不变子群的判别条件
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第 ３ 卷 第 １ １ 期
２ １矩 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ｎ ｏ ｃｅ ｃ ｆｌ ａ ｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｎ ｖ ｒｉ ｏ ｒ ￣ ｆ ｉ ｎ ｅｏ ｅ ｃ ｅ ｓ Ｓ ＇ ｏｌ ｅａ ｄ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｅ ｙ
Ｖｏ ＿ Ｎｏ １ ｌ ３ｌ ．
Ａｂ ｔａ ｔ Ｎｏ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔｎ ｕ ｇｏ ｐ ｉ ｒ ｕ ｅ ｒ ， ｗ ｉｈ ｐ ａ ｓａ ｓ ｅ ｔ ｌ ｏ ｅｉ ｉ ｆ ｌ ． Ａ ｓｒ ｃ ： ｒ ｌ ｂ ｒ ｕ ａ ｍｐ ｒ ｔ ｂ ｒ ｕ ｇ ｏ ｐ ｔ ｏ ｙ ｓ ｓ ａ ｓ ｎ ｈ ｈ ｃ ｌｙ ｎｅ ｓ ｎ ｉ ｌ ｔ ｓ ｅ ｄ ａ ｒ ｎ ｈ ｉ ｓ ｂ ｒ ｕ ａ ｅ ｄ ｔ ｒ ｎ ｄ ｔ ｅ ａ ｎ ｒ ｌ ｏ ｅ ｏ ｏ ｙ ｓ ｍｅ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｃ ｐ ｏ ｅ ｒ ｌｖ ｎ ｕ ｇ ｏ ｐ ｃ ｎ ｂ ｅｅ ｍｉ ｅ ｏ ｂ ｏ ｍａ ｎ ｒ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ， ｘ ｅ ｔｆ ｒ ｔ ｅ ｅ ａ ｔ ｉ ｉ ｈ ｄ ｆ ｉ ｏ ｓ Ｐ ｏ ｅ ｅ ｅ ｕ ｖ ｌ ｎ ｅｏ ｅｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｆ ｒ ｕ ｅ ｎ ｔ ｎ ． ｒ ｖ ｄ ｔ ｑ ｉａ ｅ ｃ ｆ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｔ ｍｍａ ｉ ｄ， ｓ ｍｅａ ｐ ｉａ ｉｎ ｅ ｅｇ ｖ ｎ ｉ ｉ ｈ ｔ ｉ ａ ｅｓ ｒｅ ｚ ｏ ｐ ｌ ｔ ｓｗ ｒ ｉｅ ． ｃ ｏ
１月
Ｊｎ ２ １ ａ ． Ｏｌ
文章编 号 ：１０ — ８ ｌ（ ０ ） ｌ０ ５—４ ０７ ９３ ２ １ ０ 一０ ００ １不变子 群 的判别条件
徐兰 ，苏贵福
（． １ 昌吉 学院 数 学 系，新疆 昌吉 ８ １０ ；２ ３ １０ ．北京 理工 大学 理 学 院 ，北京 １０８ ） ００ １
（ ２）＝ （ ．任给 ａ∈Ｇ ，有 ａ ａ ＝ ３） ＞ ｉ ｌ ～＝Ｈ ，显然 ａ Ｈａ Ｈ．
（ ）＝ ４） ３ ＝ ＞（ ．任给 ａ Ｇ ，ｈ Ｈ ，由于ａ ａ ∈ ∈ ｉ ｌ
Ｈ ， 以ａａ 所 ｈ ∈Ｈ ．
收稿 日期 ：２ １—９ １ ００ ０— ０
作者简介 ：徐兰 （ ９４ ，女 ，江苏苏州人，副教授 ，硕士，从事代数、图的因子研究．Ｅ ｍａ ：ｘｌｎ４０ ６ ． ｍ １６ 一） － ｉ ｕ ６０ ＠１３ｃ ｌ ａ ａ
