2021高考数学一轮复习：专项突破 新高考·新题型专练
高中 2021届一轮复习数学新高考新题型专练
数学新高考新题型专练：(7)空间向量与立体几何1.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，则()A.直线1DD 的一个方向向量为()0,0,1B.直线1BC 的一个方向向量为()0,1,1C.平面11ABB A 的一个法向量为()0,1,0D.平面1B CD 的一个法向量为()1,1,12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M N ,分别为棱11C D ，1CC 的中点，则()A.A M N B ,,,四点共面B.平面ADM P 平面11CDD CC.直线BN 与1B M 所成角的为60°D.BN P 平面ADM3.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则()A.异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为B.异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35C.1A B ⋂平面11B D C =∅D.点1B 到平面11A BD 的距离为1254.如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1,,45AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题正确的()A.A D BC'⊥ B.三棱锥A BCD '-的体积为22C.CD ⊥平面A BD'D.平面A BD '⊥平面A DC'5.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），过点P 作平面α分别与棱ABC CD ，交于M N ，两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是（）A ．1A C ⊥平面αB ．存在点P ，使得1AC //平面αC ．存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53D ．用过P ，1M D ，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形6.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是()A.DP 的最小值为355B.DPC.1AP PC +D.1AP PC +7.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点,,,,F B E G H 为过三点,,B E F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（）A.//HF BEB.三棱锥1B BMN -的体积为6C.直线MN 与平面11A B BA 的夹角是45︒D.11:1:3D G GC =8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是()．A.对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B.对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是11,AB A D 的中点，下列正确的结论有()A.1MN BD P B.MN P 平面11BB D C.BD CD⊥D.四棱锥111D BB C C -的外接球的表面积等于12π10.如图甲所示，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,,ADE CDF BEF △△△分别沿,,DE DF EF 折起，使,,A B C 三点重合于点P (如图乙所示)，则下列结论正确的是()A.PD EF⊥B.平面PDE⊥平面PDFC.平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为13 D.点P在平面DEF上的投影是DEF△的外心.答案以及解析1.答案：ABC解析：111,(0,0,1),AA DD AA =∴uuu r Q P A 正确；111,(0,1,1),AD BC AD =∴uuu r P B 正确；AD ⊥平面11,(0,1,0),ABB A AD =∴uuu r C 正确；1(1,1,1)AC =uuu r ，显然与平面1B CD 不垂直，∴D 错误.2.答案：BC解析：如图所示，对于A 中，直线,AM BN 是异面直线，故A M N B ,,,四点不共面，故A 错误；对于B 中，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得AD ⊥平面11CDD C ，所以平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C 中，取CD 的中点O ，连接,BO ON ，可知三角形BON 为等边三角形，故C 正确；对于D 中，因为BN P 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误.故选：BC.3.答案：ACD解析：依题意11115,CB CD B D ===由于11A B CD P ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.在三角形11CB D 中，2221155cos5B DC +-∠==，所以异面直线1A B 与11BD 所成角的余弦值为225.故A 选项正确，B 选项错误.由于111,A B CD A B ⊄P 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1A B P 平面11B D C ，故C 选项正确.设点1B 到平面11A BD 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=，所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125h =，故D 选项正确.故选：ACD.4.答案：CD解析：如图所示：E 为BD 中点，连接'A E ，AD BC P ，1AD AB ==，AD AB ⊥，得到45DBC ADB ∠=∠=︒，又45BCD ∠=︒，故BCD V 为等腰直角三角形，平面A BD '⊥平面BCD ，CD BD ⊥，所以CD ⊥平面A BD '，所以C 正确；E 为BD 中点，'A E BD ⊥，则'A E ⊥平面BCD ，所以A E BC '⊥，如果A D BC '⊥，则可得到BC ⊥平面A BD '，故BC BD ⊥与已知矛盾.故A 错误；三棱锥A BCD '-的体积为11223226S =⨯=.故B 错误；在直角三角形'A CD 中，222'''A C CD A D A C =+∴=，在三角形'A BC 中，'1,2,'A B BC A C ===满足222''''BC A B A C BA CA =+∴⊥，又''BA DA ⊥，所以'BA ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故D 正确.综上所述：答案为CD.5.答案：ACD解析：连接11,,AD D P AM DB ，，易得111,//,////,//AD PM C PM C PN DB C D MN .对于A ，可得正方体中1A C ⊥面1DBC ，即可得1A C ⊥平面α，故A 正确.对于B ，可得面1//C DB 面PMN ，故1AC 不可能平行面PMN .故错.对于C ，1A C ⊥ 平面α，且153A C =>，所以存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53，故正确.对于D ，用过1,,P M D 三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形11,PMAD PM AD ≠，四边形1PMAD 一定是梯形，故正确.故选：ACD.6.答案：AD解析：本题考查空间点，线、面的关系.求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知11A B A D BD ===，所以1A B边上的高为h =连接111,A C BC ，得11A BC △，以1A B 所在直线为轴，将11A BC △所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为'C ，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知1112,AA A C AA C ''==∠=，所以AC '=.7.答案：AD解析：对于A 选项，由于平面11//ADD A 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知//HF BE ，故A 选项判断正确；由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 的中点，故111112131,,,,2322MA HD D G GC C N =====，对于B 选项，11111111134243232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故B 选项判断错误；对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，且1114tan NMB 13B N B M ∠==≠，故C 选项判断错误；对于D 选项，根据前面计算的结果可知1113,22D G GC ==，故D 选项判断正确.8.答案：A C解析：因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB 点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选：A C.9.答案：BD解析：如图，取11A B 的中点K ，连接,MK NK ，则111,NK B D MK BB P P 且1111,NK MK K B D BB B ⋂=⋂=，∴平面MKN P 平面11BB D ，而MN ⊂平面MKN ，故MN P 平面11BB D ，故选项B 正确；取11B D 的中点O ，连接,ON OB ，则OB MN P ，而OB 与1BD 相交，故MN 与1BD 是异面直线，故选项A 错误；四棱锥111D BB C C -的外接球即正方体1111ABCD A B C D -的外接球，其直径为正方体的体对角线，则直径2R R ===224π4π12πS R ==⨯=球，故选项D 正确；由于11BD B D P ，连接1B C ，则11B CD V 为等边三角形，11B D ∴与1CD 的夹角是60°，则BD 与1CD 的夹角是60°，故选项C 错误，故选BD.10.答案：ABC解析：对于A 选项如图取EF 的中点H 连接,PH DH由PEF △和DEF △为等腰三角形得,PH EF DH EF ⊥⊥又PH DH H ⋂=所以EF ⊥平面PDH 所以PD EF ⊥故A 正确.对于B 选项根据折起前后可知,PE PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确对于C选项，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的2AB =，则(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,1),(1,2,0)P E F D EF FD =-=- 易知(0,2,0)PD = 为平面EFD 的发向量为(,,)n x y z = ，则00n EF n FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x z x y -=⎧⎨-+=⎩令2x =，则1,2y z ==，则(2,1,2)n = 为平面EFD 的一个法向量，21cos ,233||||PD n PD n PD n ⋅<〉===⨯ .。
2021年高考数学一轮复习 专题突破训练 函数
2021年高考数学一轮复习专题突破训练函数一、填空题1、（xx年江苏高考）已知函数，，则方程实根的个数为。
2、（xx年江苏高考）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是▲ ．3、（xx年江苏高考）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是▲ ．4、（xx年江苏高考）已知是定义在上的奇函数。
当时，，则不等式的解集用区间表示为。
5、（xx届南京、盐城市高三二模）已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为。
6、（南通、扬州、连云港xx届高三第二次调研（淮安三模））设()是上的单调增函数，则的值为▲．7、（苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（二））已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为▲8、（泰州市xx届高三第二次模拟考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲ ．9、（盐城市xx届高三第三次模拟考试）若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为▲10、（南通市xx届高三期末）已知函数是定义在上的函数，且则函数在区间上的零点个数为11、（苏州市xx届高三上期末）已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是12、（苏州市xx届高三上期末）已知函数的定义域是，则实数的值为13、（泰州市xx届高三上期末）函数的定义域为▲14、（无锡市xx届高三上期末）已知函数是定义域为的偶函数，当时，21-,02 4, 13,2 24xx xf xx若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是15、（扬州市xx届高三上期末）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿16、（苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（一））函数的定义域为17、（南京、盐城市xx届高三第二次模拟（淮安三模））已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲18、（xx江苏百校联考一）函数的所有零点之和为．19、（南京、盐城市xx高三第一次模拟）若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是20、（苏锡常镇四市xx届高三3月调研（一））已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为▲二、解答题1、（盐城市xx届高三上学期期中考试）设函数的定义域为，函数的值域为.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.2、（泰兴市第三高级中学xx高三上第一次质检）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．3、（泰兴市第三高级中学xx高三上第一次质检）已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求函数f(x)的值域．4、（苏州市xx届高三上学期期中考试）已知函数，，．(1) ，，求值域；(2) ，解关于的不等式．5、（常州市xx届高三）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域2）．的总面积．．．为（m（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值．6、（南通、扬州、连云港xx届高三第二次调研（淮安三模））设，函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数．7、已知函数，其中常数a > 0．(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；(2) 求函数f(x)的最小值．8、已知函数，.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求的取值范围．参考答案 一、选择题 1、4解析：由220,01ln ,01(),()2,12ln ,16,2x x x f x g x x x x x x x <≤⎧-<≤⎧⎪==-<≤⎨⎨>⎩⎪->⎩得到： ，由于： 时，单调递减，且取值范围在，故在该区域有1根； 时，单调递减，且取值范围在，故该区域有1根； 时，单调递增，且取值范围在，故该区域有2根。
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：专项突破四 提能力·数学探究 Word版含解析
姓名，年级：时间：专项突破四 提能力·数学探究1。
[数列与全(特)称命题交汇]已知数列{a n }满足：a 1=a ,a n +1=a n 2+1a n(n ∈N *）,则下列判断正确的是（ )A 。
∀a 〉0，∃n ≥2，使得a n <√2B .∃a 〉0,∃n ≥2，使得a n <a n +1C 。
∀a >0，∃m ∈N *，总有a m 〈a nD 。
∃a 〉0,∃m ∈N ＊，总有a m +n =a n2。
[三角函数与二次函数交汇］如图4 — 1所示,函数f (x )=sin(ωx +φ)（ω>0，|φ｜〈π2)的图象与二次函数y = - 32x 2+12x +1的图象交于点A (x 1,0)和B (x 2，1）,则f （x )的解析式为 （ )图4 — 1A 。
f （x )=sin(16x +π3）B .f (x ）=sin(12x +π3）C 。
f （x ）=sin （π2x +π3) D .f （x ）=sin(π2x +π6） 3。
［导数与三角函数交汇］已知函数f (x )的定义域为R ，f （12）= - 12，对任意的x ∈R，满足f ’ （x ）〉4x 。
当α∈[0，2π］时，不等式f (sin α）+cos 2α>0的解集为（ ）A 。
(7π6,11π6)B .（4π3,5π3)C .（π3，2π3）D 。
（π6，5π6) 4。
[函数、极值与数列交汇］定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：当0≤x 〈2时,f （x ）=2x - x 2；当x ≥2时，f (x ）=3f （x — 2）.若函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1,a 2，…，a n ，…,并记相应的极大值为b 1,b 2，…,b n ,…，则a 1b 1+a 2b 2+…+a 20b 20的值为 （ )A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1 D。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2-2基本不等式及其应用教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2021高考数学一轮复习第二部分专题突破练专题突破练5立体几何的综合问题含解析苏教版
专题突破练(5) 立体几何的综合问题一、选择题1．(2019·武汉模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 C解析对于A，若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故错误；对于B，若m ∥α，n∥α，则m与n平行或相交或异面，故错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错误．选C．2．(2020·昆明高三摸底)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m；但l⊥α，l⊥m，m⊂β不能得到α∥β.所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选A．3．(2019·湖南长沙市长郡中学二模)如图，在下列三个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是( )A．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有①C．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有③答案 A解析对于①，连接BD，因为E，F，G均为所在棱的中点，所以BD∥GE，DD1∥EF，从而可得BD∥平面EFG，DD1∥平面EFG，又BD∩DD1＝D，所以平面BDD1∥平面EFG，所以BD1∥平面EFG.对于②，连接DB ，DA 1，设正方体的棱长为1，因为E ，F ，G 均为所在棱的中点，所以BD 1→·GE →＝(DD 1→－DB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12DA 1→＝12(DD 1→·DA 1→－DB →·DA 1→)＝12×(1×2×cos45°－2×2×cos60°)＝0，即BD 1⊥EG .连接DC 1，则BD 1→·EF →＝(DD 1→－DB →)·12DC 1→＝12(DD 1→·DC 1→－DB →·DC 1→)＝12×(1×2×cos45°－2×2×cos60°)＝0，即BD 1⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以BD 1⊥平面EFG .对于图③，设正方体的棱长为1，连接DB ，DG ，因为E ，F ，G 均为所在棱的中点，所以BD 1→·EG →＝(DD 1→－DB →)·(DG →－DE →)＝(DD 1→－DB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫DC →＋12DD 1→－12DA →＝12DD 1→2－DB →·DC →＋12DB →·DA →＝12－2×1×22＋12×2×1×22＝0，即BD 1⊥EG .连接AF ，则BD 1→·EF →＝(DD 1→－DB →)·(AF →－AE →)＝(DD 1→－DB →)·⎝⎛⎭⎪⎫DD 1→＋12DC →＋12DA →＝DD 1→2－12DB →·DC →－12DB →·DA →＝1－12×2×1×22－12×2×1×22＝0，即BD 1⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以BD 1⊥平面EFG .故选A ．4．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析 ∵AB ＝AD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD ．∴A ′B ⊥A ′D ．∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，又A ′D ∩CD ＝D ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°.故选B ．5．(2019·郑州二模)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 没有公共点，则三角形PBB 1面积的最小值为( )A.32B ．1C ．34 D ．12答案 C解析 补全截面EFG 为截面EFGHQR ，如图，设BT ⊥AC 于T ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，∴D 1P ∥平面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∴P ∈AC ，且当P 与T 重合时，BP ＝BT 最短，此时△PBB 1的面积最小，由等积法：12BT ×AC ＝12BC ×BA ，即12BT ×12＋32＝12×1×3，∴BT ＝32，又BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，∴△PBB 1面积的最小值为12×32×1＝34，故选C.6．如图所示，已知在多面体ABC －DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ＝12×23＝4.故选B ．7．(2019·湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)．现有一只蚂蚁从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为( )A ．πB ．6＋ 2C ．6－ 2D ．