苏教版高中数学必修一学案：3.4函数模型及其应用

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2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3-4-2 函数模型及其应用

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3-4-2函数模型及其应用函数模型及其应用学习目标 1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题(1)解答应用问题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．知识点三数据拟合思考1我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？梳理现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．此类题的解题过程一般有如下五步：(1)作图：即根据已知数据，画出散点图；(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；(4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；(5)利用所求出的函数模型解决问题．思考2数据拟合时，得到的函数为什么要检验？类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2 分段函数模型例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应应变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为________．2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________．(填序号)①y ＝ax ＋b; ②y ＝ax 2＋bx ＋c ； ③y ＝a e x ＋b;④y ＝a ln x ＋b .3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是________．4．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：①y ＝2x －1; ②y ＝x 2－1； ③y ＝2x －1;④y ＝1.5x 2－2.5x ＋2.5．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．1．几类常见的函数模型：2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学知识点一思考函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．知识点三思考1 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么．这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律．思考2 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型．题型探究例1 解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．跟踪训练1 2 6解析以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽2 6 米．例2 解设可获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是单调增函数， ∴当x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元．所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是单调增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185.当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113，所以当x ＝11时，y max ＝270.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图象过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12，所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62，解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．当堂训练1．19 2.② 3.y ＝0.957 6x 1004.④ 5．解设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1) ＝a 2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)． ∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠．。

高中数学3.4.2函数模型及其应用(2)教案苏教版必修1

3.4.2 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t∈N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)(2)

函数模型及其应用教学三维目标、重点、难点、准备。

1．1教学三维目标（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。

（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。

（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。

1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。

1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。

1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。

1教学过程。

（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。

数学建模的形式是多样的。

解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。

函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。

现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。

一.由变量之间的依存关系建立函数关系；（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？（教师）：是的。

而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。

二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。

（学生）：它是不知道函数关系式的。

2020年高中数学3.4.2函数模型及其应用2教案苏教版必修1

3.4.2函数模型及其应用(2)教学目标：1•能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，井求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用：2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提髙学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4,宽为3,如果长增加x,宽减少0.5x,所得新矩形的而积为S.(1) 将S表示成x的函数：(2) 求而积S的最大值，并求此时X的值.二、学生活动思考并完成上述问题.三、例题解析例1有一块半径为斤的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形個⑦的形状，它的下底初是00的直径, 上底切的端点在圆周上，写岀这个梯形周长y和腰长 "间的函数关系式，并求出它的定义域.例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系:每间客房泄价20 18 16 14 住房率 65% 75%85% 95% 要使每天收入最髙，每间客房泄价为多少元？例3今年5月，荔枝上市.由历年的市场行情得知, 从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线尿表示（市场售价的单位为元/ 500g ）・请写出市场售价S （r ）（元）与上市时间t （天）的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价.练Ah 1・直角梯形04恭中，AB// OC. AB=1, 0C=BC=2.直线2： x= t 截此梯形所得某种溶液，求容器内溶液的髙度Mem ）与注入溶液的时间r （s ）之间的函数关系式，并写岀函数的左义域.（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何立价? 5.根据市场调査，某商品在最近40天内的价格f(r)与时间r 满足：位于/左方图形的而积为S,则函数S=f （f ）的大致图象为（）2. 一个圆柱形容器的底部直径是dem,髙是力cm,现在以vcm3/s 的速度向容器内注入3.向髙为“的水瓶中注水，注满为止.如果注水量孑与水深力的函数关系的图象如图At) = - 2t + n(°4'<20,(N)，销售量g(f)与时间十满足：g(f)= _[f +兰3 3-/ + 41 (20WfW40jwN)(0WrW40, teN),求这种商品日销售金额的最大值.四、小结利用图、表建模：分段建模.五、作业课本PU0-10・。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(1)(2)

函数模型及其应用【复习目标】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．【重点难点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．【自主学习】一、课前预习：1.某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是C ,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是3.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是4.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算【共同探究】例1.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．例2.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．例3．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．【巩固练习】1.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是．2.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数时, 按（2）方法更省钱．3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入广告费,才能获得最大的广告效应．答案：1.8 C︒2.多赚28.92元3.150台4.神州行例1. (1)依题得，60122011033t tyt t≤≤=-+<≤⎧⎪⎨⎪⎩(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则441320132=⇒=+-t t ,因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有,4)4(320232320232=+--+-t t 解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时（t 3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，,4)9()4(320232320232=+--+--t t 解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．例2. 设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意，y=kx+b ，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W 节车厢，则W=2x y=2x （－2x+24）=－4x 2+48x=－4（x －6）2+144， ∴当x=6时，W max =144，此时，y=12，最多营运15840人．例 3. 解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=10000ab ［－kx 2+100(1－k)x+10000］. (1)取k=12，y=10000ab ［－12x 2+50x+10000］,∴x = 50，即商品价格上涨50%时， y 最大为98ab. (2)因为y=10000ab［－kx 2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=50(1)k k-，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x ＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以50(1)k k-＞0，解之0＜k ＜1．巩固练习： 1. 6002cm 2. 大于34 3. 2500。

