不变子群的判别条件
近世代数课件--2.11 同态与不变子群
11.1 自然同态
定理１ 证明 一个群 G 同它的每一个商 G 我们规定 G 到
G N
N
群同态．
的一个法则 :
(a G )
( a ) aN
这显然是 G 到 G N 的一个满射．并且,对于 G 的 任意两个元 a 和 b 来说，
N 与 G间的同构映射．因为：
1) f 无歧义
aN bN b a N b a e a b f ( aN ) f (bN )
1 1
这就是说，在 f 之下 G 的象； 2) f 是单映射.上面的过程可逆. 3) f 是满射.给了 G 的一个任意元 a ，在 G 里至少 有一个元 a 满足条件 f ( a ) a ，由定义，
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看， G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候， G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我 们一定找得到 G 的一个不变子群 N ，使得G 的性质和 商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
定理４ 假定 G 和 G是两个群，并且 G 与 G 同态．那 么在这个同态满射之下的 （ⅰ）G 的一个子群 H 的逆象 H 是 G 的一个子群； （ⅱ）G 的一个不变子群 N 的逆象 N 是 G 的一个不变 子群． 证明 我们用 f 来表示给定的同态满射． b （ⅰ）假定 a ， 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下， a a ，b b ， 我们需要证明 ab 1 H .注意
11 同态与不变子群
§11 同态与不变子群定理1 一个群G 与它的每一个商群/G N 同态.证 显然:/G G Na aN ϕ→是G 到/G N 的的一个满射.,a b G ∀∈，有()()()()()().ab ab N aN bN a b ϕϕϕ===ϕ∴是群G 到商群/G N 的一个同态满射.∴群G 与商群/G N 同态.定义 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，称G 的如下子集(){}|a G a e ϕ∈=为同态满射ϕ的核，记为Ker ϕ.定理2 设群G 与群G 同态，ϕ是由群G 到群G 的一个同态满射，N =Ker ϕ，则N 是G 的一个不变子群，且/.G N G ≅证 (),,.e e e N N ϕ=∴∈≠∅,a b N ∀∈，则()(),.a e b e ϕϕ== ()()()()()1111.ab a b a b e e e ϕϕϕϕϕ----∴===⋅= 1,.ab N N G -∴∈∴≤,a G n N ∀∈∀∈，有 ()()()()()()()()1111.ana a n a a e a a a e ϕϕϕϕϕϕϕϕ----==== 1..ana N N G -∴∈∴():/G N G aN a ψϕ→ 是/G N 到G 的一个映射.这在逻辑上没有问题.因()()()()()111.aN bN b a N b a eb a e a b ϕϕϕϕϕ---=⇒∈⇒=⇒=⇒=下证ϕ是/G N 到G 的一个双射. a G ∀∈，因ϕ为G 到G 的一到过满射，故存在a G ∈使得()a a ϕ=，()().aN a a ϕϕ∴== 即a 在映射ψ下有原象.ψ∴为满射.设()()aN bN ψψ=，则()()a b ϕϕ=，()()()()()111.b a b a a a e ϕϕϕϕϕ---=== 1,.b a N aN bN -∴∈=∴ψ为单射.下证ψ商群/G N 到群G 的一个同态映射.()()()()()()().aNbN abN ab a b aN bN ψψϕϕϕψψ====定义 设ϕ是集合A 到集合A 的一个满射，,S A T A ⊂⊂，称集合(){}|s s S ϕ∈为A 的子集S 在ϕ下的象，记为().S ϕ称集合(){}|t A t T ϕ∈∈ 为A 的子集T 在ϕ下的逆象，记为()1.T ϕ-定理 3 设群G 和群G 同态，设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射，()(),,,H G N G H H N N ϕϕ≤==，则1）H G ≤；2）.N G证 显然.H ≠∅,a b H ∀∈，则,a b H ∃∈使得()a a ϕ=，()b b ϕ=，故()()()()()1111.ab a b a b ab ϕϕϕϕϕ----===1,,,.a b H H G ab H -∴∈≤∴∈ab H ∴∈，.H G ≤2）N G ，N G ∴≤，∴由1）有.N G ≤,a G n N ∀∈∈，则,a G n N ∃∈∈使得()(),.a a n n ϕϕ== ∴()()()()()()()1111.a na a n a a n a ana ϕϕϕϕϕϕϕ----===1,.N G ana N -∴∴∈1..ana N N G -∴∈∴定理 4 设群G 与群G 同态，ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，,H G N G ≤，()()11,H H N N ϕϕ--==，则1）H G ≤；2）.N G证 (),,.e e H e H H ϕ=∈∴∈≠∅ 1）,a b H ∀∈，则()(),a a H b b H ϕϕ=∈=∈，因H G ≤，故()()()111.ab a b ab H ϕϕϕ---==∈1,.ab H H G -∴∈∴≤2）,.N G N G ∴≤由1）知，.N G ≤,a G n N ∀∈∈，设()(),a a n n ϕϕ==，则,.a G n N ∈∈N G ，∴()()()()11ana a n a ϕϕϕϕ--=，1ana N -∴∈1,.ana N N G -∴∈∴作业：P79:1,2.习题选解1.我们看一个集合A 到集合A 的满射ϕ.证明，若S 是S 的逆象，S 一定是S 的象；但若S 是S 的象，S 不一定是S 的逆象.证 先证由()1S S ϕ-=可推出()S S ϕ=。
不变子群的判别条件
不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是G 的一个不变子群. 记为：G H .设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.3．正规化子：N G (H)={g ∈G ︱H g =H}={g ∈G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。
4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ∈A 则称R 为A的一个同余关系。
一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
§3.2 不变子群和商群
1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi , xi } {x , x , ix ,ix }, 即xN Nx , 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群. 因此G是一个哈密尔顿群 .