π＋2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其侧面展开图如图所示，则依题意，点A ，M 的最短距离，即为线段AM .∵PA ＝PB ＝2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，∴展开图中的∠BPM ＝πPB＝π2，∵∠APB ＝π3，∴∠APM ＝5π6，∴在△APM 中，根据余弦定理有，MA 2＝22＋22－2×2×2cos 5π6＝8＋43＝(6＋2)2，∴MA ＝6＋2，即蚂蚁所经过路程的最小值为6＋2.故选B ．8．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是( ) A ．22πR 2B ．94πR 2C ．83πR 2D ．52πR 2 答案 B解析 如图所示，为组合体的轴截面，记BO 1的长度为x ，由相似三角形的比例关系，得PO 13R ＝x R，则PO 1＝3x ，圆柱的高为3R －3x ，所以圆柱的表面积为S ＝2πx 2＋2πx (3R －3x )＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.故选B ．9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且EF ∥平面PCD ，平面CEF 与直线PD 交于点H ，若点A ，B ，C ，H 都在球O 的表面上，则球O 的半径为( )A ．1B ． 2C ．32D ． 3答案 D解析 如图，取PD 的中点H ，PA 的中点G ，连接BG ，GH ，FH ，CH ，则GH ＝BC ，GH ∥BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．因为EF ∥平面PCD ，设平面PAB 与平面PCD 相交于直线m ，则EF ∥m ，CH ∥BG ∥m ，所以EF ∥BG ∥CH ，所以点H 就是平面CEF 与直线PD 的交点．取AD 的中点M ，连接CM ，HM ，则球O 就是直三棱柱ABG －MCH 的外接球，球心O 是两底面外接圆圆心连线的中点．直三棱柱ABG －MCH 的高BC ＝2，底面△ABG 的外接圆的半径为12BG ＝2，所以球O 的半径R ＝12＋22＝ 3.故选D ．10．(2020·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为( )A ．105B ．15C ．55D ．155答案 B解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1D ，可得A 1D ∥B 1C ，所以异面直线A 1B 与B 1C 所成的角即为直线A 1B 与直线A 1D 所成的角，即∠DA 1B 为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝BC ＝2AA 1＝2，则A 1B ＝A 1D ＝5，BD ＝22，在△A 1BD 中，由余弦定理得cos ∠DA 1B ＝A 1B 2＋A 1D 2－BD 22A 1B ·A 1D ＝5＋5－82×5×5＝15.故选B ．11．(2020·广东四校联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点C 关于平面BDC 1的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为( )A ．22B ． 2C ． 3D ．2答案 B解析 如图，连接AC ，交BD 于点O ，因为BD ＝BC 1＝DC 1＝2，所以△BC 1D 是等边三角形，故三棱锥C －BC 1D 为正三棱锥，设O ′为△BC 1D 的中心，连接CO ′，故CO ′⊥平面BC 1D ，延长CO ′到M ，使得MO ′＝O ′C ，连接OO ′，则OO ′∥AM ，所以AM 与平面ABCD 所成的角等于OO ′与平面ABCD 所成的角．因为BD ⊥OO ′，BD ⊥AC ，AC ∩OO ′＝O ，所以BD ⊥平面AMC ，故平面AMC ⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面AMC ＝AC ，根据两个平面相互垂直的性质可知OO ′在平面ABCD 上的射影一定落在线段AC 上，故∠O ′OC 为OO ′与平面ABCD 所成的角，即AM 与平面ABCD 所成的角．因为OC ＝22，OO ′＝13×32×2＝66，所以O ′C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫662＝33，所以tan ∠O ′OC ＝3366＝2，故选B ．12．(2020·湖北重点中学高三起点考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，顶点P 在底面的正投影O 恰为正方形ABCD 的中心，且AB ＝2，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN ＋MN 取最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．9π2B ．16π3C ．25π4D ．64π9答案 B解析 如图，在PC 上取点M ′，使得PM ＝PM ′，连接NM ′，则MN ＝M ′N ，AN ＋MN ＝AN ＋M ′N ，则当A ，N ，M ′三点共线时，AN ＋M ′N 最小，为AM ′，当AM ′⊥PC 时，AM ′取得最小值，即AN ＋NM ′的最小值．因为此时M 恰为PD 的中点，所以M ′为PC 的中点，连接AC ，所以PA ＝AC ＝2，因此PO ＝PA 2－AO 2＝ 3.易知外接球的球心在四棱锥的内部，设外接球的半径为r ，则r 2＝(3－r )2＋1，解得r ＝233，因此外接球的表面积S ＝4πr 2＝16π3.故选B ．二、填空题13．(2020·长春高三摸底)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α；③设α∩β＝l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β；④直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．答案 ①②解析 ①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l ⊥α的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.14．(2019·湖南湘潭四模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD －A 1B 1C 1D 1)的粮仓，宽3丈(即AD ＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________(填写所有正确结论的编号)．①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD 与BC 1所成角的正弦值为31313；③长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为133π4平方丈．答案 ①③解析 由题意，因为10000×2.7＝30×45×AA 1，解得AA 1＝20尺＝2丈，故①正确；异面直线AD 与BC 1所成角为∠CBC 1，则sin ∠CBC 1＝21313，故②错误；此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫4.52＋32＋2222＝133π4平方丈，所以③正确．15．如图，用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为__________．答案3＋12解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为1，如图中的DC ；折起后原正方形顶点到底面的距离为12，如图中的BC ．由图知球心与巢底面的距离OF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝3＋12.16．(2020·惠州调研)在三棱锥A －BCD 中，底面BCD 是直角三角形且BC ⊥CD ，斜边BD 上的高为1，三棱锥A －BCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A －BCD 体积的最大值为________．答案 43解析 如图，过点C 作CH ⊥BD 于点H .由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB ＝4.因为AB 为外接球的直径，所以∠BDA ＝90°，∠BCA ＝90°，即BD ⊥AD ，BC ⊥CA ，又BC ⊥CD ，CA ∩CD ＝C ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AD ，又BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CH ⊥BD ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ABD ．设AD ＝x (0<x <4)，则BD ＝16－x 2.在△BCD 中，BD 边上的高CH ＝1，所以V 三棱锥A －BCD ＝V 三棱锥C －ABD ＝13×12×x ×16－x 2×1＝16 －x 4＋16x 2，当x 2＝8时，V 三棱锥A －BCD 有最大值，故三棱锥A －BCD 体积的最大值为43.三、解答题17．(2020·郑州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝π3，M 是PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面MBD ； (2)若PB ⊥PD ，三棱锥P －ABD 的体积为63，求四棱锥P －ABCD 的侧面积． 解 (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面MBD ，∴平面PAC ⊥平面MBD . (2)设菱形ABCD 的边长为x ， ∵∠ABC ＝π3，∴∠BAD ＝2π3.在△ABD 中，BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos∠BAD ＝2x 2－2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3x 2，∴BD ＝3x .又PA ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，PB ⊥PD ，∴PB ＝PD ＝62x ， ∴PA ＝PB 2－AB 2＝32x 2－x 2＝22x . 又S △ABD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12·x 2·sin 2π3＝34x 2，∴V 三棱锥P －ABD ＝13·S △ABD ·PA ＝13·34x 2·22x ＝63，∴x ＝2，∴PA ＝2，PB ＝PD ＝ 6. ∵∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝2.又PA ⊥平面ABCD ，∴PC ＝PB ＝6， ∴四棱锥P －ABCD 的侧面积为2S △PAB ＋2S △PBC ＝2×12×2×2＋2×12×62－1×2＝2(5＋2)．18. (2020·福建莆田月考)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是棱AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ；(2)求点M 到平面A 1B 1C 的距离．解 (1)证明：如图，连接CM ，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥AA 1.在△ABC 中，由题意知AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)在矩形ABB 1A 1中，A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AMAA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是棱AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x (x >0)，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.解法一：如图，连接B 1C ，B 1M .从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋CB 21－A 1B 212A 1C ·CB 1＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin∠A 1CB 1＝12×22×22×74＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M －A 1B 1C ＝V 三棱锥C －A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2×37＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.解法二：如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于点O . 在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可知CM ⊥A 1B 1. 又CM ∩DM ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM . 因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长为点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM ⊥DM .又MD ＝2，所以由勾股定理可得CD ＝CM 2＋MD 2＝7，S △CMD ＝12·CD ·MO ＝12·CM ·MD ，即12×7×MO ＝12×3×2，解得MO ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 19. (2019·安徽黄山三模)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：CD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥B －APQ 的体积．解 (1)证明：因为四边形ABCM 是平行四边形，且∠ACM ＝90°， 所以AC ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ， 又CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥CD ，又CD ⊥AC ，AC ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABC . (2)取AC 上一点H ，使CH ＝23CA ，因为DQ ＝23DA ，连接QH ，则QH ∥CD ，所以由(1)可得QH ⊥平面ABC .因为AB ＝AC ＝3，所以BC ＝32，AD ＝32，所以BP ＝DQ ＝32×23＝22，所以QH ＝13CD ＝13×3＝1，所以V 三棱锥B －APQ ＝V 三棱锥Q －APB ＝13S △PAB ·QH ＝13×23×12×3×3×1＝1.20.(2019·江西省名校联考)如图，在空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并给出详细证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图，取BC 和BD 的中点H ，G ，连接HG ，则直线HG 为所求直线．证明如下．因为H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，所以HG ∥平面CDE . 取CD 的中点O ，连接EO ，AH ，AG ，如图，易知EO ⊥CD ，AH ⊥BC . 因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，所以EO ⊥平面BCD ， 又由平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，得AH ⊥平面BCD ， 所以EO ∥AH ，所以AH ∥平面CDE ，所以平面AHG ∥平面CDE ， 所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行． (2)由(1)可得EO ∥AH ，所以EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则点O 到平面ABC 的距离d ＝12DH ＝32，因为AB ＝13，所以三角形ABC 的面积S ＝12×2×132－1＝23，而经分析可得三角形ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，设B 到平面AEC 的距离为h ，用等体积法可得，V 三棱锥E －ABC ＝V 三棱锥B －ACE ，即13×23×32＝13×394×h ，解得h ＝43913. 21. (2019·湖北仙桃一中考前适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，∠PAD ＝∠APD ，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且AB＝CF ＝2FD ＝6.(1)证明：EF ⊥平面APB ；(2)在PC 上是否存在一点K ，满足PK →＝λKC →，使得平面EFK ∥平面PAD ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：如图，取线段PA 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是线段PB 的中点，所以ME ∥AB ，ME ＝12AB .又AB ＝CF ＝2FD ＝6，所以DF ＝12AB ，所以ME ＝DF .又DF ∥AB ，所以ME ∥DF ，所以四边形MDFE 是平行四边形，所以EF ∥MD . 因为∠PAD ＝∠APD ，所以PD ＝AD ，所以MD ⊥PA .因为平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ， 所以MD ⊥AB .又PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面APB ，AB ⊂平面APB ，所以MD ⊥平面APB ，故EF ⊥平面APB . (2)存在满足条件的点K .由(1)可知EF ∥MD ，EF ⊄平面PAD ，MD ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD . 根据题意，可得当点K 为PC 上靠近点P 的三等分点时，满足题意． 因为PK KC ＝DF FC ＝12，所以FK ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FK ⊄平面PAD ，所以FK ∥平面PAD .又FK ∩EF ＝F ，所以平面EFK ∥平面PAD ，此时PK →＝12KC →，即λ＝12.故当PK →＝12KC →时，平面EFK ∥平面PAD .附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题9-4 双曲线 教师版
专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）AB C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）则a =（）B．4C．2D．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a a=，解得12a =，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 60c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩ ，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y =2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.故答案为：3练提升1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为()53C．22【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c==PO a∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅e 3∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）A B ．53C D ．103【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即3c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．233C D ．33【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)3P x x ±，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为3y x =±，可令00(,)3P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)3F P x =+± ，200(2,)3F P x x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a=D ．若M 为直线2a xc =（c ）上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMN S = 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =，1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+练真题1.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B 132C 7D 13【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -OP |=（）A．222B．4105C．710【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）B．C．2D．【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A．324B．2C．D．【答案】A 【解析】由2,a b c ===．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上，113322224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．。
2021版新高考数学一轮复习高考大题专项(一)导数的综合应用新人教A版
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(1)若 a=1,证明:当 x≥0 时,f(x)≥1; (2)略.
3.已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)略.
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高考大题专项(一) 导数的综合应用
突破 1 导数与函数的单调性 1.已知函数 f(x)=1x3-a(x2+x+1).
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(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)略.
2.已知函数 f(x)=ex-ax2. 1
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(1)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值.
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突破 4 导数与函数的零点 1.已知函数 f(x)=1x2-mln x.若 m≥1,令 F(x)=f(x)-x2+(m+1)x,试讨论函数 F(x)的零点个数.
