高一数学必修5第二章数列测试题
高一数学必修5第二章《数列》单元测试
必修5第二章《数列》单元测试班级 姓名 座号一、选择题（每小题6分）1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为( )A ．12-=n a nB ．)12()1(--=n a n nC ．)21()1(n a nn --= D ．)12()1(+-=n a nn2、等比数列2，4，8，16，…的前n 项和为( )A ．121-+nB ．22-nC ．n 2D ．221-+n3、等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．64、等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于( )A ．3B ．23C ．916D ．45、若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n= ( )A ．13B ．14C ．15D ．14或156、等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么d 等于（）A ．3B ．2C ．－2D ．2±7、等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是( )A ．130B ．170C ．210D ．2608、 数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题（每小题6分）9、等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________ 10、{}a n 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,=++a a a 963 _______11、在等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则113a a += __________12、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______三、解答题13、（本题10分）求数列11111,2,3,424816…的前n 项和。
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。
新课标A版高中数学必修5：第二章数列单元同步测试(含解析)
第二章测试(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和 ,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3 ,…) ,那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2 ,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2 ,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4 ,…由此可知 ,数列{a n }既不是等差数列 ,也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n } ,其中a 1＝3 ,a 2＝6 ,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,那么a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3 , a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3 , a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首||项为a 的数列{a n }既是等差数列 ,又是等比数列 ,那么这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意 ,知a n ＝a (a ≠0) ,∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列 ,假设a 1＝1 ,a 5＝16 ,那么数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16 ,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．－9 ,a 1 ,a 2 ,－1四个实数成等差数列 ,－9 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,－1五个实数成等比数列 ,那么b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83 , b 22＝(－1)×(－9)＝9 ,∴b 2＝－3 , ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数 ,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列 ,那么n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意 ,得－10＝－12＋82(n ＋2) , ∴n ＝3. 答案 B7．{a n }是等差数列 ,a 4＝15 ,S 5＝55 ,那么过点P (3 ,a 3) ,Q (4 ,a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15 ,S 5＝55 ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15 5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11) ,Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,假设a 3＋a 17＝10 ,那么S 19＝( )A ．55B ．95C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和 ,假设a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数 ,那么在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C．S13D．S16解析a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7 ,∴a7为常数．∴S13＝a1＋a132×13＝13a7为常数．答案 C10．等比数列{a n}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31 ,a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62 ,那么通项是()A．2n－1B．2nC．2n＋1D．2n＋2解析∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5) ,∴62＝q×31 ,∴q＝2.∴S5＝a1(1－25)1－2＝31.∴a1＝1 ,∴a n＝2n－1.答案 A11．等差数列{a n}中,|a3|＝|a9| ,公差d<0 ,那么使其前n项和S n 取得最||大值的自然数n是()A．4或5 B．5或6C．6或7 D．不存在解析由d<0知,{a n}是递减数列,∵|a3|＝|a9| ,∴a3＝－a9 ,即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0 ,∴a6＝0.∴S5＝S6且最||大．答案 B12．假设a ,b ,c成等比数列,那么方程ax2＋bx＋c＝0()A．有两个不等实根B ．有两相等的实根C ．无实数根D ．无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列 ,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．把答案填在题中横线上)13．2 ,x ,y ,z,18成等比数列 ,那么x ＝________.解析 设公比为q ,那么由2 ,x ,y ,z,18成等比数列．得18＝2q 4 ,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．假设数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n ≤1a n －1 a n>1且a 1＝67 ,那么a 2021＝________.解析 由题意 ,得a 1＝67 ,a 2＝127 ,a 3＝57 ,a 4＝107 ,a 5＝37 ,a 6＝67 ,a 7＝127 ,… ,∴a 2021＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,那么S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9 ,S 33＝－16＋33＝17 ,S 50＝－25 ,∴S 17＋S33＋S50＝1.答案 116．设等比数列{a n}的公比q＝12,前n项和为S n,那么S4a4＝________.解析S4a4＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a1⎝⎛⎭⎪⎫123＝15.答案15三、解答题(本大题共6个小题,共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n为数列{a n}的前n项和,a1≠0,2a n－a1＝S1·S n,n ∈N*.(1)求a1 ,a2 ,并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．解(1)令n＝1 ,得2a1－a1＝a21,即a1＝a21,∵a1≠0 ,∴a1＝1 ,令n＝2 ,得2a2－1＝S2＝1＋a2 ,解得a2＝2.当n≥2时,由2a n－1＝S n,2a n－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n ,即a n＝2a n－1 ,于是数列{a n}是首||项为1 ,公比为2的等比数列,即a n＝2n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知,na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为B n ,于是B n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1 ,①2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)等比数列{a n } ,首||项为81 ,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)假设S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q , 那么a 1＝81 ,a n ＋1a n＝q ,由a n >0 ,可知q >0 ,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数) ,∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知 ,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4 , ∵S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 11≥0 b 12<0即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋10d ≥0 b 1＋11d <0.