G S {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} 3 例4 H {(1), (12)} N {(1), (123), (1 3 2)}
解： 因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
G.
r
r r
bN a N ( aN ) 所以 G / N {bN | b G} (aN ) 为循环群.）
b G , b a
练习：
1. 设G 为整数加群, N 5 g g G （1）证明 N
G ；（2）求 G / N .
2. G S3 , N {(1), (123), (132)}
性质3 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G的不变子群.
四、不变子群的性质（续）
定理2 群 G 与 G 同态， 的同态满射，则
(1)
是G
G
到G
H
G H (H )
G H (H )
1
(2) H
G
四、不变子群的性质（续） 定理3 不变子群与子群的乘积是子群；
不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
五、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab) N 做成群.
近世代数
个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ）（群。
能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b =3、循环群的子群仍是循环群。
（ ）4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。
（ ）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。
（ ） 13123321 61）（、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。
（ ）9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。
（ ）10．无零因子的交换环不一定是整环。
（ ）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。
（ ）2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。
是矩阵其中同态映射，且是满射，的一个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法数阶方阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15−→−ϕ=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。
五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。
一、判断题。
！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 12．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。
（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。
（ ）二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法一定适合结合律；(C) 半群的乘法不一定适合交换律；（D) 半群中一定有单位元。
2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）（A ） H ab H b ,a ∈⇒∈ (B) H a H a 1∈⇒∈-(C)H ab H b ,a 1∈⇒∈- (D) H b a H b ,a ∈+⇒∈ 3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；(C) 一个环一定有零因子；(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。
同态与不变子群
第15 讲§11 同态与不变子群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不G。
由此，我们变子群，都可极其自然地得到一个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。
而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。
该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。
在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。
群G的同态象G可以设想是G的一个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。
都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有非单非同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样。
上述存在的关系就是本节的重点。
为此需要弄清：1、每一个同态核都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）2、利用自然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。
3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。
4、子群（不变子群）的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。
所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
一、群同态及同态核定义1：设G G →:ϕ是一个群同态映射，（即G b a b a ab ∈∀=,)()()( ϕϕϕ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈ϕ叫做ϕ的核，记为)(ϕKer 。