高中数学函数模型及其应用教案苏教版必修1

函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案；当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以；当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案．（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．［例5］容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度（1－b a）10·m ％总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85 t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％．依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85 t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜．注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）．因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2．总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km 答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．15答案：C3．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲、乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3（x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．153．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)

函数模型及其应用一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。

二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

三、教学过程第一课时几类不同增长的函数模型1、复习引入师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。

今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。

2、新课（用幻灯片展示例题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报40元；2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）教师提示：1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。

2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。

设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案

第七讲函数模型及其应用一、复习目标要求1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二、2010年命题预测函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2010年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

三、知识精点讲解1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(2)(1)

2012高一数学函数模型及其应用（2）学案一、学习目标：1、能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；2、进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；一、复习旧知：问题1、函数的表示方法有、、、问题2、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）二、问题解决：问题3、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．问题4、一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：每间客房定价 20 18 16 14 住房率65%75%85%95%要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？A BO C DE问题5、今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD 表示(市场售价的单位为元／500g)．请写出市场售价S (t )(元)与上市时间t (天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习反馈：练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( )元一个销售，每天可卖200个．若这种商（1）售价为15元时，销售利润为多少？ A C D B hH CD（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？课堂小结：课后作业：1、基础达标1、某地高山上温度从山脚开始每升高100m降低0.6℃。

苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案

函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》

智慧教育背景下的高中建模能力的构建考情分析在近三年的应用题的考查中，2021年考查了解三角形的应用题，2021年考查了直线与圆的位置关系的应用题，2021年以平面图形为载体考查了函数应用题，2021年以空间几何体为载体继续考查函数应用题考查的热点还是函数、导数与不等式模型以及解三角形的实际应用问题学情分析高中数学应用题是历年高考命题的主要题型之一，在高考试卷中占有较高的分值，通常是决定学生成绩的关键。

学生也一直畏惧应用题，畏惧应用题主要有以下三点：1不能理解题意，分不清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇、目标。

2：不熟悉代数建模、几何建模不能正确的选择设边、设角、建系等方法以及定义域的求法。

3：不能保证运算的稳定度，精确度本节课针对审题及建模帮助学生熟悉、理解解决应用题的根本知识和根本技能教学目标1: 文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题2: 建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模代数建模主要利用函数、数列、不等式进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等式关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题教学重点1：理解审题的内涵即“审什么〞和“怎么审〞2：等量关系是关键3：定义域的求法即极限位置或代数方法教学难点1：找到影响待解决目标的主要干扰因素，确定解决方案即确定变量是主线2：代数模型或几何模型的选择教学工具多媒体及实物投影教学过程课前热身1如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点, CB =10m ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,O ，那么OQ＝10－，所以OA =OB=所求函数关系式为2如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直; 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C 位于点O正东方向170m处OC为河岸,1求新桥BC的长；2当OM多长时,圆形保护区的面积最大？教师提问:哪些量是变量？哪些量是常量？教师提问：如何建立目标和变量的等量关系？解法一：〔1〕如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由条件知，直线的斜率由因为，所以直线的斜率设点的坐标为，那么解得所以因此新桥的长是150米。

苏教版高中数学必修一学案函数模型及其应用(1)