2021-2022年高考数学一轮复习高考大题专项练3高考中的数列
2021年高考数学一轮复习高考大题专项练3高考中的数列1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.2.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.3.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N+.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求+…+.4.已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N+).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和S n.5.(xx江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{a n}是等差数列.6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求a n;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>(n∈N+).7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N+,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.8.(xx山东潍坊一模)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,数列{b n}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=求数列{c n}的前n项和T n.参考答案高考大题专项练三高考中的数列1.解(1)依题意得,解得故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n=2n+1.(2)由题意可知=3n-1,则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, ②①-②得-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,T n=n·3n.2.解(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,∴S n+1+=3.∴S n+3n-1=×3n-1=.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N+),可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又a1=3,代入S n+1=3S n+3得a2=9,故a n=3n.(2)∵b n=,∴T n=, ①∴T n=, ②由①-②,得T n=,解得T n=.3.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1.(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=.由e2==2,解得q=.所以+…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+=n+(3n-1).4.(1)证明∵a n+1=,∴.∴-1=.又a1=,∴-1=.∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)知-1=,则+1.故+n.设T n=+…+, ①则T n=+…+, ②由①-②得T n=+…+=1-,∴T n=2-.又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和S n=2-.5.证明(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n, ①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1), ③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得故a n=a1+(n-1)d=2n+1.(2)证明∵a1=3,d=2,∴S n=na1+d=n(n+2).∴b n=.∴T n=b1+b2+…+b n-1+b n=,故T n>.7.解(1)因为a n=,所以S n-S n-1=,即=1,所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以a n==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为,所以T n=+…+.所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q>0,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,解得d=-2,q=2.∴a n=-1-2(n-1)=1-2n,b n=2n.(2)c n=①当n=2k(k∈N+)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=2k++…+,令A k=+…+,∴A k=+…+,∴A k=+4+…++4×,可得A k=.∴T n=T2k=2k+.②当n=2k-1(k∈N+)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k-2+a2k-1=2(k-1)++2=2k+.∴T n=k∈N+.。
2021版新高考数学一轮复习练习 (51) 两条直线的位置关系 (含解析)
[练案51]第二讲 两条直线的位置关系A 组基础巩固一、单选题1．(2019·临川一中)直线kx －y ＋2＝4k ，当k 变化时，所有直线都通过定点( C ) A ．(0,0) B ．(2,1) C ．(4,2)D ．(2,4)[解析] 直线方程可化为y －2＝k (x －4)，所以直线恒过定点(4,2)．2．(2019·河北省五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件，故选C.3．(2019·安徽合肥)直线l 1：(a ＋3)·x ＋y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直，则直线l 1在x 轴上的截距是( B )A ．－4B ．－2C ．2D ．4[解析] ∵直线l 1：(a ＋3)x ＋y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直，∴(a ＋3)×1＋1×(a －1)＝0，∴a ＝－1，∴直线l 1：2x ＋y ＋4＝0，令y ＝0，可得x ＝－2，所以直线l 1在x 轴上的截距是－2，故选B.4．(2019·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( A )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0[解析] 因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a ＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的方程为y＝x ＋b ，由题意知直线l 过点(2a －12，2a ＋12)，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.5．(2019·广东广州二模)已知点A 与点B (1,2)关于直线x ＋y ＋3＝0对称，则点A 的坐标为( D )A ．(3,4)B ．(4,5)C ．(－4，－3)D ．(－5，－4)[解析] 设A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y ＋22＋3＝0y －2x －1·(－1)＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－4，选D. 6．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( C )A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] 因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.7．光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为( B ) A ．y ＝12x －1B ．y ＝12x －12C ．y ＝12x ＋12D ．y ＝12x ＋1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1记A (－1，－1)，在直线y ＝2x ＋1上取一点B (0,1)，则其关于直线y ＝x 的对称点为B ′(1,0)，又k AB ′＝0－(－1)1－(－1)＝12，∴所求直线方程为y －(－1)＝12[x －(－1)]，即y ＝12x －12.故选B. 8．(2019·辽宁省葫芦岛市模拟)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( C )A ．3B ．0C ．－1D ．1[解析] 直线mx －y ＋1－2m ＝0可化为y ＝m (x －2)＋1，故直线过定点Q (2,1)，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故m ·k PQ ＝m ·2－13－2＝m ＝－1，故选C.二、多选题9．使三直线l 1：4x ＋y ＝4、l 2：mx ＋y ＝0、l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形的m 的值可能是( ACD )A ．－16B ．－14C ．－1D ．4[解析] 当l 1∥l 2时，－m ＝－4，即m ＝4； 当l 1∥l 3时，－3m ＝12，即m ＝－16，当l 1、l 3相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝42x －3my ＝4得l 1与l 3的交点坐标(6m ＋26m ＋1，－46m ＋1)，由6m 2＋2m 6m ＋1＋－46m ＋1＝0得m ＝－1或23，故选ACD.10．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是( AD )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°[解析] l 1与l 2之间的距离|AB |＝|3－1|2＝2，如图不防设直线m 与l 2相交于M 或N ，由题意知∠ABM ＝∠ABN ＝60°，∴m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°，故选AD.三、填空题。
2021届新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第42讲 双曲线(解析版)
第42讲双曲线一、考情分析1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.三、 经典例题考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系. 考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋ 34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. [方法技巧]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.3.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y＝±a b x .四、 课时作业1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（ ）A ．4B ．C ．D ．2【答案】C【解析】因为双曲线22:13x y C m -==，解得6m =，所以虚轴长为2．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ）A ．4 B．C ．8D．【答案】C【解析】由题意可得，c 2＝a 2+b 2＝m 2+12+4﹣m 2＝16 ∴c ＝4 焦距2c ＝83．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为120︒，则该双曲线离心率为（ ） AB ．2CD【答案】B【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，又其中一条渐近线的倾斜角为120︒，所以120tan ba -︒==b a=所以该双曲线离心率为2c e a ====. 4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线2244x y -=的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D．y =【答案】C【解析】根据题意可得2,1a b ==， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±． 5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4C ．－14D ．14【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 6．（2020·浙江其他）双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．3【答案】C【解析】因为双曲线221916x y -=的左顶点为(3,0)-，渐近线方程为220,430916x y x y -=±=所以双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255⨯-±⨯= 7．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，若OPF △的面积为4ac ，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．2【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，则22bc PF b a b==+所以在RT OFP 中，,,2OPF FP b OF c π∠===，所以OP a =则132OPFacSab ==，即23b c = 所以2243b c =，即()22243c a c-=，所以224a c =，故2ce a== 故选：C9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>5，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C【解析】由题知，5c a =，即54=22c a=222a b a+， ∴22b a =14，∴b a =12，∴C 的渐近线方程为12y x =±. 10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．32B ．42C ．33D ．43【答案】D【解析】由双曲线221102x y -=方程得2222210,2,10212,23,243a b c a b c c ==∴=+=+==∴=即焦距为43，答案为D11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为（）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】由题意知2c =①，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程得b y x a =，又因为一条渐近线方程是3y x =，所以3ba=222c a b =+③， 由①②③解得：1a =，3b =所以双曲线的方程为： 2213y x -=，故选：C12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2215x y -=【答案】B 【解析】()222210,0x y a b a b-=>>， ∴其渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:410C x y x +-+=的圆心为()2,0，半径为3r =又渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，=，即223b a =圆C 的圆心是双曲线的右焦点，2c ∴=再由双曲线222c a b =+，则22244a b a =+=，所以21a =，23b =∴所求的双曲线的方程为2213y x -=.13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ） A．B．C ．10D．【答案】C【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b =，∵左焦点()F，∴c =∴222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =，∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ，设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．14．（2020·安徽高三月考（文）的双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个顶点为P ，直线//l x 轴，l 交双曲线C 于A ，B 两点，则APB ∠取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2π C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为e ==a b =， 设()00,A x y ，()00,B x y -，则22200x y a -=.不妨设(),0P a ，()00,PA x a y =-，()00,PB x a y =--，222000PA PB x a y ⋅=-++=，所以PA PB ⊥，15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） ABCD【答案】D【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-，由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a aaa∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=，15e ∴=. 16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为y =，且双曲线经过点()2,3，若1F ，2F 为其左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若点()6,8A ，则当2PA PF +|取最小值时，点P 的坐标为（ ）A．1,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭B．122⎛++ ⎝⎭C．32321,3⎛⎫++⎪⎪⎝⎭D．221,3⎛⎫++⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可知2233bb aa=⇔=，即224913a a-=，解得：21a=，23b=，2213yx∴-=，()12,0F-，()22,0F2111222PA PF PA PF a PA PF AF+=+-=+-≥-，当1,,P F A三点共线时取等号，()()221628082AF=++-=此时直线1AF的斜率()80162k-==--，直线1AF的方程为2y x=+，联立22213y xyxx=+⎧⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，解得：3122x=，3322y=+，即点P的坐标为3312,3222⎛⎝.17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线221412x y-=，则（）A．实轴长为2 B．渐近线方程为3y x=±C．离心率为2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y -=，得2a =，b =4c ==，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为by x a=±=，故选项B 正确； 离心率2ce a==，故选项C 正确； 准线方程21a x c =±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离d ==D 错误.18．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线C 过点(且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．C C ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【解析】对于选项A ：由已知3y x =±，可得2213y x =，从而设所求双曲线方程为2213x y λ-=，又由双曲线C 过点(，从而22133λ⨯-=，即1λ=，从而选项A 正确；对于选项B ：由双曲线方程可知a =1b =，2c=，从而离心率为3c e a ===，所以B 选项错误；对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足21x y e-=-，从而选项C 正确；对于选项D：联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理，得220y +=，由2420∆=-⨯=，知直线与双曲线C 只有一个交点，选项D 错误.19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ） A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -= B ．双曲线C 的离心率为13C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【解析】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.21．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点在直线:33120l x y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)-，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)-，即224c a b =+=.又因为直线l的斜率为a b =，解得224,12a b ==， 故双曲线的方程为221412y x -=.22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10. （1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程. 【解析】（1）焦距为10 5c ∴= 21625169n c ∴=-=-=（2）由（1）知，双曲线方程为：221916x y -=，即3a =，4b =∴双曲线顶点坐标为()3,0±，渐近线方程为：43b y x x a =±=± 23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线2222C:1x y a b-= (a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值. 【解析】解：（Ⅰ）由题意，得ce a==，223c a ∴= ∴22222b c a a =-=，即222b a=∴所求双曲线C 的渐进线方程by x a=±= （Ⅱ） 由（1）得当1a =时, 双曲线C 的方程为2212y x -=.设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ∴12000,22x x x m y x m m +===+=,∵点()00,M x y 在圆225x y +=上,∴()2225m m +=，∴1m =±.24．（2020·上海高三专题练习）设圆C 与两圆(224x y ++=，(224x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，)F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．【解析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),x y ，())12,F F ，由题意，2122CF CF +=-或1222CF CF +=-，所以2112||||422CF CF a F F c -==<==‖所以圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上, 且实轴为4，焦距为2222,1a c b c a ===-=，故C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=.（2）过点,M F 的直线l 方程为2(y x =-，代入2214x y -=，解得12x x ==.故直线l 与L 的交点为12,551515T T ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.因为1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 上，故11||||2MT FT MF -==，22||||||2MT FT MF -<=‖.若点P 不在MF 上，则||||2MP FP MF -<=‖‖， 若点P 在1T 处，则||=2MP FP -‖‖； 综上所述，||MP FP -‖‖只在点1T 处取到最大值2，此时点P 的坐标为⎝⎭. 25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线1C 交于P 、Q 两点．若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；【解析】（1）双曲线221:112x C y -=，左顶点(A，渐近线方程：y =．过点A与渐近线y =平行的直线方程为2y x =+，即1y =+．解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||28S OA y ==‖． （2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线PQ 与已知圆相切，1=，即22b =． 由2221y x bx y =+⎧⎨-=⎩得22210x bx b ---=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1221221x x bx x b +=⎧⎨=--⎩又1212()()y y x b x b =++，所以12121212(())OP OQ x x y y x x x b x b ⋅=+=+++()212122x x b x x b =+++22222(122)0b b b b =--++=-=．故OP OQ ⊥．。