即 })(|{)(e x G x Ker =∈=ϕϕ.结论1：设G G →:ϕ是群同态映射，那么G Ker )(ϕ. 证明：设)(ϕKer N =.N e e e ∈⇒=)(ϕ .∴∅≠N . N y x G N ∈∀≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(ϕϕϕ.∴N xy ∈.N x ∈∀.e e x x ===---111))(()(ϕϕ.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈∀,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111ϕϕϕϕϕϕϕϕ∴N gxg ∈-1由上知G N 结论2：设)(ϕKer N =是G G →:ϕ的群同态映射的核，那么ϕ是单同态 }{e N ⇔.证明：N x ∈∀⇒ )(. ∴e x =)(ϕ.而显然N e ∈且e e =)(ϕ.于是 )()(e x ϕϕ=.但ϕ是单射e x =⇒.由x 的任意性知}{e N =.)(⇐ 设G y x ∈,且有e y x y x =⇒=-1)()()()(ϕϕϕϕ,即e xy =-)(1ϕ ∴ e xy e N xy =⇒=∈--11}{.即y x =. ∴ϕ是单射.二、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射N G G →:ϕ，其中：xN x =)(ϕ.证明：显然xN x G x =∈∀)(.ϕ（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯一确定的） 又因为N G aN ∈∀ ，那么ϕϕ⇒=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ϕϕϕ===∈∀∴)()()(y x xy ϕϕϕ= 即N G G →:ϕ一个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。
不变子群的判别条件
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试、中件资且卷管包中料拒试路含调试绝验敷线试卷动方设槽技作案技、术，以术管来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
近世代数判断题
判断题1.整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2.主理想环不一定是欧氏环,但主理想环一定是唯一分解环。
( )3.若G 是60阶群,则G 有14阶子群。
( )4.在多项式环R[x]中，两个多项式积的次数等于两个多项式的次数的和。
( )5.设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。
( )6.偶数环2Z 是整环。
( )7.若N ∆H,H ∆G ，则N ∆G 。
( )8.在5S 中，(12)(345)的阶是3。
( )9.在整数环Z 中，(-3)是极大理想。
( )10.有限群都同构于一个置换群。
( )11.实数集R 关于数的乘法成群。
（ ）12.设G 和G 都是群，G ϕ≅G , G N ∆, N=1-ϕ(N )， 则N ∆G,且--≅N G N G //。
（ ）13. 偶数环是有单位元的环。
（ ）14. 设整环{}Z b a b a I ∈-+=,3, 则4在I 中是唯一分解元。
（ ）15. 3次对称群3S 是循环群。
（ ）16. 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；B ）∀a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；D ）∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。
则G 关于这个乘法运算构成一个群。
（ ）17. 任何一个有限群都与一个循环群同构。
（ ）18.若H 是群G 的一个非空有限子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子群。
（ ）19.若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且NG ≅)(N G ϕ 。
( ) 20.设R 是一个环，则下列三条是相互等价的。
（ ）A ）R 中无零因子；B ）R 的乘法适合左消去律；C ）R 的乘法适合右消去律；21．p （p 为质数）阶群G 是循环群． （ ）22．任意群都同构于一个变换群． （ ）23．剩余类环是一个整环 （ ）24．整环（R ，＋， ）若对乘法成群，则这个整环是域 （ ）25．若f(x)∈F[x], g(x)∈F[x], f(α)=g(α)=0,α∈F , f(x)|g(x)。
不变子群判别条件
不变子群判别条件摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系1.判断一个子群为不变子群的条件.1.1．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
即H由G的若干整个的共轭类组成。
1.2.直接判断一个子群为不变子群的条件1．指数为2的子群为不变子群.证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2 ∴G=eH∪aH=He∪Ha ⇒aH=Ha ∀a∈G, 即H G2．设G为群，H是G的子群,∀a∈G, a1-ha⊆H, 则H是G的不变子群.证明:a1-ha⊆H ⇒ a(a1-Ha)a1-⊆aHa1-⇒ H⊆aHa1-又(a1-)1-Ha1-⊆H 即aHa1-⊆H ∴∀a∈G,a1-Ha=H ⇒ aH=Ha∀a∈G 即H G3.群G的中心C是G的一个不变子群.证明:∵C与G中的每个元素都可交换∴对∀a∈G,有aC=Ca ∴C G4.交换群的子群都是不变子群.证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H }=Ha ∀a∈G ∴H G5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B 是G的不变子群.