⎩⎨⎧d ≥－b 110＝－25d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数 ,a 1＝3 ,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列 ,b 1＝1 ,且b 2S 2＝64 ,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,那么d >0 ,q ≠0 ,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1 ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2 q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403 (舍去)．故a n ＝2n ＋1 ,b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2) , 1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ,∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.20．(12分)等比数列{a n }中 ,a 1＝2 ,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设a 3 ,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项 ,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由 ,得16＝2q 3 ,解得 q ＝2 ,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8 ,a 5＝32 ,那么b 3＝8 ,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8 b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N * ,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3 ,n ∈N *.(1)求a n ,b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时 ,a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1 ,得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1 ,n ∈N * , ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1 , 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1 ,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N * ,n ≥2)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)假设数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n . 解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0 ,∴a n 2n －a n －12n －1＝12 ,∴{a n 2n }是以12为首||项 ,12为公差的等差数列． (2)由(1) ,得a n 2n ＝12＋(n －1)×12 , ∴a n ＝n ·2n －1 ,∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 那么2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－② ,得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1·(1－2n)1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
新课标A版高中数学必修5：第二章+数列+单元同步测试(含解析)
第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3,…),那么数列{a n }( )A.是公比为2的等比数列B.是公差为2的等差数列C.是公比为12的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 5＝( ) A.6 B.－3 C.－12D.－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3, a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3, a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A.a n －1B.naC.a nD.(n －1)a解析 由题意,知a n ＝a (a ≠0),∴S n ＝na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1＝1,a 5＝16,则数列{a n }的前7项和为( )A.63B.64C.127D.128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5.已知－9,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－9,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A.－8B.8C.－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83, b 22＝(－1)×(－9)＝9,∴b 2＝－3, ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6.在－12和8之间插入n 个数,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列,则n 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意,得－10＝－12＋82(n ＋2), ∴n ＝3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A.4B.14C.－4D.－14解析由a 4＝15,S 5＝55,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＋a 17＝10,则S 19＝( ) A.55 B.95 C.100D.190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95.答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A.S 7B.S 4C.S 13D.S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7,∴a 7为常数.∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( )A.2n －1B.2nC.2n ＋1D.2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5), ∴62＝q ×31,∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1,∴a n ＝2n －1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|＝|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|＝|a 9|,∴a 3＝－a 9,即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0,∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根 D.无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x ＝________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18＝2q 4,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67,则a 2013＝________.解析 由题意,得a 1＝67,a 2＝127,a 3＝57,a 4＝107,a 5＝37,a 6＝67,a 7＝127,…,∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9,S 33＝－16＋33＝17,S 50＝－25,∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q ＝12,前n 项和为S n ,则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n ＝1,得2a 1－a 1＝a 21,即a 1＝a 21,∵a 1≠0,∴a 1＝1,令n ＝2,得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2,解得a 2＝2. 当n ≥2时,由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ,即a n ＝2a n －1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知,na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ,于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1,① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1＝81,a n ＋1a n＝q ,由a n >0,可知q >0,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列.(2)由(1)知,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1＝3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1＝1,且b 2S 2＝64,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1,依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去).故a n ＝2n ＋1,b n ＝8n －1.(2)证明:由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2),1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2, ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1＝2,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16＝2q 3,解得 q ＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8,a 5＝32,则b 3＝8,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *). 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1,得b n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1,n ∈N *, ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1, 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0,∴a n 2n －a n －12n －1＝12, ∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n ＝12＋(n －1)×12,∴a n ＝n ·2n －1, ∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②,得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)
