层次分析法(教学PPT)

2020/5/1 倒数作为标度，含义如下表
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2、4、6、8为上述相邻判断的中值。 1
判断矩阵中的元素具有下述性aij 质：aij>0;aij= aii=1.
1 a ij
;
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2）计算单一准则下元素的相对重要性（层次单排序）
这一步要根据判断矩阵计算对 于目标元素而言各元素的相对重要性 次序的权值。计算判断矩阵A的最大 特 特 首征征先根向对量于λma判Wx和=断（其矩w对阵1应Aw的求2 经…解归最w一大n）化特T后。征的即根 问题：
进行一致性检验的步骤如下：
① 计算一致性指标
λmax - n
C.I.= n1
式中n为判断矩阵的阶数。
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②
计算平均随机一致性指标R.I.。它是多次重复进行随机判断
矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的，下表给出1~15阶矩
阵重复计算1000次的平均随机一致性指标值；
阶数 1 R.I. 0
m
设层次总排序一致性指标 C.I. ai C.I.i i 1
m
层次总排序随机一致性指标 R.I. ai R.I.i i1
其中，C.I.i与R.I.i分别为Ai相对于B层次中判断矩阵的一致性和 随机一致性指标。
总的一致性指标：C .R . C .I .
R.I .
当C.R.<0.10，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。若 不满一致性条件，需对判断矩阵进行调整。
wi
n
, W=(w1 w2 …wn) T
wj
为所求特征向量; j 1
n ( AW )i
① 计算最大特征根λmax= i1 nwi ，其中
(AW)i 表示向量AW的第i个元素。
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3）单层次判断矩阵A的一致性检验
a ik
在单层次判断矩阵A中，当aij= a jk 时，称判断矩阵为一致性矩 阵。由于客观事物的复杂性和人们的偏爱不同，判断矩阵很难有严 格还的 需一 对致 判性 断， 矩但阵应的该一要致求性有进大行致检的验一。致性。因此，在得到λmax后，
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简单情形—单层次模型
• C
A1
A2
… An
图1 单层次模型结构
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单层次模型的计算步骤
1)构造两两比较判断矩阵
Ck
A1
A2
…
An
A1
a11
a12
…
a1n
A2
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
…
An
an1
an2
…
ann
其中aij表示：对于Ck来说，Ai对于Aj相对重要性
的数据体现，通常aij可取1、2、…、9以及他们的
层次分析法
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层次分析法（AHP）
• 应用这种方法，决策者通过将复杂问题 分解为若干层次和若干因素，在各因素之间 进行简单的比较和计算，得出不同方案的权 重，为最佳方案的选择提供依据
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层次分析法（AHP）的基本原理
• AHP首先把问题层次化，按问题性质和总 目标将此问题分解为不同层次，构成一个多 层次的分析结构模型，一般分为目标层、准 则层和方案层。通过确定各方案、措施等相 对于总目标的重要性权重，解决各方案因素 的相对优劣次序的排序问题。
B2
1
1/3 0.163
B3
1 0.540
B2
C1
C2
C3
W2i
C1
根据判断矩阵计算对上一层某元素而言本层次与之有联系的各元素的相对
重要性次序的权值。即各判断矩阵A视为单层次子模型，按上述单层次模型中 的方法去求解特征根问题：AW=λmaxW。
所得特征值向量W经归一化处理狗作为本层次元素A1、A2、…、An对于上一 层次元素的排序权值。
λmax与W的计算方法与单层次模型相同
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一般情形—多层次模型
• 利用AHP求解多层次结构问题的基本步骤： 1）建立递阶层次结构
目标层
决策目标
准则层
准则1
准则2
…
准则k
子准则层
子准则2
子准则2
…
子准则2
…
…
…
20方20/5案/1 层
方案1
方案2
…
方案n
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2)构造两两比较判断矩阵
3)计算单一准则下元素的相对重要性（单层次模型）
4）判断矩阵的一致性检验
在得到λmax和所对应的特征向量W=（w1 w2 … wn）T后检验各判断矩阵 的一致性，一致性检验与单层次模型相同。
5)计算各层次上元素的组合权重（层次总排序）
层次总排序需要从上到下逐层进行。对于最高层，它的层次单排序即为 总排序。
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如果上一层所有元素A1、A2、…、Am组合权重已知，权重分别
为果层a为 次1、b元i2a素、2、b的i2…、组、、合ab权min，（重与i=可1A,根2i相，据应…下的，表本m进层）行元。计素若算BB1。j、与B显A2、i然无…n联、bj系B1n时的，单b排ij=序0。结本 j 1
权重
层次A
A1
层次B
a1
A2
……
Am
B层次
元素组合权重
a2
……
am
B1
B2 ……
b11
b12 ……
b21
b22 ……
……
…… ……
bm1
bm2 ……
m
b1
ai
bi 1
i 1
m
b2
ai
bi 2
i 1
……
Bn
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b1n
b2n
……
bmn
m
bn
ai
bi n
i 1
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6）评价层次总排序计算结果的一致性
为评价层次总排序计算结果的一致性，也需要计算与层次单排 序相类似的检验量。
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
计算一致性比例 C.R.= C . I .
R .I .
当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否 则应该应该修改矩阵使之符合一致性要求。
AW=λmaxW 归一化处理后的W作为本层次元素 A1、A2、…An对于目标函数Ck的排 序权值。
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• 法，计如算下λm：ax和W一般采用近似计算的方根
① 将判断矩阵A中元素按行相乘：即
n
aij （i=1,2,…,n）；
① 计算 j1
n
wi n
aij
；
j 1
① 将w i 归一化得
wi=
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10.1 例题应用
某公司欲确定下一年度广告宣传方式，宣传媒介有街头广告牌 （C1）、报纸（C2）、和电视（C3）三种。公司选择宣传方式的标 准各有 元观 素众 的（ 相读 对者重）要人度数如(下B1：)、宣传效果(B2)和广告费用（B3）。已知
A
B1
B2
B3
W0i
B1
1
2
1/2 0.297