证明:显然 A ∩B 是G 的子群1,∀a ∈G,∀x ∈A ∩B, axa 1-∈A, axa 1-∈B∴axa 1-∈A ∩B 即A ∩B G推论1:群G 中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G 的不变子群.6.设A,B 都是G 的不变子群，则AB 是G 的不变子群.证明:显然 AB 是G 的子群2, ∀g ∈G, ∀x ∈AB, 设x=abgxg 1-=g(ab)g 1-=gag 1-gbg 1-∈AB 故AB G推论2:群G 中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G 的不变子群.7.设H 是G 的真子群，︱H ︱=n ,且G 的阶数为n 的子群仅有一个，则H 是G 的不变子群.证明:∀x ∈G 显然xHx 1-是H 的子群, 又知 f ：h→xh x 1- ∀h ∈H, f是H 到xHx 1-的双射, 故 ︱xHx 1-︱=︱H ︱=n, 由唯一性,xHx 1-=H ∀x ∈G 因而H 的G 不变子群.8. 设A,B,H 都是G 的不变子群,且A ⊂B ，则AH 是BH 的不变子群. 证明：AH,BH 显然都是G 的不变子群，∵A ⊂B ，∴AH ⊂BH而AH 是G 的不变子群，故AH 是BH 的不变子群.2.举例应用判别条件2.1判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，例1：设 G={⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ︱r,s∈Q r≠0 } , G 对于方阵乘法作成一个群,H={⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t ︱t∈Q } , 则H 是G 的不变子群.证明：法1（利用定义）：∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ∈G, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s rt r , H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10t s r r≠0 r,s 是取定的有理数,故对∀s+t, 方程 rx+s=s+t 在Q 中有解, 即x=t/r故对 A∈H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⇒ A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s t r ⇒ A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10/s r rt r ⇒ A∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H即 H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⊆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s 在Q 中有解 x=rt故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H ⊆H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r 从而有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H=H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r r≠0 ∀r,s∈Q 即H 是G 的不变子群.法2：（利用等价条件4）：∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ∈G, 110-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011s r r ∈G, 对∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t ∈H 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t 110-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s rt r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011s r r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101rt 显然 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101rt ∈H , 故H 是G 的不变子群.例2：设G 是一个群，a,b∈G 符号 [a b]表示G 中元素a 1-b 1-ab ，称之为G的换位元 ,证明G的一切有限换位元的乘积所成的集合G/是G的一个不变子群.证明：（利用等价条件4）：显然，G/是G的子群，对任意[a b]和g∈Gg1-[a b]g=g1-a1-b1-abg=(ag)1-bagbb1-g1-bg=[ag b][b g]∈G/一般地，对G/中任一元 [a1 b1] [a2b2] … [anbn]有g1-[a1 b1][a2b2]…[anbn]g=(g1-[a1b1]g)(g1-[a2b2]g)…(g1-[anbn]g)∈G,故 g1-G/g∈G/即G/是G的不变子群.注释：1.∵A ≤G B≤G 又e∈A e∈B∴e∈A∩B≠Φ, 设a,b∈A ∩B则 a,b∈A 且 a,b∈B 故 ab∈A且 ab∈B ∴ab∈A∩B设 a∈A∩B, 则 a∈A且a∈B ∴a1-∈A且a1-∈B ∴a1-∈A∩B ∴A∩B≤G即A∩B是G的子群2.AB={ab︱a∈A, b∈B} ∵A G ∴bA=Ab 又∵ba1∈bA ∴ba1=a/1b,a/1∈A(ab)(a1b1)=a(ba1)b1=a(a/1b)b1=(aa/1)(bb1)∈AB又b1-a1-∈b1-A=Ab1-∴()1-ab=b1-a1-=a/b1-∈AB ∴AB≤G即AB是G的子群参考文献：[1]吴三品，近世代数[M]，北京：人民教育出版社，1982，80-87.[2]张远达，有限群构造(上册)[M], 科学出版社，1982，38-41.[3]W.莱德曼，群论引论[M]，北京：高等教育出版社，1987，59-62.[4]孟道骥，代数学基础[M]，天津：南开大学出版社，[5]A.Γ.库洛什，群论(上册)[M]，北京：高等教育出版社，1987，57-62.[6]M.赫尔，群论[M]，科学出版社，1981，30.[7]徐明曜，有限群导引[M]，科学出版社，2001，12-14.。