第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.2.已知数列，，，且，则数列的第五项为（）A.B.C.D.3.是数列中的第（）项.A.B.C.D.4.在等差数列中,若，则（）A.45B.75C.180D.3005.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A.－2B.－3C.－4D.－6.在等差数列｛an｝中，设公差为d，若S10＝4S5，则等于7.设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，且a100＋b100＝100，则数列｛an＋bn｝的前100项之和是8.已知等差数列｛an｝的公差d＝1，且a1＋a2＋a3＋…＋a98＝137，那么a2＋a4＋a6＋…＋a98的值等于()9.在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()10.公差不为0的等差数列｛an｝中，a2、a3、a6依次成等比数列，则公比等于11.若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12.等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Ｔn，对一切自然数n，都有=，则等于二、填空题（每小题4分，共计16分）13.数列｛an｝的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，则它的通项公式为.14.已知｛｝是等差数列，且a2＝－1，a4＝＋1，则a10＝.15.在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝.16.数列1，2，3，4，…的前n项和为.三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝中，Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，求Sm＋n.18.（本题满分12分）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.求公差d的取值范围.19.（本题满分12分）已知等差数列｛an｝中，a1＝29，S10＝S20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a1＝5，an＋1＝2an＋3(n≥1)，求｛an｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋＋＋…＋22.（本题满分14分）已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1，2，…)求证｛bn｝是等比数列；(2)设cn＝(n＝1，2…)求证｛cn｝是等差数列；(3)求数列｛an｝的通项公式及前n项和公式数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C10.D11.C12.B二、填空题13.14.－15.7016.三、解答题17.解析：设Sn＝ｐn2＋qnSn＝ｐn2＋qn＝m；①则Sm＝ｐm2＋qm＝n②①－②得：ｐ(n2－m2)＋q(n－m)＝m－n即ｐ(m＋n)＋q＝－1(m≠n)∴Sm＋n＝ｐ(m＋n)2＋q(m＋n)＝(m＋n)［ｐ(m＋n)＋q］＝－(m＋n).18.解析：由S12＞0及S13＜0可得2a1＋11d＞024＋7d＞0即又∵a3＝12，∴a1＝12－2d∴a1＋6d＜03＋d＜0∴－＜d＜－3.19.解析：设数列｛an｝的公差为d∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋解得d＝－∴an＝－2n＋设这个数列的前n项和最大，an≥0－2n＋31≥0则需：即an＋1≤0－2(n＋1)＋31≤0∴∵n∈N，∴n＝∴当n＝15时，Sn最大，最大值为＝15×29＋(－2)＝225.20.解析：令an＝bn＋ｋ，则an＋1＝bn＋1＋ｋ∴bn＋1＋ｋ＝2(bn＋ｋ)＋3即bn＋1－2bn＝ｋ＋令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－则an＝bn－3，bn＋1＝2bn这说明｛bn｝为等比数列，q＝b1＝a1－ｋ＝8，∴bn＝8•2n－1＝2n＋2∴an＝2n＋2－3.21.解析：设Sn＝1＋＋＋…＋＋则Sn＝＋＋＋…＋＋①－②得：22.解析：(1)∵Sn＋1＝4an＋∴Sn＋2＝4an＋1＋②－①得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1，2，即an＋2＝4an ＋1－4an，变形，得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－∵bn＝an＋1－2an(n＝1，2，∴bn＋1＝由此可知，数列｛bn｝是公比为2的等比数列；由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5故b1＝a2－2a1＝3∴bn ＝3•2n－将bn＝3•2n－1代入，得cn＋1－cn＝(n＝1，2，由此可知，数列｛cn｝是公差为的等差数列，它的首项c1＝∴an＝2n•cn＝(3n－1)•2n－2(n＝1，2，…)；当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)•2n－1＋2，由于S1＝a1＝1也适合于此公式，所以所求｛an｝的前n项和公式是：Sn＝(3n－4)•2n－1＋2.。
最新高中数学第二章数列2.3.1第2课时等比数列的性质同步精选测试新人教B版必修5最新0711318
同步精选测试 等比数列性质(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列【解析】 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…所以数列{a n }是摆动数列.【答案】 D2.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A.a 1，a 3，a 9成等比数列 B.a 2，a 3，a 6成等比数列 C.a 2，a 4，a 8成等比数列 D.a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列.故选D.【答案】 D3.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(a ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.－5B.－15C.5D.15【解析】 ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n ， ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列， ∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35， ∴log 1335＝－5.【答案】 A4.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )A.3B.27C.3或27D.15或27【解析】 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －62＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 【答案】 C5.已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )【导学号：18082097】A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】 因为{a n }为等比数列，所以a 5·a 2n －5＝a 2n . 由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，得a 2n ＝22n.又因为a n ＞0，所以a n ＝2n，所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，故选C.【答案】 C 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________. 【解析】 ∵a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265， ∴a 3a 8＝213.∵a 3＝16＝24，∴a 8＝29＝512. 又∵a 8＝a 3q 5，∴q ＝2，∴a 7＝a 8q ＝5122＝256.【答案】 2567.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________.【解析】 ∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.【答案】 28.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________.【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ，所以月平均增长率为11m －1. 【答案】11m －1三、解答题9.若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值.【解】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列.∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.10.在等比数列{a n }中，a 4＝23，a 3＋a 5＝209.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比大于1，且b n ＝log 3a n2，求证：数列{b n }为等差数列，并求其前n项和S n .【导学号：18082098】【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，a 4q ＋a 4q ＝209.因为a 4＝23，所以1q ＋q ＝103，解得q ＝13或q ＝3.当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－1＝2×33－n；当q ＝3时，a 1＝281，所以a n ＝281×3n －1＝2×3n －5.(2)证明：由(1)及数列{a n }的公比大于1， 得q ＝3，a n ＝2×3n －5，所以b n ＝log 3a n2＝log 33n －5＝n －5，所以b n －b n －1＝1(常数). 又因为b 1＝log 3a 12＝－4，所以数列{b n }是首项为－4，公差为1的等差数列. 所以S n ＝n b 1＋b n2＝12n 2－92n . [能力提升]1.等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( ) A.±2 B.±4 C.2 D.4 【解析】 ∵T 13＝4T 9. ∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9. ∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15， ∴(a 8·a 15)2＝4.∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0.∴a 8a 15＝2. 【答案】 C2.公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A.16B.14C.4D.49【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 【答案】 A3.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0.又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94.在等差数列{a n }中，公差 d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项.已知数列a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，求数列{k n }的通项k n .【解】 依题设得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 22＝a 1a 4， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得d 2＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，得a n ＝nd .∴由已知得d,3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…是等比数列.又d ≠0，∴数列1,3，k 1，k 2，…，k n ，…也是等比数列，首项为1，公比为q ＝31＝3，由此得k 1＝9.等比数列{k n }的首项k 1＝9，公比q ＝3，∴k n ＝9×q n －1＝3n ＋1(n ＝1,2,3，…)，即得到数列{k n }的通项为k n ＝3n ＋1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高中数学必修5数列单元测试题含解析
