雪夫不等式 证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
切比雪夫不等式的证明
切⽐雪夫不等式的证明
定理4.4 (切⽐雪夫不等式) 设随机变量 X 的期望和⽅差均存在，则对任意 ε>0，有
P (|X −WX |≥ε)≤DX
ε
2
等价形式为
P (|X −WX |<ε)≥1−DX
ε
2
证明 令
Y =
1ω∈{|X −EX |≥ε},0其他,
则 Y ≤
(X −EX )2
ε2
，根据期望的性质，有
P (|X −WX |≥ε)=EY ≤E
(X −EX )2
ε2
=DX ε2
.
以上是书本上的证明，我初读不理解，故在⽹上查阅其他形式的证明辅助理解，有效，如下：
命题 设随机变量具有数学期望 E (X )=µ，⽅差 D (X )=σ2，则对任意的正数 ε 有 P {|X −µ|≥ε}≤σ2
ε2 或 P {|X −µ|≤ε}≥1−σ2
ε
2
证明过程：
1. X 为连续型则有
P {|X −µ|>ε}=∫|X −µ|≥εf (x )dx ≤∫+∞
−∞
(x −µ)2
ε2
f (x )dx =σ2
ε
2
2. X 为离散型则有
P {|X −µ|≥ε}=∑k ∈|X −µ|≥εP k ≤∞
∑
k =1
(x −µ)2ε2
P k =σ2
ε
2
注：上⾯的离散型证明中的第⼀个求和符号下⾯的 k 后⾯的符号不确定是否是 ∈，原图有些不清晰，以后有时间会求证.参考：
{
[
]
Processing math: 100%。
切比雪夫不等式
概概率为 0.75, 利 用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
E(X)=0.75n, D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
概率论
切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望E( X ) ,方差
D( X ) 2,则对于任意正数，有不等式
或
P{| X E( X P{| X E( X )
) |
|
}
} 1
2
2
2 2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2越小，则
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
概率论
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
1
D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
中在期望附近的可能性越大.
概率论
例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400)
P(0.74 X 0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n} n
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式1. 引言切比雪夫不等式是概率论与数理统计中非常重要的一条不等式，其形式是针对一个随机变量的界的一种刻画方法。
切比雪夫不等式给出了一个随机变量偏离其期望值的可能性的上界。
切比雪夫不等式的应用广泛，在概率论、数理统计和机器学习等领域都有重要作用。
2. 定理表述设X是一个随机变量，其期望值E(X)存在，则对于任意正数ε，有P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) / ε^2其中Var(X)表示X的方差。
3. 证明思路证明切比雪夫不等式需要使用马尔可夫不等式。
马尔可夫不等式表明，对于一个非负的随机变量Y和任意正数η，有P(Y ≥ η) ≤ E(Y) / η在切比雪夫不等式的证明中，我们将马尔可夫不等式应用于随机变量(Y = (X - E(X))2)，并分别取η为ε2和η为Var(X)。
4. 证明过程首先，根据马尔可夫不等式，对于任意正数η，有P(Y ≥ η) ≤ E(Y) / η将Y代入，有P((X - E(X))^2 ≥ η) ≤ E((X - E(X))^2) / η由于方差Var(X) = E((X - E(X))^2)，所以上式可以改写为P((X - E(X))^2 ≥ η) ≤ Var(X) / η令η = ε^2，可以得到P((X - E(X))^2 ≥ ε^2) ≤ Var(X) / ε^2由于(X - E(X))^2 ≥ ε^2等价于|X - E(X)| ≥ ε，所以上式可以改写为P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) / ε^2证毕。
5. 应用示例切比雪夫不等式可以用来估计随机变量偏离其期望值的可能性的上界。
例如，假设我们有一个服从正态分布的随机变量X，其期望值为0，方差为1。
我们可以使用切比雪夫不等式来估计X大于等于2的概率的上界。
根据切比雪夫不等式，我们有：P(|X - 0| ≥ 2) ≤ Var(X) / 2^2 = 1 / 4因此，X大于等于2的概率的上界为1/4。
切比雪夫不等式证明(精选多篇)
切比雪夫不等式证明(精选多篇)第一篇：切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb(1000,1/2).因此500211000=×==npex,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(=××==pnpdx,而所求的概率为}500600500400{}600400{}100{975.010012=≥dx.二、切比雪夫(chebyshev)不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{|x-ex|>=ε}=1-dx/ε切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k 。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
34 切比雪夫不等式与大数定理
数为p的( 0 − 1)分布), 及伯努利大数定理立刻 可得上面结论.