新教材新高考一轮复习人教B版 高考小题突破练 数列 作业
高考小题突破练 数列一、选择题1．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．n B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．2n －1解析：选Aa n ＋1n ＋1＝a n n ＝a 11，∴a n ＝n . 2．(2021·黑龙江哈师大附中模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝2.若S n ＝a n ＋1－2(n ∈N *)，则a 2023＝( )A ．22020B ．22021C ．22022D ．22023解析：选D ∵S n ＝a n ＋1－2①，∴当n ≥2时，S n －1＝a n －2②.①－②，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n .整理，得a n ＋1a n ＝2(常数)．当n ＝1时，a 1＝2，a 2＝4满足该式，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝a 1·2n －1＝2n ，则a 2023＝22023.故选D.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2.若b n ＝log 2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，则数列{b n }的通项公式是( )A.12n B ．n －1 C ．nD ．2n解析：选C 由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n ，所以1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比数列，公比为2，所以1a n＋1＝2n －1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1＝2n ，所以b n ＝log 2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1＝log 22n ＝n .故选C. 4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选D 因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，所以这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音的频率为a 8＝(122)8－1f ＝1227f ，故选D.5．(2021·安徽马鞍山质量监测)已知正项等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝14，S n表示数列{a n a n＋1}的前n 项和，则S n 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫2，83 B.⎝⎛⎦⎤2，83 C.⎝⎛⎭⎫2，83 D.⎣⎡⎦⎤2，83 解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q .∵a 2＝1，a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝1，a 4＝a 1q 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12(负值已舍去)．∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －2，故a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －3，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14<21－14＝83.∵数列{S n }单调递增，当n ＝1时，(S n )min ＝S 1＝2， ∴S n 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，83.故选A. 6．等差数列{a n }的公差是2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2解析：选A 设{a n }的公差为d ，由a 2，a 4，a 8成等比数列得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，解得a 1＝2，则S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋1)，故选A.7．已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f (x )＝x 3＋a n ＋1－a n －cos n π3为奇函数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2020的值是( )A.20232B ．1011C ．1008D ．336解析：选A 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，则a n ＋1－a n ＝cos n π3，又a 1＝1，则a 2＝32，a 3＝1，a 4＝0，a 5＝－12，a 6＝0，a 7＝1，a 8＝32，…，所以数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝3，所以S 2020＝336(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝336×3＋72＝20232，故选A.8．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ≤5，a 1a 2…a n －1－1， n ≥6(n ∈N *)．若正整数k (k ≥5)使得a 21＋a 22＋…＋a 2k ＝a 1a 2…a k 成立，则k ＝( )A ．16B ．17C ．18D ．19解析：选B 因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ≤5，a 1a 2…a n －1－1， n ≥6(n ∈N *)，所以a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝2，a 6＝a 1a 2a 3…a 5－1＝25－1＝31.当n ≥6时，a 1a 2…a n －1＝1＋a n ，a 1a 2…a n ＝1＋a n ＋1，两式相除可得1＋a n ＋11＋a n＝a n ，所以a 2n ＝a n ＋1－a n ＋1(n ≥6)，则a 26＝a 7－a 6＋1，a 27＝a 8－a 7＋1，……，a 2k ＝a k ＋1－a k ＋1(k >5，k ∈N *)，所以a 26＋a 27＋…＋a 2k ＝a k ＋1－a 6＋k －5(k >5)，所以a 21＋a 22＋…＋a 2k ＝20＋a k ＋1－a 6＋k －5＝a k ＋1＋k －16且a 1a 2…a k ＝1＋a k ＋1.若正整数k (k ≥5)使得a 21＋a 22＋…＋a 2k ＝a 1a 2…a k 成立，则a k ＋1＋k －16＝a k ＋1＋1，则k ＝17，故选B.二、选择题9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则下列说法正确的是( )A ．a 1>0B ．q >0 C.a 3a 2＝3或－1 D.a 6a 4＝9 解析：选ABD 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2⎝⎛⎭⎫12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1>0，且q >0，故A ，B 正确；由q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，所以a 3a 2＝a 1q 2a 1q ＝q ＝3，a 6a 4＝a 1q 5a 1q 3＝q 2＝9，故C 错误，D 正确，故选ABD.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n (－1)n (n ＋1)2，前n 项和为S n ，且m ＋S 2019＝－1009，下列说法中正确的是( )A ．m 为定值B ．m ＋a 1为定值C ．S 2019－a 1为定值D ．ma 1有最大值解析：选BCD 当n ＝2k 时，由已知得a 2k ＋a 2k ＋1＝2k (－1)k (2k ＋1)，所以S 2019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝a 1－2＋4－6＋8－10＋…－2018＝a 1＋1008－2018＝a 1－1010，故S 2019－a 1＝－1010，m ＋a 1－1010＝－1009⇒m ＋a 1＝1，ma 1≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋a 122＝14，m 不为定值，A 错误，故选BCD. 11．已知数列{a n}，{b n}满足a 1>0，b 1>0，且⎩⎨⎧a n ＋1＝a n ＋1b n，bn ＋1＝b n ＋1a n(n ∈N *)，则( )A ．a 50＋b 50>20B ．a 50＋b 50<20C ．a 50b 50>100D ．a 50b 50<100解析：选AC因为a 1>0，b 1>0，且⎩⎨⎧a n ＋1＝a n ＋1b n，bn ＋1＝b n ＋1a n，所以a n ＋1b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1b n·⎝⎛⎭⎫b n ＋1a n＝a n b n ＋1a n b n ＋2，且a n >0，b n >0，所以a n ＋1·b n ＋1－a n b n ＝1a nb n ＋2>2，所以a n b n >2(n －2)＋a 2b 2，所以a 50b 50>2×48＋a 1b 1＋1a 1b 1＋2≥100，当且仅当a 1b 1＝1时，取等号，所以a 50＋b 50>2a 50b 50>2100＝20，故选AC.12．(2021·山东临沂罗庄期中)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1>0,0<q <1，其前n 项和为S n ，下列说法正确的是( )A ．数列{ln a n }为等差数列B ．若S n ＝Aq n ＋B ，则A ＋B ＝0C ．S n S 3n ＝S 22nD ．记T n ＝a 1a 2·…·a n ，则数列{T n }有最大值 解析：选ABD由题意可知，a n ＝a 1q n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q.对于A 项，ln a n ＝ln(a 1q n －1)＝ln a 1＋(n －1)ln q ，ln a n ＋1＝ln(a 1q n )＝ln a 1＋n ln q ，∴ln a n ＋1－ln a n ＝ln q ，∴{ln a n }为等差数列，∴A 正确．对于B 项，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，又S n ＝Aq n ＋B ，∴A ＋B ＝－a 11－q＋a 11－q ＝0，∴B 正确．对于C 项，由题意，得S n S 3n ＝a 1(1－q n )1－q ·a 1(1－q 3n )1－q ＝a 21(1－q n )(1－q 3n)(1－q )2，S 22n ＝a 21(1－q 2n )2(1－q )2，显然S n S 3n ≠S 22n ，∴C 错误．对于D 项，∵在等比数列{a n }中，a 1>0,0<q <1，∴数列{a n }为单调递减数列，∴存在从某一项a k 开始，使得a k ＝a 1q k －1∈(0,1)，∴在数列{T n }中，T k －1＝a 1a 2·…·a k －1为最大值，∴D 正确．故选ABD.三、填空题13．公比不为1的等比数列{a n }中，对任意k ∈N *，a k 既是a k ＋1与a k ＋2的等差中项，又是1与a 2k 的等比中项，则a 3＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a k ＝a k ＋1＋a k ＋2，a 2k ＝a 2k ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a k ＝a k q ＋a k q 2，a 2k ＝a k q k .因为q ≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝－2，a k ＝q k ＝a 1q k－1，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n ，所以a 3＝(－2)3＝－8.答案：－814．(2021·辽宁沈阳期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 3＝6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前50项的和为________.解析：设等差数列{a n }的公差为d .由S 3＝6，得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，解得a 2＝2.∵a 3＝3，∴d ＝a 3－a 2＝1，∴a 1＝1，∴a n ＝n ，∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S 50＝2×⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋150－151＝2×⎝⎛⎭⎫1－151＝10051. 答案：1005115．(2021·安徽六安舒城中学开学考试)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.解析：由a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)①，得a 1＝4，所以a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)(n ∈N *)②.①－②，得a n ＝2n ＋2，所以a n ＝4(n＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝16也满足上式，所以a n ＝4(n ＋1)2.答案：4(n ＋1)216．已知数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是__________.解析：当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15.当n ≥5时，a n＝－n 2＋(a －1)n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －a －122＋(a －1)24.因为a 5是{a n }中的最大值，所以⎩⎨⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12.所以a 的取值范围是[9,12]．答案：[9,12]17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32020，a n ＝S n S n －1(n ≥2，n ∈N *)，则当S n 取最大值时，n 的值为________.解析：由a n ＝S n S n －1(n ≥2，n ∈N *)，得S n －S n －1＝S n S n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以1S n －1S n －1＝－1(n ≥2，n ∈N *)．因为1S 1＝1a 1＝20203，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为20203，公差为－1的等差数列．所以1S n ＝20203＋(n －1)·(－1)＝20233－n ，所以S n ＝120233－n .当1≤n ≤674时，S n 单调递增，且S n >0；当n ≥675时，S n 单调递增，且S n <0.所以当n ＝674时，S n 取得最大值．答案：67418．(2021·江苏盐城二模)牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，称x 2为r 的2次近似值．一般地，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n ＋1，记l n ＋1与x 轴交点的横坐标为x n ＋1，并称x n ＋1为r 的n ＋1次近似值．设f (x )＝x 3＋x －1(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为________；设a n ＝3x 3n ＋x n2x 3n ＋1，n ∈N *，数列{a n }的前n 项积为T n .若对任意n ∈N *，T n <λ恒成立，则整数λ的最小值为________.解析：①f (x )＝x 3＋x －1，f ′(x )＝3x 2＋1.x 0＝0，f (x 0)＝－1，f ′(0)＝1，所以l 1：y －(－1)＝x 即y ＝x －1，则x 1＝1；又f (1)＝1，f ′(1)＝4，所以l 2：y －1＝4(x －1)即y ＝4x －3，则x 2＝34.②f (x n )＝x 3n ＋x n －1，f ′(x n )＝3x 2n ＋1.l n ＋1：y －(x 3n ＋x n －1)＝(3x 2n ＋1)(x －x n )，令y ＝0，得x n ＋1＝2x 3n ＋13x 2n ＋1，∴x n ＋1x n ＝2x 3n ＋13x 3n ＋x n ＝1a n ，∴a n ＝x nx n ＋1，∴T n ＝a n ·a n －1·…·a 1＝x n x n ＋1·x n －1x n·…·x 2x 3·x 1x 2＝1x n ＋1.∵f ⎝⎛⎭⎫12<0，f (1)>0，∴12<x n ＋1<1，即1<1x n ＋1<2，又因为λ为整数，所以λmin ＝2. 答案：34 2。
2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题8.6 立体几何中的向量方法(教师版含解析)
2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题8.6 立体几何中的向量方法目录一、考点全归纳1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a·n||a||n|．3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图①①，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 【常用结论】 利用空间向量求距离 (1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2. (2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |.二 题型全归纳题型一 异面直线所成的角【题型要点】用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．【易错提醒】注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【例1】如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ①平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，①BAD ＝60°.(1)求证：BD ①平面P AC ；(2)若P A ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值． 【解析】(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ①BD .因为P A ①平面ABCD ，所以P A ①BD . 又因为AC ∩P A ＝A ，所以BD ①平面P AC . (2)设AC ∩BD ＝O .因为①BAD ＝60°，P A ＝AB ＝2，所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1，0，0)，C (0，3，0)． 所以PB →＝(1，3，－2)，AC →＝(0，23，0)． 设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64.即PB 与AC 所成角的余弦值为64. 【例2】.如图，在三棱锥P ABC 中，P A ①底面ABC ，①BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ①平面BDE ；(2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． 【解析】：如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，2，2)，M (0，0，1)，N (1，2，0)．(1)证明：DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可取n ＝(1，0，1)．又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0. 因为MN ①平面BDE ， 所以MN ①平面BDE .(2)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0，0，h )， 进而可得NH →＝(－1，－2，h )，BE →＝(－2，2，2)．由已知，得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以，线段AH 的长为85或12.题型二 直线与平面所成的角【题型要点】(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(2)若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2. 【易错提醒】求解直线和平面所成角，要注意直线的方向向量与平面法向量的夹角和所求角之间的关系，线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．【例1】(2020·深圳模拟)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD ＝PB ，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ①平面AMHN .(1)证明：MN ①PC ；(2)设H 为PC 的中点，P A ＝PC ＝3AB ，P A 与平面ABCD 所成的角为60°，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．【解析】：(1)证明：如图①，连接AC 交BD 于点O ，连接PO .因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ①AC ，且O 为BD 的中点． 因为PD ＝PB ，所以PO ①BD ，因为AC ∩PO ＝O ，且AC ，PO ①平面P AC ，所以BD ①平面P AC . 因为PC ①平面P AC ，所以BD ①PC .因为BD ①平面AMHN ，且平面AMHN ∩平面PBD ＝MN ，所以BD ①MN ， 所以MN ①PC .(2)由(1)知BD ①AC 且PO ①BD ， 因为P A ＝PC ，且O 为AC 的中点， 所以PO ①AC ，所以PO ①平面ABCD ，因为P A 与平面ABCD 所成的角为①P AO ，所以①P AO ＝60°，所以AO ＝12P A ，PO ＝32P A .因为P A ＝3AB ，所以BO ＝36P A .以O 为坐标原点，OA →，OD →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图①所示的空间直角坐标系，记P A ＝2，则O (0，0，0)，A (1，0，0)，B ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，C (－1，0，0)，D ⎝⎛⎭⎫0，33，0，P (0，0，3)，H ⎝⎛⎭⎫－12，0，32， 所以BD →＝⎝⎛⎭⎫0，233，0，AH →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32，AD →＝⎝⎛⎭⎫－1，33，0. 设平面AMHN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·AH →＝0，即⎩⎨⎧233y ＝0，－32x ＋32z ＝0，令x ＝2，解得y ＝0，z ＝23，所以n ＝(2，0，23)是平面AMHN 的一个法向量． 记AD 与平面AMHN 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AD →|n ||AD →|＝34.所以AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为34. 【例2】如图，在几何体ACD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ADD 1A 1与四边形CDD 1C 1均为矩形，平面ADD 1A 1①平面CDD 1C 1，B 1A 1①平面ADD 1A 1，AD ＝CD ＝1，AA 1＝A 1B 1＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1①平面CC 1E ；(2)求直线B 1C 1与平面B 1CE 所成角的正弦值．