新课标数学必修5第2章数列单元试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A．34 B．35 C．36 D．37考查等差数列的应用．【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等*，Nn∈≤36．4，·11=11n+99，由a≤500，解得n差数列，公差为11，数a=110+（n－1）nn∴n≤36．【答案】C2－1（n≥1），则a+a+a+a+a=12．在数列{a}中，a，a=a等于（）54n+112nn31A．－1 B．1 C．0 D．2考查数列通项的理解及递推关系．2－1=（a+1）（=aaa－1），【解析】由已知：nn+1nn∴a=0，a=－1，a=0，a=－1．5342【答案】A 3．{a}是等差数列，且a+a+a=45，a+a+a=39，则a+a+a的值是（）9432n78156A．24 B．27 C．30 D．33考查等差数列的性质及运用．【解析】a+a+a，a+a+a，a+a+a成等差数列，故a+a+a=2×39－45=33．932394576168【答案】D2f(n)?n*）且f（1）=2，则f（20（n∈N+14．设函数f（x）满足f（n）=）为（）2192 D．．105 B．97 C95 A．考查递推公式的应用．1?1?f(1)?f(2)??2?1?2)(2??f(3)?fn??）f（n=f【解析】（n+1）－2?2? ?1?1919)??f(20)?f(?2?1?．1）=97（20）=95+f20）－f（1）=…（1+2++19）（f相加得f（2B【答案】*）（n≥3=0－6，a，公差d∈N）的最大值为（，则n中，已知5．等差数列{a}a=n1n8 D．B．6 C．7 A．5考查等差数列的通项．6?+1 n（n－1）d=0=－a【解析】=a+（n1）d，即－6+1n d*．=7d=1时，n取最大值n∵d∈N，当C【答案】2 }从首项到第几项的和最大（）=6．设a－n，则数列+10n+11{a nn项．第10项或11项D12C项10A．第项B．第11 ．第考查数列求和的最值及问题转化的能力．2 S<0a>0a=0a）－（+1－（n－=【解析】由an+10+11=n）n11，得，而，，S=．1110121011n【答案】C7．已知等差数列{a}的公差为正数，且a·a=－12，a+a=－4，则S为（）20n4763A．180 B．－180 C．90 D．－90考查等差数列的运用．2+4xxa联立，即，a是方程4与a·a=－12【解析】由等差数列性质，a+a=a+a=－77674333－12=0的两根，又公差d>0，∴a>aa=2，a=－6，从而得a=－10，d=2，S=180．?2033771【答案】A 8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A．9 B．10 C．19 D．29考查数学建模和探索问题的能力．n(n?1)<200．【解析】1+2+3+…+n<200，即220?19 根．n=20时，剩余钢管最少，此时用去=190显然2【答案】B9．由公差为d的等差数列a、a、a…重新组成的数列a+a，a+a，a+a…是（）611524233A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列考查等差数列的性质．【解析】（a+a）－（a+a）=（a－a）+（a－a）=2d．（a+a）－（a+a）=（a－3456422235151a）+（a－a）=2d．依次类推．562【答案】B10．在等差数列{a}中，若S=18，S=240，a=30，则n的值为（）－49nnn A．14 B．15 C．16 D．17考查等差数列的求和及运用．9(a?a)91??2（a+4d）=4．【解析】S=18=a+a=491912)n(a?a n1．=16n=240S+4d=2，又a=a+4d．∴=a∴－nn4n12∴n=15．【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）2a2*n），则是这个数列的第_________项．（n∈N=1．在数列11{a}中，a，a=+1nn1a?27n考查数列概念的理解及观察变形能力．111111+，∴{}是以=1【解析】由已知得=为首项，公差d=的等差数列．aaaa221n1?nn1221=1+（n－1），∴a=∴=，∴n=6．n a?172n n【答案】612．在等差数列{a}中，已知S=10，S=100，则S ．=_________11010100n考查等差数列性质及和的理解．?a+a=－2．（a+a）=－90=45S－S=a+a+…+a（a+a）=45【解析】11010010011010011111110121（a+a）×110=－=S110．11011102【答案】－11013．在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______．考查等差数列的前n项和公式及等差数列的概念．(n?2)(?9?3)，∴n=5．【解析】－21=25【答案】Sa2n n11=_________．，若=，则、14．等差数列{a}，{b}的前n项和分别为ST nnnn bT3n?111n 考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用．(a?a)21(a?a)211211aS2?2121221121???．==【解】(b?b)21(b?b)bT3?21?13212112121112221 【答案】32三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？考查等差数列通项及灵活应用．【解】设这两个数列分别为{a}、{b}，则a=3n+2，b=4n－1，令a=b，则3k+2=4m－1．mnnnnk∴3k=3（m－1）+m，∴m被3整除．*），则k=4p－1=3p（p∈N．设m∵k、m∈［1，100］．则1≤3p≤100且1≤p≤25．∴它们共有25个相同的项．16．（本小题满分10分）在等差数列{a}中，若a=25且S=S，求数列前多少项和最大．179n1考查等差数列的前n项和公式的应用．9?(9?1)17(17?1)d=1725+×25+d ×S【解】∵S=，a=25，∴9191722n(n?1)2+169．－13）n（－n，∴d解得=－2S=25+2）=－（n2由二次函数性质，故前13项和最大．注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d=－2，数列a为递减数列．n a=25+（n－1）（－2）≥0，即n≤13．5．n∴数列前13项和最大．2－5nn+4，问．17（本小题满分12分）数列通项公式为a=n（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a有最小值？并求出最小值．n考查数列通项及二次函数性质．2－5n+4<0，解得1<na【解】（1）由为负数，得n<4．n*项．3项和第2项为负数，分别是第2，即数列有3或=2n，故N∈n∵．59522）－，∴对称轴为n=n+4=（n－=2．（2）∵a=n5 －5n242*2－5×2+4=－2．或n=3时，a 有最小值，最小值为2又∵n∈N，故当n=2n18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力．n(n?1)+51次相遇，依题意得2n+n=70 【解】（1）设n分钟后第22+13n－140=0，解得：n=7，n=－20（舍去）整理得：n∴第1次相遇在开始运动后7分钟．n(n?1)+5n+n=3×70 （2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：222+13n－6×70=0，解得：n=15或n整理得：n=－28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟．1．a=n≥2），（n项和为S，且满足a+2S·S=019．（本小题满分12分）已知数列{a}的前1nnnnn1－21}是等差数列；）求证：{ （1S n（2）求a表达式；n222<1．b +…n≥2），求证：b++b（3）若b=2（1－n）a（nn23n考查数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）∵－a=2SS，∴－S+S=2SS（n≥2）1nn1nn1nnn－－－11111－=2，又==2，∴{}是以S≠0，∴2为首项，公差为2的等差数列．n aSSSS11nnn1?11=2+（n－1）2=2n，∴S= （2）由（1）n Sn2n1当n≥2 时，a=S－S=－1nnn－)n?1(2n1?(n?1)?12?=a S=，∴n=1时，a=?n1112?-(n?2)?2n(n-1)?1 a=－（1n））由（（32）知b=2nn n111111222++…++b=…+<++…+ bb ∴+n32222n)(n?1n332?21?2．111111）+（－）+…+（－）=1－（=1－<1．nn1?n322．。
高一数学必修5第二章数列单元测试及答案
高一数学必修5第二章数列单元测试及答案班级 姓名 座号一、选择题（每小题6分）1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为( )A ．12-=n a nB ．)12()1(--=n a n nC ．)21()1(n a n n --=D ．)12()1(+-=n a n n2、等比数列2，4，8，16，…的前n 项和为( )A ．121-+nB ．22-nC ．n 2D ．221-+n3、等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．64、等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于( )A ．3B ．23C ．916D ．45、若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n= ( )A ．13B ．14C ．15D ．14或156、等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，假如521a a a 、、成等比数列，那么等于（）A ．3B ．2C ．－2D ．2±7、等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是( )A ．130B ．170C ．210D ．2608、 数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题（每小题6分）9、等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________ 10、{}a n 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,=++a a a 963 _______11、在等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则113a a += __________12、在数列{}n a 中，11a =，且关于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______三、解答题13、（本题10分）求数列11111,2,3,424816…的前n 项和。