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
16不变子群
§10．不变子群、商群定义 一个群G 的一个子群N 叫做一个不变子群，假如对于G 的每一个元a 来说，都有aN Na =，一个不变子群N 的一个左（或右）陪集叫做N 的一个陪集。
记作N G例1 一个任意群G 的子群G 和e 总是不变子群。
证明：G aG Ga ==，a ae ea ==例2 N 刚好包含群G 的所有有以下性质的元n ，即{}G a an na n N ∈∀==,，则N 是G 的一个不变子群。
叫做G 的中心。
证明：(1)N e ∈非空; (2)若12,n N n N ∈∈,即2121212211,n an an n a n n an a n an a n ==⇒==12n n N ⇒∈(3)若n N ∈即111111------===⇒=an nan n ann n a n an na得N 是G 的一个子群.但G 的每一个元a 可以同N 的每一元n 交换,所以有Na aN =,即N 是G 的不变子群。
例3 一个交换群G 的每一个子群H 都是不变子群。
例4 3S G =，则()()(){}132,123,1=N 是一个不变子群。
证明：()()123=N ，但()()()(){}132,123,11=N ，()()()(){}132,123,11=N ()()()(){}13,23,1212=N ，()()()(){}13,23,1212=N注：aN Na =，并不是说a 可以和N 的每一个元交换，而是说aN 和Na 这两个集合一样。
定理1 一个群G 的一个子群N 是一个不变子群的充分必要条件是N aNa =-1，对于G 的任意一个元a 都对。
证明 假如N 是不变子群，那么对于G 的任何a 来说，aN Na =这样，()()()N Ne aa N a Na a aN aNa =====----1111假如对于G 的任何a 来说，N aNa =-1那么()()()()aN e aN a a aN a aNa Na ====--11N 是不变子群。
关于子群和不变子群的几个重要命题
关于子群和不变子群的几个重要命题白阿拉坦高娃*赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 ０２４０００摘要：本文首先讨论了子群、不变子群的交集、并集、乘积是否依然是子群、不变子群；其次讨论了子群与不变子群乘积是否是子群、不变子群等。
关键词：子群；不变子群；交集；并集；乘积中图分类号：Ｏ１５３文献标识码：Ａ文章编号：１００６－００４９－（２０１６）１３－０１２７－０２一、基本概念下面是文中主要用的几个概念定义１．１［１］一个群Ｇ的一个子集Ｈ叫做Ｇ的一个子群，假如Ｈ对于Ｇ的乘法来说做成一个群。
定理１．２［１］Ｈ是群Ｇ的一个子群骋（ｉ）ａ，ｂ∈Ｈ痴ａｂ∈Ｈ（ｉｉ）ａ∈Ｈ痴ａ－１∈Ｈ骋（ｉｉｉ）ａ，ｂ∈Ｈ痴ａｂ－１∈Ｈ定义１．３［１］一个群Ｇ的一个子群Ｎ叫做一个不变子群，假如对于Ｇ的每一个元ａ来说，都有Ｎａ＝ａＮ定理１．４［１］Ｎ是群Ｇ的一个不变子群骋ａ∈Ｇ，ｎ∈Ｎ痴ａＮａ－１＝Ｎ骋ａ∈Ｇ，ｎ∈Ｎ痴ａｎａ－１∈Ｎ二、重要命题（一）关于子群、不变子群的交集、并集、乘积命题２．１．１群的两个子群Ｈ１和Ｈ２的交集Ｈ１∩Ｈ２也是群Ｇ的子群．证：令ｅ是Ｇ的单位元．那么ｅ∈Ｈ１，ｅ∈Ｈ２，因而ｅ∈Ｈ１∩Ｈ２≠Φ．对于橙ａ，ｂ∈Ｈ１∩Ｈ２，有ａ，ｂ∈Ｈ２，Ｈ２．由Ｈ１和Ｈ２是Ｇ的子群，所以ａｂ－１∈Ｈ１，ａｂ－１∈Ｈ２，即ａｂ－１∈Ｈ１∩Ｈ２．故Ｈ１∩Ｈ２是Ｇ的子群。
命题２．１．２假定Ｈ和Ｎ是群Ｇ的两个子群．那么ＨＮ是Ｇ的子群当且仅当ＨＮ＝ＮＨ证：＂必要性＂橙ａ∈ＨＮ来说，由ＨＮ是Ｇ的子群，可得ａ－１∈ＨＮ，愁ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ，使得ａ－１＝ｈｎａ＝（ａ－１）－１＝（ｈｎ）－１＝ｎ－１ｈ－１∈ＮＨ因为Ｈ，Ｎ是Ｇ的子群，从ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ得ｈ－１∈Ｈｎ－１∈Ｎ，那么ＨＮ炒ＮＨ另外橙ａ∈ＮＨ，愁ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ，使得ａ＝ｎｈａ－１＝（ｎｈ）－１＝ｈ－１ｎ－１∈ＮＨ又ＨＮ是Ｇ的子群，那么（ａ－１）－１＝ａ∈ＨＮ则ＨＮ车ＮＨ即ＨＮ＝ＮＨ＂充分性＂：橙ａ，ｂ∈ＮＨ来说，愁ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ，使得ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２那么ａｂ－１＝（ｈ１ｎ１）（ｈ２ｎ２）－１＝ｈ１（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１＝ｈ１ｎｈ２－１（ｎ＝ｎ１ｎ２－１∈Ｎ）＝ｈ１ｈ２－１ｎ′（由ＨＮ＝ＮＨ可知，ｎｈ２－１＝ｈ２－１ｎ′）＝ｈｎ′∈ＨＮ（ｈ＝ｈ１ｈ２－１∈ｈ）所以ＨＮ是Ｇ的子群．命题２．１．３设Ｈ和Ｎ是群Ｇ的两个不变子群，则ＨＮ是Ｇ的不变子群，且Ｈ∩Ｎ是Ｇ的不变子群．证：（１）由于Ｈ和Ｎ都不为空，所以ＨＮ也不空．设ａ∈ＨＮ，ｂ∈．那么ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２（ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ）ａｂ－１＝ｈ１ｎ１ｎ２－１ｈ２－１＝ｈ１ｎ′ｈ２－１（ｎ′＝ｎ１ｎ２－１）由于Ｎ是一个不变子群，有Ｎｈ２－１＝ｈ２－１Ｎ，ｎ′ｈ２－１＝ｈ２－１ｎ（ｎ∈Ｎ）由是得ａｂ－１＝（ｈ１ｈ２－１）ｎ∈ＨＮ故ＨＮ是Ｇ的一个子群．对于橙ａ∈Ｇ，ｎ∈ＨＮ，愁ｈ１∈Ｈ，ｎ１∈Ｎ，使得ｎ＝ｈ１ｎ，ａ－１ｎａ＝ａ－１（ｈ１ｎ１）ａ（２）证：令Ｎ１和Ｎ２是群Ｇ的两个不变子群，那么Ｎ１∩Ｎ２是Ｇ的一个子群（由命题２．１．１）．令ａ∈Ｇ，ｎ∈Ｎ１∩Ｎ２，那么ｎ∈Ｎ１，ｎ∈Ｎ２．