Ｋｅ ｌ Ｓ ｓ ｂ ｏ ｐ；ｎ ｒ ａ ｕ ｇｏ ｐ； ｈ ｍｏ ｒｈ ｓ ｏ ｒｕ ｙＷＯｄ ： ｕ ｇ ｕ ｒ ｏ ｍ ｌ ｂ ｒｕ ｓ ｏ ｍｏｐ ｉｍ ｆ ｏ ｐ ｇ
不变子群是一类重要的子群 ，它在群的理论中起着重要 的作用 ．判断一个子群是否为不变子群 ，除 了应用定义外 ，也可以应用其判别条件 ，本文对这些判别条件进行归纳 ，同时证明诸判别条件的等价性，
摘要：判断一个子群是否为不变子群 ，除 了应用定义外，也可 以应用其判别条件 ，对这些判别条 件进行归纳 ，同时证 明诸判别条件的等价性并给 出一些应用． 关键 词 ：子群 ；不 变子群 ；群 同态 中图分类 号 ：０１ ２ ５ 文献 标识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０３ ６ ／ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ １ １ １ ｏ ：１ ．９ ９ ．ｓ ． ７ ９ ３ ． １． ． ５ ｊｓ ０ ２ ００
Ｔｈ ｅ ｉｉｎｓａ ｏ ｔ ｏ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｏ ｒｕ ｅｄ ｃｓｏ ｂ ｕ ｒ ｌ ｂ ｒｕ ｆ ｇ ｏ ｐ ｎ ｓ ａ
ＸＵ Ｌ ｎ ， Ｓ Ｇｕ — ｕ ａ Ｕ ｉ ｆ
（ ． ｅａ ｍ ｎ Ｍａ ｅ ａｉ ，Ｃ ａｇｉ ｏｌ ｅ ｈｎｊ８ １１ ，Ｃ ｉ ；２Ｓｈｏ ｏＳｉ ｃ ，Ｂ ｉｎ ｎｔｕｅ ｆ ｅｈｏｏｙ ｅｉｇ１０ ８ ，Ｃ ｉ ） １Ｄ ｐｒ ｅｔｆ ｔ ｍ ｔｓ ｈｎｊＣｌ ｇ，Ｃ ａｇ ３ １０ ｈｎ ｔ ｏ ｈ ｃ ｅ ｉ ３ ａ ．ｃｏｌｆｃｅ ｅ ｅ ｉ ｓｔ Ｔ ｃｎｌ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ １ ｈｎ ｎ ｊ ｇＩ ｉｔｏ ｇ ｊ ａ
第 １ 期
徐兰 ，等 ：不变子群的判别条件
５ １
（ ４）＝ （ ．任给 ａ∈Ｇ ， ｈ ＝ ５） ＞ ∈Ｈ ，由于 ａ ａ ∈Ｈ ，所 以 ａ ｈ ｈ∈Ｈａ，故 ａ Ｈ Ｈａ．
（ ５）二 （ ． 任给 （∈Ｇ ，由于 ａ ＝ ６） ＞ ｚ Ｈ Ｈ ａ，所 以 ａ ａ ） ａ Ｉ （ｌ － １ Ｈａ，即 Ｈ ａ Ｉ － Ｈａ．
（ ）任 给 ａ∈Ｇ ，ｈ∈Ｈ ，有 ａａ ∈Ｈ ； ４ ｈ
（） ５ 任给 ａ Ｇ ， ａ Ｈ ∈ 有 Ｈ ａ； （） ６ 任给 ａ Ｇ ，有 Ｈ ａＩａ ∈ － ． Ｈ 证明 （ ）＝ （ ） 由 日是 Ｇ的不变子群 ， １ ＝ ２． ＞ 即任给 ａ ， ａ ＝Ｈ 于是 ａ ａ Ｈ ａ Ｇ 有 Ｈ Ｅ ａ， ｉ ｌ 一＝ ａ 一＝Ｈ ＝Ｈ ｅ
（ ６）二 １．任给 ａ∈Ｇ ，由于 ＝ ＞（ ）
里 ｈ ｈ ∈Ｈ ，故 ａ ， Ｈ
ａ —Ｈａ ，所 以 ｈ∈ － ａ１ Ｈａ，不妨设 ｈ＝ａ Ｉｌ － ａ，即 ａ ｈ ｈ＝ｈａ，这 ｌ
并 给 出一些应 用 ．
设 是 Ｇ的一个子群 ， 若对于任给ａ Ｇ， ∈ 都有 ａ ＝ ａ， Ｈ Ｈ 则称 是 Ｇ的一个不变子群． 记为 ｑ Ｇ．
不变子群的判别条件
定理 １ 设 日 是 Ｇ的一个子群 ，则下列条件等价．
（ ） 司Ｇ，即任给 ａ Ｇ ，有 ａ １ ∈ Ｈ：Ｈ ａ； （） ２ 任给ａ ∈Ｇ，有 ａ ａ Ｈ ； ｉ ｌ ～＝ （） ３ 任给ａ ∈Ｇ，有 ａｉ ｌ ａ Ｈ；