【解析】(1)证明：因为B 1A 1①平面ADD 1A 1，所以B 1A 1①DD 1， 又DD 1①D 1A 1，B 1A 1∩D 1A 1＝A 1，所以DD 1①平面A 1B 1C 1D 1， 又DD 1①CC 1，所以CC 1①平面A 1B 1C 1D 1. 因为B 1C 1①平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1①B 1C 1.因为平面ADD 1A 1①平面CDD 1C 1，平面ADD 1A 1∩平面CDD 1C 1＝DD 1，C 1D 1①DD 1， 所以C 1D 1①平面ADD 1A 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在①B 1EC 1中，B 1C 1①C 1E .又CC 1，C 1E ①平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1①平面CC 1E . (2)如图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)，则CE →＝(－1，1，－1)，B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x 得y ＋2z ＝0， 不妨设z ＝1，可得m ＝(－3，－2，1)为平面B 1CE 的一个法向量， 易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，设直线B 1C 1与平面B 1CE 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－414×2＝277， 故直线B 1C 1与平面B 1CE 所成角的正弦值为277.题型三 二面角【题型要点】利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【易错提醒】：判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行．【例1】(2020·深圳模拟)已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD①平面AMHN.(1)证明：MN①PC；(2)当H为PC的中点，P A＝PC＝3AB，P A与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．【解析】(1)证明：连接AC、BD且AC∩BD＝O，连接PO.因为ABCD为菱形，所以BD①AC，因为PD＝PB，所以PO①BD，因为AC∩PO＝O且AC、PO①平面P AC，所以BD①平面P AC，因为PC①平面P AC，所以BD①PC，因为BD①平面AMHN，且平面AMHN∩平面PBD＝MN，所以BD①MN，MN①平面P AC，所以MN ①P C.(2)由(1)知BD ①AC 且PO ①BD ， 因为P A ＝PC ，且O 为AC 的中点， 所以PO ①AC ，所以PO ①平面ABCD ， 所以P A 与平面ABCD 所成的角为①P AO ， 所以①P AO ＝60°，所以AO ＝12P A ，PO ＝32P A ，因为P A ＝3AB ，所以BO ＝36P A . 以OA →，OD →，OP →分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设P A ＝2，所以O (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，－33，0)，C (－1，0，0)，D (0，33，0)，P (0，0，3)，H (－12，0，32)，所以BD →＝(0，233，0)，AH →＝(－32，0，32)，AD →＝(－1，33，0)．设平面AMHN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·AH →＝0，即⎩⎨⎧233y ＝0，－32x ＋32z ＝0，令x ＝2，则y ＝0，z ＝23，所以n ＝(2，0，23)，设AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →|n ||AD →||＝34. 所以AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为34. 【例2】图1是由矩形ADEB ，Rt①ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，①FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ①平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B －CG －A 的大小．【解析】：(1)证明：由已知得AD ①BE ，CG ①BE ，所以AD ①CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ①BE ，AB ①BC ，故AB ①平面BCGE .又因为AB ①平面ABC ，所以平面ABC ①平面BCGE .(2)作EH ①BC ，垂足为H .因为EH ①平面BCGE ，平面BCGE ①平面ABC ，所以EH ①平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，①EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3. 以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz ， 则A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)，所以cos n ，m ＝n ·m |n ||m |＝32. 因此二面角B CG A 的大小为30°.题型四 利用空间向量求距离【题型要点】求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的射影的长．如图，设点P 在平面α外，n 为平面α的法向量，在平面α内任取一点Q ，则点P 到平面α的距离d ＝|PQ →·n ||n |.【易错提醒】该题中的第(2)问求解点到平面的距离时，利用了两种不同的方法——等体积法与向量法，显然向量法直接简单，不必经过过多的逻辑推理，只需代入坐标准确求解即可．【例1】(2020·云南师范大学附属中学3月月考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，①ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝26，D 是CC 1的中点，E 是A 1B 1的中点．(1)证明：DE ①平面A 1BC;(2)求点A 到平面A 1BC 的距离．【解析】 (1)证明：如图取A 1B 的中点F ，连接FC ，FE .因为E ，F 分别是A 1B 1，A 1B 的中点，所以EF ①BB 1，且EF ＝12BB 1. 又在平行四边形BB 1C 1C 中，D 是CC 1的中点，所以CD ①BB 1，且CD ＝12BB 1，所以CD ①EF ，且CD ＝EF . 所以四边形CFED 是平行四边形，所以DE ①CF .因为DE ①/平面A 1BC ，CF ①平面A 1BC ，所以DE ①平面A 1BC .(2)法一：(等体积法)因为BC ＝AC ＝AB ＝2，AA 1＝26，三棱柱ABC A 1B 1C 1为直三棱柱，所以V 三棱锥A 1－ABC ＝13S ①ABC ×AA 1＝13×34×22×26＝2 2. 又在①A 1BC 中，A 1B ＝A 1C ＝27，BC ＝2，BC 边上的高h ＝ A 1B 2－⎝⎛⎭⎫12BC 2＝33，所以S ①A 1BC ＝12BC ·h ＝3 3. 设点A 到平面A 1BC 的距离为d ，则V 三棱锥A －A 1BC ＝13S ①A 1BC ×d ＝13×33×d ＝3d . 因为V 三棱锥A 1－ABC ＝V 三棱锥A －A 1BC ，所以22＝3d ，解得d ＝263， 所以点A 到平面A 1BC 的距离为263. 法二：(向量法)由题意知，三棱柱ABC A 1B 1C 1是正三棱柱．取AB 的中点O ，连接OC ，OE .因为AC ＝BC ，所以CO ①AB .又平面ABC ①平面ABB 1A 1，平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CO ①平面ABB 1A 1.因为O 为AB 的中点，E 为A 1B 1的中点，所以OE ①AB ，所以OC ，OA ，OE 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，以OA ，OE ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，3)，A (1，0，0)，A 1(1，26，0)，B (－1，0，0)．则BA 1→＝(2，26，0)，BC →＝(1，0，3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ①BA 1→，n ①BC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝2x ＋26y ＝0，n ·BC →＝x ＋3z ＝0， 整理得⎩⎨⎧x ＋6y ＝0，x ＋3z ＝0，令x ＝6，则y ＝－1，z ＝－ 2. 所以n ＝(6，－1，－2)为平面A 1BC 的一个法向量．而BA →＝(2，0，0)，所以点A 到平面A 1BC 的距离d ＝|BA →·n ||n |＝6×26＋1＋2＝263. 【例2】如图，①BCD 与①MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ①平面BCD ，AB ①平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．【答案】见解析【解析】：如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM ，因为①BCD 与①MCD 均为正三角形，所以OB ①CD ，OM ①CD ，又平面MCD ①平面BCD ，平面MCD ∩平面BCD ＝CD ，OM ①平面MCD ，所以MO ①平面BCD .以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .因为①BCD 与①MCD 都是边长为2的正三角形，所以OB ＝OM ＝3，则O (0，0，0)，C (1，0，0)，M (0，0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)，所以BC →＝(1，3，0)．BM →＝(0，3，3)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ①BC →，n ①BM →得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋3z ＝0， 取x ＝3，可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3，－1，1)．又BA →＝(0，0，23)，所以所求距离为d ＝|BA →·n ||n |＝2155.三、高效训练突破一、选择题1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．60°或30°【答案】C【解析】设直线l 与平面α所成的角为β，直线l 与平面α的法向量的夹角为γ.则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝12. 又0°≤β≤90°，①β＝30°.2．在正方体A 1B 1C 1D 1ABCD 中，AC 与B 1D 所成角大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体边长为1，则A (0，0，0), C (1，1，0)，B 1(1，0，1)，D (0，1，0). ①AC →＝(1，1，0)，B 1D →＝(－1，1，－1)，①AC →·B 1D →＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，①AC →①B 1D →，①AC 与B 1D 所成的角为π2. 3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35【答案】A 【解析】设CA ＝2，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，B 1(0，2，1)，可得向量AB 1→＝(－2，2，1)，BC 1→＝(0，2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝－2×0＋2×2＋1×（－1）0＋4＋1·4＋4＋1＝15＝55. 4.将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为2π3，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．则异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为( )A.π6 B ．π4C.π3D ．π2【答案】B 【解析】：.以O 为坐标原点建系如图则A (0，1，0)，A 1(0，1，1)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 所以AA 1→＝(0，0，1)，B 1C →＝(0，－1，－1)，所以cos 〈AA 1→，B 1C →〉＝AA 1→·B 1C →|AA 1→||B 1C →|＝0×0＋0×（－1）＋1×（－1）1×02＋（－1）2＋（－1）2＝－22， 所以〈AA 1→，B 1C →〉＝3π4，所以异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.故选B. 5.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为( )A.33535B ．277 C.33 D ．24 【答案】A.【解析】：如图以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，E (1，1，0)，C (0，3，0)，所以DC 1→＝(0，3，1)，D 1E →＝(1，1，－1)，D 1C →＝(0，3，－1)．设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝3y ，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)． 因为cos 〈DC 1→，n 〉＝DC 1→·n |DC 1→|·|n |＝（0，3，1）·（2，1，3）10×14＝33535，所以DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535，故选A. 6．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217.则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C.【解析】：如图所示二面角的大小就是〈AC →，BD →〉．因为CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD →，所以CA →·BD →＝12[(217)2－62－42－82]＝－24.因此AC →·BD →＝24，cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝12， 又〈AC →，BD →〉①[0°，180°]，所以〈AC →，BD →〉＝60°，故二面角为60°.7．已知斜四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，①A 1AD ＝60°，①BAD ＝90°，平面A 1ADD 1①平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为( ) A.34B.134C.3913D.393 【答案】C【解析】取AD 中点O ，连接OA 1，易证A 1O ①平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系得B (2，－1，0)，D 1(0，2，3)，BD 1→＝(－2，3，3)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设BD 1与平面ABCD 所成的角为θ，①sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→||n |＝34，①tan θ＝3913. 8.如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ①平面P AB ，P A ①AB ，M 为PB 的中点，P A ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B AC M 的余弦值为( )A.66B.36C.26D.16【答案】A【解析】因为BC ①平面P AB ，P A ①平面P AB ，所以P A ①BC ，又P A ①AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以P A ①平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M ⎝⎛⎭⎫12，0，1，所以AC →＝(1，2，0)，AM →＝⎝⎛⎭⎫12，0，1，求得平面AMC 的一个法向量为n ＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP →＝(0，0，2)，所以cos 〈n ，AP →〉＝n ·AP →|n ||AP →|＝24＋1＋1×2＝16＝66. 所以二面角B AC M 的余弦值为66. 9．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22 C.223 D.233【答案】D【解析】如图建立坐标系则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，B (2，2，0)，D 1A 1→＝(2，0，0)，DB →＝(2，2，0)，DA 1→＝(2，0，2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，①⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令z ＝1，得n ＝(－1，1，1)． ①D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233. 二、填空题1.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为________．【答案】：35【解析】：设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1(0，3，2)，F (1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0，0，2)，B 1F →＝(1，－3，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF →＝(1，0，－1)． 设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n ＝0，GF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝(1，3，1)为平面GEF 的一个法向量，所以|cos 〈n ，B 1F →〉|＝|1－3－1|5×5＝35， 所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35. 2.如图，平面ABCD ①平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为________．【答案】63【解析】如图以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，2a ，0)，C (0，2a ，2a )，G (a ，a ，0)，AG →＝(a ，a ，0)，AC →＝(0，2a ，2a )，BG →＝(a ，－a ，0)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧AG →·n 1＝0AC →·n 1＝0①⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0①⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝－1①n 1＝(1，－1，1)．sin θ＝|BG →·n 1||BG →||n 1|＝2a 2a ×3＝63. 3．已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为________．【答案】33 【解析】以两对角线AC 与BD 的交点O 作为原点，以OA ，OB ，OS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系设边长为2，则有O (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，S (0，0，2)，D (0，－2，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，22，22， AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，22，22，SD →＝(0，－2，－2)， |cos AE →，SD →|＝|AE →·SD →||AE →||SD →|＝22×3＝33， 故AE 与SD 所成角的余弦值为33. 4．在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．【答案】23【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2020·汕头模拟)在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD 中，①ABC ＝90°，AD ①BC ，SA ①平面ABCD ，SA＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值是________． 【答案】63 【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则依题意可知，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)，可知AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，因为SD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·SD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧x 2－z ＝0，x 2＋y ＝0.令x ＝2，则有y ＝－1，z ＝1，所以n ＝(2，－1，1)．设平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝12×2＋0×（－1）＋0×1⎝⎛⎭⎫122×22＋（－1）2＋12＝63. 6.(2020·北京模拟)如图所示，四棱锥P ABCD 中，PD ①底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ＝2，E 是棱PB 的中点，M 是棱PC 上的动点，当直线P A 与直线EM 所成的角为60°时，那么线段PM 的长度是________．【答案】542 【解析】如图建立空间直角坐标系，则A (2，0，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)，①AP →＝()－2，0，2，①E 是棱PB 的中点，①E (1，1，1)，设M (0，2－m ，m )，则EM →＝()－1，1－m ，m －1，①||cos 〈AP →，EM →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·EM →|AP →||EM →|＝||2＋2()m －1221＋2（m －1）2＝12， 解得m ＝34，①M ⎝⎛⎭⎫0，54，34， ①PM ＝2516＋2516＝54 2. 三 解答题1．如图所示，菱形ABCD 中，①ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ①平面ABCD ，CF ①AE ，AB ＝AE ＝2.(1)求证：BD ①平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成角的余弦值的大小．【答案】见解析【解析】：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ①AC .因为AE ①平面ABCD ，BD ①平面ABCD ，所以BD ①AE .又因为AC ∩AE ＝A ，AC ，AE ①平面ACFE .所以BD ①平面ACFE .(2)以O 为原点，OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1，0，2)，F (－1，0，a )(a >0)，OF →＝(－1，0，a )．设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝0，n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0， 令z ＝1，则n ＝(－2，0，1)，由题意得sin 45°＝|cos 〈OF →，n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22， 解得a ＝3或a ＝－13(舍去)． 所以OF →＝(－1，0，3)，BE →＝(1，－3，2)，cos 〈OF →，BE →〉＝－1＋610×8＝54， 故异面直线OF 与BE 所成角的余弦值为54. 2．(2020·湖北十堰4月调研)如图，在三棱锥P －ABC 中，M 为AC 的中点，P A ①PC ，AB ①BC ，AB ＝BC ，PB ＝2，AC ＝2，①P AC ＝30°.(1)证明：BM ①平面P AC ；(2)求二面角B －P A －C 的余弦值．【答案】：见解析(1)证明：因为P A ①PC ，AB ①BC ，所以MP ＝MB ＝12AC ＝1， 又MP 2＋MB 2＝BP 2，所以MP ①MB .因为AB ＝BC ，M 为AC 的中点，所以BM ①AC ，又AC ∩MP ＝M ，所以BM ①平面P AC .(2)法一：取MC 的中点O ，连接PO ，取BC 的中点E ，连接EO ，则OE ①BM ，从而OE ①AC .因为P A ①PC ，①P AC ＝30°，所以MP ＝MC ＝PC ＝1.又O 为MC 的中点，所以PO ①AC .由(1)知BM ①平面P AC ，OP ①平面P AC ，所以BM ①PO .又BM ∩AC ＝M ，所以PO ①平面ABC .以O 为坐标原点，OA ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，BP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，32，BA →＝(1，－1，0)， 设平面APB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BP →＝－12x －y ＋32z ＝0，n ·BA →＝x －y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，1，3)为平面APB 的一个法向量，易得平面P AC 的一个法向量为π＝(0，1，0)，cos 〈n ，π〉＝55， 由图知二面角B －P A －C 为锐角，所以二面角B －P A －C 的余弦值为55. 法二：取P A 的中点H ，连接HM ，HB ，因为M 为AC 的中点，所以HM ①PC ，又P A ①PC ，所以HM ①P A .由(1)知BM ①平面P AC ，则BH ①P A ，所以①BHM 为二面角B －P A －C 的平面角．因为AC ＝2，P A ①PC ，①P AC ＝30°，所以HM ＝12PC ＝12. 又BM ＝1，则BH ＝BM 2＋HM 2＝52， 所以cos①BHM ＝HM BH ＝55，即二面角B －P A －C 的余弦值为55. 3．(2020·合肥模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ①平面ABCD ，DE ①平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM ①平面EFC ；(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．【答案】：见解析(1)证明：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ，则N 为AC 的中点，又M 为AE 的中点，所以MN ①EC .因为MN ①平面EFC ，EC ①平面EFC ，所以MN ①平面EFC .因为BF ，DE 都垂直底面ABCD ，所以BF ①DE .因为BF ＝DE ，所以四边形BDEF 为平行四边形，所以BD ①EF .因为BD ①平面EFC ，EF ①平面EFC ，所以BD ①平面EFC .又MN ∩BD ＝N ，所以平面BDM ①平面EFC .(2)因为DE ①平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，所以DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz .设AB ＝2，则DE ＝4，从而D (0，0，0)，B (2，2，0)，M (1，0，2)，A (2，0，0)，E (0，0，4)，所以DB →＝(2，2，0)，DM →＝(1，0，2)，设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0. 令x ＝2，则y ＝－2，z ＝－1，从而n ＝(2，－2，－1)为平面BDM 的一个法向量．因为AE →＝(－2，0，4)，设直线AE 与平面BDM 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ·AE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AE →|n |·|AE →|＝4515， 所以直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4515.。
