专题讲座：椭圆离心率的常规求法理科 PPT
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专题讲座：椭圆离心率的常规求法理科
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2
为
2。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
1
形，则其离心率为 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
1
离心率为 3
。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=_____5 _____
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为
x
2
y2
+
=1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x 2 + y 2 =1的离心率为1/2，求m的值.
9 m 9
P M
F1
O F2
3. 已知a2、c2直接求e2
e2
c2 a2
4. 已知a2、b2不算c直接求e
b2 e 1
a2
题型二：方程法 例2.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点 ，且
AF1⊥AF2 ， ∠AF2 F1 =60°，求该椭圆的离心率。
y A
60°
F1(-c,0)o F2(c,0)
x
依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式， 解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0<e<1
PB
A
F1
F2
X
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
四.高考链接
（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x= 3 a
x a
2 y2
2 + b 2 =1 上一点，
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
则e的取值范围？
、椭圆a2 (x2) +b2 (y2)=1(a>b >0)的两焦点
为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一 点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？
椭圆a2 (x2) +b2 (y2)=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P 的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？
变式训练2：
椭圆 x
a
2 2
y2
+b2
=1(a>b>0)的三个顶点为B1
(0，-b)，B2 (0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且
B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。
y B2 (0，b)
A(a,0)
o F(c,0)
x
B1 (0，-b)
例题讲解
例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦 点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， PF2∥AB，求此椭圆的Y离心率；
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
例2、设M点是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠F1MF2=900，求此椭圆的 离心率的
Y
wenku.baidu.com
范围
M
问题的关键是寻 找a、c的不等关 系
F1 O F2
X
1、从等式中找不等式：先找a、c的等 量关系，再利用基本不等式（放缩）或 椭圆的x、y的范围找到a、c的不等式。
2、直接找a、c的不等关系，包括与b的 不等关系。
反馈练习
1、设椭圆
x2 a2
y2 b2
1ab0上有点P使
∠OPA=900（A为长轴的右焦点，O为
坐标原点），求离心率的范围。
y x2
2
椭圆 a 2 b 2 1 (a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、
F2 (c,0)，满足→MF1·→MF2 =0的点M总在椭圆内部，
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2
为
2。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
1
形，则其离心率为 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
1
离心率为 3
。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=_____5 _____
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为
x
2
y2
+
=1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x 2 + y 2 =1的离心率为1/2，求m的值.
9 m 9
P M
F1
O F2
3. 已知a2、c2直接求e2
e2
c2 a2
4. 已知a2、b2不算c直接求e
b2 e 1
a2
题型二：方程法 例2.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点 ，且
AF1⊥AF2 ， ∠AF2 F1 =60°，求该椭圆的离心率。
y A
60°
F1(-c,0)o F2(c,0)
x
依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式， 解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0<e<1
PB
A
F1
F2
X
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
四.高考链接
（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x= 3 a
x a
2 y2
2 + b 2 =1 上一点，
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
则e的取值范围？
、椭圆a2 (x2) +b2 (y2)=1(a>b >0)的两焦点
为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一 点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？
椭圆a2 (x2) +b2 (y2)=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P 的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？
变式训练2：
椭圆 x
a
2 2
y2
+b2
=1(a>b>0)的三个顶点为B1
(0，-b)，B2 (0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且
B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。
y B2 (0，b)
A(a,0)
o F(c,0)
x
B1 (0，-b)
例题讲解
例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦 点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， PF2∥AB，求此椭圆的Y离心率；
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
例2、设M点是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠F1MF2=900，求此椭圆的 离心率的
Y
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范围
M
问题的关键是寻 找a、c的不等关 系
F1 O F2
X
1、从等式中找不等式：先找a、c的等 量关系，再利用基本不等式（放缩）或 椭圆的x、y的范围找到a、c的不等式。
2、直接找a、c的不等关系，包括与b的 不等关系。
反馈练习
1、设椭圆
x2 a2
y2 b2
1ab0上有点P使
∠OPA=900（A为长轴的右焦点，O为
坐标原点），求离心率的范围。
y x2
2
椭圆 a 2 b 2 1 (a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、
F2 (c,0)，满足→MF1·→MF2 =0的点M总在椭圆内部，