但Ｎ１和Ｎ２是不变子群，所以ａｎａ－１∈Ｎ１，ａｎａ－１∈Ｎ２，因而ａｎａ－１∈Ｎ１∩Ｎ２．于是由定理１．４，Ｎ１∩Ｎ２是一个不变子群．（二）关于子群与不变子群的乘积命题２．２．１设Ｈ是群Ｇ的子群，Ｎ是Ｇ的不变子群，则ＨＮ是Ｇ的子群，且Ｈ∩Ｎ是Ｈ的不变子群．证：（１）对于橙ａ，ｂ∈ＨＮ来说，愁ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ，使得ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２，那么ａｂ－１＝（ｈ１ｎ１）（ｈ２ｎ２）－１＝（ｈ１ｎ１）（ｎ２－１ｈ２－１）＝ｈ１（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１因为Ｎ是子群，有ｎ１ｎ２－１∈Ｎ，Ｈ是子群，有ｈ１ｈ２－１∈Ｈ，再由Ｎ是不变子群，有（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１∈Ｎｈ２－１＝ｈ２－１Ｎ愁ｎ３，∈Ｎ使得（ｎ１ｎ２－１）ｈ２－１＝ｈ２－１ｎ３ａｂ－１＝（ｈ１ｈ２－１）ｎ３∈ＨＮ即ＨＮ是Ｇ的子群．（２）对于橙ｈ∈Ｈ，橙ａ∈Ｈ∩Ｎ，有ａ∈Ｈ，ａ∈Ｎ，由Ｈ是子群，得ｈ－１∈Ｈ，那么ｈ－１ａｎ∈Ｈ，又有Ｎ是不变子群，ｈ－１ａｈ∈Ｎ，即ｈ－１ａｈ∈Ｈ∩Ｎ．那么Ｈ∩Ｎ是Ｈ的不变子群．命题２．２．２设Ｈ和Ｎ是群Ｇ的两个不变子群，则ＨＮ是Ｇ的不变子群．证：由于Ｈ和Ｎ都不为空，所以ＨＮ也不空．设ａ∈ＮＨ，ｂ∈ＮＨ．那么ａ＝ｈ１ｎ１，ｂ＝ｈ２ｎ２（ｈ１，ｈ２∈Ｈ，ｎ１，ｎ２∈Ｎ）ａｂ－１＝ｈ１ｎ１ｎ２－１ｈ２－１＝ｎ１ｎ′ｈ２－１（ｎ′＝ｎ１ｎ２－１）由于Ｎ是一个不变子群，有Ｎｈ２－１＝ｈ２－１Ｎ，ｎ′ｈ２－１＝ｈ２－１ｎ（ｎ∈Ｎ）由是得ａｂ－１＝（ｈ１ｈ２－１）ｎ∈ＨＮ故ＨＮ是Ｇ的一个子群．·７２１·学术探讨山西青年ＳＨＡＮＸＩＹＯＵＴＨ２０１６·１４*白阿拉坦高娃，女，１９８３年７月１７日，内蒙古通辽市科左中旗人，讲师，硕士学位，主要研究方向：微分方程数值解。
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
判定正规子群的若干条件及方法
判定正规子群的若干条件及方法判定正规子群的条件和方法有以下几种：
1. 左陪集与右陪集可以彼此重合。
如果对于群G中任意一个元
素g，左陪集gH与右陪集Hg相等，则H是G的一个正规子群。
2. 子群是核的像的逆像。
如果H是群G的一个正规子群，那么G 关于Hom(G, N)的核就是H，其中Hom(G, N)是从G到N的群同态集，
而N是任意一个群。
3. 由H和G/H诱导的同态的核相等。
如果H是群G的一个正规
子群，则群G/H的正规子群是由H诱导的同态群的核。
反之亦然。
判定正规子群的方法：
1. 利用群运算律来验证。
如果H在群G中是正规子群，则对于H 中任意元素h和任意元素g∈G，会有ghg⁻¹∈H。
可以验证这个式子是
否成立，从而证明H是否是G的正规子群。
2. 利用H的内禀运算来验证。
如果对于所有的x∈H和g∈G，
gxg⁻¹也在H中，那么H是G的一个正规子群。
3. 利用同态映射的性质来验证。
如果存在一个群同态f: G → K ，其中K是另一个群，并且H是K的正规子群，同时f(H) = H'，那么H
是G的一个正规子群。
2-8不变子群和商群
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商群有下列常用的性质:
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一 商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
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解：
因为 H(13) {(13), (123)}
(13)H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
2019/9/30
11:55
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
，结合律；
④ (eN )(aN ) aN,有左单位元 eN N ；
⑤ (1N )(aN ) eN ,有逆元.
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四、商群
N G G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成群.
定义 2
设 N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN (ab)N 做成的群为 G 关于
1.4群的各种子集
4）对任意给定的 S G 当Rj取遍所有元素时 SRj S 1 不会有重复
故
类中每个元素只出现一次，仍为自身。
5）对给定的Rj，让S取遍群G所有元素， SRj S 1 会有重复 且可证明 Rk SRj S 1 重复次数m(α)都相同 6）类 中包含的元素数目是群G阶的因子n(α)=g/m(α) 7）由于共轭关系具有传递性，两个不同的类没有公共元素 可将群G按照共轭类进行分割
一个元素R就可以求出R类的所有元素，即
n(α): 类中所含元素数目 gc : 群G所包含的类的数目
性质：
S G, SES1 SS1E E 1）恒元自成一类 2）阿贝尔群的每个元素自成一类 S，R G, SRS1 SS1R R
12
3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。
7
3. 不变子群（正规子群） 定义：若群G的子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等
R j H HRj， R j S S R j
则称子群H为不变子群。
说
明
1） S , S 不一定是同一元素 2）阿贝尔群的所有子群都是不变子群（所有群元素对易） 3）指数为2的子群必为不变子群（d=2，则只有一个陪集） 4）阶为素数的群没有非平庸不变子群 证 明 ！
3
2. 陪集的性质
（1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素
要么没有任何公共元素 ——陪集定理 证明：设 R1, R2 G,
R1H {R1S ,
R2 H {R2 S ,
R1 , R2 H
S H}
S H}