第36课时函数模型及其应用（二）【学习目标】1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题； 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力．【课前导学】1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和．答案：(1)xy p r =+2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和．答案：(1)y p prx p rx =+=+3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式表示．答案：()1xy Np =+【课堂活动】一．建构数学：总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．二．应用数学：例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则1()()2t ha o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c o 热水冲的速容咖啡,放在24c o 的房间中,如果咖啡降到40c o 需要20min ,那么降温到35c o 时,需要多长时间?解：由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即2011()42h =,解之,得10h =,故10124(8824)()2t T -=-⋅ ,当35T =时,代入上式, 得1013524(8824)()2t -=-⋅ ,即 10111()264t = ，两边取对数,用计算器求得25.4t ≈因此,约需要25.4min ,可降温到35c o ．【解后反思】本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数．解：1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯;可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg 3lg 2x >-，∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.【解后反思】本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似x a b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.09 1.5386=， 461.09 1.4116,1.09 1.6771==分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是 100(110%5)150⨯+⨯=万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元，因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．【解后反思】我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．例4 容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度．解：（1－ba ）10·m ％例 5 在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入与成本之差. （1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;（2）利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值? 解：由题意知,[]1,100x ∈,且x N *∈. (1)()P x = ()()R x C x -2300020(5004000)x x x =--+22025004000x x =-+-，()MP x ()()1P x P x =+-2220(1)2500(1)40002025004000x x x x ⎡⎤=-+++---+-⎣⎦248040x =-；(2) ()P x 22025004000x x =-+-212520()741252x =--+ 当62x =或63x =时, ()P x 的最大值为74120 (元).因为()248040MP x x =-是减函数,所以当1x =时, ()MP x 的最大值为2440 (元). 因此,利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值.例6合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y= –0.15(x–4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A．B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【解后反思】信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．【注意点】1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数．二次函数．分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．三．理解数学：1．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为14 ．（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）2．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．解：设矩形宽为x m，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．3．一家人（父亲．母亲．孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲．乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32 a （x ∈N*）， g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a 3 （x ∈N*）， g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a 3 ，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 4．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13 的优惠率？答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13 的优惠率．5．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948 ；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．【课后提升】1.一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价 11.1% ． 2．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率．解：设该产品第一年的年产量为a ，两年的平均增长率为x ，则()()()21121%144%a x a +=++解得 1.32132%x =-=3．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和．解：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．4．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600时，未租出的车辆数为360030001250-=，∴租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金为x (3000)x >元，则租赁公司月收益为30003000(100)(150)505050x x y x --=---⨯整理后得 21622100050x y x =-+-()2140503075050x =--+∴当4050x =时，y 的最大值为30750，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为30750元．点评：月收益=每辆车的租金⨯租出车辆数-车辆维护费．最值问题一定要考察取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节．5．为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2．。

苏教版高中数学必修一3.4.2 函数模型及其应用.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.4.2函数模型及其应用课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1)(4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1)(5)幂函数：y＝xα(α∈R)(6)指数型函数：y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：x(h)012 3细菌数300600 1 200 2 400据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为________．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x ＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q (单位为：元/10 kg)与上市时间t (单位：天)的数据情况如下表：t 50 110 250Q 150 108 150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份1 2 3 产量(千件)50 52 53.9 为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的关系式为y ＝300·2x (x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75. 2．300解析由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.3．减少7.84%解析设某商品价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，即减少7.84%.4．①解析由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．2 3 cm 2解析设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥23(当且仅当x ＝6时，取“＝”)． 6．15,12解析由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180. ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.7．2 250解析设每台彩电的原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8－x ＝270，解得x ＝2 250(元)．8．400解析由题意，x ＝1时y ＝100，代入求得a ＝100,2000年年底时，x ＝15，代入得y ＝400.9．2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12k e ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解设每床每夜租金为10＋2n (n ∈N )，则租出的床位为100－10n (n ∈N 且n <10)租金f (n )＝(10＋2n )(100－10n )＝20[－(n －52)2＋2254]，其中n ∈N 且n <10.所以，当n ＝2或n ＝3时，租金最多，若n ＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n ＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n 应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 12．解将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)． ∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即1012m⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。

苏教版必修一函数模型及其应用教案

函数模型及其应用【学习目标】:1．数学模型与建模，解决实际问题的一般步骤；2．培养分析问题解决问题、应用数学的能力。

【学习过程】：一、复习引入：试解决以下问题：某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个。

如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润。

二、新课讲授：总结解应用题的策略：解决应用题的一般程序是①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．一般思路可表示如下三、典例欣赏：例1．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式．如果集团公司不亏本，集团公司应该至少生产多少台？例2．某科技公司生产一种产品的固定成本为20000元，每生产一个产品增加投资100元，已知总收益()R x 满足:21400,(0400)()280000,(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是产品的月产量，求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最大？最大利润是多少？（注：总收益=总成本+利润）例3．在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入与成本之差.(1) 求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;(2) 利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值?【课后练习】1．A 、B 两地相距150k m ，某汽车以50k m /h 的速度从A 到B ，到达B 后在B 地停留2个小时之后又从B 地以60k m /h 的速度返回，该车离开A 地的距离S （k m ）与时间t （小时）的函数关系为 .2．如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个体积为V 的无盖长方体盒子，则用x 表示V 的函数关系式为 3．某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若销售时商品的销售价每个上涨一元，则销售量就减少10个，那么利润最大时，销售价上涨了多少元？4．,A B 两城相距100km ,在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给,A B 两城供电,为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km .已知供电费用与供电量和供电距离的平方之积成正比，比例系数0.25λ=.若A 城供电量为20亿度/月,B 城为10亿度/月.(1)把月供电总费用y 表示成x 的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A 城多远,才能使供总电费用最小.5．有甲、乙两种产品，生产这两种产品所能获得的最大效益依次为P 和Q （万元），.它们与投资x （万元）的关系是P=5x ，Q=35x ，今投资3万元资金生产甲、乙两种产品，为获取最大收益，对甲、乙两种产品的资金投入分别就为多少？6．某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比.其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．(Ⅰ)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式；(Ⅱ)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?(010)10)x x ≤ （1）写出年利润W(万元)关于年产品x 千件的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？。