2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第三章 第三章 第2讲第2课时 导数与函数的极值、最值
[基础题组练]1．(2020·宁波质检)下列四个函数中，在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y ＝x 3； ②y ＝x 2＋1； ③y ＝|x |；④y ＝2x . A ．①② B ．①③ C ．③④D ．②③解析：选D.①中，y ′＝3x 2≥0恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中y ′＝2x ，当x ＞0时函数单调递增，当x ＜0时函数单调递减，且y ′|x ＝0＝0，符合题意；③中结合该函数图象可知当x ＞0时函数单调递增，当x ＜0时函数单调递减，且y ′|x ＝0＝0，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D.2．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2 C ．0D.12e解析：选A.易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得2≥x >1，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝xex 在[0，2]上的最大值是y |x ＝1＝1e，故选A. 3．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )解析：选D.因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.4．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289解析：选C.函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 5．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表x (－∞，－3)－3 (－3，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值6．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A.f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx －k x 2(x ＞0)．设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝（x －1）e xx 2，则g (x )在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．所以g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e ，选A.7．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2.所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：48．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则g (x )的最小值为________． 解析：对f (x )＝ln x 求导，得f ′(x )＝1x ，则g (x )＝ln x ＋1x ，且x ＞0.对g (x )求导，得g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，函数g (x )＝ln x ＋1x 在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )＝ln x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )min ＝g (1)＝1. 答案：19．(2020·台州市高三期末考试)已知函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，则f (x )在区间[12，2]上的最小值为________；当f (x )取到最小值时，x ＝________．解析：f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x (x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝1，当x ∈[12，1]时，f ′(x )＜0，x ∈[1，2]时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[12，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )在区间[12，2]上的最小值为f (1)＝－2.答案：－2 110．(2020·义乌模拟)已知函数f (x )＝ln x －nx (n >0)的最大值为g (n )，则使g (n )－n ＋2>0成立的n 的取值范围为________．解析：易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x －n (x >0，n >0)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1n 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1n ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1n 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1n ，＋∞上单调递减，所以f (x )的最大值g (n )＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＝－ln n －1.设h (n )＝g (n )－n ＋2＝－ln n －n ＋1.因为h ′(n )＝－1n－1<0，所以h (n )在(0，＋∞)上单调递减．又h (1)＝0，所以当0<n <1时，h (n )>h (1)＝0，故使g (n )－n ＋2>0成立的n 的取值范围为(0，1)． 答案：(0，1)11．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －bx，f (1)＝a ＝1，f ′(1)＝2a －b ＝0， 将a ＝1代入2a －b ＝0， 解得b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－2x ，令f ′(x )>0，解得x >1， 令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值． 12．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．[综合题组练]1．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A.2．(2020·浙江东阳中学期中检测)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________．解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题意存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，g (x )min ＝－2e －12，当x ＝0时，g (0)＝－1，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a 恒过(1，0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e≤a <1.答案：32e≤a <13．(2020·宁波市高考模拟)设函数f (x )＝x 2－ax －ln x ，a ∈R . (1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2)当a ≥－1时，记f (x )的极小值为H ，求H 的最大值． 解：(1)因为函数f (x )＝x 2－ax －ln x ，a ∈R ，所以f ′(x )＝2x 2－ax －1x(x ＞0)，由题意知f ′(1)＝1，解得a ＝0. (2)设f ′(x 0)＝0，则2x 20－ax 0－1＝0， 则x 0＝a ＋a 2＋84，所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，则H ＝f (x )极小值＝f (x 0)＝x 20－ax 0－ln x 0＝－x 20＋1－ln x 0， 设g (a )＝a ＋a 2＋84(a ≥－1)，当a ≥0时，g (a )为增函数， 当－1≤a ≤0时，g (a )＝2a 2＋8－a，此时g (a )为增函数，所以x 0≥g (－1)＝12，所以函数y ＝－x 2＋1－ln x 在(0，＋∞)上为减函数， 所以f (x )极小值H 的最大值为34＋ln 2.4．(2020·温州中学高三模考)已知函数f (x )＝ln(2ax ＋1)＋x 33－x 2－2ax (a ∈R )．(1)若x ＝2为f (x )的极值点，求实数a 的值；(2)若y ＝f (x )在[3，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝－12时，方程f (1－x )＝（1－x ）33＋b x 有实根，求实数b 的最大值．解：(1)f ′(x )＝2a2ax ＋1＋x 2－2x －2a＝x [2ax 2＋（1－4a ）x －（4a 2＋2）]2ax ＋1，因为x ＝2为f (x )的极值点，所以f ′(2)＝0， 即2a4a ＋1－2a ＝0，解得a ＝0. (2)因为函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )＝x [2ax 2＋（1－4a ）x －（4a 2＋2）]2ax ＋1≥0在[3，＋∞)上恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝x (x －2)>0在[3，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[3，＋∞)上为增函数，故a ＝0符合题意．②当a ≠0时，由函数f (x )的定义域可知，必须有2ax ＋1>0对x ≥3恒成立，故只能a >0，所以2ax 2＋(1－4a )x －(4a 2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立．令函数g (x )＝2ax 2＋(1－4a )x －(4a 2＋2)，其对称轴为x ＝1－14a ，因为a >0，所以1－14a<1，要使g (x )≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，即g (3)＝－4a 2＋6a ＋1≥0，所以3－134≤a ≤3＋134.因为a >0，所以0<a ≤3＋134.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3＋134.(3)当a ＝－12时，方程f (1－x )＝（1－x ）33＋b x 可化为ln x －(1－x )2＋(1－x )＝b x .问题转化为b ＝x ln x －x (1－x )2＋x (1－x )＝x ln x ＋x 2－x 3在(0，＋∞)上有解，即求函数g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3的值域．因为函数g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3，令函数h (x )＝ln x ＋x －x 2(x >0)， 则h ′(x )＝1x ＋1－2x ＝（2x ＋1）（1－x ）x，所以当0<x <1时，h ′(x )>0，从而函数h (x )在(0，1)上为增函数， 当x >1时，h ′(x )<0，从而函数h (x )在(1，＋∞)上为减函数， 因此h (x )≤h (1)＝0.而x >0，所以b ＝x ·h (x )≤0，因此当x ＝1时，b 取得最大值0.。
(福建专版)2021高考数学一轮复习高考大题专项突破1函数、导数、方程、不等式压轴大题课件文
即 2e������-2 + 2������ = 2e + 2, -e������-2 + ������ = e-1,
解得 a=2,b=e.
题型一
题型二
题型三
题型四
-17-
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0,知f'(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1. 所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)内单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)内的最小值, 从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞). 综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞). 故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
故 F(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.
(2)设切点为
������,ln������-
1 ������
,函数 f(x)=ln x-1������的导数为 f'(x)=1������ + ���1���2,
即有切线的斜率为 1
������
+
���1���2,则
a=���1���
+
即h(x)在(0,+∞)内是减函数. 由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f'(x)>0; 当x>1时,h(x)<0,从而f'(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
2021版新高考数学一轮复习 高考大题专项(四) 立体几何 新人教A版.docx
突破1 空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G、H分别是AE、BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.(1)证明:GH∥平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019湖北八校联考一,18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD⊥面ABCD,PA=PD=√2,四边形ABCDAD=1,E为PA的中点.为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD=12(1)求证:EB∥平面PCD.(2)求面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值.3.(2019安徽“江南十校”二模,18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2√2的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE∥平面BCF.(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.4.(2019四川宜宾二模,19)如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB 中点.(1)求证:EG∥平面BCF;(2)若AE=AB,∠BAD=60°,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全国2,理19)AD,∠BAD=∠如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2014课标全国Ⅱ,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.突破2空间中的垂直与空间角1.(2018全国卷3,理19)⏜上异于C,D的点.如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CC⏜所在平面垂直,M是CC(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.2.(2019河北唐山一模,18)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF 为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC⊥平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点.(1)证明:AC⊥BE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实验等四校联考,18)如图,在直角△ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将△AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF⊥面BCD;(2)若DE⊥BE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019宁夏银川一中一模,19)如图所示,ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面BCE,且AE=1. (1)求证:平面ABCD⊥平面ABE;?若存在,请找出点F的位置;(2)线段AD上是否存在一点F,使二面角A-BF-E所成角的余弦值为√64若不存在,请说明理由.参考答案高考大题专项(四) 立体几何突破1 空间中的平行与空间角1.(1)证明连接GO ,OH ,∵GO ∥DC ,OH ∥AC ,∴GO ∥平面ACD ,OH ∥平面ACD ,又GO 交HO 于O ,∴平面GOH ∥平面ACD ,∴GH ∥平面ACD.(2)解以CB 为x 轴,CA 为y 轴,CD 为z 轴,建立如图所示的直角坐标系,则C (0,0,0),B (2,0,0),A (0,2,0),O (1,1,0),E (2,0,2),平面BCE 的法向量m =(0,1,0),设平面OCE 的法向量n =(x 0,y 0,z 0).CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0).∴{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则{2C 0+2C 0=0,C 0+C 0=0,令x 0=-1,∴n =(-1,1,1).∵二面角O-CE-B 是锐二面角,记为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=C·C|C||C|==√33.2.(1)证明取PD中点F,连接EF,FC.∵E,F分别为AP,PD中点,∴EF C12AD.又∵BC C12AD,∴BC C EF.即四边形BCFE是平行四边形,∴EB∥FC.∵FC⊂平面PCD,且EB⊄平面PCD,∴EB∥平面BCD.(2)解取BC的中点M,以CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C√32,12,0,则平面PAD的一个法向量为n1=(1,0,0).∴CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,12,0.设平面PDC的一个法向量为n2=(x,y,z),则{C-C=0,-√32C+12C=0.不妨令x=1,则y=√3,z=√3,∴n2=(1,√3,√3).∴|cosθ|=|cos<n1,n2>|=√77,则sinθ=√77.3.(1)证明取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2√2,可知△ABC,△DEF为等腰直角三角形,故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF.故CD⊥平面DEF,平面BCDE⊥平面DEF,所以O1F⊥平面BCDE.同理OA⊥平面BCDE,所以O1F∥OA.而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF.又BC∥DE,故DE∥平面BCF,而AO1∩DE=O1,所以平面ADE∥平面BCF.(2)解以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B (1,1,0),C (-1,-1,0),D (-1,-1,2),F (-1,1,2),故CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2).设平面BCF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{-2C -2C =0,-2C +2C =0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF 的一个法向量为n =(1,-1,1). 设BD 与平面BCF 所成角为θ,则 sin θ=|cos <CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√3×2√3=13.故BD 与平面BCF 所成角的正弦值为13. 4.(1)证明设AC ∩BD=O ,连接OE ,OF ,∵四边形ABCD 是菱形,EA ⊥平面ABCD ,EF ∥AC ,CF ∥平面BDE , ∴OE ∥CF ,∴EF=AO=CO ,∴OF ⊥平面ABCD ,设OA=a ,OB=b ,AE=c ,以O 为原点,OA ,OB ,OF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E (a ,0,c ),GC 2,C 2,0,B (0,b ,0),C (-a ,0,0),F (0,0,c ),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ,-c ),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,-c ),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-C 2,C2,-c ,设平面BCF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC -CC =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CC -CC =0,取z=b ,得n =-CCC,c ,b ,∵n ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-C2)·(-CC C )+C2·c+(-c )·b=0,EG ⊄平面BCF ,∴EG ∥平面BCF.