【优质文档】必修五第二章数列全章练习题(含答案)
a
1＝
1，
a
n＋
1＝
3
an an＋
，则给出的数列 1
{ an} 的第 7 项是
()
1 A. 16
1 B.17
1 C.19
1 D.25
4．由 1,3,5 ， , ， 2n－ 1， , 构成数列 { an} ，数列 { bn} 满足 b1＝ 2，当 n≥ 2 时， bn ＝abn－1，则
b6 的值是
()
a1 ＝1，且满足
a
n＋
1＝
1 2an
＋
1 2n，则此数列的第
4 项是
()
1
3
5
A ．1
B.2
C.4
D.8
2．数列 { an} 中， a1 ＝1，对所有的 n≥ 2，都有 a1·a2·a3·, ·an＝ n2，则 a3＋ a5 等于 (
)
25 A. 9
25 B.16
61 C.16
31 D.15
3．若
5 个图形中的花盆数为 ________．
12．在数列 { an} 中， a1＝ 2， a17＝ 66，通项公式 an 是 n 的一次函数．
(1)求 { an} 的通项公式；
(2)88 是否是数列 { an} 中的项？
三、探究与拓展
9n2－ 9n＋ 2
13．已知数列
9n2－ 1 ：
(1)求这个数列的第 10 项； (2)19081是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1) 内；
(4)在区间
1， 2 内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 33
答案
1． C 2.C 3.C 4.C 5. 66．an＝2n＋ 1 7． 解 (1) an＝ 2n＋ 1.
高一数学必修5第二章数列测 试题
高中一年级第二学期新课标数学必修5第2章数列单元测试题一一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）1．等差数列项等于（ ）A．9 B．10 C．11 D．122．等比数列中, 则的第项为（ ）A． B．243 C．27 D．3．与，两数的等比中项是（ ）A． B． C． D．4．已知一等差数列的前三项依次为，那么21是此数列的第（ ）项A． B． C． D．5．在公比为整数的等比数列中，若则该数列的第3项为（ ）A． B． C． D．6. 数列的通项公式，则该数列的前9项之和等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．47. 设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a3=24，则a1a2a3a4a5等于( )A.210B.220C.215D.216 8．已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）A． B． C． D．9．设是等差数列的前n项和，若等于（ ）A．12 B．18 C．24 D．4210．已知等差数列{a n}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（ ）A．180 B．－180 C．90 D．－9011．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A．9 B．10 C．19 D．29二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）12．在等比数列中, 若则=___________.13在等比数列中,若是方程的两根则=___________.14．在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______．15.已知数列的前项和，求=_______。
16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），则是这个数列的第_________项．三、解答题（本大题共6小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（13分）成等差数列的三个数的和为12，第二数与第三数之积为24，求这三个数。
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案)
第二章 数列测评(A 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为A ．11 2B ．12 2C ．13 2D ．142 答案：C ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等比数列{a n }的首项a 1＝1002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C a n ＝1002×(12)n －1<1⇒n>10，即等比数列{a n }前10项大于1，从第11项起小于1，故p 10最大．3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 A ．64 B ．81 C ．128 D ．243答案：A 公比q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2.由a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3，得a 1＝1，a 7＝26＝64.4．设{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项和等于 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案：B {a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，a 3＝3，a 6＝9.∴d ＝2，a 1＝－1，则这个数列的前6项和等于6(a 1＋a 6)2＝24.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于 A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400答案：B 设数列可记为1，－5,9，－13，…，393，－397.其奇数项与偶数项分别是公差为8，－8的等差数列．于是，S 100＝(1＋9＋13＋…＋393)－(5＋13＋…＋397)＝50×(1＋393)2－50×(5＋397)2＝－200.6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且2a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为A ．1＋32B ．1－32 C.1－52 D.5＋12答案：A 由2a 2，a 3，a 1成等差数列得2a 3＝2a 2＋a 1，∴2a 1q 2＝2a 1q ＋a 1，整理得2q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋32或q ＝1－32＜0(因等比数列各项都是正数，故舍去)．∴a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3q 2＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝(1＋32)2＝1＋32.7．(2009广东高考，理4)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于A ．n(2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C 由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n ， 则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n ⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2， 故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2.8．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 由a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2),2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a n 2＝2a n ，即a n ＝2或a n ＝0(舍去)，所以S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2.9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A ．i<4?B ．i<5?C ．i ≥5?D ．i<6? 答案：D 该程序的功能是求和∑i ＝1n1i(i ＋1)，由输出结果56＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，得n ＝5. 10．(2009山东潍坊高三第二次质检，11)已知函数f(x)＝log 2x 的反函数为f －1(x)，等比数列{a n }的公比为2，若f －1(a 2)·f －1(a 4)＝210，则2f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)等于A ．21004×2008B ．21005×2009C ．21005×2008D ．21004×2009答案：D 由题意，得f －1(x)＝2x ，故f －1(a 2)·f －1(a 4)＝4222aa ⋅＝210， ∴a 2＋a 4＝10，即2a 1＋8a 1＝10. ∴a 1＝1.则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)＝log 2(a 1·a 2·…·a 2009)＝log 220＋1＋2＋…＋2008＝1＋20082×2008＝1004×2009.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．若等差数列{a n }中，a 1＋4a 7＋a 13＝96，则2a 2＋a 17的值是__________． 答案：48 ∵a 1＋4a 7＋a 13＝96，a 1＋a 13＝2a 7， ∴a 7＝16.∴2a 2＋a 17＝a 1＋a 3＋a 17＝a 7＋a 11＋a 3＝a 7＋2a 7＝3a 7＝48.12．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0，其中正确判断的序号是__________．答案：①④ 从定义可知，数列{a n }若构成“等差比数列”，则相邻两项不可能相等，所以①正确；而等差数列与等比数列均可能为常数列，就有可能不能构成“等差比数列”，所以②③错误；如数列为{2,0,2,0,2，0，…}，则能构成“等差比数列”，所以④正确．综上所述，正确的判断是①④.13．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a(a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于__________．答案：b 2a 由a 15＋a 16a 5＋a 6＝(a 5＋a 6)q 10a 5＋a 6＝b a ，则q 10＝ba ，则a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)(q 10)2＝a ×(b a )2＝b 2a.14．对于一切实数x ，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f(n3)，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________.答案：3n 2－n 2 ∵f(x)＝[x]，∴a n ＝f(n 3)＝[n3]，n ∈N *.