高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.4 函数的应用

问题1：方程x2－2x－3＝0和x2－2x＋1＝0的根分别是什么？提示：方程x2－2x－3＝0的根分别是－1,3；方程x2－2x＋1＝0的根是1.问题2：作出函数y＝x2－2x－3＝0和y＝x2－2x＋1的图象，指出它们与x轴的交点的坐标：提示：如图所示：函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点是(－1,0)和(3,0)；函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点是(1,0)．问题3：观察函数图象，它们的图象与x轴的交点与相应方程的根有什么关系？提示：函数图象与x轴交点的横坐标分别是相应方程的根．1．函数的零点：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．函数y＝f(x)的零点，图象与x轴交点以及方程f(x)＝0的根之间的关系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点，在[2,4]上也有零点．问题1：计算f(－2)与f(1)，f(2)与f(4)的积，并判断符号．提示：f(－2)f(1)＝－20<0，f(2)f(4)＝－15<0.问题2：在零点附近两侧，对于x的取值，对应函数值的乘积都小于零吗？提示：不一定．如函数y＝x2－2x＋1的零点是1，两侧对应函数值的乘积大于零．问题3：如果图象是连续不断的，函数y＝f(x)在[a，b]上，有f(a)f(b)<0，那么在[a，b]上一定有零点吗？有多少个？提示：有，个数不确定．函数的零点存在性定理：一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.1．函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零．2．函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．[例1]求下列函数的零点：(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数零点与方程根的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根． [精解详析] (1)法一：令f (x )＝0，即x 2－x －6＝0. ∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，∴方程x 2－x －6＝0有两个不相等的实数根x 1＝－2，x 2＝3. ∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点是x 1＝－2，x 2＝3. 法二：由f (x )＝x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)＝0，得x 1＝－2，x 2＝3.∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点为x 1＝－2，x 2＝3. (2)∵x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)， ∴令f (x )＝0得x (x －1)(x ＋1)＝0. ∴f (x )的零点为x 1＝0，x 2＝1，x 3＝－1. (3)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2，令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝(12x －1)(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2. 当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝2.∴f (x )的零点为1a，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2.[一点通] 根据函数零点的定义，求函数f (x )的零点就是求使f (x )＝0的x 的值，即方程f (x )＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f (x )＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标即为函数的零点．1．函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为________．解析：由f (x )＝x 3－3x ＋2＝0得x 3－x －(2x －2)＝0，即(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x ＝1或x ＝－2.★答案★：1或－2 2．求下列函数的零点：(1)f (x )＝4x －3；(2)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (3)f (x )＝x 4－1；(4)f (x )＝log 2x .解：(1)由于f (x )＝4x －3＝0，得x ＝34，所以函数f (x )＝4x －3的零点是34.(2)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，因此方程f (x )＝0的根为－3,1，故函数f (x )＝－x 2－2x ＋3的零点为－3,1.(3)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，故函数f (x )＝x 4－1的零点是－1,1.(4)由于log 21＝0，故函数f (x )＝log 2x 的零点为1.3．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点．解：∵2和3是f (x )的零点，∴2、3是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个根．由根与系数的关系可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x ＋1＝(3x －1)(2x －1)，令g (x )＝0，得x 1＝13，x 2＝12.∴g (x )的零点为13和12.[例2] 判断下列函数在给定区间上是否存在零点： (1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝x 3－x －1，x ∈[－1,2]； (3)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．[思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．[精解详析] (1)∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点． (2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，∴f (－1)·f (2)<0，∴f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0， f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0.∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．[一点通] 由函数给定的区间[a ，b ]分别求出f (a )和f (b )，判断f (a )f (b )<0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f (a )f (b )>0，并不说明函数在[a ，b ]上没有零点．4．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 f (x )1510－76－4－5则函数f (x )解析：根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点． ★答案★：35．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上单调递增．由已知条件f (0)f (1)<0，得a (a ＋2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0. ★答案★：(－2,0)6．求下列函数零点的个数： (1)y ＝x 3＋x －1；(2)y ＝2x －log 13x .解：(1)∵f (x )＝x 3＋x －1在R 上是单调增函数，又∵f (0)＝－1<0，f (1)＝1＋1－1＝1>0， ∴f (0)·f (1)<0.∴f (x )在R 上有且只有一个零点．(2)如图，在同一坐标系中作出f (x )＝2x 和g (x )＝log 13x 的图象．由图可知，f (x )＝2x 与g (x )＝log 13x 有且只有一个交点，即方程2x －log 13x ＝0有且只有一个根，也即y ＝2x －log 13x 有且只有一个零点.[例3] 已知二次函数f (x )＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内，试求k 的取值范围．[思路点拨] 本题其实质是方程7x 2－(k ＋13)x －k ＋2＝0的两根分别在(0,1)与(1,2)内，可利用数形结合思想求解．[精解详析] 由题意可知，方程7x 2－(k ＋13)x －k ＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y ＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2的图象与x 轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2>0，7－(k ＋13)－k ＋2<0，28－2k －26－k ＋2>0.解之得－2<k <43.故k 的取值范围是(－2，43)．