(2)解设AE=AB=2,∵∠BAD=60°,∴OB=1,OA=√3.∴A (√3,0,0),B (0,1,0),E (√3,0,2),D (0,-1,0).∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,2),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,0), 设平面ABE 的法向量n =(x ,y ,z ),则{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3C -C =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3C -C +2C =0,取x=1,得n =(1,√3,0),设平面BDE 的法向量m =(x ,y ,z ), 则{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3C -C +2C =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2C =0, 取x=2,得m =(2,0,-√3),设二面角A-BE-D 的平面角为θ,则cos θ=|C ·C ||C ||C |=√4×√7=√77. ∴二面角A-BE-D 的余弦值为√77.5.(1)证明取PA 的中点F ,连接EF ,BF.因为E 是PD 的中点,所以EF ∥AD ,EF=12AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC ∥AD ,又BC=12AD ,所以EF C BC ,四边形BCEF 是平行四边形,CE ∥BF ,又BF ⊂平面PAB ,CE ⊄平面PAB ,故CE ∥平面PAB.(2)解由已知得BA ⊥AD ,以A 为坐标原点,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),P (0,1,√3),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√3),CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).设M (x ,y ,z )(0<x<1),则CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y ,z ),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-1,z-√3).因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°,而n =(0,0,1)是底面ABCD 的一个法向量,所以|cos <CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=sin45°,√(C -1)2+C 2+C 2=√22, 即(x-1)2+y 2-z 2=0.①又M 在棱PC 上,设CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CCC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=λ,y=1,z=√3−√3C .②由①,②解得{ C =1+√22,C =1,C =-√62(舍去),{ C =1-√22,C =1,C =√62,所以M (1-√22,1,√62),从而CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-√22,1,√62).设m =(x 0,y 0,z 0)是平面ABM 的一个法向量,则{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(2-√2)C 0+2C 0+√6C 0=0,C 0=0, 所以可取m =(0,-√6,2).于是cos <m ,n >=C ·C|C ||C |=√105.因此二面角M-AB-D 的余弦值为√105. 6.解(1)连接BD 交AC 于点O ,连接EO.因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以PB ∥平面AEC.(2)因为PA ⊥平面ABCD ,ABCD 为矩形,所以AB ,AD ,AP 两两垂直.如图,以A 为坐标原点,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,|CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz ,则D (0,√3,0),E (0,√32,12),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,12).设B (m ,0,0)(m>0),则C (m ,√3,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,√3,0), 设n 1=(x ,y ,z )为平面ACE 的法向量,则{C 1·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 1·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{CC +√3C =0,√32C +12C =0,可取n 1=(√3C ,-1,√3).又n 2=(1,0,0)为平面DAE 的法向量,由题设|cos <n 1,n 2>|=12,即√33+4C 2=12,解得m=32.因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E-ACD 的高为12.三棱锥E-ACD 的体积V=13×12×√3×32×12=√38. 突破2 空间中的垂直与空间角1.(1)证明由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD.因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM.因为M 为CC ⏜上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM. 又BC ∩CM=C ,所以DM ⊥平面BMC. 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC.(2)解以D 为坐标原点,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC 体积最大时,M 为CC ⏜的中点.由题设得D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,1,1),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0).设n =(x ,y ,z )是平面MAB 的法向量,则{C ·CC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{-2C +C +C =0,2C =0. 可取n =(1,0,2),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面MCD 的法向量,因此cos <n ,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C ||CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55, sin <n ,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√55.所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是2√55.2.(1)证明因为E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,所以EF ∥BC.因为∠ABC=90°,所以EF ⊥BE ,EF ⊥PE.又因为BE ∩PE=E ,所以EF ⊥平面PBE ,所以BC ⊥平面PBE.(2)解取BE 的中点O ,连接PO ,由(1)知BC ⊥平面PBE ,BC ⊂平面BCFE ,所以平面PBE ⊥平面BCFE.因为PB=BE=PE ,所以PO ⊥BE.又因为PO ⊂平面PBE ,平面PBE ∩平面BCFE=BE ,所以PO ⊥平面BCFE.过O 作OM ∥BC 交CF 于M ,分别以OB ,OM ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则P (0,0,√3),C (1,4,0),F (-1,2,0).CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,-√3),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-√3).设平面PCF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则{CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C =0,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C =0,即{C +4C -√3C =0,-C +2C -√3C =0,则m =(-1,1,√3),易知n =(0,1,0)为平面PBE 的一个法向量,cos <m ,n >=+√3×√(-1)2+12+(√3)2=√5=√55,所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值√55.3.(1)证明∵A 1A ⊥平面ABC ,B 1B ⊥平面ABC ,∴AA 1∥BB 1.∵AA 1=4,BB 1=2,AB=2,∴A 1B 1=√(CC )2+(CC 1-CC 1)2=2√2,又AB 1=√CC 2+CC 12=2√2,∴A C 12=A C 12+A 1C 12,∴AB 1⊥A 1B 1.同理可得:AB 1⊥B 1C 1,又A 1B 1∩B 1C 1=B 1,∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1. (2)解取AC 中点O ,过O 作平面ABC 的垂线OD ,交A 1C 1于D ,∵AB=BC ,∴OB ⊥OC ,∵AB=BC=2,∠BAC=120°,∴OB=1,OA=OC=√3.以O 为原点,以OB ,OC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,则A (0,-√3,0),B (1,0,0),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1), ∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1).设平面ABB 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{C +√3C =0,2C =0,令y=1可得n =(-√3,1,0),∴cos <n ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=C ·CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |C ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√3913. 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ,则sin θ=|cos <n ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3913.∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为√3913.4.(1)证明设F 是PD 的中点,连接EF ,CF.∵E 是PA 的中点,∴EF ∥AD ,EF=12AD.∵AD ∥BC ,AD=2BC , ∴EF ∥BC ,EF=BC. ∴BCFE 是平行四边形, ∴BE ∥CF.∵AD ∥BC ,AB ⊥AD ,∴∠ABC=∠BAD=90°. ∵AB=BC ,∴∠CAD=45°,AC=√2.由余弦定理得CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD ·cos ∠CAD=2,∴AC 2+CD 2=4=AD 2,∴AC ⊥CD. ∵PD ⊥AC ,∴AC ⊥平面PCD , ∴AC ⊥CF ,∴AC ⊥BE.(2)解由(1)得AC ⊥平面PCD ,CD=√2,∴平面ABCD ⊥平面PCD.过点P 作PO ⊥CD ,垂足为O ,∴OP ⊥平面ABCD ,以O 为坐标原点,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ,则P 0,0,√62,D -√22,0,0,B √2,-√22,0,E√24,-√22,√64,∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,√22,√62),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3√22,√22,0,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3√24,0,√64,设m =(x ,y ,z )是平面BDE 的一个法向量,则{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{ -3√22C +√22C =0,-3√24C +√64C =0.令x=1,则{C =3,C =√3,∴m =(1,3,√3).∴cos <m ,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C ||CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2613. ∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为√2613.5.(1)证明取DB 中点N ,连接MN ,EN ,∵MN C 12BC ,EF C 12BC ,∴四边形EFMN 是平行四边形.∵EF ⊥BE ,EF ⊥DE ,BE ∩DE=E ,∴EF ⊥平面BED ,∴EF ⊥EN ,MF ⊥MN.在△DFC 中,DF=FC ,又∵M 为CD 的中点,∴MF ⊥CD. 又∵MF ∩MN=M ,MF ,MN ⊂平面BCD ,∴MF ⊥平面BCD.(2)解∵DE ⊥BE ,又∵DE ⊥EF ,BE ∩EF=E ,∴DE ⊥平面BEF.可建立如图所示空间直角坐标系.设BC=2,∴E (0,0,0),F (0,1,0),C (-2,2,0),M (-1,1,1).∴CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,0),CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1). 设平面EMF 的法向量为m =(x ,y ,z ),∴{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{C =0,-C +C =0,取x=1,则y=0,z=1,∴m =(1,0,1).同理可得平面CMF 的法向量n =(1,2,1),∴cos θ=C ·C|C ||C |=√33. ∵二面角E-MF-C 为钝角,∴二面角E-MF-C 的余弦值为-√33.6.(1)证明∵AE ⊥平面BCE ,BE ⊂平面BCE ,BC ⊂平面BCE ,∴AE ⊥BE ,AE ⊥BC.又∵BC ⊥AB ,∴AE ∩AB=A ,∴BC ⊥平面ABE.又BC ⊂平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面ABE. (2)解如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz ,∵AE=1,AB=2,AE ⊥BE , ∴BE=√3.假设线段AD 上存在一点F 满足题意,E√32,12,0,B (0,2,0),F (0,0,h )(h>0),易知平面ABF 的一个法向量为m =(1,0,0).∵CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,-32,0,CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,h ),∴设平面BEF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 由{C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C ·CC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√32C -32C =0,-2C +CC =0. 取y=1,得n =√3,1,2C ,cos <m ,n >=C ·C|C ||C |=√64=√3√4+C 2,∴h=1.即点F 为线段AD 的中点时,二面角A-BF-E 所成角的余弦值为√64.。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-7函数的图象-学生版
专题3.7函数的图象练基础1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg 1y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y f x =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5xf x x x e =-⋅的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减7．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B．C．D．8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（）A ．B．C．D．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280m D ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．练提升1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e +=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x x e e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=2(1)mx -的图象与y =图象交点个数说法正确的是（）A．当[]m 0,1∈时，有两个交点B．当(]m 1,2∈时，没有交点C．当(]m 2,3∈时，有且只有一个交点D．当()m 3,∞∈+时，有两个交点8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦9.对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论）10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x xx =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小．练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为（）A ．B．C．D ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩ 若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(,0)-∞D．(,0))-∞+∞ 4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.（2017·天津高考真题（文））已知函数op =|U +2,<1+2,≥1．设∈，若关于的不等式op ≥|2+U 在上恒成立，则的取值范围是A．[−2,2]B．[−23,2]C．[−2,23]D．[−23,23]6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A．(]1-∞-，B．()0+∞，C．()10-，D．()0-∞，。
新课程2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何解答题专项突破五圆锥曲线的综合问题课件
综上，以 MN 为直径的圆过定点(0,1)．
热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题 典例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F12，0，直线 l：x＝－12， 点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 FP 与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程；
解题思路 (1)R 是线段 FP 的中点，且 RQ⊥FP→RQ 是线段 PF 的垂直 平分线→|PQ|＝|QF|→点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定 焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．
当 l1：x＝ 3时，l1 与“准圆”交于点( 3，1)，( 3，－1)， 此时 l2 为 y＝1(或 y＝－1)，显然直线 l1，l2 垂直； 同理可证当 l1：x＝－ 3时，直线 l1，l2 垂直．
②当 l1，l2 斜率存在时， 设点 P(x0，y0)，其中 x20＋y20＝4. 设经过点 P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 y＝t(x－x0)＋y0，
典例2 (2019·济南模拟)已知 Q 为圆 x2＋y2＝1 上一动点，Q 在 x 轴， y 轴上的射影分别为点 A，B，动点 P 满足B→A＝A→P，记动点 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程；
解题思路 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间 的关系，利用 Q 在圆上可得 x，y 的方程，即为所求．
∴H→M·H→N＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2
100m2－1k2＋25m2＋30m－55
＝
251＋4k2
＝0，
∵对任意的 k 恒成立，∴12050m2m＋2－301m＝－05，5＝0，
解得 m＝1，即定点为 H(0,1)，