则由R1,R2生成H两个左陪集
假设两个左陪集有一个公共元素，即
9
例：C4v群
特殊群的子群,不变子群与商群
特殊群的子群、不变子群与商群摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容.关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。
因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。
08 子群
第八节 不变子群与商群基本概念：不变子群，商群.重点、难点：不变子群的判定，不变子群与商群的关系.一 概念本节主要讨论一下一类重要的子群—不变子群. i.e.左右陪集均相等的子群.定义2.8.1 设N 是群G 的子群，若对G a ∈∀，均有Na aN =，则称N 是群G 的不变子群或正规子群,记作G N <.一个不变子群N 的一个左（或右）陪集统一叫做N 的一个陪集.例1 ①G G < ； ②G e <}{①G a ∈∀，}{}{G g ga Ga G G g ag aG ∈===∈=②G a ∈∀，a ea ae ==例2 交换群G 的任何一个子群都是G 的正规子群.例3设G 是群.记},{)(ab ba G b G a G C =∈∀∈=，可以证明)(G C 为G 的一个子群，称为群G 的中心.①φ≠⇒∈)()(G C G C e②)()()()()()()()(,)(,1111G C ab ab g b ga b ag gb a bg a g ab G C b g b gb gb b g gb bg gaag G g G C b a ∈⇒=====⇒⎭⎬⎫∈⇒=⇒=⇒==∈∀⇒∈---- 易证G G C <)(.例 4 3S G =，则G N <)}132(),123(),1{(=.证 G N ≤)1( aN Na G a =∈∀,)2(. （Page74,例４）注 不变子群的定义中的“Na aN =”是指两个集合相等，而不是指“N n na an ∈∀=,”.二 判别准则先介绍集合乘积的概念定义2.8.2 设m S S S ,,,21Λ为群G 的m 个子集合，用记号},,1,|{2121m i S s s s s S S S i i m m ΛΛΛ=∈=称为集合m S S S ,,,21Λ的乘积.定理2.8.1 设N 是G 的子群，则T.F.A.E. :（1）G N <；（2）N n G a N ana ∈∀∈∀∈-,,1；(3) G a N aNa ∈∀⊆-,1；(或G a N Na a ∈∀⊆-,1)(4) G a N aNa ∈∀=-,1； (5)N 的每一个左陪集也是N 的一个右陪集.证 (1)⇒(2)：N n anaa n an t s N n Na aN an ∈'=⇒'=∈'∃⇒=∈-1..,(2)⇒(3): 显然(3)⇒(4)：只须证1-⊆aNa N ：111)(,---=⇒∈⇒∈∀∈∀a na a a n N na a G a N n ，故N aNa =-1(4)⇒(1)：aN aNe a aNa Na N aNaG a ===⇒=∈∀--)(,11(1)⇒(5)：显然 (5)⇒(1)：,G a ∈∀则Nb aN t s G b =∈∃..,Θ Nb Na Nb Na Nb Na a Na a Nb aN a prop =⇒≠⋂⇒⋂∈⇒⎭⎬⎫∈=∈2.7.2φ 故aN Na =,即G N <.注 由此判别定理可以导出许多关于不变子群的性质，这里不作介绍了.如1.G HN G N G H ≤⇒≤<,2.⎩⎨⎧⋂⇒G MN G N M G N G M <<<<, 3.正规子群不具有传递性，即3221,N N N N <<推不出31N N <，但有传递性2131321,N N N N N N N <<⇒⊆⊆4.,G H ≤记}|{)(Ng gN G g H N G =∈=三 商群下面讨论不变子群N 的所有陪集之集.定理2.8.2 设,G N <令}|{/G a aN N G ∈=，规定：N G bN aN N ab bN aN /,,)()()(∈∀=⋅则),/(⋅N G 是一个群，称为G 关于N 的商群.证 (1)• 是N G /的一个代数运算，即证与代表元的选取无关：假设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈=⇒⎭⎬⎫==--Nn b b N n a a bN N b aN N a 21111111， 又Θ3111311..,n b b n t s N n Nb N b G N =∈∃⇒=⇒<于是N n n n b b b n b b a a b b a ab ∈=====-----323111*********)()(，从而N b a N ab )()(11=， ∴)()()()(11N b N a bN aN ⋅=⋅(2)),/(⋅N G 为一个群：(Ⅰ)封闭性：显然(Ⅱ)结合律：N G cN bN aN /,,∈∀，有N c ab cN N ab cN bN aN ))(()()(=⋅=⋅⋅N c ab N bc a N bc aN cN bN aN ))(())(())(()(===⋅⋅(Ⅲ)单位元：N G aN /∈∀，)()()()()()(eN aN N ae aN N ea aN N e ⋅====⋅ (Ⅳ)逆元：,/,/1N G N a N G aN ∈∃∈∀-使得)()()()()(111aN N a eN N aa N a aN ⋅===⋅---故),/(⋅N G 为一个群.注 商群N G /中一定要求“G N <”.（否则不知道是左陪集还是右陪集之集） 推论2.8.3 ]:[|/|N G N G =，特别地，当∞<||G 时，有||/|||/|N G N G =. 例5 设.,,N km G mZ N Z G ∈==< 则]}1[,],0{[/-=m mZ Z Λ，|]:[ .m/mZ=|ZNZ=作业：Page 74 第1题，第3题，第4题，第5题。
子群与正规子群的判定及求法
子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。
群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。
在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。
子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。
子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。