[一点通] 解決此类问题可设出方程对应的函数，根据题意画出图象的草图，然后根据草图列出限制条件组成不等式组求解．限制条件可从以下几个方面去考虑：①判别式；②对称轴；③所给区间端点的函数值；④开口方向．7．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，若该方程有两根，一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2>0，f (0)＝2m ＋1<0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.★答案★：(－56，－12)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋34， x ≥2，log 2x ， 0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只零y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈(34，1)．★答案★：(34，1)1．判断函数零点个数的主要方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )<0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 2．判断函数y ＝f (x )零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不间断的曲线．(2)由f (a )·f (b )＜0就可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点．但应用时应注意以下问题：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y ＝x 2的零点在x ＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．②利用上述结论只能判别函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上零点的存在性，但不能确定其零点的个数．一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________．解析：由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m . ∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx (x ＋12)，由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.★答案★：0和－122．函数f (x )＝x －2－x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝x －2－x ＝0得x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系中作出函数y ＝x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，两函数图象有1个交点，即函数f (x )＝x －2－x 的零点个数为1.★答案★：13．已知方程a x ＝x ＋a (a >0且a ≠1)有两解，则a 的取值范围为________．解析：如图．当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个交点，当a >1时y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象必存在两个交点，故a >1.★答案★：(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：在同一坐标系中画出y ＝2x 和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .★答案★：b >c >a5．已知函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围为__________．解析：∵函数f (x )的图象开口向上，又两个零点分别在1的两侧，∴f (1)＝1＋(a －1)＋(a －2)<0，即2a －2<0.∴a <1. ★答案★：(－∞，1)6．(天津高考改编)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________．解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点即2x |log 0.5x |－1＝0的解，即|log 0.5x |＝(12)x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5x |和函数h (x )＝(12)x 的图象，由图象可知，两函数共有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有2个零点． ★答案★：2 二、解答题7．求下列函数的零点： (1)f (x )＝2x ＋7； (2)f (x )＝2x 2－5x ＋1； (3)f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)．解：(1)令f (x )＝2x ＋7＝0，解得x ＝－72.∴函数的零点为x ＝－72.(2)令f (x )＝2x 2－5x ＋1＝0，解得 x 1＝5－174，x 2＝5＋174.∴函数的零点为x 1＝5－174，x 2＝5＋174.(3)令f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2，x 3＝1.∴函数的零点为x 1＝－3，x 2＝2，x 3＝1.8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋3)x ＋4.若y ＝f (x )的两个零点为α，β，且满足0<α<2<β<4，求实数a 的取值范围．解：∵函数y ＝f (x )的两个零点是α，β，且α<β，则当a ＝0时，显然不可能有两个不同零点．则应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0f (0)＝4>0f (2)＝2a －2<0f (4)＝12a －8>0①或⎩⎪⎨⎪⎧a <0f (0)<0f (2)＝2a －2>0f (4)＝12a －8<0②解①得23<a <1，②无解．综上可知，a 的取值范围为{a |23<a <1}．9．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)试讨论当m 取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；(2)若这个二次函数有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2的倒数和为23，求二次函数的解析式．解：(1)记二次函数对应的方程为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0，则Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3) ＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根，即不论m 取何值，这个二次函数必有两个零点．(2)依题意，x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1x 2＝m 2－2m －3. 又1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23，∴2(m－1)m2－2m－3＝23，①解之得m＝0或m＝5.经检验m＝0或m＝5都是方程①的解．故所求二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12.已知函数f(x)＝x2－6.问题1：计算f(2)，f(3)，并判断(2，3)内是否有零点？提示：f(2)＝－2，f(3)＝3，∴f(2)f(3)<0，所以f(x)在(2，3)内一定有零点．问题2：计算f(2.5)，判断零点所在的更小的区间是什么？提示：f(2.5)＝0.25>0.∴零点在(2，2.5)内．问题3：能否再使零点所在的区间更小一些？提示：能．f(2.25)＝0.0625>0，∴可取区间(2，2.25)．问题4：这种依次取中点的做法，会达到什么目的？提示：会逐步找到零点的近似值．1．二分法的定义若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断两个端点达到题目要求的精确程度后是否相同；若相同，二分法结束，否则重复(2)～(4)．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确程度，用与此区间的两个端点的近似值相等的值近似地表示函数的零点．[例1]如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，不能用二分法求交点横坐标的是________．[思路点拨]利用二分法的定义进行判断．[精解详析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的近似零点，故结合各图象可得②③④满足条件，而①不满足，在①中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．[★答案★]①[一点通]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．1．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________(把序号填在横线上)①f(x)在区间[a，b]是连续不间断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.解析：根据函数零点存在性定理以及二分法的要求，二分法适合的是变号零点，故应填①②.★答案★：①②2．