函数的奇偶性的应用题型归纳

函数的奇偶性的应用题型归纳

一、 求函数值

例1、已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。

分析：若将f （－3）＝－3展开，显然无法求出a ，c 的值，只能将81a ＋9c 视为整体 来求f （3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。

解：设5)(2

4++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，

因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，

所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f

二、 求函数解析式 例2、已知f （x ）是R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求f （x ） 的解析式。

分析：要求f （x ）在R 上的解析式，条件已给出f （x ）在),0(+∞上的解析式，还需求当0≤x 时f （x ）对应的解析式。

解：方)0,(-∞∈x ，),0(+∞∈-x ，所以)1()1()(33x x x x x f --=-+-=-

因为f （x ）是R 上的奇函数，所以)1()()(3x x x f x f -=--=，)0,(-∞∈x ，

在)()(x f x f -=-中，令x ＝0，得f （0）＝0，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0

),1(0,00),1()(33x x x x x x x x f 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0

),1(0),1()(33x x x x x x x f 点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；

（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。另外，若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.

三、 比较大小

例3、已知f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较)0(),1(),5.0(f f f -- 的大小。

分析：由于f （x ）不是具体的函数，所以无法将)0(),1(),5.0(f f f --展开来比较大小，且0,1,5.0--不在同一单调区间内，无法直接应用单调性比较，可应用奇偶性将自变量的值转化到同一单调区间内。 解：因为f （x ）是偶函数，所以)1()1(),5.0()5.0(f f f f =-=-，

因为f （x ）在区间[0，1]上是单调增函数，所以)1()5.0()0(f f f <<，

所以).1()5.0()0(-<-

四、 应用奇偶性求参数

例4、已知b a bx ax x f +++=343)(3是奇函数，且其定义域为[2a －6，a]，则a ＝____，

b ＝_________.

解：因为b a bx ax x f +++=343)(3是奇函数，所以定义域关于原点对称，且

f （－x ）＝－f （x ）恒成立，由2a －6＝－a ，得a ＝2，由f （－x ）＝－f （x ）恒成立，得 b a bx ax ++--3433b a bx ax ----=3433，所以3a ＋b ＝0，b ＝－6，

故a ＝2，b ＝－6.

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，由函数的奇偶性求参数是一类常见题型，常将其转化为恒等式问题来求解。

五、 确定函数图象

例5、函数123

+=x x y 的图象是（ ）

分析：可根据奇、偶函数的图象特征来判断。

解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （－x ）＝－f （x ），所以f （x ）为奇函数，

所以f （x ）的图象关于原点对称，故选C.

点评：奇、偶函数的图象具有对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。