3. 弱大数定理 （辛钦定理）（弱大数定理 的推广） 弱大数定理2（ 弱大数定理1的推广 的推广）
设随机变量 X 1 , X 2 ,L , X n ,L 相互独立同分布，且 相互独立同分布， E ( X k ) = µ ， ( k = 1,2, L) 存在，则对于任意正整数ε , 存在，
ε2
2. 大数定理
弱大数定理1 1. 弱大数定理1 设 X 1 , X 2 , L , X n , L 是相互独立，服从同一分布的随机 是相互独立， 变量序列， 变量序列，且具有数学期望 E ( X k ) = µ , 及D( X k ) = σ 2 , ( k = 1, 2, L) ，则对于任意正整数 ε ，有
l: x − E ( X ) ≥
∫ f (εx )dx
f ( x )dx
≤
l : x − E ( X ) ≤ε
∫
( x − E ( X )) 2
ε
2
2
≤∫
=
+∞
( x − E ( X )) 2
−∞
ε
+∞
f ( x )dx
1
ε2
( x − E ( X )) 2 f ( x )dx = ∫−∞
D( X )
1 n 有 lim P ∑ X k − µ < ε = 1 n→ ∞ n k =1
４．
小结
（１）契比雪夫不等式 （２）大数定理
切比雪夫资料
Pafnuty Chebyshev
Born: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。
切夫雪比不等式证明
切夫雪比不等式证明切夫雪比不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来证明很多数学问题。
在本文中，我们将介绍切夫雪比不等式的定义和证明过程。
切夫雪比不等式的定义如下：对于任意的正实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1b1+a2b2+...+anbn)² ≤ (a1²+a2²+...+an²)(b1²+b2²+...+bn²)其中，a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是任意的正实数。
这个不等式的意义是，对于两个向量a和b，它们的内积的平方不会超过它们的模长的平方之和。
接下来，我们将证明切夫雪比不等式。
证明：我们可以将切夫雪比不等式写成以下形式：(a1b1+a2b2+...+anbn)² - (a1²+a2²+...+an²)(b1²+b2²+...+bn²) ≤ 0我们将左边的式子展开，得到：a1²b1² + a2²b2² + ... + an²bn² + 2a1b1a2b2 + 2a1b1a3b3 + ... + 2an-1bnanbn-1 - a1²b1² - a2²b2² - ... - an²bn² ≤ 0化简后得到：2a1b1a2b2 + 2a1b1a3b3 + ... + 2an-1bnanbn-1 ≤ a1²b2² + a2²b1² + a1²b3² + a3²b1² + ... + an²bn-1² + bn²an-1²我们将左边的式子分解成n个二元组，每个二元组为(ai,bi)和(aj,bj)，其中i<j。
切比雪夫不等式的若干证明方法
切比雪夫不等式的若干证明方法李晨佳【摘要】切比雪夫不等式是一些重要定理的理论基础,在理论研究和实际应用方面都很有价值.主要介绍了切比雪夫不等式的几种证明方法.【期刊名称】《林区教学》【年(卷),期】2013(000)001【总页数】2页(P86-87)【关键词】切比雪夫不等式;期望;方差【作者】李晨佳【作者单位】绥化学院,黑龙江绥化152000【正文语种】中文【中图分类】O13切比雪夫不等式有许多种不同的证明方法，本文总结了该不等式在概率论中的一些常用证明方法。
切比雪夫不等式:设随机变量X的平均值E(X)和方差D(X)都存在，且D(X)有限，则对于任意正数ε，有令ε=kσ，其中k是正数，则得到切比雪夫不等式另一种形式:由数学期望的定义得利用以上结果可得注意每项都大于0，去掉使得因子其中每项piqjrk的系数都满足记P表示x，y，z…的取值不满足上式的概率，即满足下式证法2:证法3:不妨设X是连续型随机变量，均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2，对任意实数ε＞0，定义函数证法4:设X为离散型随机变量，其概率分布为 Pi=P{X=xi}，其中 i=1，2，…。
X分别以Pi取得值 xi。
则事件表示随机变量X取得所有满足不等式的可能值xi，该事件的概率为[1]徐传胜.从博弈问题到方法论学科—概率论发展史研究[M].北京:科学出版社，2010:175－178.[2]成都地质学院《概率论与数理统计》编写小组.概率论与数理统计[M]北京:地质出版社1981:94.[3]杨杰，于忠文，王会斌.概率论与数理统计[M].济南:山东大学出版社，2005:124.[4]Dimitri P.Bertsekas，John N.Tsitsiklis.Introduction to Probability[M].北京:人民邮电出版社，2009:231.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
切比雪夫不等式证明 一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb.因此500211000=×==npex,250)2答题完毕，祝你开心!111不等式 对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{|x-ex|>=ε}=1-dx/ε_切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k_。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近： 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k_举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分的人，数目不多于4个。 设为一测度空间，f为定义在x上的广义实值可测函数。对於任意实数t>0， 一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有 上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得： 概率论说法 设x为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0， 改进 一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子： 这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。 当只求其中一边的值的时候，有cantelli不等式： 证明 定义，设为集的指标函数，有 又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数y和正数a有pr/a。取y=2及a=2。 亦可从概率论的原理和定义开始证明。 设随机变量x有数学期望?及方差?，则对任何正数?，下列不等式成立2?2p?x?e????2 ?证明：设x是离散型随机变量，则事件x?e??