于是，S 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ) ＝(0＋0＋1)＋(1＋1＋2)＋…＋[(n －1)＋(n －1)＋n]＝1＋4＋…＋(3n －2)＝n[1＋(3n －2)]2＝3n 2－n 2.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009福建高考，文17)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .答案：解：(1)设{a n }的公比为q. 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n(－16＋12n －28)2＝6n 2－22n.16．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n(2n －1)(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn(n ∈N *)，试判定：是否存在自然数n ，使得b n ＝900，若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(2n －1)－(n －1)(2n －3)＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合． ∴a n ＝4n －3.∵a n －a n －1＝4(n ≥2)，∴{a n }为等差数列．(2)解：由(1)知，S n ＝2n 2－n ，∴S nn＝2n －1.∴b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.由n 2＝900，得n ＝30，即存在满足条件的自然数，且n ＝30.17．(本小题满分10分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n)＝4n －13＋n(n ＋1)2.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d)q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d)q ＝64.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n(n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝8，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . ∴{a n }为等差数列．设公差为d ，则由题意，得8＝2＋3d ，∴d ＝2. ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)∵b n ＝2n －1·2n ＝n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案
高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611a a 等于（ ） A ．6B ．23C ．16D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（ ） A ．65B ．65-C ．25D ．25-8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．11SD ．10S9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．12D ．12-10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（ ）A ．15B ．30C ．45D ．6011．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （ ） A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（ ） A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大．16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，则101102200()lg x x x +++=________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?答 案一、选择题 1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>， ∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ． 3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =． 又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=，∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ． 5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932a a q ==， 又6151123a q a ==．故选B ． 6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠． 又∵()3311131a q S q-==-，231aa q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q--⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-．∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ．8．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=， 所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <， 所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ．10．【答案】A【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ．解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =， ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列， 则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ． 12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项， 由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-， ∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题 13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-． 又451a a q =，∴121168a -==-， ∴()()666111212181128S a q q⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．② 联立①②两式得11a =-，2d =， 故91818215a a d =-+⨯==+． 15．【答案】8【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >，∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列， 所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅，故101102200l (g )102x x x ++=+．三、解答题17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．【答案】（1）32n a n =-；（2）4． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=． （2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，∴正整数k 的值为4．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=． （2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列， ∵342522a a a a +=+=， 又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根． 又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =． ∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩，∴43n a n =-．（2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=，∴22n n S n c n cn nb ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c=+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）2462n a a a a ++++的值．【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －，∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥．11111333a S ==，211433a a =≠．∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，∴24621161393161167919nnn a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=． 又因为0q >，解得2q =，2d =． 所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－， 设{}n c 的前n 项和为n S ， 则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++， 123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=．所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底． 【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ， 由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==，令2252254750n n +≥， 即291900n n -≥+， 解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2． （2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=， 令0.85n n a b >，即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列{}n a 中，12=a ，1=221n n a a ＋＋，则101a 的值为（ ） A ．49B ．50C ．51D ．522．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．31D ．643．等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81B ．120C ．168D ．1924．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2205．