２ １矩 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ｎ ｏ ｃｅ ｃ ｆｌ ａ ｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｎ ｖ ｒｉ ｏ ｒ ￣ ｆ ｉ ｎ ｅｏ ｅ ｃ ｅ ｓ Ｓ ＇ ｏｌ ｅａ ｄ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｅ ｙ
Ｖｏ ＿ Ｎｏ １ ｌ ３ｌ ．
Ａｂ ｔａ ｔ Ｎｏ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔｎ ｕ ｇｏ ｐ ｉ ｒ ｕ ｅ ｒ ， ｗ ｉｈ ｐ ａ ｓａ ｓ ｅ ｔ ｌ ｏ ｅｉ ｉ ｆ ｌ ． Ａ ｓｒ ｃ ： ｒ ｌ ｂ ｒ ｕ ａ ｍｐ ｒ ｔ ｂ ｒ ｕ ｇ ｏ ｐ ｔ ｏ ｙ ｓ ｓ ａ ｓ ｎ ｈ ｈ ｃ ｌｙ ｎｅ ｓ ｎ ｉ ｌ ｔ ｓ ｅ ｄ ａ ｒ ｎ ｈ ｉ ｓ ｂ ｒ ｕ ａ ｅ ｄ ｔ ｒ ｎ ｄ ｔ ｅ ａ ｎ ｒ ｌ ｏ ｅ ｏ ｏ ｙ ｓ ｍｅ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｃ ｐ ｏ ｅ ｒ ｌｖ ｎ ｕ ｇ ｏ ｐ ｃ ｎ ｂ ｅｅ ｍｉ ｅ ｏ ｂ ｏ ｍａ ｎ ｒ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ， ｘ ｅ ｔｆ ｒ ｔ ｅ ｅ ａ ｔ ｉ ｉ ｈ ｄ ｆ ｉ ｏ ｓ Ｐ ｏ ｅ ｅ ｅ ｕ ｖ ｌ ｎ ｅｏ ｅｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｆ ｒ ｕ ｅ ｎ ｔ ｎ ． ｒ ｖ ｄ ｔ ｑ ｉａ ｅ ｃ ｆ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｔ ｍｍａ ｉ ｄ， ｓ ｍｅａ ｐ ｉａ ｉｎ ｅ ｅｇ ｖ ｎ ｉ ｉ ｈ ｔ ｉ ａ ｅｓ ｒｅ ｚ ｏ ｐ ｌ ｔ ｓｗ ｒ ｉｅ ． ｃ ｏ
１月
Ｊｎ ２ １ ａ ． Ｏｌ
文章编 号 ：１０ — ８ ｌ（ ０ ） ｌ０ ５—４ ０７ ９３ ２ １ ０ 一０ ００ １不变子 群 的判别条件
徐兰 ，苏贵福
（． １ 昌吉 学院 数 学 系，新疆 昌吉 ８ １０ ；２ ３ １０ ．北京 理工 大学 理 学 院 ，北京 １０８ ） ００ １
（ ２）＝ （ ．任给 ａ∈Ｇ ，有 ａ ａ ＝ ３） ＞ ｉ ｌ ～＝Ｈ ，显然 ａ Ｈａ Ｈ．
（ ）＝ ４） ３ ＝ ＞（ ．任给 ａ Ｇ ，ｈ Ｈ ，由于ａ ａ ∈ ∈ ｉ ｌ
Ｈ ， 以ａａ 所 ｈ ∈Ｈ ．
收稿 日期 ：２ １—９ １ ００ ０— ０
作者简介 ：徐兰 （ ９４ ，女 ，江苏苏州人，副教授 ，硕士，从事代数、图的因子研究．Ｅ ｍａ ：ｘｌｎ４０ ６ ． ｍ １６ 一） － ｉ ｕ ６０ ＠１３ｃ ｌ ａ ａ
Ｋｅ ｌ Ｓ ｓ ｂ ｏ ｐ；ｎ ｒ ａ ｕ ｇｏ ｐ； ｈ ｍｏ ｒｈ ｓ ｏ ｒｕ ｙＷＯｄ ： ｕ ｇ ｕ ｒ ｏ ｍ ｌ ｂ ｒｕ ｓ ｏ ｍｏｐ ｉｍ ｆ ｏ ｐ ｇ
