苏教版高中数学必修一学案：3.4函数模型及其应用

§34 函数的模型及其应用

主备：曹广明 审核：汪显林 做题：王建亚

一、教学重、难点

针对实际问题，掌握数据与各变量之间的对应关系，掌握几种常见函数模型的应用.

二、新课导航

1. 问题情境：

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产，生活中许多实际问题

三、合作探究

活动1 ： 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C(单位：万元)\单位成本P(单位：万元)\销售收入R(单位：万元)以及利润L （单位：万元）关于总产量x （单位：台）的关系式．

活动2 ： 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，

经过一定时间t 后的温度是T ，则h t a a T T T T )2

1()(0⋅-=-，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期。现有一杯用C ︒88热水冲的速溶咖啡，放在C ︒24的房间中，如果咖啡降温到C ︒40需要min 20，那么降温到C ︒35时，需要多长时间（结果精确到1.0）？

活动3： 在经济学中，函数)(x f 的边际函数)(x Mf 定义为)()1()(x f x f x Mf -+=。某

公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台)(+∈N x 的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位：元），其成本函数为()500+4000C x x =（单位：元），利润是收入与成本之差。

（1）求利润函数)(x P 及边际利润函数)(x MP ；

（2）利润函数)(x P 与边际利润函数)(x MP 是否具有相同的最大值？

活动4： 有十米的钢材,要做成如图的窗架,上半部分是半圆,下半部分为6个小长方形组

成的长方形,试问小长方形的长,宽为多少时窗户所通过的光线最多,求窗户面积的最大值（刚才宽度忽略不计）?

四、提高拓展

1．课本P100第3题．

五、教学反思

§34 函数的模型及其应用作业

班级 姓名 学号 日期 得分

一、填空题

1．向高为0h 的瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如图所示，

那么水瓶形状可能是 ．

（1） （2） （3） （4）

2．某产品的总成本y 万元与产量x 台之间的函数关系式是()23000200.1,0240y x x x x N =+-<<∈且，若每台产品的销售价为25万元，则生产不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为 台．

3．商店某种货物进价下降了8%，但销售价没有变，于是这种货物的销售利润 率（-销售价进价进价

x100%）由原来的r%增加到（r+10）%，则r 值等于 ． 4．某音响社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的前两天每天收0.8元,以后每天收0.5元,那么一张光盘在租出后的第n 天(*N n ∈)应收的租金()f n =_________元．

二、解答题

5．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （万元）和Q(万元)，它们与投入资金t （万元）的关系有经验公式

P=1,5t Q =

3万元资金投入经营甲、乙两种商品问如何经营才能使总利润最大．

6．某地预计从明年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量()f x (万件) 与月份x 的近似关系为()()()()*11352,,12150

f x x x x x N x =+-∈≤且， （1）写出明年第x 个月的需求量g(x)(万件)与月份x 的函数关系式，并求出哪个月份的需

求量超过1.4万件。

（2）如果将该商品每月都投放市场P 万件，要保持每月都满足供应，则P

至少为多少万

件？

7．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1），B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：利润与投资单位为万元）

（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？（精确到1万元）．

图（1）

三、错题剖析