03等积变形教师版

等积变形（1）图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．OCBDA【答案】80.【解析】在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ． 因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）。

（2）如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆ 的面积．BAABD【答案】10.【分析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=。

（3）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．AA【答案】8【分析】连接AD ，三角形ABC 的面积等于三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=。

（4）正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为30厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】450.【分析】连接CF ，那么CF 平行BD ，所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积=30×30÷2=450(平方厘米)。

（5）如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部 分的面积为多少平方厘米？FF【答案】6. 【解析】如图，连接AF ，比较ABF ∆与ADF ∆，由于AB AD =，FG FE =，即ABF ∆与ADF ∆的底与高分别相等，所以ABF ∆与ADF ∆的面积相等，那么阴影部分面积与ABH ∆的面积相等，为6平方厘米。

（6）如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KEBA K EBA【答案】100。

【分析】如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米。

（7）已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．GBGB【答案】20. 【解析】如果注意到DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到DF 与CI 是平行的．所以可以连接CI 、CF ，如上图．由于DF 与CI 平行，所以DFI ∆的面积与DFC ∆的面积相等．而DFC ∆的面积为1104202⨯⨯=，所以DFI ∆的面积也为20．（8）如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果V ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．AEBFC DD CFBEA【答案】4.【解析】连结AF 、CE ．∴ADE ACE S S =V V ；CDF ACF S S =V V ；又∵AC 与EF 平行，∴ACE ACF S S =V V ．∴ 4ADE CDF S S ==V V (平方厘米)。

（9）如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，1=∆ADE S ， 求BEF ∆ 的面积．AB CDEFABCDEF【答案】1.【解析】连接AC ．∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =△△同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =△△又ACF ACE AEF S S S =+△△△，ABF BEF AEF S S S =+△△△，∴ ACE BEF S S =△△，即1BEF ADE S S ==△△。

（10）如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．DBAA′ABCD【答案】见解析。

【解析】⑴ 连接BD ；⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′． ⑶ 连接A ′D ，则V A ′CD 与四边形ABCD 等积。

（11）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。

【答案】6【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)。

（12）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【答案】25.【解析】图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米.（13）如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．F E DCBA【答案】120【分析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=。

（14）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA 。

【答案】28【解析】连接BH 、CH ．∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)。

（15）图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCBBCGE【答案】17。

【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

（16）O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【答案】3【解析】由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=。

（17）在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？DC【答案】2965，85【解析】根据模型可知12COD AOB ABCD S S S ∆∆+=，所以11618%502ABCD S =÷-=（），又AOD ∆与BOC ∆的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD∆的面积等于长方形面积的14，所以125%18%2AOC ACD AOD COD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=--=--2512.593.5=--=。

（18）长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EE【答案】13.5。

【解析】连接BH 、HC ，如图：可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影。

（19）在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【答案】15。

【解析】连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（20）如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【答案】16。

【解析】连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．。