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝3x＋3x－8，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间________内．解析：由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)．★答案★：(1.25,1.5)[例2]求方程2x＋4x＝4的根所在的一个区间．[思路点拨]判断根所在的区间，可以分别画出函数y＝2x，y＝4－4x的图象，根据交点位置，构造函数F(x)＝2x＋4x－4，由零点存在性定理进行判断．[精解详析]令f(x)＝2x，g(x)＝4－4x，在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知方程2x＋4x＝4只有一个解．原方程即为2x＋4x－4＝0，令F(x)＝2x＋4x－4.∴F(0)＝20＋4×0－4＝－3<0，F(1)＝2＋4－4＝2>0，∴F(0)·F(1)<0，∴函数的零点在区间(0,1)内．[一点通]本题构思巧妙，运用了构造函数及数形结合的思想．往往判断方程的根所在的区间，需要多次尝试判断，对于方程f(x)＝g(x)，首先作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两图象交点的位置，而方程的根正是交点的横坐标；再构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用零点存在定理判断即可．3．判断方程ln x＋2x－6＝0的解所在的区间．解：方程可化为ln x＝－2x＋6.分别作出y＝ln x，y＝－2x＋6的图象．如图．构造函数F(x)＝ln x＋2x－6，由图象可知，交点的横坐标大致在(2,3)内，∵F(2)＝ln 2－2＜0，F(3)＝ln 3＞0，∴函数的零点即方程的根在区间(2,3)内．4．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．[例3]证明方程6－3x＝2x在(1,2)内有惟一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)．[思路点拨]构造函数f(x)＝6－3x－2x，利用零点存在性定理证明，根据二分法步骤求解．[精解详析]设f(x)＝6－3x－2x，∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，∴f(1)·f(2)<0又f(x)在定义域内是减函数，故方程在(1,2)内有惟一的解．用二分法逐次计算，列表如下：中点的值中点函数值的符号取区间1＋2f(1.5)＜0(1,1.5)2＝1.51＋1.5f(1.25)＜0(1,1.25)2＝1.251＋1.25f(1.125)>0(1.125,1.25)2＝1.1251.125＋1.25f(1.187 5)＞0(1.187 5,1.25)2＝1．187 51.187 5＋1.25f(1.218 75)＞0(1.218 75,1.25)2＝1．218 751.218 75＋1.25f(1.234 375)＜0(1.218 75，1．234 375) 2＝1．234 375∴6－3x＝2x在(1,2)内的一个近似解是1.2.[一点通]用二分法求方程的近似解，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次及时检验区间端点的值按近似要求是否相等，以决定停止运算还是继续运算．5．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，求经过几次二分后精确度能达到0.01?解：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.6．用二分法求方程x3－2＝0的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x3－2.由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可取区间(1,2)为初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：中点的值中点函数值的符号取区间1＋22＝1.5f(1.5)>0(1,1.5)1＋1.52＝1.25f(1.25)＜0(1.25,1.5)1.25＋1.52＝1.375f(1.375)＞0(1.25,1.375)1.25＋1.3752＝1.312 5f(1.312 5)＞0(1.25,1.312 5) 由于1.2530.1的近似解是1.3.1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)＞0时，在[a，b]上也可能存在零点．2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值x i时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．一、填空题1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.★答案★：4,32．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，∵f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625，根据二分法可知，下一个有解区间为(2,2.5)． ★答案★：(2,2.5)3．为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值，如下表所示：解析：由题表知f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程的一个近似解可取为1.4.★答案★：1.44．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1.5)＝(1.5)3－2×1.5－1＝－0.625<0， f (1)＝13－2×1－1＝－2<0， f (2)＝23－2×2－1＝3>0， ∴f (1.5)·f (2)<0，∴区间为(1.5,2)． ★答案★：(1.5,2)5．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有惟一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．解析：由0.12n ＜0.01，得2n ＞10，∴n 的最小值为4.★答案★：46．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值与0的大小关系恒有________．解析：∵f (1)f (2)＝[(13)1－0]·[(13)2－log 22]＜0，∴1＜x 0＜2.如图所示，当0＜x 1＜x 0时，函数y ＝(13)x 的图象在y ＝log 2x 的上方，即必有(13)x 1＞log 2x 1，∴f (x 1)＞0恒成立．★答案★：f (x 1)＞0 二、解答题7．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解：(1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1<0，a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －2<0， ∴1<a <2，故实数a 的取值范围为(1,2)． (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0，f (0)＝2817>0，f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)上，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.8．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．解：因为f (1)＝－1＜0，f (1.5)＝0.875＞0，且函数y ＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5) 1.25 －0.3 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.312 5 －0.05 (1.132 5,1.375)1.343 750.08 (1.312 5,1.343 75) 1.328 1250.01因为 1.3.9．求函数y ＝ln x 与函数y ＝3－x 的图象的交点的横坐标(精确到0.1)．解：求函数y ＝ln x 与函数y ＝3－x 的图象交点的横坐标，即求方程ln x ＝3－x 的根．令f (x )＝ln x ＋x －3，因为f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2,3)，列表如下：区间中点的值中点函数近似值 (2,3) 2.5 0.416 3>0 (2,2.5) 2.25 0.060 9>0 (2,2.25) 2.125 －0.121 2<0 (2.125,2.25) 2.187 5 －0.029 7<0 (2.187 5,2.25)2.218 750.015 7>0由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．问题1：目前为止，你学习过的基本初等函数有哪些？提示：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数．问题2：它们的解析式分别是什么？提示：正比例函数：y ＝kx (k ≠0)；反比例函数：y ＝kx (k ≠0)；一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)；二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；指数函数：y ＝a x (a >0且a ≠1)；对数函数：y ＝log a x (a >0且≠1)．幂函数：y ＝x α(α为常数)．问题3：匀速运动的汽车、运动的路程与时间成什么函数模型？