数列{}n a 中，37 ()n a n n +=∈N －，数列{}n b 满足113b =，1(72)2n n b b n n +≥=∈N －且，若log n k n a b +为常数，则满足条件的k 值（ ） A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ）A ．8B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2B ．1或2-C ．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于（ ） A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（ ）A ．1514B ．1213C ．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X =-- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 1311的等比中项是________．14．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．18．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列，且13a =，39a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a =+＋． （1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．21．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11,2,1(,)23n n a S n +==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．22．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ，它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋，∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ．2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==，44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++ 120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭， ∵log n k n a b +是常数，∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=，∴2464a =， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-，即24442a a q a q =-，而40a ≠， ∴220q q --=，1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ． 8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--， 故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅，所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =． 所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时，n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =，2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列，∴n S ，2n n S S －，32n n S S －为等比数列， 即X ，Y X -，Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个， 即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭，123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫⎪-⎝⎭，则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个， 其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题 13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±．14．【答案】4-【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ，3a ，…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中，29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误． ④中，()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2）()413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =，∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-，18b =-，∴824q -=-，3q =． ∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-． 【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-，或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】（1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =，39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+，则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2）证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----． 20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+． 【解析】（1）证明由已知122nn n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =，12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得：()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩；（2）见解析．【解析】（1）解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=． ∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列． 又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩． （2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；（2）22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，①∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++，解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．②①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=． 当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；当12=a 时，23=(3=11)n a n n +--，此时2249=a a a 不成立，舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋ 21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=--242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-。
高中数学人教A版必修5第二章 数列本章复习与测试(有答案)
10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。
高一数学必修五第二章试题——数列(带答案)
高一数学必修五第二章试题一一数列一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 数列3, 5, 9, 17, 33,…的通项公式a n等于（）A. 2n B . 2n+1 C . 2n- 1 D . 2n+12.记等差数列的前n项和为S,若4,S= 20,则该数列的公差d=（）A. 2 B . 3 C . 6 D . 73. 在数列｛a n｝中，a1 = 2, 2a n+1 —2a n= 1,贝U a101 的值为（）A . 49B . 50C . 51D . 524 .在等差数列｛a n｝中，若a1+ a2 + a3= 32, an + a12+ a13= 118，贝U a4 + ae= （）A . 45B . 50C . 75D . 605.公差不为零的等差数列｛a n｝的前n项和为S .若a4是a3与a7的等比中项，S B= 32,则So等于（）A . 18B . 24C . 60D . 906 .等比数列｛a n｝的通项为a n = 2・3n_二现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列｛b n｝，那么162是新数列｛b n｝的（）A.第5项B .第12项C .第13项D .第6项7 .《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何”其意思为：“已知甲、乙丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）5 4 3 5A . 4钱B . 3钱C . 2钱D . §钱8 .已知｛a n｝是等差数列，a a= 5, &= 17,数列｛b n｝的前n项和S= 3n，若a m=b1 + b4,则正整数m等于（）A . 29B . 28C . 27D . 269. 在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1 = 2且a?,色+ 2, a§成等差数列,记S是数列｛a n｝的前n项和，贝U S5=( )A. 32 B . 62 C . 27 D . 8110. 已知数列｛a n｝前n 项和为S= 1-5+ 9- 13+ 17-21 +…+ ( —1)宀(4n —3)，则S15+ S22—S31 的值是()A. 13 B . —76 C . 46 D . 76x2 —1, x w 0,11 .已知函数f (X)= 把方程f (x) = x的根按从小f x—1 + 1，x>0，到大的顺序排列成一个数列｛a n｝，则该数列的通项公式为()n n—1 *A . a n= (n€ N)B. a n= n(n—1)( n€ N)C. a n= n—1(n € N)D. a n= n —2(n€ N)12 .已知数列｛a n｝满足a n+1+ ( —1) n a n= 2n—1 ,S为其前n项和，则( )A. 3690 B . 1830 C . 1845 D . 3660二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)113 .已知数列｛a n｝中，a1 = 10，&+1 = a n—q,则它的前n项和S n的最大值为14 .已知等比数列｛a n｝为递增数列，若a〉0，且2(a n+ a n+ 2) = 5a n+1，则数列｛a n｝的公比q = ______ .15 .