不变子群是一类重要的子群 ，它在群的理论中起着重要 的作用 ．判断一个子群是否为不变子群 ，除 了应用定义外 ，也可以应用其判别条件 ，本文对这些判别条件进行归纳 ，同时证明诸判别条件的等价性，
摘要：判断一个子群是否为不变子群 ，除 了应用定义外，也可 以应用其判别条件 ，对这些判别条 件进行归纳 ，同时证 明诸判别条件的等价性并给 出一些应用． 关键 词 ：子群 ；不 变子群 ；群 同态 中图分类 号 ：０１ ２ ５ 文献 标识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０３ ６ ／ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ １ １ １ ｏ ：１ ．９ ９ ．ｓ ． ７ ９ ３ ． １． ． ５ ｊｓ ０ ２ ００
Ｔｈ ｅ ｉｉｎｓａ ｏ ｔ ｏ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｏ ｒｕ ｅｄ ｃｓｏ ｂ ｕ ｒ ｌ ｂ ｒｕ ｆ ｇ ｏ ｐ ｎ ｓ ａ
ＸＵ Ｌ ｎ ， Ｓ Ｇｕ — ｕ ａ Ｕ ｉ ｆ
（ ． ｅａ ｍ ｎ Ｍａ ｅ ａｉ ，Ｃ ａｇｉ ｏｌ ｅ ｈｎｊ８ １１ ，Ｃ ｉ ；２Ｓｈｏ ｏＳｉ ｃ ，Ｂ ｉｎ ｎｔｕｅ ｆ ｅｈｏｏｙ ｅｉｇ１０ ８ ，Ｃ ｉ ） １Ｄ ｐｒ ｅｔｆ ｔ ｍ ｔｓ ｈｎｊＣｌ ｇ，Ｃ ａｇ ３ １０ ｈｎ ｔ ｏ ｈ ｃ ｅ ｉ ３ ａ ．ｃｏｌｆｃｅ ｅ ｅ ｉ ｓｔ Ｔ ｃｎｌ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ １ ｈｎ ｎ ｊ ｇＩ ｉｔｏ ｇ ｊ ａ
第 １ 期
徐兰 ，等 ：不变子群的判别条件
５ １
（ ４）＝ （ ．任给 ａ∈Ｇ ， ｈ ＝ ５） ＞ ∈Ｈ ，由于 ａ ａ ∈Ｈ ，所 以 ａ ｈ ｈ∈Ｈａ，故 ａ Ｈ Ｈａ．
（ ５）二 （ ． 任给 （∈Ｇ ，由于 ａ ＝ ６） ＞ ｚ Ｈ Ｈ ａ，所 以 ａ ａ ） ａ Ｉ （ｌ － １ Ｈａ，即 Ｈ ａ Ｉ － Ｈａ．
（ ）任 给 ａ∈Ｇ ，ｈ∈Ｈ ，有 ａａ ∈Ｈ ； ４ ｈ
（） ５ 任给 ａ Ｇ ， ａ Ｈ ∈ 有 Ｈ ａ； （） ６ 任给 ａ Ｇ ，有 Ｈ ａＩａ ∈ － ． Ｈ 证明 （ ）＝ （ ） 由 日是 Ｇ的不变子群 ， １ ＝ ２． ＞ 即任给 ａ ， ａ ＝Ｈ 于是 ａ ａ Ｈ ａ Ｇ 有 Ｈ Ｅ ａ， ｉ ｌ 一＝ ａ 一＝Ｈ ＝Ｈ ｅ
（ ６）二 １．任给 ａ∈Ｇ ，由于 ＝ ＞（ ）
里 ｈ ｈ ∈Ｈ ，故 ａ ， Ｈ
ａ —Ｈａ ，所 以 ｈ∈ － ａ１ Ｈａ，不妨设 ｈ＝ａ Ｉｌ － ａ，即 ａ ｈ ｈ＝ｈａ，这 ｌ
并 给 出一些应 用 ．
设 是 Ｇ的一个子群 ， 若对于任给ａ Ｇ， ∈ 都有 ａ ＝ ａ， Ｈ Ｈ 则称 是 Ｇ的一个不变子群． 记为 ｑ Ｇ．
不变子群的判别条件
定理 １ 设 日 是 Ｇ的一个子群 ，则下列条件等价．
（ ） 司Ｇ，即任给 ａ Ｇ ，有 ａ １ ∈ Ｈ：Ｈ ａ； （） ２ 任给ａ ∈Ｇ，有 ａ ａ Ｈ ； ｉ ｌ ～＝ （） ３ 任给ａ ∈Ｇ，有 ａｉ ｌ ａ Ｈ；