人口增长问题属什么模型？提示：正比例函数．指数函数．常见函数模型解析式条件一次函数模型 y ＝kx ＋b k ≠0 反比例函数模型 y ＝k x ＋b k ≠0 常见函数模型解析式条件二次函数模型一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c顶点式：y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24aa ≠0指数函数模型 y ＝b ·a x ＋c b ≠0，a >0且a ≠1 对数函数模型 y ＝m log a x ＋n m ≠0，a >0且a ≠1 幂函数模型y ＝ax n ＋ba ≠0，n 为常数1．一次函数：一次函数模型y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象的增长特点是直线式上升(x 的系数k >0)，通过其图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx (k >0)．2．二次函数：二次函数模型的一般形式是y ＝ax 2＋bx ＋8c (a ≠0)．3．指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)，其增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．4．对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0)，其增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a >1，m >0`)．[例1] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由．[思路点拨] (1)利用待定系数分别求出年数与甲鱼平均只数，年数与甲鱼池数的函数解析式，利用解析式求解即可．(2)分别求出甲鱼的总只数比较即可．(3)甲鱼养殖规模是由总只数衡量的，它是二次函数，利用二次函数的性质解决． [精解详析] (1)由图可知，设直线y 甲＝kx ＋b ，且经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8.∴y 甲＝0.2(x ＋4)．同理可得y 乙＝4(－x ＋172)．第二年甲鱼池的个数为26个，每个甲鱼池平均出产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)· 4(－x ＋172)＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×(－0.8)＝2 14≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大．即第二年规模最大，为31.2万只． [一点通]这种解决图形信息的问题，首先要读懂图形，根据图象写出解析式，然后利用求出的解析式解决问题．一次函数、二次函数是大家熟知的函数，也是中学最基础的函数，解题时应牢记它们的图象和性质，以便于解决问题．1．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50 000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．(1)试写出总费用y (元)与销售套数x (套)之间的函数关系式；(2)如果每套定价为700元，那么软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？解：(1)总费用y ＝50 000＋200x (x >0)．(2)设软件公司至少要售出x 套软件才能确保不亏本．由题意，得700x ≥50 000＋200x .解得x ≥100. 故软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本．2．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．解：(1)由图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b ，300＝k ×700＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1 000，所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2＋1 500x －500 000＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)，故当x ＝750时，S max ＝62 500.即销售单件为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元.[例2] 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)．若牛奶在0 ℃的冰箱中保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中保鲜时间则约是42 h.(1)写出保鲜时间y (单位：h)关于储藏温度x (单位：℃)的函数解析式；(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93)[思路点拨](1)利用题中数据代入函数关系式，解出k 和a 值； (2)利用函数单调性求解．[精解详析] (1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ·a 0＝192，k ·a 22＝42，解得⎩⎨⎧k ＝192，a ＝22732≈0.93，∴所求函数解析式为y ＝192×0.93x . (2)令f (x )＝y ＝192×0.93x ，∵0<a ＝0.93<1， ∴f (x )是单调减函数，又10>5，∴f (10)<f (5)， ∴把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长． [一点通] 应用已知函数模型解题，有两种题型： (1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题．3．如图，开始时桶1中有a 升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e －nt(n 为常数，t 为注水时间)，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有a 8.解析：由于t ＝5时两桶中的水相等，所以a ·e－n ×5＝a －a ·e－n ×5，所以(e －n )5＝12，即e －n＝(12)15.由条件可得a ·e －nt ＝a 8，即(12)5t＝(12)3，所以t ＝15. ★答案★：154．衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt ，若新丸经过50天后，体积变为49a ，则一个新丸体积变为827a 需经过的时间为________．解析：由题意知a >0，当t ＝50时，有49a ＝a ·e －50k ，即49＝(e －k )50，得e －k＝5049，所以当V ＝827a 时，有827a ＝a ·e －kt ，即827＝(e －k )t ＝(49)50t ，得(23)3＝(23)25t，所以t ＝75. ★答案★：75天[例3] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[思路点拨] 第(1)问知v 求Q ，直接求得；第(2)问知Q 求v ，也是直接代入． [精解详析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s .[一点通] 对数函数是一种常见的基本初等函数，但对数函数模型的应用问题不是很多．一般地都是直接给出解析式，应用其解决问题．5．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．解析：由条件知，100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100， ∴x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. ★答案★：3006．分贝是表示声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料列出声压级y 与声压P 的函数关系式； (2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地区为以上所说的什么区？(3)2013年春节联欢晚会上，某小品类节目上演时，现场响起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台大厅的声压是多少帕？解：(1)由已知，得y ＝20lg P P 0＝20lg P2×10－5. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝40，∵y <60， ∴该地区为无害区．(3)设中央电视台大厅的声压是x 帕，则当y ＝90时，有lg x 2×10－5＝9020＝4.5，∴x ＝105，∴此时中央电视台大厅的声压是105帕.[例4] 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． [思路点拨] 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．[精解详析] (1)根据直线匀速增长、指数“爆炸”，对数增长越来越慢可知，应选取二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ×502＋b ×50＋c ＝150，a ×1102＋b ×110＋c ＝108，a ×2502＋b ×250＋c ＝150.解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)由(1)知，Q ＝1200(t －150)2＋100.∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg.。