在数列｛a n｝中，a1= 1，a2= 2，且a n+2 —a n= 1 + ( —1) n( n€ N)，贝U a1 +a?+…+ a51 = __________________ .16 .某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n(n€ N)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于___________________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)117. (本小题满分10分)设a , b , c 是实数，3a , 4b , 5c 成等比数列，且-, a1a c -成等差数列，求-+-的值. c c a 18. (本小题满分12分)数列｛a n ｝的前n 项和为S,数列｛b n ｝中，b = a 1, b n —a n— a n —1 (n A 2)，右 a n + S = n , C n = a n — 1.(1) 求证：数列｛C n ｝是等比数列；⑵求数列｛b n ｝的通项公式.19. (本小题满分 12 分)已知数列｛a n ｝满足 a 1— 1, a ?— 3, a n + 2 — 3a n +1 — 2a n (n * € N).(1)证明：数列｛a n +1 — a n ｝是等比数列；⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式.20. (本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发， 弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营.由于风 向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区.假设火山喷1 b ‘发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n —1)米至50n米的扇环面记为第n 区,若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%第3区较第2区又减少了2%依此类推，问：(1) 离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克(结果精确到1千克)(2) 第几区内的火山灰总质量最大提示：当n较大时，可用(1 —x)n〜1-nx进行近似计算.21. (本小题满分12分)设数列｛a n｝的前n项和为S = 2n2,数列｛b n｝为等比数列，且ap b1, b2(a2—a" = b.(1)求数列｛a n｝和｛ b n｝的通项公式；a n⑵设C n=，求数列｛C n｝的前n项和T n.b n222. (本小题满分12分)已知a1 = 2，点(a n，a n+1)在函数f (x) = x + 2x的图象上，其中1, 2, 3,….(1) 证明：数列｛lg (1 + a n)｝是等比数列；(2) 设T n = (1 + aj • (1 + a2)…(1 + a n)，求T n；1 1(3) 记b n=- + 0+3，求数列｛b n｝的前n项和S,并证明s<1.a n a n 十2、选择题1.答案B解析由于3 = 2+ 1,5 = 2 + 1,9= 2 + 1,…，所以通项公式是a n = 2 + 1.(或特值法，当n= 1时只有B项符合.)2.答案B解析S— S2= a3 + a4= 20—4= 16,a3+ a4 — S= (a3 —aj + (a4 —a2) = 4d= 16—4 = 12,—d = 3.3.答案D1解析-2a n+1 —2a n = 1 ,• • a n+1 —a n = 2.1•••数列｛a n｝是首项a1= 2,公差d=㊁的等差数列.1 a101 = 2+ q X (101 —1) = 52.4.答案B解析a1 + a2 + a3 = 3a2 = 32, an + a12+ a13= 3a12= 118,—3(a2+ a12)= 150, 即a2 + a12= 50,--a4 + a10= a2 + a12 = 50.5.答案C解析由a2= a3a?得(a1 + 3d)2= (a1+ 2d)( a^6d)，即2a1+ 3d = 0. ①又S8 = 8a1+ 56d = 32,则2a1+ 7d = 8.②由①②，得d= 2, a1 = —3.90所以So= 10a1 + ~d = 60.故选 C.答案C6.解析162是数列｛a n｝的第5项，则它是新数列｛b n｝的第5+ (5 - 1) X 2= 13项.7.答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a —2d，a—d，a，a+ d, a+ 2d,则由题意可知，a —2d+ a—d= a+ a+ d + a+ 2d，即卩a= —6d，又a—2d+ a — d + a+ a+ d + a+ 2d= 5a = 5，二a= 1，a 4 4则a—2d = a —2X —百=§a = 3.故选 B.8.答案A解析因为｛a n｝是等差数列，a9 = 17，a3= 5，所以6d= 17 —5，得d= 2，a n =2n—1 .又因为S = 3，所以当n= 1 时，4= 3，当n》2 时，S—1 = 3 1， b n= 3n—3 1 = 2・3 1，由a m= b1 + b4，得2m— 1 = 3+ 54，得m= 29，故选 A.9.答案B解析设各项均为正数的等比数列｛a n｝的公比为q，又a1 = 2，贝U a2= 2q，a4+ 2= 2q3+ 2，a5=2q4，••• a2，a4 + 2，a s成等差数列，二4q3+ 4 = 2q+ 2q4, ••• 2(q3+ 1) = q(q3+ 1)，由q>0，解得q = 2，2 1 —2585= = 62.故选B.1 —210.答案B解析•/ S= 1 —5+ 9—13+ 17—21 +…+ (—1) 1(4n-3)，• 814= 7X (1 —5) = —28，a15= 60—3 = 57，$2= 11 X (1 —5) = —44,$0= 15X (1 —5) = —60,二S15= S14+ a15=29, S31= S30＋a31=61．a31= 124—3=121，二S15+ S22 —S31 = 29—44 —61 = —76 .故选 B.11．答案C解析令2x— 1 = x(x<0)，易得x= 0.当0<x<1时，由已知得f (x —1) + 1 = x, 即2x—1—1+ 1 = 2x—1= x，贝U x= 1. 当1<x<2时，由已知得f(x) = x,即f(x —1) + 1= x，即f(x —2) + 1 + 1= x, 故2x —2+ 1 = x,则x = 2.因此，a1= 0，a2= 1 ，a3= 2，结合各选项可知该数列的通项公式为a n= n —1(n € N).故选C.12.答案B解析①当n 为奇数时, a n+1—a n= 2n—1,a n+2+ a n+1= 2n+ 1 ,两式相减得a n+2+ a n= 2；②当n 为偶数时, a n+1+ a n=2n—1, a n+2—a n+1= 2n+ 1 ,两式相加得a n+ 2 + a n= 4n，^故S60 = a1 + a3 + a5+…+ a59+ (a2 + a4 + ◎ + …+ 36。
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一、选择题
1．等差数列9}{,7,3,}{51第则数列中n n a a a a ==项等于（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为（ ）
A ．81
B ．243
C ．27
D ．192
3．12+与12-，两数的等比中项是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1±
D ．2
1 4.已知一等差数列的前三项依次为34,22,++x x x ，那么21是此数列的第（）项
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为（ ） A ．56 B ．5
12 C ．524 D ．548 6. 数列{}n a 的通项公式n n a n -+=1，则该数列的前9项之和等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 3 =24，则a 1a 2a 3a 4a 5等于( )
8．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）
A ．4-
B ．6-
C ．8-
D ．10-
9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若642102S S S ，则，==等于（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．42
10．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）
A ．180
B ．－180
C ．90
D ．－90
11．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）
A ．9
B ．10
C ．19
D ．29
二、填空题
12．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则15a =___________.
13在等比数列{}n a 中,若101,a a 是方程06232
=--x x 的两根则47a a ⋅=________. 14．在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______．
15.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a =_______。
16．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则7
2是这个数列的第_________项． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.成等差数列的三个数的和为12，第二数与第三数之积为24，求这三个数。
18．在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17，求数列前多少项和最大．
19．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，10,3312=+=a a a ，求n S 。
20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3213,2,S S S 成等差数列，求等比数列{}n a 的公比q 。
21．设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，
2a ，4a 成等比数列.（Ⅰ）证明d a =1； （Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式。
22. 在等差数列{}n a 中, 若,12,60171-=-=a a （1）求通项n a ；（2）求此数列前 30项的绝对值的和。
23.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21
．
（1）求证：{n
S 1}是等差数列； （2）求a n 表达式；
（3）若b n =2（1－n ）a n （n ≥2），求b 2+b 3+…+b 100．
24.在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n
n a a a n
++==++ （1）设n n a b n =，求证：n n n b b 2
11=-+； (2)求数列{}n b 的通项公式；
（3）求数列{}n a 的前n 项和n S
25.在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件
242,1,2,1n n S n n S n +==+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记(0)n a
n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T . ￥。