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专项突破 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M ={0,1,2},N ={x ||x - 1|≤1},则 ( ) A.M =N B.N ⊆M C.M ∩N =M D.(∁R M )∪N =R 2.已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( )A .复数z =1+2i 1-i的虚部为32B .复数z =2+5i -i的共轭复数z -= - 5 - 2iC .复数z =12 − 12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R3.采购经理指数(简称PMI )是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI 在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是( )图1 - 1A.大部分月份制造业总体衰退B.2019年3月制造业总体扩张最大C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长D.2019年10月的PMI 为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-x 2,x >0,则下列结论中正确的是( )A.f ( - 2)=4B.若f (m )=9,则m =±3C.f (x )是偶函数D.f (x )在R 上单调递减5.已知(ax 2+√x )n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15项的系数为456.已知向量a =(1,2),b =(m ,1)(m <0),且满足b ·(a +b )=3,则 ( )A.|b |=√2B.(2a +b )∥(a +2b )C.向量2a - b 与a - 2b 的夹角为π4 D.向量a 在b 方向上的投影为√557.已知函数f (x )=sin (2x - π6),下列结论正确的是 ( )A.f (x )的最小正周期是πB.f (x )=12是x =π2的充分不必要条件C.函数f (x )在区间(π3,5π6)上单调递增D.函数y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的对称轴方程为x =k4π(k ∈Z ) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A ={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B ={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C ={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 ( )A.P (A )=P (B )=P (C )B.P (AB )=P (AC )=P (BC )C.P (ABC )=18 D.P (A )P (B )P (C )=189.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )=(x - 2)e x ,则下列结论正确的是 ( ) A .f (x )>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B .当x <0时,f (x )=(x +2)e - x C .f (x )有且只有两个零点D .∀x 1,x 2∈[1,2],|f (x 1) - f (x 2)|≤e10.设圆A :x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2√3C.圆A 上的点到直线3x - 4y +12=0的最小距离为1D.圆A 与圆B :x 2+y 2 - 8x - 8y +23=0相离11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,C 为钝角,且c - b =2b cos A ,则下列结论中正确的是( )A.a 2=b (b +c )B.A =2BC.0<cos A <12D.0<sin B <1212.设f ' (x )是函数f (x )的导函数,若f ' (x )>0,且∀x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),f (x 1)+f (x 2)<2f (x 1+x 22),则下列各项中正确的是 ( )A.f (2)<f (e )<f (π)B.f ' (π)<f ' (e )<f ' (2)C.f ' (2)<f (3) - f (2)<f ' (3)D.f ' (3)<f (3) - f (2)<f ' (2)13.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是公差不为0的等差数列,且a 2=b 2,a 8=b 8,则( )A.a 5=b 5B.a 5<b 5C.a 4<b 4D.a 6>b 6 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点,则( )图1 - 2A .直线D 1D 与直线AF 垂直B .直线A 1G 与平面AEF 平行C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等15.已知矩形ABCD ,AB =1,BC =√3,将△ADC 沿对角线AC 进行翻折,得到三棱锥D - ABC ,则在翻折的过程中,下列结论正确的是 ( )A.三棱锥D - ABC 的体积的最大值为13B.三棱锥D - ABC 的外接球的体积不变C.三棱锥D - ABC 的体积最大时,二面角D - AC - B 的大小是60°D.异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90°16.已知椭圆x 23+y 26=1上有A ,B ,C 三点,其中B (1,2),C ( - 1, - 2),tan ∠BAC =92,则下列说法正确的是( )A.直线BC 的方程为2x - y =0B.k AC =12或4C.点A 的坐标为( - 19,229) D.点A 到直线BC 的距离为4√5917.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a 3=3,a n +3+( - 1)n a n +1=1(n ∈N *),数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论正确的是( )A.数列{a n }为等差数列B.a 18=10C.a 17=3 D .S 31=14618.过抛物线y 2=3x 的焦点f 的直线与抛物线交于A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2)两点,点A ,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,直线AO 交准线于点M (O 为坐标原点),则下列说法正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.∠A 1F B 1=90°C.直线MB ∥x 轴D.|AF |·|BF |的最小值是94二、双空题.19.已知函数g (x )=2sin [ω(x +π12)](ω>0)的图象是由函数f (x )的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x )的最小正周期为π,则f (x )= ;若函数f (x )在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则实数ω的值为 .20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为边CD ,AD 上的点,△DEf 为等边三角形,CE =Ef ,且∠ABC =π3,AE =√13,AF =3,则AC = ,△ABC 面积的最大值为 .图1 - 321.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1= - 12,且a n +a n +1=2n 2+2n (n ∈N *),则S 2n = , a n = .22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点和双曲线x 2 - y 23=1的右焦点F 2重合,则抛物线的方程为 ;P 为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .23.设函数f (x )(x ∈R )的导函数为f ' (x ),f (0)=2 020,且f ' (x )=f (x ) - 2,则f (x )= ,f (x )+4 034>2f ' (x )的解集是 .24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是PA ,PB ,PC ,PD 上异于端点的点,且平面EF GH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S - EFGH 的体积最大时,PEPA = ,此时四棱锥S - EFGH 外接球的表面积为 .图1 - 4答案及解析1.CD由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M⊆N,(∁R M)∪N=R,故选CD.2.ABD对于A,z=1+2i1-i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)= - 12+32i,其虚部为32,故A正确;对于B,z=2+5i-i=(2+5i)i= - 5+2i,故z= - 5 - 2i,故B正确;对于C,z=12 − 12i在复平面内对应的点的坐标为(12,-12),位于第四象限,故C不正确;对于D,设z=a+b i(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2,又1z∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.故选ABD.3.ABD根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.4.AD由于- 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD.5.BCD因为(ax2+√)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以C n4=C n6,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+√)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为12×210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+√x)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B 正确.展开式的通项公式为T k +1=C 10k (x 2)10 - k ·(√)k =C 10k x 20 -5k 2(k =0,1,2,…,10),令20 - 5k2=0,解得k =8,即常数项为第9项,故C 正确.令20 - 5k2=15,得k =2,故展开式中含x 15项的系数为C 102=45,故D 正确.故选BCD .6.AC 将a =(1,2),b =(m ,1)代入b ·(a +b )=3,得(m ,1)·(1+m ,3)=3,即m 2+m =0,解得m = - 1或m =0(舍去),所以b =( - 1,1),所以|b |=√(-1)2+12=√2,故A 正确;因为2a +b =(1,5),a +2b =( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a +b 与a +2b 不平行,故B 错误;设向量2a - b 与a - 2b 的夹角为θ,易知2a -b =(3,3),a - 2b =(3,0),所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22,所以θ=π4,故C 正确;向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=√=√22,故D 错误.故选AC.7.AD 对于A ,由最小正周期T =2πω=2π2=π知A 正确;对于B ,由f (x )=12得2x - π6=2k π+π6(k ∈Z )或2x - π6=2k π+5π6(k ∈Z ),即x =k π+π6(k ∈Z )或x =k π+π2(k ∈Z ),可知f (x )=12是x =π2的必要不充分条件,B 不正确;对于C ,由π3<x <5π6得π2<2x - π6<3π2,因为y =sin x 在(π2,3π2)上单调递减,故C 不正确;对于D ,y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度得y =|sin [2(x +π12) - π6]|=|sin 2x |的图象,由y =|sin x |的图象的对称轴为直线x =kπ2(k ∈Z )得y =|sin 2x |的图象的对称轴为直线x =kπ4(k ∈Z ),D 正确.故选AD .8.ABD 由古典概型的概率计算公式,得P (A )=P (B )=24=12,P (C )=84×4=12,所以P (A )=P (B )=P (C )=12,A正确;P (A )P (B )P (C )=18,D 正确;而事件A ,B ,C 不可能同时发生,故P (ABC )=0,所以C 不正确;又P (AB )=2×24×4=14,P (AC )=2×24×4=14,P (BC )=2×24×4=14,所以P (AB )=P (AC )=P (BC ),B 正确.故选ABD .9.ABD 当x >0时,f (x )<0的解集为(0,2),f (x )>0的解集为(2,+∞),由f (x )为奇函数可知选项A 正确;当x <0时,f (x )= - f ( - x )= - ( - x - 2)e - x =(x +2)e - x ,选项B 正确;当x >0时,x =2为f (x )的零点,又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x )有且只有三个零点,选项C 错误;当x >0时,f ' (x )=(x - 1)e x ,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)= - e ,f (x )max =f (2)=0,所以|f (x 1) - f(x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.10.ABC把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2×√4-1=2√3,B正确;圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x- 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据√(4-1)2+42=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC.11.ABD因为c - b=2b cos A,所以由余弦定理得c - b=2b·b2+c2-a22bc,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c- b=2b cos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin B cos A,即sin(A+B) - sin B=2sin B cos A,所以sin A cos B - sin B cos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,所以A- B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sin B<12,故C选项错误,D选项正确.故选ABD.12.ABD由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)<f (e)<f (π),故A正确;∀x1,x2∈R(x1≠x2),恒有f (x1)+f (x2)<2f (x1+x22),即f(x1)+f(x2)2<f (x1+x22),所以y=f (x)的图象是向上凸起的,如图D 1 - 1所示,图D 1 - 1由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以 f ' (π)<f ' (e)<f ' (2),故B正确;因为k AB=f(3)-f(2)3-2=f (3)–f (2),所以由图易知f ' (3)<k AB<f ' (2),故D正确,C错误.故选ABD.13.BC解法一设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a5=√a2a8=√b2b8,b5=b2+b82,由基本不等式得√b2b8≤b2+b82,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{b n}不是常数列,故B正确,A错误.因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=a2(q6-1)6,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - q6-13)=a23(3q2 - q6- 2)=a23(q2 - q6+2q2 - 2)=a23(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - a23(1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=a23(3q4 - 1 -2q6)= - a23(1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4<b4,a6<b6,故C正确,D错误.故选BC.解法二设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a n=a1q n - 1=a1q·q n,b n=b1+(n- 1)d=b1- d+nd,将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数a1q(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,a n<b n,从而a4<b4,a5<b5,a6<b6.故选BC.14.BC假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1,EF=√22,AD1=√2,梯形的高为√2√4=3√24,所以其面积为√2+√222×3√24=98,故选项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC.15.BD对于A,三棱锥D- ABC的体积V D- ABC=13S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=12×1×√3=√32,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥平面ABC时,h最大,为√32,此时V D- ABC=13×√32×√32=14,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为12AC=1,所以外接球的体积为43π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为√2,即BD=√2时,在△BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.16.AD设A(x A,y A),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=92>0,知∠BAC <π2,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC 时,才能满足题意,故tan (θ1 - θ2)=92,即kAB-k AC1+kAB ·k AC=92,又k AB ·k AC =y A -2x A-1·y A +2x A+1=y A2-4x A2-1=6-2x A 2-4x A 2-1= - 2,所以k AB - k AC = - 92,结合k AB ·k AC = - 2,解得{k AC =4,k AB =-12或{k AC =12,k AB =-4.而当{k AC =12,k AB =-4时,数形结合易知∠BAC ≠θ1 - θ2,且∠BAC >π2,故舍去.当{k AC =4,k AB =-12时,直线AC 、直线AB 的方程分别为y +2=4(x +1),y - 2= - 12(x - 1),可得A (19,229).由椭圆的对称性可知:当θ1<θ2时,同理可得{k AC =-12,k AB =4,A ( - 19, - 229),故B ,C 错误.易得直线BC 的方程为2x - y =0,故当点A为(19,229)时,点A 到直线BC 的距离为|29-229|√5=4√59,当点A 为( - 19, - 229)时,点A 到直线BC 的距离也为4√59.故A ,D 正确,选AD .17.BD 依题意得,当n 是奇数时,a n +3 - a n +1=1,即数列{a n }中的偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a 18=2+(9 - 1)×1=10.当n 是偶数时,a n +3+a n +1=1,所以a n +5+a n +3=1,两式相减,得a n +5=a n +1,即数列{a n }中的奇数项从a 3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{a n }的奇数项呈周期变化,所以a 17=a 4×3+5=a 5.在a n +3+a n +1=1中,令n =2,得a 5+a 3=1,因为a 3=3,所以a 5= - 2,所以a 17= - 2.在数列{a n }中,a 3+a 5=1,a 7+a 9=1,…,a 27+a 29=1,a 31=a 4×7+3=a 3=3,偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S 31=1+7+3+15×2+15×(15-1)2=146.故选BD.18.BCD 由题意可知,抛物线y 2=3x 的焦点F 的坐标为(34,0),准线方程为x = - 34.易知直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +34,代入y 2=3x ,得y 2 - 3my - 94=0,易知Δ>0,所以y 1+y 2=3m ,y 1y 2= - 94,则x 1x 2=(my 1+34)(my 2+34)=916,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)= x 1x 2+ y 1y 2=916 − 94= - 2716≠0,所以A不正确;因为A (y 123,y 1),O (0,0), M ( - 34,y M )三点共线,所以y1y 123=y M -34,所以y 1y M = - 94,又y 1y 2= - 94,所以y M =y 2,所以直线MB ∥x 轴,所以C 正确;易知A 1,B 1的坐标分别为( - 34,y 1),( - 34,y 2),所以FA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( - 34 − 34,y 1)·( - 34 − 34,y 2)=94+ y 1 y 2=94 − 94=0,所以∠A 1FB 1=90°,所以B 正确;设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0) ,则|AF |=321-cosθ,|BF |=321+cosθ,所以|AF |·|BF |=321-cosθ·321+cosθ=94sin 2θ≥94,当且仅当AB ⊥x 轴时取等号,所以D 正确.故选BCD .19. sin(2x - π6)6因为函数g(x)=2sin[ω(x+π12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以 f(x)=sin[ω(x - π12)].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - π6).②若函数f (x)在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则有f (π6)=sinωπ12=1,且2πω≥π3,结合ω>0,得ω=6.20.2√33√3在△AEF中,易知∠AFE=2π3,又AF=3,AE=√13,由余弦定理得(√13)2=32+EF2-2×3×EF×cos 2π3,可得EF=1.所以CE=DE=DF=EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=π3,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22- 2×4×2×cos π3=12,得AC=2√3.解法一设∠ACB=θ,则∠BAC=π - π3- θ=2π3- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BC sin∠BAC =ACsin∠ABC=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(2π3- θ),于是△ABC的面积S△ABC=12AB·BC sin π3=4√3sinθsin(2π3- θ)=4√3sin θ(√32cos θ+12sin θ)=2√3(√32sin 2θ- 12cos 2θ+12)=2√3sin(2θ- π6)+√3,则当2θ -π6=π2,即θ=π3时,S△ABC取得最大值,为3√3.解法二在△ABC中,cos∠ABC=BC2+AB2-AC22BC·AB ,结合基本不等式,得12=BC2+AB2-122BC·AB≥2BC·AB-122BC·AB,化简得BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=12BC·AB·sin∠ABC≤12×12×√32=3√3,即△ABC面积的最大值为3√3.21.2n2n+1( - 1)n+1n(n+1)因为a n+a n+1=2n2+2n=1n− 1n+2,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - 13+1 3 − 15+…+12n-1− 12n+1=1 - 12n+1=2n2n+1.因为a n+a n+1=2n2+2n ,所以a n+1=2n2+2n- a n.又a1= - 12=11×2- 1,所以a2=23+12=76=12×3+1,a3=22×4− 76=- 1112=13×4- 1,a4=23×5+1112=2120=14×5+1,…,归纳可得,a n=( - 1)n+1n(n+1).22.y2=8x7易知双曲线x2 - y23=1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则p2=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.设点P 的坐标为(x 0,y 0),易知x 0>0,由{y 2=8x,x 2-y 23=1得3x 2 - 8x - 3=0,解得x 0=3,则P (3,2√6)或P (3, - 2√6),则点P 与双曲线左焦点F 1( - 2,0)之间的距离为√[3-(-2)]2+(0±2√6)2=7.23.2+2 018e x ( - ∞,ln 2) 令h (x )=f(x)-2e x ,则h' (x )=f '(x)e x -[f(x)-2]e x (e x )=f '(x)-f(x)+2e x , 又f ' (x )=f (x ) - 2,∴h' (x )=0,故h (x )为常数函数.设h (x )=c ,则f(x)-2e x =c ,∴f (x )=2+c e x .∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c =2020,∴c =2 018,故f (x )=2+2 018e x ,f ' (x )=2 018e x .由f (x )+4 034>2f ' (x ),得4 036+ 2 018e x >2×2 018e x ,故e x <2,故x <ln 2.24.23 25π2 因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,易知四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四边形EFGH 是正方形.设PE PA =x (0<x <1),则S 正方形EFGHS 正方形ABCD =x 2,易知四棱锥S - EFGH 与四棱锥P - ABCD 的高的比值为1 - x ,设V 四棱锥P - ABCD =V 0,则V 四棱锥S - EFGH =x 2(1 - x )V 0.设f (x )=x 2(1 - x )(0<x <1),则f ' (x )=2x - 3x 2,则当0<x <23时,f ' (x )>0,函数f (x )单调递增,当23<x <1时,f ' (x )<0,函数f (x )单调递减,所以当x =23,即PE PA =23时,f (x )取得最大值,此时V 四棱锥S - EFGH 取得最大值.此时,连接PS ,FH ,EG ,设FH 与EG 交于点M ,易知点M 在PS 上,且EF =2,SM =√22,HM =√2.设四棱锥S - EFGH 的外接球的球心为O ,半径为R ,易知点O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S - EFGH 的外部,则(R -√22)2+(√2)2=R 2,解得R =5√24,所以四棱锥S - EFGH 的外接球的表面积为4πR 2=25π2.。