如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。
正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。
具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。
这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。
正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。
本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。
我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。
同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。
通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。
同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。
通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。
接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。
在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。
随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。
最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。
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高 师 理 科 学 刊
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１月
Ｊｎ ２ １ ａ ． Ｏｌ
文章编 号 ：１０ — ８ ｌ（ ０ ） ｌ０ ５—４ ０７ ９３ ２ １ ０ 一０ ００ １不变子 群 的判别条件
徐兰 ，苏贵福
（． １ 昌吉 学院 数 学 系，新疆 昌吉 ８ １０ ；２ ３ １０ ．北京 理工 大学 理 学 院 ，北京 １０８ ） ００ １
（ ２）＝ （ ．任给 ａ∈Ｇ ，有 ａ ａ ＝ ３） ＞ ｉ ｌ ～＝Ｈ ，显然 ａ Ｈａ Ｈ．
（ ）＝ ４） ３ ＝ ＞（ ．任给 ａ Ｇ ，ｈ Ｈ ，由于ａ ａ ∈ ∈ ｉ ｌ
Ｈ ， 以ａａ 所 ｈ ∈Ｈ ．
收稿 日期 ：２ １—９ １ ００ ０— ０
作者简介 ：徐兰 （ ９４ ，女 ，江苏苏州人，副教授 ，硕士，从事代数、图的因子研究．Ｅ ｍａ ：ｘｌｎ４０ ６ ． ｍ １６ 一） － ｉ ｕ ６０ ＠１３ｃ ｌ ａ ａ
Ｋｅ ｌ Ｓ ｓ ｂ ｏ ｐ；ｎ ｒ ａ ｕ ｇｏ ｐ； ｈ ｍｏ ｒｈ ｓ ｏ ｒｕ ｙＷＯｄ ： ｕ ｇ ｕ ｒ ｏ ｍ ｌ ｂ ｒｕ ｓ ｏ ｍｏｐ ｉｍ ｆ ｏ ｐ ｇ
不变子群是一类重要的子群 ，它在群的理论中起着重要 的作用 ．判断一个子群是否为不变子群 ，除 了应用定义外 ，也可以应用其判别条件 ，本文对这些判别条件进行归纳 ，同时证明诸判别条件的等价性，
摘要：判断一个子群是否为不变子群 ，除 了应用定义外，也可 以应用其判别条件 ，对这些判别条 件进行归纳 ，同时证 明诸判别条件的等价性并给 出一些应用． 关键 词 ：子群 ；不 变子群 ；群 同态 中图分类 号 ：０１ ２ ５ 文献 标识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０３ ６ ／ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ １ １ １ ｏ ：１ ．９ ９ ．ｓ ． ７ ９ ３ ． １． ． ５ ｊｓ ０ ２ ００
Ｔｈ ｅ ｉｉｎｓａ ｏ ｔ ｏ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｏ ｒｕ ｅｄ ｃｓｏ ｂ ｕ ｒ ｌ ｂ ｒｕ ｆ ｇ ｏ ｐ ｎ ｓ ａ
ＸＵ Ｌ ｎ ， Ｓ Ｇｕ — ｕ ａ Ｕ ｉ ｆ
（ ． ｅａ ｍ ｎ Ｍａ ｅ ａｉ ，Ｃ ａｇｉ ｏｌ ｅ ｈｎｊ８ １１ ，Ｃ ｉ ；２Ｓｈｏ ｏＳｉ ｃ ，Ｂ ｉｎ ｎｔｕｅ ｆ ｅｈｏｏｙ ｅｉｇ１０ ８ ，Ｃ ｉ ） １Ｄ ｐｒ ｅｔｆ ｔ ｍ ｔｓ ｈｎｊＣｌ ｇ，Ｃ ａｇ ３ １０ ｈｎ ｔ ｏ ｈ ｃ ｅ ｉ ３ ａ ．ｃｏｌｆｃｅ ｅ ｅ ｉ ｓｔ Ｔ ｃｎｌ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ １ ｈｎ ｎ ｊ ｇＩ ｉｔｏ ｇ ｊ ａ
第 １ 期
徐兰 ，等 ：不变子群的判别条件
５ １
（ ４）＝ （ ．任给 ａ∈Ｇ ， ｈ ＝ ５） ＞ ∈Ｈ ，由于 ａ ａ ∈Ｈ ，所 以 ａ ｈ ｈ∈Ｈａ，故 ａ Ｈ Ｈａ．
（ ５）二 （ ． 任给 （∈Ｇ ，由于 ａ ＝ ６） ＞ ｚ Ｈ Ｈ ａ，所 以 ａ ａ ） ａ Ｉ （ｌ － １ Ｈａ，即 Ｈ ａ Ｉ － Ｈａ．
（ ）任 给 ａ∈Ｇ ，ｈ∈Ｈ ，有 ａａ ∈Ｈ ； ４ ｈ
（） ５ 任给 ａ Ｇ ， ａ Ｈ ∈ 有 Ｈ ａ； （） ６ 任给 ａ Ｇ ，有 Ｈ ａＩａ ∈ － ． Ｈ 证明 （ ）＝ （ ） 由 日是 Ｇ的不变子群 ， １ ＝ ２． ＞ 即任给 ａ ， ａ ＝Ｈ 于是 ａ ａ Ｈ ａ Ｇ 有 Ｈ Ｅ ａ， ｉ ｌ 一＝ ａ 一＝Ｈ ＝Ｈ ｅ
（ ６）二 １．任给 ａ∈Ｇ ，由于 ＝ ＞（ ）
里 ｈ ｈ ∈Ｈ ，故 ａ ， Ｈ
ａ —Ｈａ ，所 以 ｈ∈ － ａ１ Ｈａ，不妨设 ｈ＝ａ Ｉｌ － ａ，即 ａ ｈ ｈ＝ｈａ，这 ｌ
并 给 出一些应 用 ．
设 是 Ｇ的一个子群 ， 若对于任给ａ Ｇ， ∈ 都有 ａ ＝ ａ， Ｈ Ｈ 则称 是 Ｇ的一个不变子群． 记为 ｑ Ｇ．
不变子群的判别条件
定理 １ 设 日 是 Ｇ的一个子群 ，则下列条件等价．
（ ） 司Ｇ，即任给 ａ Ｇ ，有 ａ １ ∈ Ｈ：Ｈ ａ； （） ２ 任给ａ ∈Ｇ，有 ａ ａ Ｈ ； ｉ ｌ ～＝ （） ３ 任给ａ ∈Ｇ，有 ａｉ ｌ ａ Ｈ；