表示随机变量x取得一切满足不等式xi?e??的可能值xi。设pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得p?x?e????xi?e???pi这里和式是对一切满足不等式xi?e??的xi求和。由于xi?e??，即?xi?e?2??2xi?e??，所以有2?2?1。2?xi?e?又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以?2，则和式的值将增大。 于是得到p?x?e????xi?e???pi?xi?e????xi?e??22pi?1?2xi?e????xi?e?2pi因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此p?x?e????1?2??x?e?ii2pi上式和式是对x的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以，?2p?x?e????2 ?mathwang几个经典不等式的关系 一几个经典不等式 均值不等式 设a1,a2,?an?0是实数a?a???a12n ???111n?+??a1a2an其中ai?0,i?1,2,?n.当且仅当a1?a2???an时，等号成立.n柯西不等式 设a1,a2,?an,b1,b2,?bn是实数，则?a2122?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?2当且仅当bi?0或存在实数k，使得ai?kbi时，等号成立.排序不等式 设a1?a2???an，b1?b2???bn为两个数组，c1，c2，?，cn是b1，b2,?，bn的任一排列，则a1b1?a2b2???anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1???anb1当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时，等号成立.切比晓夫不等式 对于两个数组：a1?a2???an，b1?b2???bn，有a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1??????nnnn????当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时，等号成立.二相关证明 用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn??????nnn?????n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?而?a1?a2???an??b1?b2???bn??a1b1?a2b2???anbn?a1b2?a2b3???anb1?a1b3?a2b4???anb2?a1b4?a2b5???anb3???a1bn?1?a2bn???anbn?2?a1bn?a2b1???anbn?1根据“顺序和?乱序和”，可得n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?即得a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn??????nnn????同理，根据“乱序和?反序和”，可得?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1?????nnn????综合即证 用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”?证明：构造两个数列：a1?a2???annaa?aa1aa,x2?122,?xn?12nn?1 ccc1c1c21cny1??,y2??,?yn???1x1a1x2a1a2xna1a2?anx1?其中c?.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x1y1?x2y2??xnyn总是两数组的反序和.于是由“乱序和?反序和”，总有．．．．．．．．．x1yn?x2y1??xnyn?1?x1y1?x2y2??xnyn于是aa1a2????n?1?1???1 ccc即a1?a2???an?nc即证a1?a2???an?c?na1?a2???an用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：?n证明：不妨设a1?a2???an，222a1?a2???an?a1?a2???an??a1?a2???an?a1?a2???an. ???????nnnn????由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”n?+??a1a2an?a1?a2???ann证明：n111?+??a1a2an?a1?a2???ann1?11?+??a1a2an?a1?a2???an??????nn?????111?a??a????a?12n?a1a2an??1?.n???不妨设a1?a2???an，则111????，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. anan?1a1用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式 证明：不妨设a1?a2???an，b1?b2???bn由切比晓夫不等式，有a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn??????.nnn????由均值不等式，有a1?a2???an?nb1?b2???bn?n所以a1b1?a2b2???anbn?n两边平方，即得?a1b1?a2b2???anbn??a1?a2???anb22?b2???bn.即证.补充“调和—几何平均不等式”的证明111????a?a2???ananaa21证n天津理工大学2014届本科毕业论文 切比雪夫不等式及其应用 摘要 切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。尤其在分布未知时，估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式。另外，大数定律是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。如今，在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。作为一个理论工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。 本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论，引出其概率形式，用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。其次，从三大方面阐述了其在概率论中的应用，并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的应用，并且用切比雪夫不等式评价了irr的概率风险分析。 关键词:切比雪夫不等式大数定律irrthe chebyster’