苏教版高中数学必修一3.4.2函数模型及其应用(3)教案

苏教版高中数学必修一教案3.4.2 函数模型及其应用（3）教学目标：1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；2．通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.教学重点：了解数据的拟合，感悟函数的应用.教学难点：通过数据拟合建立恰当函数模型.教学方法：讲授法，尝试法．教学过程：一、情境问题某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c（其中a，b，c为常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？二、学生活动完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法．三、数学建构1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式．2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：（1）根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；（3）根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数y＝kx＋b；对称型选二次函数y＝ax2＋bx＋c；单调型选指数型函数y＝ab x＋c或反比例型函数y＝kx＋a＋b．（4）利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制．四、数学应用例1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为T0，经过一定时间t后的温度是T ，则T－T a＝(T0－T a)，(0.5)t/h其中T a表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)．例2 在经济学中，函数f(x)的边际函数M f(x)的定义为Mf(x)＝f(x+1)－f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台（x∈N*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)＝500x＋4000（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？例3 （见情境问题）五、巩固练习1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如图所示：根据图中各点，请你从下列函数中：（1）y＝ax2＋bx＋c；（2）y＝k·a x＋b；（3）y＝kbx a++；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的变化关系；y＝at+b，y＝at2+bt+c，y＝ab t，y＝a log b t（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．简答：（1）由提供的数据描述西红柿的种植成本y与上市时间t之间的变化关系不可能是常函数，因此用y＝at+b，y＝ab t，y＝a log b t中的任一个描述时都应有a不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数y＝at2+bt+c进行描述.（2）略．六、要点归纳与方法小结处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤.七、作业课本P104习题3.4（2）－4．。